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浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期末考试数学(文)试题


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1、已知全集 U=R,集合 A= {x A. {x x ? ?2或x ? 0} C. {x x ? ?2或x ? 0} 2、复数 z ?

x?2 ? 0} ,则集合 CU A 等于 x
B. {x x ? ?2或x ? 0}

D. {x x ? ?2或x ? 0}

( ▲ )

2?i ? i (2 ? i ) 在复平面对应的点在 1? i
B. 第二象限 C.第三象限
[来源:学科网 ZXXK]

( ▲ ) D.第四象限

A.第一象限

3 、已知 a, b ?R,则“ a ? b ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件

a?b ? ab ”的 2
[来 源:Z_xx_k.Com]

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ▲ )

4、关于直线 a、b、l 及平面 ? 、 ? ,下列命题中正确的是 A.若 a∥? ,b∥? ,则 a∥ b C.若 a ? ? , b ? ? ,且 l⊥ a,l⊥ b,则 l⊥? 5、若 sin ? ? cos ? ? A. ? B.若 a∥? ,b⊥ a,则 b⊥?

D.若 a⊥? ,a∥? ,则 ? ⊥? ( ▲ )

7 (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ? 13
12 5
C. ?

1 3

B.

12 5
2 2

D.

1 3
( ▲ )

6、对任意的实数 k ,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三个选项均有可能

7、已知正数 a , b 的等比中项是 2,且 m ? b ?

1 1 , n ? a + ,则 m ? n 的最小值是( ▲ ) a b

A.3 B.4 C.5 D.6 8、已知偶函数 f ( x) 在 R 上的任一取值都 有导数,则且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f ( x) 在

x ? ?5 处的切线的斜率为
A. -1 B.-2 C.1 D. 2

( ▲ )

2 9、已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? a ? 3, 则使函数 f ( x ) 至少有一个整数零点的所有正整数 a 的值之和

等于 A.1

B.4

C .6

( ▲ ) D .9

10、椭圆

x2 y 2 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF= ? , a2 b2 ? ? 且 ? ∈[ , ],则该椭 圆离心率的取值范围为 ( ▲ ) 12 4 2 6 2 3 6 2 A. [ , ] B. [ , ] C.[ ,1) D.[ ,1 ) 2 3 2 2 3 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

?3x ( x ? 0) 1 11、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( )] ? 2 ?log 2 x ( x ? 0)
▲ . 12、如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的 体积 是 ▲ .

13、 若各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a2 ? 2a3 ? 3a1 , 则公比 q ? ▲ .

14 、某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 值 为 ▲ .

? 2? x ? 0 ? y?x 15、若实数 x,y 满足不等式组 ? (其中 k 为常数) , ?2 x ? y ? k ? 0 ?
若 z ? x ? 3 y 的最大值为 5,则 k 的值等于





16、记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若 A 是不超过 5 的奇 数,从这些两位数中任取一个,其个位数为 1 的概率为 ▲ 。 17、在 ?ABC中,?ACB为钝角,AC ? BC ? 1, CO ? xCA ? yCB 且

[来源 :学科网]

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 3 x ? y ? 1,函数 f (m) ? CA ? mCB 的最小值为 ,则 CO 的最小值为
2





三.解答题(共 5 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 72 分) 18、 (本题满分 14 分)已知函数 函数 f ( x) 最大值为 2。 (1)求实数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边是 a, b, c 。若 A 为锐 角,且满足 f ( A) ? 0 ,
[来源:学§ 科§ 网]

f ( x) ? 2 3 cos2 x ? 2 sin x cos x ? m ( x ? R) 。在区间 [0, ] 上,
2

?

sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

3 3 , 求边长 a 。 4

19、 (本题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ?的公差为 ?1 , 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ; (2)若 ?bn ?是首项为 4,公比为

1 的等比数列,前 n 项和为 Tn , 求证:当 t ? 6 时,对任意 n, m ? N ? , 2

Sn ? Tm ? t 恒成立。
π ,斜边 AB ? 4 。 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得 6 到 Rt△ AOC ,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角。动点 D 在斜边 AB 上。 (1)求证:平面 COD ? 平 面 AOB ; 1 (2)当 AD ? DB 时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值; 2 (3)求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值。
20、 (本题满分 14 分)在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

[来源 :Z+xx+k.Com]

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中实数 a ? 0 。 2 (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; 1 1 (2 )若在区间 [? , ] 上, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 2 2
21、 (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ?
3

22、(本题满分 15 分) 过 x 轴上动点 A(a, 0) ,引抛物线 y ? x2 ? 1 的两条切线 AP 、 AQ 。切线斜率分别 为 k1 和 k2 ,切点分别为 P 、 Q 。 (1)求证: k1 ? k2 为定值;并且直线 PQ 过定点; (2) 记 S为面积 ,当 ??? ? 最小时,求 AP ? AQ 的值。

S?APQ PQ

??? ? ????

y

Q A O

P
x

2013 学年第一学期十校联合体高三期末联考 数 学 试 卷(文科)参考答案

三.解答题(本大题共 5 小题,共 7 2 分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18、 (本题满分 14 分) 解:(1)∵ f ( x) ? 2

3 cos2 x ? 2sin x cos x ? m ? 3(cos x ?1) ? sin 2x ? m
?
……4 分

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ? m 3 ? ? ? 4? ? x ? [0, ],所以 ? 2 x ? ? 2 3 3 3
∴ 函 数 f ( x ) 在2 x ? 解得 m ? 3

?

