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专题三 曲线运动 万有引力定律及应用


学案 5
【考情分析】

万有引力定律及应用

【考点预测】 关于万有引力定律及应用知识的考查,主要表现在两个方面: (1)天体质量和密度的计算:主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和 计算. (2)人造卫星的运行及变轨:主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律,考查卫星在 轨运行时线速度、角速度、周期的计算,考查卫星变

轨运行时线速度、角速度、周期以及有 关能量的变化. 预计 2014 年高考,以上两点仍将是高考考查的内容,复习中要特别注意与航天技术尤 其是中国载人航天、探月计划相关的在轨运行或变轨问题. 考题 1 对天体质量与密度的考查 例1 科学家在南极冰层中发现了形成于 30 亿年前的火星陨石,并从中发现了过去微生物 的生命迹象,从此火星陨石变得异常珍贵.中国新闻网报道:2011 年 7 月坠落于摩洛 哥的陨石被证实来自于火星.某同学根据平时收集来的部分火星资料(如图 1 所示),计 算出火星的密度,再与这颗陨石的密度进行比较(G 是引力常量,忽略火星自转的影 响).下列计算火星密度的公式,正确的是 ( )

图1 3g0 A. πGd g0T B. 3πd
2

3π C. 2 GT

6M D. 3 πd

审题突破 ①由火星直径 d 和表面重力加速度 g0,可以表示火星质量. ②由近地卫星周期和火星直径 d,可以表示火星质量. GMm 4 d M 3g0 GMm 4π2 4 d 解析 由 =mg0 和 V= π( )3 得 ρ= = ,A 错;由 2 =m 2 r 和 V= π( )3 d2 3 2 V 2πGd r T 3 2 ? ? 2 M 24πr3 d 3π M M 6M 得 ρ= = 2 3,对于近地卫星 r= ,得 ρ= 2,C 对;由 ρ= = = ,D 对; V GT d 2 GT V 4 d 3 πd3 π? ? 3 2

选项 B 中的表达式不存在. 答案 CD 方法总结 估算中心天体的质量和密度的两条思路: Mm M M (1)测出中心天体表面的重力加速度 g, 估算天体质量, G 2 =mg, 进而求得 ρ= = R V 4 3 πR 3 = 3g . 4πGR

Mm 4π2 4π2r3 (2)利用环绕天体的轨道半径 r、周期 T,估算天体质量,G 2 =m 2 r,即 M= 2 . r T GT M 3π 当环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时,轨道半径 r=R,则 ρ= = 2. 4 3 GT πR 3 突破练习 1. 承载着我国载人飞船和空间飞行器交会对接技术的“天宫一号”已于 2011 年 9 月 29 日成功发射, 随后发射了“神舟八号”飞船并与其实现交会对接. 假设“天宫一号”和 “神舟八号”做匀速圆周运动的轨道如图 2 所示,A 代表“天宫一号”,B 代表“神舟 八号”,虚线为各自的轨道.“天宫一号”和“神舟八号”离地高度分别为 h1、h2,运 行周期分别为 T1、T2,引力常量为 G,则以下说法正确的是 ( )

图2 A.利用以上数据可计算出地球密度和地球表面的重力加速度 B.“神舟八号”受到的地球引力和运行速度均大于“天宫一号”受到的地球引力和运 行速度 C.“神舟八号”加速 有可能与“天宫一号”实现对接 D.若宇航员在“天宫一号”太空舱无初速度释放小球,小球将做自由落体运动 答案 AC Mm 2π 2 4 3 解析 设地球半径为 R,密度为 ρ,由公式 G 2=m( ) (R+h),ρ= πR ,地球表 T 3 ?R+h? Mm 面 G 2 =mg,已知“天宫一号”和“神舟八号”离地高度分别为 h1、h2,运行周期分 R 别为 T1、T2,通过以上各式可以求得地球的半径 R、密度 ρ、地球表面的重力加速度 g, A 正确;“神舟八号”与“天宫一号”的质量未知,故所受地球引力大小无法比较,B

错误;低轨道的“神舟八号”加速时,万有引力小于向心力,其将做离心运动,故它的 轨道半径将变大, 可能在高轨道上与“天宫一号”对接, C 正确; 宇航员在“天宫一号” 太空舱无初速度释放小球,小球随着太空舱也围绕地球做匀速圆周运动,D 错误. 2. 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测 400 周年,2009 年被定为以“探索我的宇宙”为 主题的国际天文年. 我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行, 完成了既 定任务,于 2009 年 3 月 1 日 16 时 13 分成功撞月.如图 3 所示为“嫦娥一号”卫星撞 月的模拟图, 卫星在控制点 1 开始进入撞月轨道, 假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半 径为 R,周期为 T,引力常量为 G,根据题中信息,以下说法正确的是 ( )

