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渗流力学课件第三章1


油气层渗流力学

第三章 单相液体稳定渗流理论

主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 单相液体稳定渗流微分方程典型解 井的不完善性对渗流的影响 油井的稳定试井 井间干扰现象和势的叠加 势叠加原理的典型应用 考虑边界效应的镜像反映法 等值渗流阻力法 复变函数理论在平面渗流问题中

的 应用 §3.9 平面渗流场的保角变换求解方法
2012-10-23 HX-CHENG 2

单相液体稳定渗流理论
◆单相流动:只有一种液体的流动叫单相流动。 多相流动:有两种或两种以上液体同时流动,叫两相或

多相流动。
◆稳定渗流:渗流的运动要素 P、 v 等只是空间坐标的函 数,与时间 t 无关。 不稳定渗流:渗流的运动要素不仅是空间坐标的函数, 也是时间的函数。即:
P ? f1 ( x, y, z, t ) v ? f 2 ( x, y, z, t )

刚性水压驱动;

忽略油水性质的差别。

§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
▲典型解:指三种简化的典型渗流方式下的解。 单向流 渗 流 方 式

平面径向流 球面径向流

2012-10-23

HX-CHENG

5

§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
一、单向渗流(平面单向流)
1. 数学模型
d P dx
2 2

供给边界

Pe
?0

? K

排液道

PBi

h

B

P

x ?0

? P (供给边界) e
(排液道) ? PBi

L

P
2012-10-23

x?L

单向渗流模型

A ? Bh x

HX-CHENG

6

2. 求解数学模型
渗流微分 方程积分 代入边界条件

dP dx

? c1

再分离变 量积分

P ? c1 x ? c2
c1 ? ? Pe ? PBi L

c2 ? Pe

积分常数为:

PBi ? c1 L ? c2
P ? Pe ? Pe ? PBi L Pe ? PBi L
?

c2 ? Pe
x ( L ? x)

或:

P ? PBi ?

单向渗流压力 分布公式

渗流速度: v ? ?

K dP

K Pe ? PBi

? dx

?

L

流量:

q ? Av ?

KBh ( Pe ? PBi )

?L

3. 结果分析
●压力沿 x 方向线性分布,压

力梯度为常数,说明单位长度上的 能量损耗为定值;
●单向稳定渗流时,流速 v

P Pe

PBi
o x L 单向渗流压力分布曲线
dP dx

和流量 q 与位置坐标 x 无关,为
常数;
●流过 [0, x] 渗流 段的渗流阻

v o

力为:

?x



KBh

x

♂解析式、渗流场图

4. 单向渗流的渗流场图(水动力场图)
◆ 渗流场图:由一组等压线和

y

一组流线按一定规则构成的图形。
◆等压线:渗流场中压力相同

等压线 流线

点的连线。
o
◆等压面:渗流场中压力相同

L 单向渗流渗流场图

x

的空间点组成的面。 ⊙规则:各相邻两条等压线间 的压差值相等;各相邻两条流线间 通过的流量相等。

★等间距的水平线和 垂线构成的均匀网格
y ? C1
任意常数

x ? C2

渗流场图描述渗流规律:直观、生动、具体。
●渗流场图中,流线给出了流体质点的运动轨迹,描述了

流体流向和流速分布规律;
●等压线形象地描绘了能量损耗规律和压力分布规律; ●同一渗流场中,流线密的地方流速大,等压线密的地方

压力变化急剧(压力梯度大)。

§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
二、平面径向渗流
1. 数学模型
d P dr
2 2

re
?0

h

?

1 dP r dr

2rw
Pe
Pwf

?

K
Pe

P

r ? rw

? Pwf (井底处)

P

r ? re

? Pe (供给边界)
HX-CHENG

平面径向渗流模型
11

2012-10-23

2. 求解数学模型
基本渗流微分方 程变形为:

*降阶法求解

*直接积分法

1 d r dr

(r

dP dr

)?0

积分 再积分

r

dP dr

? c1

P ? c1 ln r ? c2 ①
c1 ? Pe ? Pwf ln re rw

代入边界条件得:

Pe ? c1 ln re ? c2 ② ②-③

Pwf ? c1 ln rw ? c2 ③
P ? Pe ?
②-①或①-③并代 入边界条件 c1

Pe ? Pwf ln re rw

ln

re r

P ? Pwf ?

Pe ? Pwf ln re rw

ln

r rw

平面径向流 压力分布 公式

Pe ? Pwf 1 压力梯度: ? ? re r dr r ln rw dP c1

K Pe ? Pwf 1 ? 渗流速度: v ? re r ? dr ? ln rw K dP

平面径向流 产量公式 (裘比公式)
q? 2?Kh( Pe ? Pwf ) re rw

产量公式: q ? Av ? 2?rh ? v
Pe ? Pwf ln re rw q? 2?Kh

? ln
?

