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2013年全国高考理科数学试题分类汇编2:函数


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (2013 年高考江西卷(理) 函数 y= )

x ln(1-x)的定义域为
D.[0,1]

A.(0,1)
【答案】D

B.[0,1)

C.(0,1]

2 . 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 若 ( )

a ? b ? c ,则函数

f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间(
A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内
【答案】A 3 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数

)

B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

f ( x) ? x 2 的大致图像是( )
y

?

1

y

y

y

0

A

x

0

B

x

0 C

x

0 D

x

【答案】A 4 . (2013 年高考四川卷(理) 设函数 )

f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x
) (D) [e -1, e ? 1]
?1

上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e]
【答案】A 5 . (2013 年高考新课标 1(理) 已知函数 f ( x) ? )

(B) [e , -11] ,

?1

(C) [1, e ? 1]

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ? ?ln( x ? 1), x ? 0

A. (??, 0]
【答案】D

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2, 0]

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 函数 )

? 1? f ? x ? = log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ? 的反函数 f ?1 ? x ? = ? x?
(A)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(B)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(C) 2 ? 1? x ? R ?
x

(D) 2 ? 1? x ? 0 ?
x

【答案】A
第 1 页 共 7 页

7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知 x, y 为正实数,则 )

A. 2 C. 2

lg x ? lg y

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

B. 2

lg( x ? y )

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

lg x ?lg y

D. 2

lg( xy )

【答案】D 8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 )

时, f ( x) ? x ?
2

1 ,则 f (?1) ? x
(B) 0 (C) 1 (D) 2
2

(A) ?2
【答案】A

9 . (2013 年高考陕西卷(理) 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m 的内接矩形花 )

园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是

x

40m

40m

(A) [15,20] (B) [12,25] 【答案】C

(C) [10,30] (D) [20,30]

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) y ? )

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的

最大值为( ) A.9
【答案】B 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 已知函数 )

B.

9 2

C. 3

D.

3 2 2

f ? x ? 的定义

域为 ? ?1, 0 ? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 (A) ? ?1,1?
【答案】B 12. (2013 年高考湖南卷(理) 函数 )

(B) ? ?1,

? ?

1? ? 2?

(C) ? -1, 0 ?

(D) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

f ? x ? ? 2 ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 5 的图像的交点个数为
D.0

A.3
【答案】B

B.2

C.1

x2 13. (2013 年高考四川卷(理) 函数 y ? x ) 的图象大致是( 3 ?1
第 2 页 共 7 页

)

【答案】C 14. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 已知函数 )

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 , g ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q? ? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ? (A) a 2 ? 2a ? 16 (B) a 2 ? 2a ? 16 (C) ?16 (D) 16

【答案】B 15. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 定义域为 R 的四个函数 )

y ? x3 , y ? 2 x , y ? x 2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是(
A . 4
【答案】C

) D.

B. 3

C. 2

16. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 若函数 )

f (x)=x 3 +bx +c 有极值点

x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程 3(f (x1 )) 2 +2f (x)+b=0 的不同实根个数是
(A)3
【答案】A 17. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个 )

(B)4

(C) 5

(D)6

数为 (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4
x

【答案】B 18. (2013 年高考北京卷(理) 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与 y=e 关于 y 轴对称,则 )

f(x)=
A. e x?1
【答案】D 19. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))设

B. e x?1

C. e ? x ?1

D. e ? x ?1

f -1 ( x) 为函数 f ( x) ? x 的反函数,下列结论正确的是

(

)

第 3 页 共 7 页

(A) f (C)

?1

(2) ? 2

(B) f (D) f

?1

(2) ? 4 (4) ? 4
1 x

f ?1 (4) ? 2

?1

【答案】B 20. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) WORD 版含答案 (已校对) 若函数 f ? x ? =x ? ax ? )
2

在?

?1 ? , +? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 ?2 ?
(B) [?1, ??) (C) [0,3] (D) [3, ??)