图3 A.可以求出月球的质量 B.可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力 C.“嫦娥一号”卫星在控制点 1 处应加速 D.“嫦娥一号”在地面的发射速度大于 11.2 km/s 答案 A Mm 4π2 解析 当卫星绕月球做圆周运动时, 月球对卫星的引力提供向心力, 则有 G 2 =mR 2 R T [来源:学&科&网] 4π2R3 所以 M= ,A 正确. GT2 Mm 根据万有引力公式 F=G 2 可知,要想计算月球对“嫦娥一号”卫星的引力,必须知 R 道“嫦娥一号”卫星的质量 m, 由于题中没有给出 m, 所以不能求出引力大小, B 错误. 在控制点 1 处,卫星要想向月球靠近,需使引力大于需要的向心力,因而必须减小卫星 的速度,C 错误. 在地面发射“嫦娥一号”卫星的速度应大于第一宇宙速度, 小于第二宇宙速度, D 错误. 考题 2 对人造卫星运动规律的考查 例2 我国于 2013 年发射“神舟十号”载人飞船与“天宫一号”目标飞行器对接.如图 4

所示,开始对接前,“天宫一号”在高轨道,“神舟十号”飞船在低轨道各自绕地球做 匀速圆周运动,距离地面的高度分别为 h1 和 h2,地球半径为 R,“天宫一号”运行周

期约为 90 分钟.则以下说法正确的是 ( )[来源:Zxxk.Com]

图4 A.“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为 h2 h1

?R+h2?2 B.“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比 ?R+h1?2 C.“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大 D.“天宫一号”的线速度大于 7.9 km/s 审题突破 ①已知两飞行器距离地面的高度,可以计算两运行轨道半径. ②根据万有引力提供向心力计算线速度和角速度. v2 Mm 解析 根据万有引力提供向心力可得 G 2 =m =ma,解得 v= r r GM GM ,a= 2 ,已 r r R+h2 ,“天 R+h1

知 r=R+h,所以“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为

?R+h2?2 宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比 ,选项 A 错误,B 正确.由于 ?R+h1?2 2π 角速度 ω= , 天宫一号的周期小于地球同步卫星的周期, 故“天宫一号”的角速度比 T 地球同步卫星的角速度大,C 正确;7.9 km/s 是贴近地球表面运行的卫星的线速度,轨 道半径越大,线速度越小,故“天宫一号”的线速度小于 7.9 km/s,D 错误. 答案 BC 规律总结 v2 Mm 1. 人造卫星做匀速圆周运动时所受万有引力完全提供其所需向心力, 即 G 2 =m =mrω2 r r 4π2 =m 2 r,由此可以得出 v= T GM ,ω= r GM ,T=2π r3 r3 . GM

2. 同步卫星指相对地面静止的卫星,其只能定点于赤道上空,离地面的高度是一定值,其 周期等于地球自转周期. Mm M M 3. 卫星运行的向心加速度就是引力加速度,由 G 2 =mg′可知 g′=G 2 =G ,其 r r ?R+h?2 大小随 h 的增大而减小. 突破练习

3. 我国的航天事业发展迅速,到目前为止,我们不仅有自己的同步通信卫星,也有自主研 发的“神舟”系列飞船,还有自行研制的全球卫星定位与通信系统 ( 北斗卫星导航系 统).其中“神舟”系列飞船绕地球做圆轨道飞行的高度仅有几百千米;北斗卫星导航 系统的卫星绕地球做圆轨道飞行的高度达 2 万多千米. 对于它们运行过程中的下列说法 正确的是 A.“神舟”系列飞船的加速度小于同步卫星的加速度[来源:学科网] B.“神舟”系列飞船的角速度小于同步通信卫星的角速度 C.北斗导航系统的卫星的运行周期一定大于“神舟”系列飞船的运行周期 D.同步卫星所受的地球引力一定大于北斗导航系统的卫星所受的地球引力 答案 C Mm GM Mm 解析 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力可得出:G 2 =ma?a= 2 ,G 2 R R R 4π2 =m 2 R?T=2π T R3 2π ,ω= ,由于“神舟”系列飞船的轨道半径小于同步通信卫星 GM T ( )