又由产量公式变形:
q? 2?Kh

代入压力分布公式得:
q? 2?Kh

P ? Pe ?

ln

re r



P ? Pwf ?

ln

r rw

3. 结果分析
P
●压力分布公式表

明:压力与坐标 r 呈对 数关系,从整个地层看
Pe

,地层各点压力分布是
此对数曲线绕井轴旋转 构成的曲面,此曲面形 似漏斗,习惯称为“压 降漏斗”。

P
Pwf

o
re r 平面径向流压力分布曲线

r



dP

dr r 度大,压力梯度大,能量损耗也越大;
●平面径向流的渗流场图,

,v ?

1

表明在井底附近,渗流截面积减小,渗流速
等压线

可以直观地反映出平面径向流的

流线

渗流规律:越靠近井壁,等压线
和流线越密集,渗流速度和压力 梯度也越大。 平面径向流渗流场图
任意常数

等压线:一组与井轴同心的同心圆。 r ? C1

流线:以井为中心的径向线。

? ? C2

例3-1 圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流,中心 一口井井半径 ? 0.1 米,供给半径 ? 10000 米,试计算从 rw re 供给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量(压力)损耗 百分数。 Pe ? Pwf re ln 解: 由压力分布公式 P ? Pe ? 得:
Pe ? P Pe ? Pwf ln ? ln re r re rw

ln

re

r

rw

则计算结果如表所示:

r (米)
Pe ? P Pe ? Pwf

0.1 1

1 0.8

10 0.6

100 0.4

1000 0.2

10000 0

从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等,同为20﹪,说明能量损耗主要集中在井底附近 。

● 产量公式可写为: ? q

Pe ? Pwf Ru

? ln

re rw

其中Ru ?

2?Kh

为平面

径向流渗流阻力。

①要增加产量,可采用增大生产压差 Pe ? Pwf 或减小渗流 阻力 Ru 的方法即:
★提高地层压力 P (通常难于做到)或降低井底压力Pwf , e

放大压差;
★改善地层渗透率可提高产量,如油井压裂、酸化等;
★降低原油粘度 ? 可提高产量,如热力采油等;

★供给半径 re 和油井半径 rw 均在对数内,其变化对产量

q 影响较小。

②实际应用时,产量公式中各物理量可如下确定:
★ Pwf 可以实测; ★ P 用目前地层压力代替; e

2a

L A



re 一般根据实际井网形状

确定,如图所示则: →泄油面积: A ? 2aL →将 A 换算成等值的圆面积:
A ? ?re
2

在井网中确定油井泄油 面积方法示意图
A ——泄油面积

→由此得供给半径:re ?

A

有时可取井距之半:
re ? a

?

4. 平均地层压力
◆平均地层压力:假想边界封闭,油井关井,整个地层中

的压力达到平衡后,这时地层中任一点的压力称为平均地层压 力 P 。平均地层压力反映了整个地层的能量大小,是进行 油田动态分析的一个重要参数。

? PdA P?
A

re

dr
2

其中:

A ? ? (re ? rw )
2

Pwf

P r

Pe

dA ? 2?rdr
P ? Pe ? Pe ? Pwf ln re rw ln re r

A、dA

面积加权平均示意图

P?

2? ? Pr dr
rw 2 ? (r 2 ? rw )
e

re

P?

2 re ? r
2 2 w

?

re

rw

( Pe ?

Pe ? Pwf ln re rw

ln

re r

)rdr

P?

2 re ? r
2 2 w

( ? Pe rdr ?
rw

re

Pe ? Pwf ln re rw
( r

?
2

re

r ln

re r

dr )

rw

P?

2 re ? r
2 2 w

[

r ?r
2 e

2 w

2

Pe ?

Pe ? Pwf ln re rw

2

ln

re r

re

??
rw

re

r

2

rw

2

d ln

re r

)]

P?

2
2

re ? rw

[ 2

r ?r
2 e

2 w

2

Pe ?

Pe ? Pwf ln re rw

(?

rw

2

2

ln

re rw

?

1 4

(re ? rw ))]
2 2

rw
由于:rw ?? re 所以:re ? r ? re ,
2 2 w 2

2

re

2

?0

上式简化整理得:

1 Pe ? Pwf P ? Pe ? re 2 ln rw

对单向流:

P?

Pe ? PBi 2

5. 液体质点移动规律 在现场实际中,有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地 需要的时间。

由渗流速度:
v ? ?u ? ?? dr dt ? q 2?rh
o

r0
M

分离变量积分 (0, r0 ) ? (t , r ) :
t?

r r

??h
q

(r ? r ) ?
2 0 2

质点扫过的孔隙体积 q

对单向流:

t?

?A
q

x

§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
三、球面径向渗流
▲数学模型

2rw
2 dP r dr

d P dr
2

2

?

?0

Pwf

re
Pe

P

r ? rw

? Pwf

球面径向渗流模型

P
2012-10-23

r ? re

? Pe
HX-CHENG 23

▲压力分布: P ? Pe ?

Pe ? Pwf rw ? re
?1

(r ?1

?1

? re )

?1

▲产量公式: q ?

