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山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷


山东省潍坊一中 2015 届高三上学期期末数学模拟试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案,共 50 分) ; 1. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 2. (5 分)复数( A.﹣3﹣4i 3. (5 分)在二项式 ) 的共轭复

数是() B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i
2

的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,

且 A+B=72,则展开式中常数项的值为() A.6 B. 9

C.12

D.18

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的 k=5,则输入的整数 P 的最小值为()

A.16

B.15

C. 8

D.7

5. (5 分)若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是()

A.36 cm

3

B.48 cm

3

C.60 cm

3

D.72 cm

3

6. (5 分)将函数 y= 心是() A.(0,0)

sin2x+cos2x 的图象向右平移

个单位,所得函数图象的一个对称中

B.

C.x=1

D.

7. (5 分)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用) ,要求每个区 域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有()

A.72 种

B.96 种

C.108 种

D.120 种

8. (5 分) 已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是() A. B. C.

, 现将一粒黄豆随机撒在△ ABC

D.

9. (5 分)设{an}是等比数列,a1=1,公比 q= 项和,若(
n 1 2

,Sn 为{an}的前 n 项和,Qn 为数列{bn}的前 n
n

+1﹣x) =b1+b2x +b3x +…+bn+1x .记 Tn=

,n∈N ,设

*

为数列

{Tn}的最大项,则 n0=() A.3 B. 4

C. 5

D.6

10. (5 分)函数 f(x)=1+x﹣ A.0 B. 1

+



+ …+ C. 2

,则 f(x)的零点个数是() D.3

二、填空题 11. (5 分)某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统 计资料:根据该表可得回归方程 =1.23x+ ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 9 年的维 修费用大约为万元. x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,若 x+2y≥a 恒成立,则实数 a 的取值范

围为.

13. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x +y =a 的切线,

2

2

2

切点 E,延长 FE 交双曲线于点 P,O 为原点,若

= (

+

) ,则双曲线的离心率为.

14. (5 分)已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 且仅有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)下列命题: (1) dx=﹣ | = ;

﹣a(x>0)有

(2)不等式|x+1|+|x﹣3|≥a 恒成立,则 a≤4; (3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ,则 P(X<0)=P(X>2) ; (4) 已知 l, m 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 若 α∩β=m, l∥α, l∥β, 则 l∥m. 其中正确命题的序号为.

三、解答题 16. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ c=b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,求△ ABC 的周长 l 的取值范围. 17. (12 分) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠ABC=60°, AE⊥平面 ABCD, CF⊥平面 ABCD, AB=AE=2, CF=3. (1)求证:EF⊥平面 BDE; (2)求锐二面角 E﹣BD﹣F 的大小.

18. (12 分)某同学参加某高校的自主招生考试(该测试只考语文、数学、英语三门课程) , 其中该同学语文取得优秀成绩的概率为 0.5,数学和英语取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p <q) ,且不同课程取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为: ξ 0 1 2 3 P 0.12 a b 0.12 (1)求 p,q 的值; (2)求数学期望 Eξ 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣( )
n﹣1

+2(n∈N ) ,数列{bn}满足 bn=2 an.

*

n

(Ⅰ)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=log2 值. ,数列{ }的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn (n∈N )的 n 的最大
*

20. (13 分)椭圆 E:

(a>b>0)与双曲线
2

有公共

的焦点, 过椭圆 E 的右顶点作任意直线 l, 设直线 l 交抛物线 y =2x 于 M、 N 两点, 且 OM⊥ON. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A、关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B, 试判断直线 PA,PB 是否相互垂直?并证明你的结论.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

(x>0) .

(Ⅰ)试判断函数 f(x)在(0,+∞)上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若 f(x)> 对于?x∈(0,+∞)恒成立,求正整数 k 的最大值;
2n﹣3

(Ⅲ)求证: (1+1×2) (1+2×3) (1+3×4)…[1+n(n+1)]>e



山东省潍坊一中 2015 届高三上学期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题只有一个正确答案,共 50 分) ; 1. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 log2a=0,b=0,从而求得 P∪Q. 解答: 解:∵P∩Q={0}, ∴log2a=0 ∴a=1 从而 b=0,P∪Q={3,0,1}, 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查集合的交集和并集及其运算,注意集合元素的互异性,以及 对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用. 2. (5 分)复数( A.﹣3﹣4i ) 的共轭复数是() B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i
2

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 首先利用复数的除法运算化简括号内部的复数,然后展开平方运算,则复数的共轭 复数可求. 解答: 解: ( 所以(
2

)=

2



) 的共轭复数是﹣3﹣4i.

故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的 共轭复数,是基础题.

3. (5 分)在二项式

的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,

且 A+B=72,则展开式中常数项的值为() A.6 B. 9 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题.