的轨道半径,故“神舟”系列飞船的加速度大、周期小、角速度大,故 A、B 错误.同 理可知,C 正确.由于同步卫星和北斗导航系统卫星的质量关系不确定,故 D 错误. 4. 中国第三颗绕月探测卫星——“嫦娥三号”计划于 2013 年发射,“嫦娥三号”卫星将 实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新.假设为了探测月球,载着登陆舱的探测飞 船在以月球中心为圆心,半径为 r1 的圆轨道上运动,周期为 T1,总质量为 m1.登陆舱随 后脱离飞船, 变轨到离月球更近的半径为 r2 的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为 m2, 则下列有关说法正确的是 4π2r1 A.月球的质量 M= 2 GT1 B.登陆舱在半径为 r2 轨道上的周期 T2= r3 2 T1 r3 1 m1r2 m2r1 ( )

C.登陆舱在半径为 r1 与半径为 r2 的轨道上的线速度之比为 4π2r1 D.月球表面的重力加速度 g 月= 2 T1 答案 B

Mm1 4π2 4π2r3 T1 1 解析 根据 G 2 =m1r1· 2 可得, 月球的质量 M= 2 , A 错; 根据开普勒第三定律 r1 T GT1 T2 r1 3 =( ) 可得, T 2= r2 2 v1 所以 = v2 =
2 r3 Mm1 m1v1 2 B 对; 根据 G 2 = 可得, v1= 3T1, r1 r1 r1

GM , 同理 v2= r1

GM , r2

r2 4π2 ,C 错;根据 m1r1· 2 =m1a1 可得,载着登陆舱的探测飞船的加速度 a1 r1 T

4π2r1 ,该加速度不等于月球表面的重力加速度,D 错. T2 1

考题 3 对卫星变轨问题的考查 例3 很多国家发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆形轨道 1 运行,然后在 Q 点

点火,使其沿椭圆轨道 2 运行,最后在 P 点再次点火,将卫星送入同 步圆形轨道 3 运 行,如图 5 所示.已知轨道 1、2 相切于 Q 点,轨道 2、3 相切于 P 点.若只考虑地球 对卫星的引力作用, 则卫星分别在 1、 2、 3 轨道上正常运行时, 下列说法正确的是( )

图5 A.若卫星在 1、2、3 轨道上正常运行时的周期分别为 T1、T2、T3,则有 T1>T2>T3 B. 卫星沿轨道 2 由 Q 点运动到 P 点时引力做负功, 卫星与地球组成的系统机械能守恒 C.根据公式 v=ωr 可知,卫星在轨道 3 上的运行速度大于在轨道 1 上的运行速度 D.根据 v= 速度 解析 r3 r3 r3 1 2 3 根据开普勒第三定律得 2= 2= 2,由三个轨道的半长轴(圆轨道时为半径)的关 T1 T2 T3 GM 可知,卫星在轨道 2 上任意位置的 速度都小于在轨道 1 上的运行 r

系为 r1<r2<r3,所以 T1<T2<T3,A 错误 .卫星在椭圆轨道 2 上,由 Q 点运动到 P 点的过 程中,只有引力做负功,无其他力做功,卫星的动能减少,势能增加,卫星和地球组成 的系统机械能守恒,B 正确.卫星在轨道 1 和轨道 3 上运行时均为匀速圆周运动,其所 Mm mv 受万有引力提供向心力,G 2 = ,得 v= r r
2

GM ,所以 v1>v3,C 错误.在椭圆轨 r

道 2 上的 Q 点的速度只有大于轨道 1 上的运行速度,才能做离心运动,即沿椭圆轨道 运动,D 错误. 答案 B 点拨提升
2 Mm v 1. 当卫星的速度突然增加时,G 2 <m ,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心 r r

运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v = GM 可知,其运行速度与原轨道相比减小了. r
2 Mm v 2. 当卫星的速度减小时,G 2 >m ,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运 r r

动, 脱离原来的圆轨道, 轨道半径变小, 当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v= 可知,其运行速度与原轨道相比增大了.

GM r

3. 比较不同圆轨道上的速度大小时应用 v= 因为 ω 也随 r 的变化而变化. 突破练习

GM 进行判断,不能用 v=ωr 进行判断, r

5. 北京时间 2013 年 2 月 16 日凌晨, 直径约 45 米、 质量约 13 万吨的小行星“2012DA14”, 以大约每小时 2.8 万公里的速度由印度洋苏门答腊岛上空掠过, 与地球表面最近距离约 为 2.7 万公里,这一距离已经低于地球同步卫星的轨道.但它对地球没有造成影响,对 地球的同步卫星也几乎没有影响. 这颗小行星围绕太阳飞行, 其运行轨道与地球非常相 似,根据天文学家的估算,它下一次接近地球大约是在 2046 年,假设图 6 中的 P、Q 是地球与小行星最近时的位置,下列说法正确的是 ( )

