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2015全国高中数学联赛复习资料01


2014 年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) (一试)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1:若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则

1 1 ? 的值为__________ a b

2:设集合 { ? b | 1 ? a ?

b ? 2} 中的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m =_________

3 a

3:若函数 f ( x) ? x ? a | x ? 1 | 在 [0,??) 上单调递增,则 a 的取值范围为_______
2

4:数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

2(n ? 2) a2014 an (n ? N ? ) ,则 =_________ n ?1 a1 ? a2 ? ... ? a2013

5:已知正四棱锥 P ? ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角形, M , N 分别是边 AB, BC 的 中点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是_____________

6:设椭圆 ? 的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 ? 交于点 P, Q ,若 | PF2 |?| F1F2 | , 且 3 | PF 1 |? 4 | QF 1 | ,则椭圆 ? 的短轴与长轴的比值为__________

B C 7: 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2, 圆心为 I , 若点 P 满足 PI ? 1 , 则 ?A 的面积之比的最大值为__________

与 ?APC

8:设 A, B, C , D 是空间四个不共面的点,以

1 的概率在每对点之间连一条边,任意两点之 2

间是否连边是相互独立的,则 A, B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概 率是__________

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9:(本小题满分 16 分)平面直角坐标系 xOy 中, P 是不在 x 轴上一个动点,满足条件: 过 P 可作抛物线 y 2 ? 4 x 的两条切线,两切点连线 l P 与 PO 垂直。设直线 l P 与 PO , x 轴的 交点分别为 Q, R . (1)证明: R 是一个定点;(2)求

| PQ | 的最小值 | QR |

10:(本小题满分 20 分)数列 {an } 满足 a1 ?

?

6 1 求正整数 m ,使得 sin a1 sin a2 ......sin am ? 100

, an ?1 ? arctan(sec an )( n ? N ?)

11: (本小题满分 20 分) 确定所有的复数 ? , 使得对任意的复数 z1 , z 2 ( | z1 |, | z2 |? 1, z1 ? z2 ) , 均有 ( z1 ? ? )2 ? ? z1 ? ( z1 ? ? )2 ? ? z2

(二试)
1:(本题满分 40 分)设 a, b, c ? R ,满足 a ? b ? c ? 1 , abc ? 0 ,

求证: bc ? ca ? ab ?

abc 1 ? 2 4

2:(本题满分 40 分)锐角 ?ABC 中, ?BAC ? 60 ,过点 B, C 作 ?ABC 外接圆的切线
?

BD, CE , 且满足 BD ? CE ? BC , 直线 DE 与直线 AB, AC 交于点 F , G , 直线 CF , BD 交
于M , 直线 CE , BG 交于点 N 。 求证: AM ? AN

3:(本题满分 50 分)设 S ? ? ?,求最大的整数 k ,使得 S 有 k 个互不相同的非 1,2,3,? ? ?,100 空子集,具有性质:对这 k 个子集中任意两个不同的子集,若它们的交非空,则它们交集中 的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同

4: (本题满分 50 分) 设整数 x1 , x2 ,? ? ?, x2014 模 2014 互不同余, 整数 y1 , y 2 ,? ? ?, y 2014 模 2014 互不同余,证明:可以将 y1 , y 2 ,? ? ?, y 2014 重新排列为 z1 , z 2 ,? ? ?, z 2014 ,使得

x1 ? z1 , x2 ? z2 ,? ? ?, x2014 ? z2014 模 4028 互不同余


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