3

?

?

2

时取得最大值。 2 ? 3 ? m ? 2 …………7 分

19、 (本题满分 14 分)

20、 (本题满分 14 分 ) (1)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是直二面角 B ? AO ? C 的平面角,………2 分 ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

A

? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD . ………4 分 ? 平面 COD ? 平面 AOB . (2)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. ………6 分 1 2 在 Rt△COB 中,易得 CO ? BO ? 2 , OE ? BO ? , 3 3

D

2 10 . ? CE ? CO ? OE ? 3
2 2

O
[来源:Z+xx+k.Com]

E

B

C

又 DE ?

2 4 3 AO ? . 3 3 CE 30 ? . DE 6 30 . 6
………9 分

? 在 Rt△CDE 中, tan?CDE ?

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值为
(3)由(I)知, CO ? 平面 AOB ,

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan ?CDO ?
当 OD 最小时, ?CDO 最大, 这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

OC 2 ? . OD OD
………11 分

OA ? OB 2 3 ? 3 , tan ?CDO ? , AB 3

? CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值为

2 3 .………14 分 3

② 若 a ? 2 ,则 0 ? 在 (?

1 1 ? ,当 x 变化时, a 2

1 1 1 1 , 0) 上, f ( x) 为单调递增。在 (0, ) 上 f ( x) 为单调递减,在 ( , ) 上 f ( x) 为单调递增。 2 a a 2

1 ? 5?a ? ?0 f (? ) ? 0 ? ? 1 1 ? ? 8 2 所以当 x ? [? , ] 时 f ( x) ? 0 等价于 ? 即? 2 2 ?1 ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? a ? ? 2a 2
解不等式组得

2 2 ? a ?5或a ? ? ,因此 2 ? a ? 5 。 2 2

…………14 分 …………15 分

由以上可知取值范围是 0 ? a ? 5 22、 (本题满分 15 分) (1) (法一)证明: 设过 A 点的直线为: y ? k ( x ? a) 与抛物线联立得:

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

? y ? k ( x ? a) 2 得: x ? kx ? ka ? 1 ? 0 ? 2 y ? x +1 ?

[来源:学科网 ]

? ? k 2 ? 4ak ? 4 ? 0
∴k1 ? k2 ? 4a ,

k1 ? k2 ? ?4 为定值。

………4 分

抛物线方程 y ? x2 ? 1 ,求导得 y ' ? 2 x ,设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ )

[来源:Z|xx|k.Com]

k1 ? 2xp , k2 ? 2xq
∴x p ? xq ? 2a , xp ? xq ? ?1
[来源:学*科*网]

设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ ) PQ 的直线方程: y ? y p ? 得到 y ? ( xp ? xq ) x ? xp xq ?1 整理可得 y ? 2 xa ? 2 ∴ 直线 PQ 过定点 (0, 2) 。 ………7 分

y p ? yq x p ? xq

( x ? x p ) ,由 y p ? xp 2 +1 , yq ? xq 2 +1

(法二)证明:设切点 P、Q 坐标分别为 ( x p , y p ) , ( xQ , yQ ) 。求导得 y ' ? 2 x , ∴lAP : y ? 2xp ( x ? a) , ∵( x p , y p ) 在直线上,即 y p ? 2x p ( x p ? a) ,
2
[来源:学科网]

∵ P ( x p , y p ) 在抛物线方程上得 y p ? xp +1 ,整理可得 y p ? 2x p a ? 2 , 同理 yQ ? 2 xQ a ? 2 , 所以 lQP : y ? 2 xa ? 2 。 ∴ 直线 PQ 过定点 (0, 2) 。
2

………3 分

联立 PQ 的直线方程 lQP : y ? 2 xa ? 2 和抛物线方程 y ? x ? 1 ,
2 可得: x ? 2 xa ? 1 ? 0 ,

所以 x p xQ ? ?1, x p ? xQ ? 2a , 所以 k1 ? k2 ? 2xp ? 2xQ ? ?4 为定值 (2)解:设 A 到 PQ 的距离为 d.。 S ?APQ ? PQ ? ……………7 分

d , 2

? ? 所以 ??? | PQ |

S?APQ

d 2a 2 ? 2 a2 ? 1 , ? ? 2 2 4a 2 ? 1 4a 2 ? 1 S?APQ
t2 ? 3 3 , ? 4t 2

……………10 分

? ? 设 t ? 4a2 ? 1 ? 1,所以 ??? | PQ |

当且仅当 t ? 3 取等号,即 a ? ?

2 。 2

…………12 分

???? ??? ? ? ( xp ? a, y p ) ? ( xQ ? a, yQ ) ? xp xQ ? a( xp ? xQ ) ? a2 ? y p yQ AQ ? AP 因为
因为 y p yQ ? (2xp a ? 2)(2xQa ? 2) ? 4a x p xQ ? 4 ? 4a( x p ? xQ ) ? 4a ? 4
2 2
2 所以 AQ ? AP ? 3a ? 3 ?

???? ??? ?

9 2

…………15 分

注:解答题其他解法酌情给分。

命题人:吴国伟(温十五中学) 审核人:陈先力(龙港高中)


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