图6 A.小行星对地球的轨道没有造成影响,地球对小行星的轨道也不会造成影响 B.只考虑太阳的引力,地球在 P 点的加速度大于小行星在 Q 点的加速度 C.只考虑地球的引力,小行星在 Q 点的加速度大于同步卫星在轨道上的加速度 D.小行星在 Q 点没有被地球俘获变成地球的卫星,是因为它在 Q 点的速度大于第二 宇宙速度 答案 BC 解析 小行星的质量远小于地球质量, 地球对小行星的引力可使小行星产生较大的加速 GMm 度,对小行星的轨道产生较大影响,选项 A 错误.根据 2 =ma,可知地球在 P 点的 r 加速度大于小行星在 Q 点的加速度,选项 B 正确.同理可判断出 C 正确.小行星没有 被地球俘获是因为其速度大于第一宇宙速度,但小于第二宇宙速度,选项 D 错误. 6. 假设将来人类登上了火星,考察完毕后,乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时,经历了 如图 7 所示的变轨过程,则有关这艘飞船的下列说法正确的是 ( )

图7 A.飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于飞船在轨道Ⅱ上运动时的机械能 B.飞船在轨道Ⅱ上运动时,经过 P 点时的速度大于经过 Q 点时的速度

C. 飞船在轨道Ⅲ上运动到 P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到 P 点时的加速度 D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样 的轨道半径运动的周期相同 答案 BC 解析 飞船在轨道Ⅰ上运动至 P 点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ,因此飞船在轨道 Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动时的机械能,A 错误;由行星运动规律可知 B M 正确;由公式 a=G 2 可知,飞船在轨道Ⅲ上运动到 P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ r 上运动到 P 点时的加速度,C 正确;由公式 T=2π r3 可知,因地球质量和火星质 GM

量不同, 所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨 道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同,D 错误. 考题 4 对双星或多星问题的考查 例4 如图 8 为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座 T 星”系统的照片,最

新观测表明“罗盘座 T 星”距离太阳系只有 3 260 光年, 比天文学家此前认为的距离要 近得多. 该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统, 由于白矮星不停地吸 收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加, 科学家预计这颗白矮星在不到 1 000 万 年的时间内会完全“爆炸”,从而变成一颗超新星,并同时放出大量的 γ 射线,这些 γ 射线到达地球后会对地球的臭氧层造成毁灭性的破坏.现假设类日伴星所释 放的物质 被白矮星全部吸收,并且两星间的距离在一段时间内不变,两星球的总质量不变,则下 列说法正确的是 ( )

图8 A.两星间的万有引力不变 B.两星的运动周期不变 C.类日伴星的轨道半径增大 D.白矮星的轨道半径增大 解析 因两星间距离 L 在一段时间内不变,两星的质量总和不变,而两星质量的乘积 Gm1m2 必定变化,由万有引力公式 F= 可知,两星间的万有引力必定变化,A 错误;两 L2 星的运动周期相同,若设白矮星和类日伴星的轨道半径分别为 r1 和 r2,由牛顿第二定

Gm1m2 4π2 4π2 4π2 4π2 律可得 r2L2,Gm2= 2 · r L2,两式相加 2 =m1· 2 r1=m2· 2 r2,分别解得 Gm1= 2 · L T T T T 1 4π2 3 得 G(m1+m2)= 2 · L 因两星质量总和(m1+m2)和它们之间的距离 L 均不变,故其运行 T 4π2 4π2 周期 T 不变,B 正确;由 m1 2 r1=m2 2 r2,可得 m1r1=m2r2,故双星运动的轨道半径 T T 与其质量成反比, 类日伴星的轨道半径增大, 白矮星的轨道半径减小, C 正确, D 错误. 答案 BC 题后反思 分析、求解双星或多星问题的两个关键 (1)向心力来源:双星问题中,向心力来源于另一星体的万有引力;多星问题中,向心 力则来源于其余星体的万有引力的合力. (2)圆心或轨道半径的确定及求解:双星问题中,轨道的圆心位于两星连线上某处,只 有两星质量相等时才位于连线的中点, 此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离 当作轨道半径; 多星问题中, 也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的 中心位置,解题时一定要弄清题给条件. 突破练习 7. (2013· 山东· 20)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连 线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总 质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过 一段时间演化后,两星总质量变为原来的 k 倍,两星之间的距离变为原来的 n 倍,则此 时圆周运动的周期为 A. C. n3 T k2 n2 T k B. D. n3 T k n T k ( )

答案 B 解析 双星靠彼此的万有引力提供向心力,则有 m1m2 4π2 G 2 =m1r1 2 L T m1m2 4π2 G 2 =m2r2 2 L T 并且 r1+r2=L 解得 T=2π L3 G?m1+m2? n3L3 Gk?m1+m2?