2?K ( Pe ? Pwf )

? (rw ? re )

?1

?1

▲研究空间一点: q ?

4?K ( Pe ? Pwf )

? (rw ? re )

?1

?1

例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井,地层边缘有充 足的液源供给,地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知:

re ? 10000, rw ? 0.1, Pe ? 10MPa, Pwf ? 9MPa, K ? 0.5?m2 , ? ? 3mPa ? s, h ? 10m。 试求: (1)井产量;(2)离井轴线0.1、
100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。

解: (1)由产量公式得:
q? 2?Kh( Pe ? Pwf ) re rw 2? ? 0.5 ?10 ?100 ? (10 ? 9) ?10 3 ? ? 898.15(cm / s ) 10000 3 ln 3 ? 77.6(m / d ) 0.1

? ln

(2)渗流速度和压力梯度计算结果如下表:
r(m)
渗流速度(cm / s)

0.1 0.3

100 0.00003

10000 0.0000003

压力梯度( MPa / m)

0.87

0.00087

0.0000087

例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流,地层模型 如图所示,渗透率分区发生突变,求产量公式和压力分布曲线的表达式。

解: 方法Ⅰ:由稳定流连续性关系求。
rw ? r ? r1 区间内压力分布规律为: re q1? r P ? Pwf ? ln K1 2?K1h rw Pwf r 1 r1 ? r ? re 区间内压力分布规律为: K 2 P 1 re q2 ? P ? Pe ? ln 2?K 2 h r

Pe

r

由稳定流连续性关系:
q1 ? q2 ? q

渗透率突变的圆形地层

可求出产量 q 为:
q? 2?K 2 h( Pe ? Pwf )

?(

K2 K1

ln

r1 rw

? ln

re r1

)

方法Ⅱ:由达西定律微分形式积分求。
? dr 2?rh rw ? r ? r1 区间内压力分布规律为:
v? K dP ? q

分离变量积分得:
K1 K2
r

re
Pwf r 1

Pe

?
积分:

P

dp ?

Pwf

2?h ?
q?

q?

1

r

rw

Kr
r rw

dr

P 1

P ? Pwf ?

r1 ? r ? re 区间内压力分布规律为:

2?K1h
re

ln

渗透率突变的圆形地层
积分: P ? P ? e

?

Pe

dp ?

P

2?h ?r Kr

q?

1

q? 2?K 2 h

dr
q? 2?h
? ln

ln

re r

产量为:

?
?(

Pe

dp ?

Pwf

[?

r1

1 K1r

rw

dr ? ?

re

1 K2r

dr ]

r1

积分: q ?

2?K 2 h( Pe ? Pwf ) K2 K1 ln r1 rw re r1 )

方法Ⅲ:由等值渗流阻力法求。
rw ? r ? r1 区间内压力分布规律为:
P ? Pwf ? q ? Ru
P ? Pwf ? q? 2?K1h ln r rw

re
K1 K2
Pwf r 1

Pe

r

P 1

r1 ? r ? re 区间内压力分布规律为: 渗透率突变的圆形地层 re q? P ? Pe ? ln Pe ? P ? q ? Ru 2?K 2 h r

产量为: Pe ? Pwf ? q ? ( Ru1 ? Ru 2 )
? ln
Pe ? Pwf ? q ? (
整理得: q ?

r1 rw ?

? ln

re r1 )

2?K 2 h( Pe ? Pwf )

2?K1h

2?K 2 h

?(

K2 K1

ln

r1 rw

? ln

re r1

)

1. 刚性水压驱动的均质水平圆形地层中心一口生产井, 油井以定产量 q 生产,已知井半径 rw ,供给边界半径 re ,井

底压力 P ,边界压力Pe ,地层厚度 ,渗透率 h k
wf

,原油

粘度 ?

re r1 ,若在 (地层中某点)到
dr

之间服从线性渗流规律, ,其中A、B

到 r1 之间服从非线性渗流规律 dp ? Av ? Bv 2 rw 为常数,试推出地层中压力分布的表达式。
re
Pwf r 1

Pe

r

2. 如图所示,地层渗透率与井距 r 在井底 rw 处,k w , k?

成线性规律变化。 且井底压 Pwf

re 在供给边界 k 处,, ? ke



,边界压力 Pe

,试推出地层中流体满足达西线性渗流

定律作平面径向流时的产量表达式。

k

ke kw
o r w

re

r

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
一、基本概念
◆水动力学完善井:井钻穿全部

2rw

油层厚度,而且井壁是裸露的,即整 个井壁都有流体通过,流线在井壁附 近仍符合平面径向流,这种井就称为 水动力学完善井。 水动力学完善井 A ? 2?rw h

h

◆水动力学不完善井:凡是井底结构和完善井的井底结构

不同,或井底附近油层性质发生变化的井,称为水动力学不完

善井。
2012-10-23 HX-CHENG 31

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
二、井的不完善类型
▲四种类型:

2rw

2rw

b
打开程度不完善 A ? 2?rwb
2012-10-23

打开性质不完善
小孔直径D,单位油层厚度孔数n,则:

A ? nh ?
HX-CHENG

?D 2
4
32

§3.2 井的不完善性对渗流的影响

2rw

2rw

b
双重不完善
A ? nb ?

h
特殊不完善

?D 2
4

井底附近油层性质发生 变化,如:泥浆污染、 压裂、酸化等。
HX-CHENG 33

2012-10-23

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
三、井的不完善性对渗流的影响

不完善井井底附近流线分布示意图

2012-10-23

HX-CHENG

34

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
流线弯曲并集中;渗流截面积减小。
井底附近不再是平面径向流,而是一种空间流动;
井底附近区域渗流阻力变化。

油井生产能力变化
◆表皮效应:油井的不完善性可以减小或增大油井生产能

力的效应,称为“表皮效应”。
2012-10-23 HX-CHENG 35

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
四、油井不完善程度的表示方法
▲两种表示方法:

P

Pe
完善井井底压力Pwf ' 实际不完善井井底压力 P
wf

1.表皮因子 S (C )
?Ps ? ( Pe ? Pwf ) ? ( Pe ? Pwf )
'

井实 生际 产不 压完 差善
2012-10-23

井相 生对 产应 压完 差善

附加压力降

?Ps

o 附加压力降示意图
HX-CHENG

r
36

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
◆表皮因子:用无量纲的附加压力降来表征一口井表皮效
应的性质和严重程度的物理量,称为表皮因子。
S? 2?Kh q? ?PS

利用表皮因子,不完善井的产量公式可写为:
q? 2?Kh( Pe ? Pwf )

? (ln
2012-10-23

re rw

? S)
37

HX-CHENG

?Ps ? ( Pe ? Pwf ) ? ( Pe ? Pwf )
'

q? 2?Kh

S ? ( Pe ? Pwf ) ?

q? 2?Kh

ln

re rw

整理得:

q?

2?Kh( Pe ? Pwf )

? (ln

re rw

? S)

§3.2 井的不完善性对渗流的影响
2.折算半径 rrw
◆折算半径:把实
rrw rw

际不完善井用一产量与
之相等,但半径改变的 假想完善井来代替,这 附加压力降 一假想完善井的半径称 为实际不完善井的折算 半径。
2012-10-23 HX-CHENG

实际不完善井 井底压力 Pwf

?Ps

rrw

o
折算半径示意图
39

r

利用折算半径,不完善井的产量公式可写为:
q? 2?Kh( Pe ? Pwf )

? ln

re rrw

折算半径与表皮因子的关系:
ln re rrw ? ln re rw ?S
?S

rrw ? rw ? e

S ? 0, rrw ? rw S ? 0, rrw ? rw S ? 0, rrw ? rw

完善井 不完善井 超完善井

⊙矿场实际中常利用不稳定试井方法确定折算半径与

表皮因子。

§3.3 油井的稳定试井
一、试井的概念
◆试井:是研究井及地层特性的一种矿场试验。它包括试

井测试和试井解释两部分。
◆试井测试:就是通过一定的测试工艺和测试手段对油井

、气井或水井进行测试。测试内容包括产量、压力、温度和取
样等等。
2012-10-23 HX-CHENG 41

§3.3 油井的稳定试井
◆试井解释:就是以渗流力学理论为基础,通过对油、气
、水井测试信息 ( P ~ t、q ~ t、q ~ P) 的研究,确定反映测

试井和地层特性的各种物理参数、生产能力,以及油、气、水
层之间及井与井之间连通关系的方法。

稳定试井 q ~ P
试井 不稳定试井 P ~ t、q ~ t
2012-10-23 HX-CHENG 42

§3.3 油井的稳定试井
◆稳定试井:就是通过人为地改变井的工作制度,在稳定
情况下测出相应稳定产量和压力值,然后利用稳定渗流理论对 其进行解释(绘出指示曲线 q ~ ?P ),从而了解油井的生产 能力和求地层参数的矿场试验。 又称“系统试井”。

2012-10-23

HX-CHENG

43

§3.3 油井的稳定试井
二、指示曲线 q ~ ?P
◆指示曲线:油井的产量 q 与相应的生产压差( Pe ? Pwf ) 之 间的关系曲线就称为指示曲线。 一般来说,油井的指示曲线有如下三种情况(如图所示): 正常情况下的指示曲线
5m / m 6m / m 7m / m 8m / m n ?1

q

方程为: n q ? J (?P) 采油指数
2012-10-23

n ?1 n ?1

n ?1

渗流指数

?P
HX-CHENG

Ⅰ Ⅱ Ⅲ
44

§3.3 油井的稳定试井
第一种情况:指示曲线是直线(曲线Ⅰ),表明是单相不
可压缩液体按达西定律稳定渗流。 第二种情况:指示曲线是曲线Ⅱ,则表明渗流速度较小时, 流动服从达西定律,指示曲线呈直线,随着渗流速度增大,达 西定律被破坏,指示曲线弯曲。 第三种情况:指示曲线是曲线Ⅲ,则表明当油井生产还未 达到稳定之前,就测取 Pwf 、q 值。这类指示曲线原则上是无

用的。
2012-10-23 HX-CHENG 45

§3.3 油井的稳定试井
三、指示曲线的应用
1.选择合理的工作制度 新井投入生产选择合理工作制度的原则是:地层压力利用 q 合理的情况下,尽可能增加油井产量。

?