C.12

D.18

分析: 通过给 x 赋值 1 得各项系数和,据二项式系数和公式求出 B,列出方程求出 n,利用 二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 0 得常数项. 解答: 解:在二项式 令 x=1 得各项系数之和为 4 n ∴A=4 n 据二项展开式的二项式系数和为 2 n ∴B=2 n n ∴4 +2 =72 解得 n=3 ∴ = 的展开式的通项为
n

的展开式中,

= 令 得 r=1
1

故展开式的常数项为 T2=3C3 =9 故选项为 B 点评: 本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法;考查二项式系数的性质;考查二项 展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的 k=5,则输入的整数 P 的最小值为()

A.16

B.15

C. 8

D.7

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 S 的值,并输出满足退出循环条件时的 k 值,模拟程序的运行,用表 格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S k 循环前/0 1 第一圈 是 1 2

第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 否 故 S=7 时,满足条件 S<p S=15 时,不满足条件 S<p 故 p 的最小值为 8 故答案为:8 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模,本题属于基础知 识的考查. 5. (5 分)若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是()

A.36 cm

3

B.48 cm

3

C.60 cm

3

D.72 cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求出几何体的体积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是上部为长方体三度为:4,2,2; 下部为放倒的四棱柱,底面是等腰梯形其下底为 6,上底为 2,高为 2,棱柱的高为 4, 几何体的体积为两部分的体积和,即:4×2×2+ =48(cm ) .
3

故选:B. 点评: 本题考查简单几何体的三视图,三视图与几何体的对应关系,正确判断几何体的形 状是解题的关键.

6. (5 分)将函数 y= 心是() A.(0,0)

sin2x+cos2x 的图象向右平移

个单位,所得函数图象的一个对称中

B.

C.x=1

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的 图象的对称性,求得所得函数图象的一个对称中心. 解答: 解:∵y= y=2sin[2(x﹣ 令 2x﹣ )+ sin2x+cos2x=2sin(2x+ ]=2sin(2x﹣ + ) ,把它的图象向右平移 个单位,可得函数

)图象, ,k∈z,故所得函数的图象的对称中心为( + ,0) ,

=kπ,k∈z,可得 x=

k∈z, 结合所给的选项, 故选:D. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数 的图象的对称性,属于基础题. 7. (5 分)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用) ,要求每个区 域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有()

A.72 种

B.96 种

C.108 种

D.120 种

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分步计数问题,首先给最左边一块涂色,有 24 种结果,再给左边第二块 涂色,最后涂第三块,根据分步计数原理得到结果 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题,第一步:涂区域 1,有 4 种方法;第二步: 涂区域 2,有 3 种方法;第三步:涂区域 4,有 2 种方法(此前三步已经用去三种颜色) ;第 四步:涂区域 3,分两类:第一类,3 与 1 同色,则区域 5 涂第四种颜色;第二类,区域 3 与 1 不同色, 则涂第四种颜色, 此时区域 5 就可以涂区域 1 或区域 2 或区域 3 中的任意一种颜色, 有 3 种方法.所以,不同的涂色种数有 4×3×2×(1×1+1×3)=96 种. 故选 B. 点评: 本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用 相同的颜色,因此在涂第二块时,要不和第一块同色.

8. (5 分) 已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是() A. B. C.

, 现将一粒黄豆随机撒在△ ABC

D.

考点: 向量的线性运算性质及几何意义;几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点 P 是△ ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点.再根据几何概型公式,将△ PBC 的面积与△ ABC 的面积相除可得本题 的答案. 解答: 解:以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC,则 ∵ ∴ , ,得 =﹣2

由此可得,P 是△ ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点, 点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 . ∴S△ PBC= S△ ABC. 将一粒黄豆随机撒在△ ABC 内,黄豆落在△ PBC 内的概率为 P= 故选 C

=

点评: 本题给出点 P 满足的条件,求 P 点落在△ PBC 内的概率,着重考查了平面向量加法 法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识,属于基础题. 9. (5 分)设{an}是等比数列,a1=1,公比 q= 项和,若(
n 1 2

,Sn 为{an}的前 n 项和,Qn 为数列{bn}的前 n
n

+1﹣x) =b1+b2x +b3x +…+bn+1x .记 Tn=

,n∈N ,设

*

为数列

{Tn}的最大项,则 n0=() A.3 B. 4 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 根据等比数列求和公式求出 Sn=
n

C. 5

D.6

,S2n=
n

,利用赋值法在(

+1﹣x)

=b1+b2x +b3x +…+bn+1x .中令 x=1 则得 Qn+1=

1

2

n

,继而求得 Tn,利用基本不等式求最值.