当双星总质量变为原来的 k 倍, 两星之间距离变为原来的 n 倍时 T′=2π



n3 · T k

故选项 B 正确.

例5

(13 分)我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”, 该过程的最后阶段是 : 着陆器离月面 h 高时速度减小为零, 为防止发动机将月面上的尘埃吹起, 此时要关掉所 有的发动机,让着陆器自由下落着陆.已知地球质量是月球质量的 81 倍,地球半径是 月球半径的 4 倍,地球半径 R0=6.4×106 m,地球表面的重力加速度 g0=10 m/s2,不计 月球自转的影响.(结果保留两位有效数字) (1)若题中 h=3.2 m,求着陆器落到月面时的速度大小; (2)由于引力的作用,月球引力范围内的物体具有引力势能.理论证明,若取离月心无 Mm 穷远处为引力势能的零势点,距离月心为 r 的物体的引力势能 Ep=-G ,式中 G 为 r 万有引力常量,M 为月球的质量,m 为物体的质量.求着陆器仅依靠惯性从月球表面 脱离月球引力范围所需的最小速度. 审题突破 ①由地球质量与月球质量、 地球半径与月球半径的关系计算月球表面的重力 加速度.②着陆器从月球表面脱离月球引力的过程中遵循能量守恒定律. 解析 (1)设月球质量为 M、半径为 R,月面附近重力加速度为 g,着陆器落到月面时的

速度为 v Mm 忽略月球自转,在月球表面附近,质量为 m 的物体满足:G 2 =mg R M0m′ 设地球的质量为 M0,同理有:G =m′g0 R2 0 着陆器自由下落过程中有:v2=2gh 由①②③式并带入数据可得:v=3.6 m/s ① ② ③ ④

(2)设着陆器以速度 v0 从月面离开月球,要能离开月球引力范围,则至少要运动到月球 的零引力处,即离月球无穷远处. 在着陆器从月面到无穷远处过程中,由能量守恒得: 1 2 Mm mv -G =0 2 0 R 由①②⑤式并带入数据可得:v0=2.5×103 m/s 答案 (1)3.6 m/s (2)2.5× 103 m/s ⑤ ⑥

评分细则 1.本题满分 13 分,其中④式 3 分,其余各式 2 分.[来源:学科网 ZXXK] 2.在①式和②式中,没有正确区分地球质量 M0 和月球质量 M,没有正确区分地球半 径 R0 和月球半径 R 的,扣除 2 分. 3.在①式和②式,没有区分 m 和 m′的,不扣分.

M M0 4.若将①式写成 G 2=g,将②式写成 G 2 =g0,同样给分. R R0 1 Mm 1 Mm 5.若将⑤式写成 mv2 =0-(-G ),或写成 mv2 =G ,同样给分. 2 0 R 2 0 R

知识专题练
一、单项选择题

训练 5

1. 2012 年 6 月 18 日, 我国“神舟九号”与“天宫一号”成功实现交会对接, 如图 1 所示, 圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”的运行轨道, 圆形轨道Ⅱ为“神舟九号”的运行轨道, 在实 现交会对接前,“神舟九号”要进行多次变轨,则 ( )

图1 A.“天宫一号”在轨道Ⅰ上的运行速率大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的运行速率 B.“神舟九号”变轨前的动能比变轨后的动能要大 C.“神舟九号”变轨前后机械能守恒 D.“天宫一号”在轨道Ⅰ上的向心加速度大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的向心加速度 答案 B v2 Mm 解析 由万有引力提供向心力可得 G 2 =m =ma,解得 v= r r GM GM ,a= 2 ,由于 r r

“天宫一号”的轨道半径比“神舟九号”的大, 故“天宫一号”的运行速率小, 向心加 速度小,选项 A、D 错误.“神舟九号”要完成对接,必须点火加速,机械能增加,变 轨后的轨道半径增大,运行速率减小,动能减小,故选项 B 正确,C 错误. 2 . 据报道,天文学家近日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球”,命名为“55 Cancrie”.该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 1 ,母星 480

的体积约为太阳的 60 倍.假设母星与太阳密度相同,“55 Cancrie”与地球均做匀速圆 周运动,则“55 Cancrie”与地球的 A.轨道半径之比约为 3 60 480 3 60 4802 3 60×4802 ( )

B.轨道半径之比约为

C.向心加速度之比约为

D.向心加速度之比约为 答案 B[来源:学.科.网]

3

60×480

解析 母星与太阳密度相同,而体积约为太阳的 60 倍,说明母星的质量是太阳质量的 M母 r3 T地 Mm 2π 2 60 倍.由万有引力提供向心力可知 G 2 =m( )2r,所以 3 · =( )2,代入数据得轨 r T r1 M太 T 道半径之比约为 3 3 60 GM 2 , A 错误, B 正确;由加速度 a= 2 可知,加速度之比为 480 r

60×4804,所以 C、D 均错误.