(A)[-1,0]

【答案】D 二、填空题 21. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数 y 【答案】 ( ?2, ??) 22. (2013 年高考上海卷(理) 方程 ) 【答案】 x ? log 3 4 . 23. (2013 年高考上海卷(理) 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x ? I } ,已知定义域 )

? log 2 ( x ? 2) 的定义域是_______________

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

为 [0,3] 的 函 数 y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f

?1

( x) , 且 f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) , 若 方 程

f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
【答案】 x0

? 2.
2

24. (2013 年高考新课标 1 (理) 若函数 f ( x) = (1 ? x )

)( x 2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的

最大值是______. 【答案】16.
25. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))方程 2 ? 8 的解是_________________
x

【答案】3 26. (2013 年高考湖南卷(理) 设函数 )

f ( x) ? a x ? b x ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

且 (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, a =b? ,则 (a, b, c) ? M 所对应的
f ( x) 的零点的取值集合为____.
第 4 页 共 7 页

(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0.
【答案】(1) (0, 1]

(2)①②③

27. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 已知 f (x) 是 )

定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为___________.
2

【答案】

?? 5,0? ? ?5,?? ?
a 为 实 常 数 , y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0

28 . 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 ) 设 ( )

a2 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ x
【答案】 a ? ? 三、解答题 29. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 设函数 )

8 . 7

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,

其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0 (Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求长度的最小值.

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? x[ a ? (1 ? a ) x] ? 0 ? x ? (0,
2

a a . ) .所以区间长度为 2 1? a2 1? a

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, l ?

a ? 1? a2

1 a? 1 a
1 1 ? 1- k ? k 2 ? 0? ? 1 - k恒成立 . 1? k 1? k

已知k ? (0,1),0 ? 1 - k ? a ? 1 ? k .令

? g (a) ? a ?

1 1? k 1? k 在a ? 1 ? k时取最大值 ? 这时l ? ? 2 a 1 ? (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2

第 5 页 共 7 页

所以 当a ? 1 ? k时,l取最小值

1? k . 1 ? (1 ? k ) 2

30. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,

第 3 小题满分 6 分. 已 知 真 命 题 :“ 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 点 P ( a、 ) 成 中 心 对 称 图 形 ” 的 充 要 条 件 为 “ 函 数 b

y ? f ( x ? a ) ? b 是奇函数”.
(1)将函数 g ( x) ? x ? 3 x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函数解析式,
3 2

并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(3)已知命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b,使得函 数 y ? f ( x ? a ) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理 由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为 y

? ( x ? 1)3 ? 3( x ? 1) 2 ? 2 ,

整理得 y ? x ? 3 x ,
3

由于函数 y ? x ? 3 x 是奇函数,
3

由题设真命题知,函数 g ( x) 图像对称中心的坐标是 (1, 2) . ? (2)设 h( x) ? log 2

2x 的对称中心为 P (a, ) ,由题设知函数 h( x ? a ) ? b 是奇函数. b 4? x

设 f ( x) ? h( x ? a ) ? b, 则 f ( x) ? log 2 由不等式

2( x ? a) 2 x ? 2a ? b ,即 f ( x) ? log 2 ?b . 4?a? x 4 ? ( x ? a)

2 x ? 2a ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 . 4?a? x 2( x ? 2) 此时 f ( x) ? log 2 ? b, ? (?2, . x 2) 2? x
任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1 , 所以函数 h( x) ? log 2 (3)此命题是假命题. 举 反 例 说 明 : 函 数 f ( x) ? x 的 图 像 关 于 直 线 y ? ? x 成 轴 对 称 图 像 , 但 是 对 任 意 实 数 a 和 b , 函 数

2x 图像对称中心的坐标是 (2, . 1) 4? x

第 6 页 共 7 页

y ? f ( x ? a ) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数.
修改后的真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像”的充要条件是“函数 y ? f ( x ? a ) 是偶函数”.

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