2.估算地层参数、了解产能 ★了解产能(确定采油指数) q J? ? tg? ?P ?P 物理意义:井底压力每下降(或增加)一个压力单位时, 所能采出的油量(或注入的水量)。反映了油井的生产能力( 2012-10-23 HX-CHENG 46 或水井的注入能力)。

★估算地层参数 对直线型指示曲线 q ?
q

2?Kh( Pe ? Pwf )

? ln

re rw

则:

2?Kh J ? ? re ?P ? ln rw
Kh

所以由采油指数可求如下地层参数:
流动系数
?
K

地层系数 Kh
流度
?
K

渗透率

例3-4:某井实测得到的系统试井数据如表:

油嘴(mm)
流压(MPa) 产量(m3 /d)

0
16.93 0

3
16.62 24

5
15.90 72

7
15.51 100

10
15.09 140

15
14.62 176

解:作 q ~ ?P 关系曲线,得一直线:

从指示曲线上延伸直线到q=0直线交与16.94MPa的流压, 与实测地层静压16.93MPa甚为接近,则认为该地层压力为 16.94MPa 。

直线的斜率即为采油指数 Jo :
P 在直线上取两点: oa =24 m3 /d,wfa =16.62MPa q

qob =100 m3 /d,Pwfb =15.51MPa

则该井的采油指数为:
J o ? ?(qoa ? qob ) /( Pwfa ? Pwfb )

=(100-24)/(16.62-15.51)

=68.468 m3/(d.Mpa)

流动系数:
kh ? 1.842 ? 10
?3 ?3

?

? re ? ? ? ? ln ? ?r ? ?p ? w ? qO 100

? 1.842 ? 10

? 860 ? ? ? ln ? ? 16.94 ? 15.62 ? 0.1 ?

? ?m 2 ? m ? ? ? 1.28? ? mP ? s ? a ? ?

还可以求得:

地层系数: Kh ? (Kh / ? ) ? ?
K 有效渗透率: ? ( Kh) / h

直线供给边界附近一口井

圆形供给边界中间两口井

直角断层中间一口井

多排井生产

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
一、井间干扰现象
◆“井间干扰”现象:在同一油层内,若有两口以上的油 井同时生产,当其中一口井的工作制度发生变化时,必然要引

起另一口井的产量或井底压力发生变化,这种现象就称为“井
间干扰”现象。 ◆激动井:改变工作制度的井。 ◆反映井:受到影响的井。
2012-10-23 HX-CHENG 52

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
◆“井间干扰”的实质:整个地层中压力重新分布。
q1 q2

A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

B

Pe

2012-10-23

HX-CHENG

53

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
◆“井间干扰”的实质:整个地层中压力重新分布。

压力重新分布满 足什么原则呢?
对任一口井而言,要获取一定的产量就要消耗
一定的地层能量,在地层各点形成一定的压力降, 这种能量消耗方式并不以其它井是否存在而改变。
2012-10-23 HX-CHENG 54

q1

q2

A
M1 M2
M3

B
Ⅰ Ⅱ
M4

Pe



M

两口生产井干扰的压力分布曲线

M 1M 4 ? M 1M 3 ? M 1M 2
M1M 4 ? ?PM
M 1M 3 ? ?P M 1
M1M 2 ? ?P2 M

注水井
M3

生产井

M4 M1



Pe

M2



M

一口生产井和一口注水井干扰的压力分布曲线

M 1M 4 ? M 1M 3 ? M 1M 2
M1M 4 ? ?PM
M1M 3 ? ??P M 1
M1M 2 ? ?P2 M

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
◆压降叠加原理:多井同时工作时,在地层中任 一点产生的压力降等于各井单独工作时在该点引起压

力降的代数和。即:
?PM ? ? (?Pi ) M
i ?1 n

M

1 2 n

3

在解决稳定渗流问题时,往往用势的叠加。
2012-10-23 HX-CHENG 57

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
二、势的叠加
1.势的基本概念
●势函数的概念

? ? ? 设在平面上定义了一个向量场 v ? vx ( x, y)i ? v y ( x, y) j ,若 ?? ? ? ( x, y ) ,满足 v ? ? grad? (即: x ? ? v 存在一个标量函数 ?x ? ?? ,v y ? ? ),则称 ? ( x, y ) 是向量场 v ( x, y ) 的势函数,简 ?y

称向量场的势,该向量场称为有势场。
2012-10-23 HX-CHENG

58

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
● ●平面渗流场的势函数

在平面渗流问题中渗流速度构成了一个向量场。由达西 定律:
? K K v ? ? gradP ? ? grad ( P)

?

