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习题解答(一)


习题解答(一)
1-1 设英文字母E出现的概率为0.105,x出现的概率为0.002。试 求E及x的信息量。

解:I E ? ? log2 PE ? ? log2 0.105 ? 3.25(bit) I x ? ? log2 Px ? ? log2 0.002 ? 8.97(bit)
1-4 一个由字母A,B,C,D组成的字。对于传输的每

一个 字母用二进制脉冲编码,00代替A,01代替B,10代替C,11代 替D,每个脉冲宽度为5ms。 (1)不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息 速率; (2)若每个字母出现的可能性分别为 PA=1/5,PB=1/4,PC=1/4,PD=3/10 试计算传输的平均信息速率。

1 解:) I ? log2 (1 ? log2 M ? log2 4 ? 2(bit / 符号) P( x) 传输每个符号占用的时 间为: ?t ? 2 ? (m s / 符号) 10 m s / 符号) 5 ? ( I 2 则: Rb ? ? ? 200(bit / s ) ?3 ?t 10 ? 10 (2)H ( x) ? ?? P( xi )[log2 P( xi )]
i ?1 n

1 1 1 1 1 1 3 3 ? ? log2 ? log2 ? log2 ? log2 ? 1.985 (bit / 符号) 5 5 4 4 4 4 10 10 I 1.985 则: Rb ? ? ? 198.5(bit / s ) ?3 ?t 10 ? 10

1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持 续3单位的电流脉冲表示,点用持续1单位的电流脉冲表示;且 划出现的概率是点出现概率的1/3: (1)计算点和划的信息量; (2)计算点和划的平均信息量。

解:)因为划出现的概率是点 (1 出现概率的 / 3,所以点出现的概率为 1 ? 3 / 4, 1 P 划出现的概率为 2 ? 1 / 4。 P 故 3 I 1 ? ? log2 P1 ? ? log2 ? 0.415(bit) 4 1 I 2 ? ? log2 P2 ? ? log2 ? 2(bit) 4 3 1 H ? P1 I 1 ? P2 I 2 ? ? 0.415 ? ? 2 ? 0.81(bit / 符号) 4 4

(2)

1-7 对于二电平数字信号,每秒钟传输300个码元,问此传码率RB 等于多少?若该数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率Rb 等于多少?
解:()RB ? 1 n 1 ? ? 300( B) T Tb

(2)Rb ? RB log2 2 ? 300(bit / s)

1-9 如果二进独立等概信号,码元宽度为0.5ms,求RB和Rb;有 四进制信号,码元宽度为0.5ms,求传码率RB 和独立等概时的 传信率Rb。
解:()R B 2 ? 1 1 1 ? ? 2000( B ) ?3 Tb 0.5 ? 10 1 1 ? ? 2000( B ) ?3 Tb 0.5 ? 10

Rb 2 ? R B 2 log2 2 ? 2000(bit / s ) (2)R B 4 ?

Rb 4 ? R B 4 log2 4 ? 4000(bit / s )

2-2 设是一随机过程 z(t ) ? X 1cos? 0t ? X 2 sin cos? 0t ,若X1和X2是 彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量,试求: (1)E[z(t)]、E[z2(t)]; (2)z(t)的一维分布密度函数f(z); (3)B(t1,t2)与R(t1,t2)。

解:()E[ z (t )] ? E[ X 1 cos? 0 t ? X 2 sin ? 0 t ] 1 ? E[ X 1 cos? 0 t ] ? E[ X 2 sin ? 0 t ] ? E[ X 1 ] cos? 0 t ? E[ X 2 ] sin ? 0 t ? 0 E[ z 2 (t )] ? E[( X 1 cos? 0 t ? X 2 sin ? 0 t ) 2 ]
2 ? E[ X 12 ] cos2 ? 0 t ? 2 E[ X 1 ]E[ X 2 ] cos? 0 t sin ? 0 t ? E[ X 2 ] sin 2 ? 0 t

? ? 2 (cos2 ? 0 t ? sin 2 ? 0 t ) ? 0 ? ? 2 (2)因为X 1、 2为正态分布,所以 (t )也为正态分布, X z 又 E[ z (t )] ? 0,D[ z (t )] ? E[ z 2 (t )] ? E 2 [ z (t )] ? ? 2 1 z2 所以 f ( z) ? exp(? ) 2 2? 2? ? (3)R (t1 , t 2 ) ? E[ z (t1 ) z (t 2 )] ? E[( X 1 cos? 0 t1 ? X 2 sin ? 0 t1 )( X 1 cos? 0 t 2 ? X 2 sin ? 0 t 2 )]
2 ? E[ X 12 ] cos? 0 t1 cos? 0 t 2 ? E[ X 2 ] sin ? 0 t1 sin ? 0 t 2