3. 国防科技工业局预定“嫦娥三号”于 2013 年下半年择机发射.“嫦娥三号”将携带一 部“中华牌”月球车, 实现对月球表面的探测. 若“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道 绕行 n 圈所用的时间为 t1, 已知“嫦娥二号”探月卫星在环月圆轨道绕行 n 圈所用的时 间为 t2,且 t1<t2.则下列说法正确的是 A.“嫦娥三号”运行的线速度较小 B.“嫦娥三号”运行的角速度较小 C.“嫦娥三号”运行的向心加速度较小 D.“嫦娥三号”距月球表面的高度较小 答案 D 解析 由题意可知“嫦娥二号”探月卫星的周期大于“嫦娥三号”探月卫星的, 由开普 r3 勒第三定律 2 = k 可知 “ 嫦娥二号 ” 探月卫星的轨道半径大于 “ 嫦娥三号 ” 探月卫 T 星.探月卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为 m、 轨道半径为 r、月球质量为 M,有 v2 Mm F=F 向=G 2 ,F 向=m =mω2r=ma,v= r r GM ,ω= r v2 GM 3 ,a= r r ( )

由于“嫦娥三号”探月卫星的周期小、半径小,故“嫦娥三号”探月卫星的角速度大、 线速度大、向心加速度大,则所给选项 A、B、C 错误,D 正确. 4. 火星有两个卫星,分别叫做“火卫一”和“火卫二”.若将它们绕火星的运动看做匀速 圆周运动,且距火星表面高度分别为 h1 和 h2,线速度大小分别为 v1 和 v2,将火星视为 质量均匀分布的球体,忽略火星自转的影响,则火星半径为
2 h1v2 1-h2v2 A. 2 2 v2-v1

(

)

?h1-h2?v1v2 B. 2 v2 2-v1 h1h2v1v2 D. 2 ?h1-h2??v2 2-v1?

h1v1-h2v2 C. v2-v1 答案 A

2 v1 v2 Mm1 Mm2 2 解析 根据万有引力提供向心力得 G ,G ,解得: 2=m1 2=m2 ?R+h1? R+h1 ?R+h2? R+h2 2 h1v2 1-h2v2 R= 2 . v2-v2 1

5. (2013· 安徽· 17)质量为 m 的人造地球卫星与地心的距离为 r 时,引力势能可表示为 Ep= - GMm ,其中 G 为引力常量,M 为地球质量,该卫星原来在半径为 R1 的轨道上绕地球 r

做匀速圆周运动, 由于受到极稀薄空气的摩擦作用, 飞行一段时间后其圆周运动的半径 变为 R2,此过程中因摩擦而产生的热量为 1 1? A.GMm? ?R -R ?
2 1

(
2

)

1 1? B.GMm? ?R -R ?
1

GMm? 1 1 ? - C. 2 ?R2 R1? 答案 C

GMm? 1 1 ? - D. 2 ?R1 R2?
2

v Mm 1 GMm 解析 由万有引力提供向心力知 G 2 =m ,所以卫星的动能为 mv2= ,则卫星 r r 2 2r 1 GMm GMm GMm 在半经为 r 的轨道上运行时机械能为 E= mv2+Ep= - =- .故卫星在轨 2 2r r 2r GMm GMm 道 R1 上运行时:E1=- ,在轨道 R2 上运行时:E2=- ,由能量守恒定律得 2R1 2R2 GMm? 1 1 ? - ,故正确选项为 C. 产生的热量为 Q=E1-E2= 2 ?R2 R1? 6. 物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能. 若取两物体相距无穷远时的引力势能为 零,一个质量为 m0 的质点到质量为 M0 的引力源中心的距离为 r0 时,其万有引力势能 GM0m0 Ep=- (式中 G 为引力常量).一颗质量为 m 的人造地球卫星以半径为 r1 的圆形 r0 轨道环绕地球匀速飞行,已知地球的质量为 M,要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的 轨道半径增大为 r2, 则卫星上的发动机所消耗的最小能量为(假设卫星的质量始终不变, 不计空气阻力及其他星体的影响) GMm 1 1 A.E= ( - ) 2 r1 r2 GMm 1 1 C.E= ( - ) 3 r1 r2 答案 A v2 v2 Mm 1 GMm Mm 1 2 解析 根据万有引力提供向心力有:G 2 =m ,解得 Ek1= mv2 = . G = m , r1 r1 2 1 2r1 r2 r2 2 1 GMm GMm GMm 解得 Ek2= mv2 = .则动能的减小量为 ΔEk= - .引力势能的增加量 ΔEp= 2 2 2r2 2r1 2r2 - GMm GMm GMm GMm -(- )= - , 根据能量守恒定律, 发动机消耗的最小能量 E=ΔEp r2 r1 r1 r2 1 1 B.E=GMm( - ) r1 r2 2GMm 1 1 D.E= ( - ) 3 r2 r1 ( )