?

所以,均质地层的渗流场是有势场,其势的定义为:

??
2012-10-23

K

?

P
59

HX-CHENG

⊙平面渗流场中势函数的特点: ﹡势是一个标量,某点的势等于该点的压力乘该点的 K
?

值。势的大小标志着压力的大小;

﹡势和压力一样都是位置坐标的函数,所以,称其为势 函数。 渗流平面上: ? ? ( x, y ) ?

? 渗流空间中: ? ? ( x, y, z )

﹡引入势函数简化了公式,且更方便进行数理分析;
渗流速度: 流量:
? K K v ? ? gradP ? ? grad ( P) ? ? grad?

?

?

q?

2?Kh( Pe ? Pwf )

? ln

re rw

?

2?h(?e ? ? wf ) ln re rw

势函数满足拉普拉斯方程:
??
2

?x

2

?

??
2

?y

2

?

??
2

?z

2

?0

﹡从能量分布的角度看,在渗流场中等势线与等压线具 有类似的物理意义,等势线与等压线方程完全相同(对不可压

缩液体均质地层)。

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
2.平面点汇或点源的势(无限大或圆形地层中心一口井)
◆点汇:渗流平面上(或渗流空间中)的点,液体质点沿

径向向此点汇集,并在此点被吸收。
◆点源:渗流平面上(或渗流空

间中)的点,液体质点沿径向由此 点向四周发散(流出)。
2012-10-23 HX-CHENG

点汇

点源

62

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
假设:渗流平面上有一点汇A,液体质点沿径向流向A点
,点汇产量 q ? const ,则平面上任一点 M 处:
v? q 2?rh ? d? dr

r

M

上式分离变量并积分:

??

q 2?h q

ln r ? C ln r ? C
HX-CHENG

平面点汇(或 点源)生产势 的表达式
C为积分常数,由 边界条件确定。
63

对点源:
2012-10-23

? ??

2?h

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
?q 4?r
2

空间一点: v ?

?

d? dr

? ??
半空间一点: v ?

q 4?r
?q 2?r
2

?C
? d? dr

点汇

"?"
"?"

点源

? ??
2012-10-23

q 2?r

?C
HX-CHENG 64

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
3.势的叠加原理
◆势的叠加原理:n口井同时工作时,在地层中任一点产 生的势差等于各井单独工作时在该点引起势差的代数和。即:
?e ? ? M ? ? (?e ? ?i ) M
i ?1 n

r1
1

M

?i ?

? qi 2?h

ln ri ? Ci

代入
n

q1 r2
2

r3 r4

rn

则:
2012-10-23

?M ? ?
i ?1

? qi 2?h

2q

3 q3

4 q4 n q n

ln ri ? C
HX-CHENG

C 值可由边界条件确定。
65

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
三、渗流速度的合成
渗流场中存在多源多汇时,地层中任一点M 的渗流速度 有两种确定的方法:
●矢量合成法求渗流速度

渗流场中任一点 M 的渗流速度等于各汇(或源)单独投 产时在该点产生速度的矢量和。即:
n ? ? ? ? ? ? vM ? v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ? vi i ?1

2012-10-23

HX-CHENG

66

? 各分速度的大小: vi ?

qi

2?ri h 各分速度的方向:每一分速度

在 M 点和井点的连线上。 点汇:指向井点; 点源:背离井点。
? v1 ? v2

q1 q2

? v1 ? v2

? v3
M

? v4

? vn qn

q3

q4

— 生产井

— 注水井
? ? v3 v1
M

? v

? v2

? v4
? vn

? vM

平行四边形法则

矢量法求合速度示意图

§3.4 井间干扰现象和势的叠加
● ●由等势线确定渗流速度

渗流场中任一点 M 的渗流速度大小:
v?

M L

?1 ? ? 2
L

?

K P ? P2 1

? v

?

L

P 1 P2 P3 P4

其中 L 为两相邻等压线间的距离。

方向:在过 M 点等压线的法线上, 由等压线确定合速度 指向压力减小的方向。
2012-10-23 HX-CHENG 68

P ? P2 ? P3 ? P4 1

例3-5 如图所示,液体从r 到某一半径r 作平面径向流,从 到r r
e

1

1

w

作球面径向流,已知井底压力P

wf

,边界压力 P ,求产量公式。 e

解:r1 ? r ? re 为

2rw
Pwf

平面径向流 : q ?? ln r ? C 2?h
供给边界 re 处: q ?e ? ln re ? C 2?h 某一半径 r1 处: ?1 ?
q 2?h ln r1 ? C
q 2?h ln re r1

r1

球面径向渗流模型

两式相减得: ?1 ? ?e ?

