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2009年清华自主招生数学试题(理科文科)


2009 年清华大学自主招生数学试题(理科)
1.设

5 ?1 的整数部分为 a ,小数部分为 b 5 ?1
ab ; ? 3? 求 lim ? b ? b 2 ???b n ? n ?? 2 1 2
2 n ?1

?1? 求 a, b ; ? 2 ? 求 a 2 ? b 2 ?

2.

?1? x, y 为实数,且 x ? y ? 1 ,求证:对于任意正整数 n , x 2 n ? y 2 n ?

? 2 ? a, b, c 为正实数,求证:

a b c ? ? ? 3 ,其中 x, y, z 为 a, b, c 的一种排列 x y z

3.请写出所有三个数均为质数,且公差为 8 的等差数列,并证明你的结论
x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆左顶点 A ? ?a,0? 的直线 L 与椭圆交于 Q ,与 y 轴 a 2 b2

4.已知椭圆

交于 R ,过原点与 L 平行的直线与椭圆交于 P 求证: AQ , 2OP , AR 成等比数列

5.已知 sin t ? cos t ? 1 ,设 s ? cos t ? i sin t ,求 f (s) ? 1 ? s ? s 2 ???s n 6.随机挑选一个三位数 I

?1? 求 I 含有因子 5 的概率; ? 2 ? 求 I 中恰有两个数码相等的概率
7.四面体 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC

?1? 求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;
? 2 ? 设三个面与底面 BCD 所成的角分别为 ? , ? , ? ,求证: cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
8.证明当 p, q 均为奇数时,曲线 y ? x2 ? 2 px ? 2q 与 x 轴的交点横坐标为无理数

9.设 a1, a2 ,??, a2n?1 均为整数,性质 P 为: 对 a1, a2 ,??, a2n?1 中任意 2n 个数, 存在一种分法可将其分为两组,每组 n 个数,使得两组所有元素的和相等 求证: a1, a2 ,??, a2n?1 全部相等当且仅当 a1, a2 ,??, a2n?1 具有性质 P

2009 年清华大学自主招生数学试题(理综)
1.求值: 2 ? 2e
2 ?i 5

?e

6 ?i 5

2.请写出一个整系数多项式 f ( x) ,使得 2 ? 3 3 是其一个根 3.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论。 4.现有 100 个集装箱,每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序 被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是 1,且 每个集装箱最多放两件货物, 若装了一个货物后装不下第二个,那么就将这个集 装箱密封,把这个货物装到下个集装箱中。问在最坏情况下需要多少个集装箱。 5. A , B 两人轮流向黑板上写正整数,规则是:若 a1 , a2 ,??an 出现在黑板上, 则形如

? a x 的数都不能写,不得不写 1 的人算输。初始状态黑板上写着 5,6
i i i

问先写的人还是后写的人有必胜策略? 6.64 匹马能否通过 50 场比赛比出任意两匹马之间的优劣?(每场比赛至多 8 匹马参赛) 7. A , B 两人玩一个游戏, A 提供若干硬币, B 可以任意将这些硬币全部摆放 在顶点上,并确定一个目标顶点 u 。规则是: A 可以选择一个上面至少有两枚硬 币的顶点 v ,并选择一个与它相邻的顶点 w ,将 v 上的两枚硬币取走,并放回一 枚硬币在 w 上。 A 若在有限步内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜。已知 B 不 想让 A 赢且他很聪明,试问在这两种情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自 己能赢。

2009 年清华大学自主招生数学试题(文科)
1.已知数列 ?an ? ,且 Sn ? na ? n ? n ?1?

?1? 求证: ?an ? 是等差数列; ? 2 ? 求 ? an , ?
?

Sn n

? ? 所在的直线方程 ?

2.12 名职员(其中 3 名为男性)被平均分配到 3 个部门

?1? 求此 3 名男性被分别分到不同部门的概率;
? 2 ? 求此 3 名男性被分到同一部门的概率; ? 3? 若有一男性被分到指定部门,求其他 2 人被分到其他不同部门的概率
3.一元三次函数 f ? x ? 的三次项数为
a , f ? x ? ? 9x ? 0 的解集为 ?1, 2 ? 3

?1? 若 f ? x ? ? 7a ? 0 ,求 f ? x ? 的解析式; ? 2 ? 若 f ? x ? 在 ?

上单调增,求 a 的范围

4. 已知 PM ? PN ? 2 2 , ? ?2,0? , ? 2,0? , 求点 P 的轨迹 W ; 直线 y ? k ? x ? 2? M N 与 W 交于点 A 、 B ,求 S ? OAB ( O 为原点) 5.设 a ?
x1 ? x2 ? ?? xn ?n ? ? n

?

Sn ? ? x1 ? a ?? x2 ? a ? ? ? x2 ? a ?? x3 ? a ? ???? ? xn?1 ? a ?? xn ? a ?

?1? 求证: S3 ? 0
? 2 ? 求 S4 的最值,并给出此时 x1 , x2 , x3 , x4 满足的条件 ? 3? 若 S5 ? 0 ,求 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 不符合时的条件


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