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高一上数学半期考卷(必修一)含答案


高一数学(必修 1)模块结业考试试卷
(完卷 100 分钟 满分 100 分) (注意:不得使用计算器,并把答案写在答案卷上)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。本大题 共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1.下列各式中错误 的是( .. A. {1} ?{0,1, 2} ) C. ? ? {0,

1, 2} ) D. {0,1, 2} ? {2,0,1} B. 1?{0,1, 2}

2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A. y ? x ? 1 和 y ? C. y ?

x2 ?1 x ?1

B. y ? x0 和 y ? 1 D. y ? x 与 y ? loga a x (a ? 0且a ? 1) , c ? 0.3
0.2

x2 ?1 与 y ? x ? 1
0.3

3.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 A. a ? b ? c

,则 a, b, c 三者的大小关 系是( D. c ? b ? a ) D . y ? x3



B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? ?3x B. y ? ( )

1 3

x

C. y ? log 1
3

x

5.已知函数 A. ? 1 或

?log 2 x( x ? 0), f ( x) ? ? x ? 2 ( x ? 0),
B. ? 1 或 2

若 f (a) ? C. ? 1

1 ,则实数 a 的值为( 2
D. 2

)

1 2

6.在同一个坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是 (

)

7.定义在 R 上的偶函数满足:对任意 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 都有 则( ) A. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) B. f (3) ? f (?2) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, x1 ? x2

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8.根据表格中的数据,可以判定函数

f ( x) ? e x ? x ? 2 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为

(k , k ? 1)(k ? Z ) ,则 k 的值为(
A.–1 C.1 B.0 D.2



x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

9.给出如下三个等式:① f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ;② f (ab) ? f (a) ? f (b) ; ③ f (ab) ? f (a) ? f (b) .则下列函数中,不满足其中任何一个等式的函数是( A. )

第 8 小题表格

f ( x) ? 2x

B.

f ( x) ? 3 x

C.

f ( x) ? ln x

D.

f ( x) ? x2

10. 设 x ? R , 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数 ,例如: [?3.5] ? ?4, [2.1] ? 2 .这个函数

f ( x) ? [ x] 称为 “高斯函数” . 则 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? [log3 4] ? ? ? [log3 27]
的值为( A.46 ) B.45
0 3

C.44

D.43

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

7? 11.化简式子10lg2 ? ? ? ? ? ?16 4 ? 2log3 1 ? ________.
?

8?

12.已知幂函数
13.若函数

,则 f (100) ? __________. f ( x) ? x? 的图象经过点(9,3)

f ( x) ? a ln x ? b lg x ? 2 ,且 f (

1 ) ? 5 ,则 f (2012) 的值为_______. 2012

?C ( A) ? C ( B), 当C ( A) ? C ( B) 14.用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A ? B ? ? . ?C ( B) ? C ( A), 当C( A) ? C( B)

若 A ? {1, 2},B ?

?x x ? ax ? 1 ? 1? ,且 A ? B ? 1,由 a 的所有可能值构成的集合是 S,
2

那么 C ( S ) 等于_______.

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三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。本大题共 5 小题, 共 48 分)
15.(本小题满分 8 分)已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

?

?

(I)若集合 B ? x x ? 2 ,求 A

?

?

B;

(Ⅱ)若集合 P ? x x ? m ? 2, x ? R (m ? R ) ,且 A ? ?R P ,求实数 m 的取值范围.

?

?

16. (本小题满分 8 分)已知定义在 R 上的函数 (I)求 a , b 的值;

f ( x) ?

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

(Ⅱ)用单调性定义证明 f ( x) 在 R 上是减函数.

17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? loga (3 ? ax)(a ? 0且a ? 1) . (I)当 x ? ?0, 4? 时,函数 f ( x ) 都有意义,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在这样的实数 a ,使得函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上为减函数,并且最大值是 1? 如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 10 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般 情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函 数,当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度 不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明,当 20 ? x ? 200 时,车流 速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (I) 当 0 ? x ? 200 时,求车流速度 v 关于车流密度 x 函数v(x)的表达式 v ( x ) ; (II) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ( x) ? x v( x) 可以达到最大?最大值是多少(精确到 1 辆/小时)?

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19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) , 使得函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一个等值域 变换. (I)判断下列 x ? g (t ) 是不是 f ( x ) 的一个等值域变换?说明你的理由. ① f ( x) ? 2 x ? 1, x ? R , x ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R ; ②

f ( x) ? x2 ? x ? c, x ? R, c 是常数, x ? g (t ) ? 2t , t ? R ;

(Ⅱ)设 f ( x) ? log2 x ( x ? R ? ) , x ? g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 ,若 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值 域变换,求实数 a 的取值范围,并写出 x ? g (t ) 的一个定义域.