……①

rw ? r ? r1 为球面径向流 :

??
? 生产井底 rw处: w ?
某一半径 r1 处: ?1 ?
?q 2?rw ?q

?q

2?r

?C

?C ?C

2?r1 q 1 1 两式相减得: ?1 ? ? w ? ( ? ) 2? rw r1

……②

由①、 ②式相等可得产量公式为:
2?h(?e ? ? w ) q? re 1 1 ln ? h( ? ) r1 rw r1

可取 r1 ? 1.5h

例3-6 如图所示,比较大的地层中有三口井生产,三口井分布区域的 中心到供给边界的距离为re ,井与井之间的距离、各井的产量及地层和 流体参数均已知,求各井井底压力。

解:由势的叠加原理,地 层中任一点 M 的势为:
?M ? ?
n

Pe

? qi 2?h ? qi

re
1

ln ri ? C ①

供给边界上:
n i ?1

i ?1

r12
ln rei ? C
2

r31 r23 3

M

2?h 为求解方便取 rei 同为 re 则: n ? qi ?e ? ? ln re ? C ② i ?1 2?h

?e ? ?

re 的选取
只要供给边界半径大于井群分 布区域直径的2~2.5倍时,取井群 所在区域的中心至供给边缘的距离 re 作为各井到供给边缘的距离 rei , 可满足精度要求。

由②式减①式得:
?e ? ? M ? ?
i ?1 n

? qi 2?h

ln

re ri



由③式,M 点分别取在三口井的井底则(油井半径都为 rw ):
?e ? ? w1 ?
1 2?h 1 2?h 1 2?h (q1 ln (q1 ln (q1 ln re rw re r12 re r31 ? q2 ln ? q2 ln ? q2 ln re r12 re rw re r23 ? q3 ln ? q3 ln ? q3 ln re r31 re r23 re rw ) ) )

1井井底 2井井底

?e ? ? w 2 ? ? e ? ? w3 ?

3井井底

求解方程组,即可得到各井井底的势或井底压力。 ▲ 常用于解决实际应用中的两方面问题:
﹡已知各井产量,可确定各井井底压力; ﹡已知各井井底压力,可确定各井产量。

§3.5 势叠加原理的典型应用
油田实际中,一口井的邻井可 能是生产井,也可能是注水井 需要探讨地层中存在一源一汇 或两汇时的渗流规律。
2 1

3

可得到一些有意义的结论,用于解释 油田实际中出现的一些现象,并引出 了解决边界问题的镜像反映理论。
2012-10-23 HX-CHENG 73

§3.5 势叠加原理的典型应用
一、无限大地层中等产量一源一汇
1.势的分布、产量公式和流速的分布 ●势的分布
y

由势的叠加原理,地层中 ? q q B A 任一点 M 的势为: PJ Pwf x a o a q q ?M ? ln r1 ? ln r2 ? C 2?h 2?h 等产量一源一汇 整理得: q r1 ?M ? ln ? C 等产量一源一汇势的分布 2?h r2
2012-10-23 HX-CHENG 74

r2

? v2 D M ? v ? v1 r 1

C

●产量公式 A井井壁处, ? rw , r2 ? 2a, ?M ? ? w 代入势的分布公式得: r1 rw q ?w ? ln ?C ① 2?h 2a B井井壁处,1 ? 2a, r2 ? rw , ?M ? ? J 则: r

?J ?

q 2?h

ln

2a rw

?C



②式减①式整理得: q ?

?h(? J ? ? w )
ln 2a rw

或:

q?

?Kh( PJ ? Pwf ) ? ln
2a rw

等产量一源一 汇产量公式

●流速分布

两分速度为:
v1 ? q 2?r1h v1 v2 ? v2 ? r2 r1 q 2?r2 h
B

y

r2
a o

? v2 D M ? v ? v1 r 1
a

C

A

x

?MDC~ ?AMB
v 2a ? v1 r2 q ? a v2 r1

v?

?h r1r2

等产量一源一汇 流速分布公式

§3.5 势叠加原理的典型应用
2.等产量一源一汇渗流场分析
●等势线

y M

由势的分布公式: q r1 ?M ? ln ? C 2?h r2 得等势线方程应为: r1 ? C0 r2
r1 ? ( x ? a) ? y
2 2
2 2 2 2012-10-23

r2
B

r1
A

a

o

a

x

任意常数
代入上式整理
HX-CHENG 77

2

r ? ( x ? a) ? y

2

a) ? y ? ( ) 2 2 1 ? C0 1 ? C0 等势线为:
2 2

(x ?