GMm 1 1 -ΔEk= ( - ).故选 A. 2 r1 r2 二、多项选择题 7. 2012 年 12 月,长 4.46 公里、宽 2.4 公里的小行星“4179Toutatis”接近地球,并且在 12 月 12 日距地球仅 690 万公里,相当于地球与月亮距离的 18 倍.下列说法正确的是 ( A.在小行星接近地球的过程中,小行星所受地球的万有引力增大 B.在小行星接近地球的过程中,地球对小行星的万有引力对小行星做负功 C.小行星运行的半长轴的三次方与其运行周期平方的比值与地球公转的半长轴的三次 方与地球公转周期平方的比值相等 D.若该小行星在距地球 690 万公里处被地球“俘获”,成为地球的一颗卫星,则它绕 地球的公转周期大于 1 个月 答案 ACD 解析 小行星接近地球的过程中, 地球对小行星的引力逐渐增大, 且引力对小行星做正 功,选项 A 正确,B 错误.根据开普勒第三定律可知选项 C 正确.若小行星被地球“俘 获”成为地球卫星,其轨道半径比月球轨道半径大,周期比月球绕地球周期大,选项 D 正确.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 8. 2012 年 6 月 24 日,航天员刘旺手动控制“神舟九号”飞船完成与“天宫一号”的交会 对接,形成组合体绕地球做匀速圆周运动,轨道高度为 340 km.测控通信由两颗在地球 同步轨道运行的“天链一号”中继卫星、陆基测控站、测量船,以及北京飞控中心完 成.根据以上信息和你对航天相关知识的理解,下列描述正确的是 A.组合体匀速圆周运动的周期一定大于地球的自转周 期 B.组合体匀速圆周运动的线速度一定大于第一宇宙速度 C. 组合体匀速圆周运动的角速度大于“天链一号”中继卫星的角速度[来源:Zxxk.Com] D.“神舟九号”从低轨道必须加速才能与“天宫一号”交会对接 答案 CD Mm 4π2 解析 根据 G 2 =mr 2 得 T=2π r T r3 ,所以 T 组<T 同,即 T 组<T 自,A 错误.又因为 GM ( ) )

2π ω= ,所以 ω 组>ω 同,C 正确.第一宇宙速度为近地卫星的速度,组合体的速度小于 T 第一宇宙速度,B 错误.“神舟九号”从低轨道加速后,做离心运动,才能与“天宫一 号”交会对接,D 正确. 9. 北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统 (CNSS),建 成后的北斗卫星导航系统包括 5 颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星.关于这些卫星,以 下说法正确的是 ( )

A.5 颗同步卫星的 轨道半径都相同 B.5 颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内 C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度 D.导航系统所有卫星中,运行轨道半径越大的,周期越小 答案 AB 解析 根据万有引力提供向心力可得 G v2 Mm 2π 2 ) ,整理可知 T = 2π 2 = ma = m = mr( r r T

r3 ,v= GM

GM .同步卫星的周期相同,故 5 颗同步卫星的轨道半径都相同,同步 r

卫星相对地面静止, 故 5 颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内, 选项 A、 B 正确.7.9 km/s 是第一宇宙速度,即近地卫星绕地球转动的最大运行速度,故同步卫星的速度小 于 7.9 km/s,选项 C 错误.由于 T=2π 选项 D 错误. 10. 空间站是科学家进行天文探测和科学实验的特殊而又重要的场所. 假设空间站正在地球 赤道平面内的圆周轨道上运行, 其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分 之一,且运行方向与地球自转方向一致.下列说法正确的是 A.空间站运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度 B.空间站运行的速度等于同步卫星运行速度的 10倍 C.在空间站工作的宇航员因受到平衡力作用而在舱中悬浮或静止 D.站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动 答案 AD Mm 解析 根据 G 2 =mg=ma,知空间站运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度, r v2 Mm 故 A 正确;根据 G 2 =m 得:v= r r GM ,离地球表面的高度不是其运动半径,所 r ( ) r3 ,故运行轨道半径越大的,周期越大, GM