解答: 解:Sn= 则得 Qn+1= 而
n

,S2n=

,在(

+1﹣x) =b1+b2x +b3x +…+bn+1x .中令 x=1

n

1

2

n

=q ,设 q =t,则 Tn= 最小,所以 n0=4

n

n

,当时

最小时,Tn 最大.

,即 t=4 时

故选 B 点评: 本题考查等比数列求和公式,二项式定理的应用,基本不等式求最值,考查计算能 力.

10. (5 分)函数 f(x)=1+x﹣ A.0 B. 1

+



+ …+ C. 2

,则 f(x)的零点个数是() D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求导数可判函数单调递增,又可判函数在(0,1)有零点,可得零点个数为 1 个 解答: 解:∵f(x)=1+x﹣ ∴f′(x)=1﹣x+x ﹣x +…﹣x ∴函数 f(x)=1+x﹣ +
2 3 2011

+ +x


2012

+…+ >0



=



+…+ ﹣ …

单调递增, <0,

∵f(0)=1,f(﹣1)=1﹣1

∴函数 f(x)在(0,1)有零点且只有一个, 故选:B 点评: 本题考查根的存在性及个数的判断,涉及导数法判函数的单调性,属基础题. 二、填空题 11. (5 分)某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统 计资料:根据该表可得回归方程 =1.23x+ ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 9 年的维 修费用大约为 11.15 万元. x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 由表格可得平均值 , ,由回归直线过点( , )可得其方程,把 x=9 代入计算可 得.

解答: 解:由表格可得 = (2+3+4+5+6)=4, = (2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5 由于回归直线过点(4,5) , 故 5=1.23×4+ ,解得 =0.08, 故可得回归方程为 把 x=9 代入上式可得 =11.15, 故该型号机器使用年限为 9 年的维修费用大约为 11.15 万元 故答案为:11.15 点评: 本题考查线性回归方程,利用回归直线过点( , )得出回归直线的方程是解决问 题的关键,属中档题. ,

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,若 x+2y≥a 恒成立,则实数 a 的取值范

围为 a≤﹣1. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,x+2y≥a 恒成立可化为(x+2y)min≥a;从而转化为最值问题, 从而由线性规划求解即可. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

x+2y≥a 恒成立可化为(x+2y)min≥a; 结合图象可知,当 x=1,y=﹣1 时,x+2y 有最小值﹣1;

故 a≤﹣1. 故答案为:a≤﹣1. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,同时考查了恒成立问题,属于中档题.

13. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x +y =a 的切线,

2

2

2

切点 E,延长 FE 交双曲线于点 P,O 为原点,若

= (

+

) ,则双曲线的离心率为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题设知|EF|=b,|PF|=2b,|PF'|=2a,再由|PF|﹣|PF'|=2a,知 b=2a,由此能求出双曲线 的离心率. 解答: 解:∵|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF, ∴|EF|=b, ∵ = ( + ) ,∴|PF|=2b,|PF'|=2a,

∵|PF|﹣|PF'|=2a,∴b=2a, ∴e= = .

故答案为: . 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查抛物线的定 义,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 14. (5 分)已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 且仅有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是( , ) .

﹣a(x>0)有

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,方程 =a 在(0,+∞)上有且仅有 3 个实数根,且 a≥0,[x]=1,2,

3.分别求得[x]=1,2,3,4 时,a 的范围,从而确定满足条件的 a 的范围. 解答: 解:因为 f(x)= 则方程 ﹣a,有且仅有 3 个零点,

=a 在(0,+∞)上有且仅有 3 个实数根,且 a≥0. =0;

∵x>0,∴[x]≥0; 若[x]=0,则 若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1, ∴ < ≤1,

∴ 且

<a≤1, 随着[x]的增大而增大.

故不同的[x]对应不同的 a 值, 故有[x]=1,2,3. 若[x]=1,则有 若[x]=2,则有 若[x]=3,则有 若[x]=4,则有 < < < < ≤1; ≤1; ≤1; ≤1.

综上所述, <a≤ . 故答案为: ( , ) . 点评: 本题考察了函数零点的判定定理,分类讨论思想,是一道基础题. 15. (5 分)下列命题: (1) dx=﹣ | = ;

(2)不等式|x+1|+|x﹣3|≥a 恒成立,则 a≤4; (3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ,则 P(X<0)=P(X>2) ; (4) 已知 l, m 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 若 α∩β=m, l∥α, l∥β, 则 l∥m. 其中正确命题的序号为(2) (3) (4) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)利用定积分的概念解题. (2)含两个不绝对值的不等式的求最值问题,转化为 a≤(|x+1|+|x﹣3|)min (3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ,利用正态分布的性质解决本题 (4)根据线面关系判断即可. 解答: 解:对于(1) dx=﹣ ,故(1)错.