1 ? C0

2

2C0 a

2

直角坐标表示 的等势线方程
y

﹡直角坐标系下是圆 心在 x 轴上的一簇圆; ﹡圆心位置:
1 ? C0 ( a, 2 1 ? C0
2

x

0)

2C0 a 圆半径为: 2 1 ? C0

﹡井位于等势圆的偏 心位置。

等产量一源一汇等势线分布

等势线分布的特点: ﹡所有等势线都在汇 和源之间通过,并且以y 轴为对称轴两边对称; ﹡当 r1 ? C ? 1 时, 0 r2 等势圆半径:
r? 2C0 a 1 ? C0
2
0 ?? ? ? ?

y

x

C ?1

说明y轴是一条等势线。

等产量一源一汇等势线分布

● ●流线

由正交曲线的特性,利用复变函数理论求出流线方程为 :
x ? (y ?
2

a C1

) ?a
2

2 1 ? C1

2

C1

2

y

任意常数

流线为: ﹡直角坐标系下是圆 心在 y 轴上的一簇圆;
x

﹡圆心位置:
(0, a C1 )

a 2 圆半径为: 1 ? C1 C1

等产量一源一汇渗流场图

流线分布的特点: ﹡所有流线都从源B 出发聚集于汇A,并且以y 轴为对称轴两边对称; ﹡当
C1 ? 0 时,
x
2 C ?0

y

等势圆半径:
r? a C1
1 1 ? C1 ?? ? ? ?

说明x轴也是一条流线,称 为主流线。

等产量一源一汇渗流场图

流体质点的运动特点:
v? q a

y

?h r1r2
x

◆舌进现象:水驱油时
,同一油水界面上,x轴上 流体质点的 r1 ? r2 乘积最小 ,流速最大,沿x轴流体质 点最先到达生产井井底,称 这种现象为“舌进现象”。 油水界面移动示意图

注水开发采收 率降低。

行列注水开发井网中,注水井与生产井 位置交错开,有利于提高注水效率。

§3.5 势叠加原理的典型应用
二、无限大地层中等产量两汇
1.势的分布、产量公式和流速的分布 ●势的分布 由势的叠加原理,地层中 任一点 M 的势为: q q ?M ? ln r1 ? ln r2 ? C 2?h 2?h 整理得: q ?M ? ln r1r2 ? C 2?h
2012-10-23

y

r2
q B

D

? v2

M

? v
o

C

? v1 r1

A

q

Pwf

a

a

Pwf x

等产量两汇

等产量两汇势的分布
83

HX-CHENG

●产量公式 A井井壁处, ? rw , r2 ? 2a, ?M ? ? w 代入势的分布公式得: r1 q ?w ? ln rw ? 2a ? C ① 2?h 供给边界上,re1 ? re 2 ? re , ? M ? ?e 则:

?e ?

q 2?h

ln re ? C
2



②式减①式整理得:q ?

2?h(?e ? ? w ) ln re
2

rw ? 2a

或: q ?

2?Kh( Pe ? Pwf )

? (ln

re rw

? ln

re 2a

)

等产量两汇产 量公式

●流速分布
y

两分速度为:
v1 ? q 2?r1h v1 v2 ? v2 ? r2 r1
M?

q 2?r2 h
B

r2

D

? v2

( x, y )

M ( r ,? )

r ? v
o

C

? v1 r1

A

x

?MDC ~ ?M ? BM
v 2r ? v1 r2 q ? r v2 r1

等产量两汇

v?

?h r1r2

等产量一源一汇 流速分布公式

§3.5 势叠加原理的典型应用
2.等产量两汇渗流场分析
●等势线

y M

由势的分布公式: q ?M ? ln r1r2 ? C 2?h 得等势线方程应为:
r1r2 ? C0
r1 ? ( x ? a) ? y
2 2
2 2 2 2012-10-23

r2
B

r1
A

a

o

a

x

任意常数
代入上式整理
HX-CHENG 86

2

r ? ( x ? a) ? y

2

( x ? y ) ? 2( y ? x )a ? a ? C0 ? 0
2 2 2 2 2 2 4 2

等势线为:四次 曲线簇,C0 取不同的 值得到不同形状的四 次曲线:
C0 ? a C0 ? a
2 2 2

直角坐标表示的等势线方程
y

一对对称椭圆 伯诺里双叶曲线
2

x

a ? C0 ? 2a C0 ? 2a
2

卯形线

包围两井的椭圆

C0 值越大,等势线越接近圆

等产量两汇等势线分布

● ●流线

由正交曲线的特性,利用复变函数理论求出流线方程为



x ? y ? 2C1 xy ? a ? 0 流线为:一簇双曲线。
2 2 2

y

流线分布的特点: ﹡所有流线分别 通过A井和B井; ﹡C1 ? ? 时,由
xy 流线簇方程得到: ? 0

x

即: ? 0 或 y ? 0 说明 x x轴和y轴都是流线。y
轴将液流左右分开,故

称y轴为分流线。

等产量两汇渗流场图

流体质点的运动特点: 由流速分布公式: q r q v? ?h r1r2 r ? 0时,v ? 0, 即坐标原点的 流速为零,称为平衡点。 ⊙平衡点位置的确定:

y

平衡点
o

死油区
q

x

死油区示意图

⊙采出死油区的油,以提
高采收率方法: ﹡改变油井产量比,
?0

qB

vB
r2

N

vA
r1
? qB

qA

v N ? v A ? vB ? r1 r2 ?

qA 2?r1h

2?r2 h

使平衡点移动; ﹡打调整井。

qA qB


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