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2012-2013 学年高一数学(必修 1)模块结业考试参考答案
1.A 11. 11 2.D 3.C 12. 10 4.A 13. -1 5.B 14. 3 6.D 7.A 8.C 9.A 10.B

15.解:由已知得:集合 A= x ?1 ? x ? 3 , (I)由于 B ? x x ? 2 ,所以, A (Ⅱ) ?R P ? x x ? m ? 2

?

?

?

?

B ? ? x ?1 ? x ? 2?

?

?
所以 m ? ?3 .

因为 A ? ?R P ,所以 m ? 2 ? ?1 ,

16.解:(I)∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,∴ f (0) ?

b ?1 ? 0 ,∴ b ? 1 a ?1

f ( x) ?

1? 2x 1 ? 2?x 2x ?1 2x ?1 f ( ? x ) ? ? ? ? f ( x ) ? , a ? 2x a ? 2?x a ? 2 x ? 1 a ? 2x

∴ a ? 2 x ? 1 ? a ? 2 x 即 a(2 x ? 1) ? 2 x ? 1 对一切实数 x 都成立, ∴ a ? 1∴ a ? b ? 1 (Ⅱ)证明:任取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
∵ x1 ? x 2 ,∴ 2
x2

1? 2x1 1? 2x2 2(2x2 ? 2x1 ) ? ? 2x1 ?1 2x2 ?1 (2x1 ?1)(2x2 ?1)

? 2 x1 , 1 ? 2 x1 ? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
∴ f ( x) 在 R 上是减函数.

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

17. 解:(I)由题意, 3 ? ax ? 0 对一切 x ? ?0, 4? 恒成立, ∵a ? 0且a ?1 ∴ g ( x) ? 3 ? ax 在 ? 0, 4? 上是减函数,从而只需 g (4) ? 3 ? 4 a ? 0 得 a ? ∴ a 的取值范围为 (0, ) . (Ⅱ)假设存在这样的实数 a ,使得函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上为减函数,并且最大值为 1, 那么, ?

3 4

3 4

?a ? 1 ?a ? 1 ,即 ? ?log a (3 ? a ) ? 1 ? f (1) ? 1
解得, a ?

解得

a?

3 2

又?

?3 ? a ? 0 ?3 ? 2a ? 0

3 2

∴a ?

3 不符合题意.所以,不存在符合题意的实数 a . 2

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18.解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? 再由已知得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ? 0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3

0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3 当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,函数值小于 1200; 1 1 10000 2 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? x(200 ? x) ? ? ( x ? 100) ? , 3 3 3 10000 它的最大值为 f (100) ? . 3 10000 .. 所以,当 x ? 100时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值 3 10000 ? 3333 . 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间(0,200]上取得最大值 3
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 19. 解:(I) ①:函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? R 的值域为 R , ∵ x ? t 2 ? 2t ? 3 ? (t ?1)2 ? 2 ? 2 , ∴ y ? f ( g (t )) ? 2[(t ?1) ? 2] ? 1 ? 5 ,
2

所以, x ? g (t ) 不是 f ( x ) 的一个等值域变换. ②: f ( x) ? x ? x ? c ? ( x ? ) ? c ?
2 2

1 2

1 1 1 ? c ? ,即 f ( x) 的值域为 [c ? , ??) , 4 4 4 1 1 1 ? c ? ,即 y ? f (g (t )) 的值域仍为 [c ? , ??) , 4 4 4

当 t ? R 时, f ( g (t )) ? (2 ? ) ? c ?
t 2

1 2

所以, x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换. (Ⅱ)显然, f ( x ) 的值域为 R ,因为 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换, 所以, x ? g (t ) ? at ? 2t ? 1 能取遍所有的正数.
2

①当 a ? 0 时, g (t ) ? 2t ? 1 是一次函数,由 g (t ) ? 2t ? 1 ? 0 得 t ? ?
2 ②当 a ? 0 时, g (t ) ? at ? 2t ? 1 是二次函数,

1 ; 2

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?a ? 0 ?? ? ? ? 4 ? 4a ? 0
由 at ? 2t ? 1 ? 0
2

解得 0 ? a ? 1 ,

解得 t ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 或t ? a a
1 , ??) ; 2

所以,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .而且, 当 a ? 0 时, x ? g (t ) ? 2t ? 1 的一个定义域为 (?

当 0 ? a ? 1 时, x ? g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 的一个定义域 为 (??,

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ) ( , ??) (注:定义域不唯一) a a

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