以线速度之比不是 10:1,故 B 错误;在空间站工作的宇航员处于完全失重状态,依 靠万有引力提供向心力做圆周运动,故 C 错误;轨道半径越大,角速度越小,同步卫 星和地球自转的角速度相同, 所以空间站的角速度大于地球自转的角速度, 所以站在地 球赤道上的人观察到空间站向东运动,故 D 正确. 11.如图 2 所示,发射地球同 步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道 1,然后经点火,使其 沿椭圆轨道 2 运行, 最后再次点火, 将卫星送入同步圆轨道 3, 轨道 1 和 2 相切于 Q 点, 轨道 2 和 3 相切于 P 点,设卫星在 1 轨道和 3 轨道正常运行的速度和加速度分别为 v1、 v3 和 a1、a3,在 2 轨道经过 P 点时的速度和加速度为 v2 和 a2,且当卫星分别在 1、2、 3 轨道上正常运行时周期分别为 T1、T2、T3,以下说法正确的是 ( )

图 2[来源:Z_xx_k.Com] A.v1>v2>v3 B.v1>v3>v2 C.a1>a2>a3 D.T1<T2<T3 答案 BD v2 GMm 解析 轨道 1 和轨道 3 属于在轨问题,满足万有引力提供向心力 2 =m 的公式,即 r r v= GM ,ω= r GM ,T=2π r3 r3 ,所以 v1>v3,a1>a3,T1<T3,由开普勒第三 GM

r3 定律 2=k 知,轨道 2 的半长轴大于轨道 1,但小于轨道 3,所以 T1<T2<T3,D 正确.在 T 轨道 2、轨道 3 的 P 点处,由于万有引力提供向心力,所以 a2=a3,所以 C 错.从椭圆 轨道 P 点处,卫星需要加速使万有引力大于该处向心力,才能做离心运动,变轨到轨 道 3,因此 v1>v3>v2,B 正确. 三、非选择题 12.我国启动“嫦娥工程”以来,分别于 2007 年 10 月 24 日和 2010 年 10 月 1 日将“嫦娥 一号”和“嫦娥二号”成功发射, “嫦娥三号”亦有望在 2013 年落月探测 90 天, 并已 给落月点起了一个富有诗意的名字——“广寒宫”. (1)若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,月球绕地球运动的周期为 T,月 球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,求月球绕地球运动的轨道半径 r; (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后, 在月球表 面某处以速度 v0 竖直向上抛出一个小球, 经过时间 t 小球落回抛出点. 已知月球半径为 r 月, 引力常量为 G, 试求月球的质量 M 月. 答案 解析 (1) 3 gR2T2 4π2
2 2v0r月 (2) Gt

(1)设月球和地球的质量分别为 M 月和 M,由万有引力定律和向心力公式,得

M月M 2π G 2 =M 月( )2r r T 质量为 m 的物体在地球表面上时,有 Mm mg=G 2 R

3 gR2T2 联立解得 r= [来源:学科网] 4π2 (2)设月球表面处的重力加速度为 g 月,由匀变速直线运动的公式可得 v0= GM月 又有 g 月= 2 r月 2v0r2 月 联立解得 M 月= Gt 13.在半径 R=5 000 km 的某星球表面,宇航员做了如下实验,实验装置如图 3 甲所示,竖 直平面内的光滑轨道由轨道 AB 和圆弧轨道 BC 组成,将质量 m=0.2 kg 的小球从轨道 AB 上高 H 处的某点静止滑下,用力传感器测出小球经过 C 点时对轨道的压力 F,改变 H 的大小,可测出相应 F 的大小,F 随 H 的变化如图乙所示.求: g月t 2

图3 (1)圆弧轨道的半径; (2)该星球表面的重力加速度的大小;[来源:Z+xx+k.Com] (3)该星球的第一宇宙速度. 答案 解析 (1)0.2 m (2)5 m/s2 (3)5 km/s

(1)设该星球表面的重力加速度为 g0,C 点的速度为 v0,圆弧轨道的半径为 r,由 ①

v2 0 题图知,当 H=0.5 m 时 ,F=0,则:mg0=m r 小球由出发点到 C 的过程,由机械能守恒定律得: 1 mg0(H-2r)= mv2 2 0 由①②解得:r=0.2 m



v2 (2)当 H=1.0 m 时,F=5 N,设此时小球到达最高点的速度为 v,则:mg0+F=m ③ r 1 由机械能守恒定律得:mg0(H-2r)= mv2 2 由③④解得:g0=5 m/s2 v2 1 (3)该星球的第一宇宙速度是该星球近地卫星的环绕速度, 由牛顿第二定律得: mg0=m R 解得:v1= g0R=5 km/s ④


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