? E[ X 1 ]E[ X 2 ] cos? 0 t1 sin ? 0 t 2 ? E[ X 2 ]E[ X 1 ] sin ? 0 t1 cos? 0 t 2 ? ? 2 cos[? 0 (t 2 ? t1 )] ? ? 2 cos? 0? B (t1 , t 2 ) ? R (t1 , t 2 ) ? E[ z (t1 )]E[ z (t 2 )] ? R (t1 , t 2 ) ? ? 2 cos? 0?

2-3 求乘积z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立 的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为RX(τ)、RY(τ)。
解:R(t1 , t 2 ) ? E[ z(t1 ) z(t 2 )] ? E[ X (t1 )Y (t1 ) X (t 2 )Y (t 2 )] ? E[ X (t1 ) X (t 2 )]E[Y (t1 )Y (t 2 )] ? RX (? ) RY (? )

2-6 ξ(t)是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为2s的周期 函数。在区间(-1,1)s上,该自相关函数R(τ)=1-?τ?。试求ξ(t)的功率 谱密度Pξ(ω),并用图形表示。
解:周期信号的傅立叶 变换为:F [ f (t )] ? 2? 1 Vn ? T
n ? ??

?V ? (? ? ?
n

?

0

)

?

T /2

?T / 2

f (t )e ? jn? 0t dt



1 T /2 ? jn? 0? 2 ? R(? )在(?1,1) s 的一个周期: X T (?) ? ? f (? )e d? ? Sa ( ) ?T / 2 T 2 ? 2? ? 2? 2 ? P? ( ? ) ? ? X T (? )? (? ? n T ) ? ? n? Sa ( 2 )? (? ? n? ) T n ? ?? ? ??

2-7 将一个均值为0、功率谱密度为n0/2的 高斯白噪声加到一个中心频率为ωc、带宽为 B的理想带通滤波器上,如图P2-1所示。 (1)求滤波器输出噪声的自相关函数; (2)写出输出噪声的一维概率密度函数。
解:()经过滤波器后,输出 1 噪声的功率谱密度为: ?n 0 / 2 Pno (? ) ? ? ?0 故

2?B

H (? ) 2?B

? ?c

0 图 P2-1

?c

?

? ? ? c ? ?B
其余? n0 ? 2 BSa(?B? ) cos? c? 2

Rno (? ) ? F ?1 [ Pno (? )] ?

? n0 BSa(?B? ) cos? c?

(2)因为输入是高斯噪声, 所以输出仍为高斯噪声 。又, Rno (?) ? E[no (t )] ? 0, Rno (0) ? Rno (?) ? ? 2 ? n0 B ? 0 ? n0 B,所以,D[no (t )] ? ? ? n0 B 故输出噪声的一维概率 密度为: f ( x) ? x2 exp(? ) 2n0 B 2?n0 B 1

2-8 设RC 低通滤波 器如图 P2-2所示,求当输入均值为0、 功率谱密度为n0/2的白噪声时, 输出过程的功率谱密度和自相 关函数。

R C 图 P2-2

解:低通滤波器的传输 函数为 1 H (? ) ? 1 ? j?RC 经过滤波器后,输出噪 声的功率谱密度为: n0 1 2 Pno (? ) ? Pni (? ) ? H (? ) ? ? 2 1 ? (?RC) 2 故

? n0 Rno (? ) ? F [ Pno (? )] ? exp(? ) 4 RC RC
?1

2-14 一噪声的功率谱 密度如图P2-6所示,试求 其自相关函数。

Pn (? )

?
?K
?

?

? ?0

0 图 P2-1

?0

?

1 ? 解:Rn (? ) ? F [ Pn (? )] ? Pn (? )e j?? d? 2? ??? 1 ? ? ??? Pn (? )(cos?? ? j sin ?? )d? 2? Pn (? )为偶函数,则
?1

Rn (? ) ?

? KSa(?? / 2) cos? 0?

??

1

?

0

Pn (? )e

j??

d? ?

? ??

1

?0 ?? / 2
0 ?? / 2

?K
?

cos??d?


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