对于(2)由于|x+1|+|x﹣3|≥|(x+1)﹣(x﹣3)|=4,不等式|x+1|+|x﹣3|≥a 恒成立, ∴4≥a,故(2)正确,对于(3)由正态分布的图象可知 p(x<0)=p(x>2)所以(3)正确. 对于(4) ,若 l?α,l∥β,α∩β=m,满足线面平行的性质定理,故 l∥m;故②正确; 故答案为: (2) (3) (4) 点评: 本题主要考查绝对值不等式,函数的恒成立,定积分,正态分布,线面关系等问题, 体现了转化的数学思想,属于中档题. 三、解答题

16. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ c=b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,求△ ABC 的周长 l 的取值范围. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)运用正弦定理和两角和的正弦公式化简整理,即可得到∠A; (Ⅱ)运用正弦定理,可得 l=a+b+c=2+ (sinB+sinC) ,再由 C= ﹣B,运用两角差的

正弦公式,化简计算结合正弦函数的图象和性质,即可得到范围. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理可得,sinAcosC+ sinC=sinB, 则 sinAcosC+ sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 由于 sinC≠0,则 cosA= , 由 0<A<π,可得 A= (Ⅱ)由正弦定理, ; = = = = .

则 b=

sinB,c=

sinC, (sinB+sin( ﹣B) ) ) ,

l=a+b+c=2+ =2+ (

(sinB+sinC)=2+

cosB+ sinB)=2+4( cosB+ ,则 )≤1, <B+ < ,

sinB)=2+4sin(B+

由于 0<B< <sin(B+

则有 4<l≤6. 即为△ ABC 的周长 l 的取值范围是(4,6]. 点评: 本题考查正弦定理的运用,考查三角函数的化简和求值,考查运算能力,属于中档 题. 17. (12 分) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠ABC=60°, AE⊥平面 ABCD, CF⊥平面 ABCD, AB=AE=2, CF=3. (1)求证:EF⊥平面 BDE; (2)求锐二面角 E﹣BD﹣F 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: (1)证明连接 AC、BD,设 AC∩BD=O,以 O 为原点,OA,OB 为 x.y 轴正向,z 轴过 O 且平行于 CF,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,利用向量的数量积,即可 证得 EF⊥平面 BDE; (2)由知(1) 量 是平面 BDE 的一个法向量,求出平面 BDF 的一个法向 ,再利用向量的夹角公式,即可得到二面角 E﹣BD﹣F 的大小.

解答: (1)证明:连接 AC、BD,设 AC∩BD=O, ∵ABCD 为菱形,∴AC⊥BD, 以 O 为原点,OA,OB 为 x.y 轴正向,z 轴过 O 且平行于 CF,建立空间直角坐标系,…(2 分) 则 , , ∴ , , , E (1, 0, 2) , F (﹣1, 0, 3) , ,…(4 分) ,

∴EF⊥DE,EF⊥BE,又 DE∩BE=E, ∴EF⊥平面 BDE; (2)由知(1) BDF 的一个法向量, ,

…(6 分) 是平面

是平面 BDE 的一个法向量,设



由 (10 分)



得:

, 取 x=3, 得 z=1, y=0, 于是

, …



=

=﹣

, …(12 分)

由于二面角 E﹣BD﹣F 为锐二面角,故其大小为 45°.

点评: 本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题, 确定平面的法向量. 18. (12 分)某同学参加某高校的自主招生考试(该测试只考语文、数学、英语三门课程) , 其中该同学语文取得优秀成绩的概率为 0.5,数学和英语取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p <q) ,且不同课程取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为: ξ 0 1 2 3 P 0.12 a b 0.12 (1)求 p,q 的值; (2)求数学期望 Eξ 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)用 A 表示“该生语文课程取得优秀成绩”,用 B 表示“该生数学课程取得优秀成 绩”,用 C 表示“该生英语课程取得优秀成绩”,由题意得 P( )=(1﹣0.5) (1﹣p) (1﹣q)

=0.12,P(ABC)=0.5pq=0.12,由此能求出 p,q. (2)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出其概率,由此能够求出数学期望 Eξ. 解答: 解: (1)用 A 表示“该生语文课程取得优秀成绩”, 用 B 表示“该生数学课程取得优秀成绩”, 用 C 表示“该生英语课程取得优秀成绩”, 由题意得 P(A)=0.5,P(B)=p,P(C)=q,p<q, P( )=(1﹣0.5) (1﹣p) (1﹣q)=0.12,

P(ABC)=0.5pq=0.12, 解得 p=0.4,q=0.6. (2)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)=0.12,

P(ξ=1)=P( )+P( )+P( ) =0.5×(1﹣0.4)×(1﹣0.6)+(1﹣0.5)×0.4×(1﹣0.6)+(1﹣0.5)×(1﹣0. 4)×0.6 =0.38, P(ξ=2)=P(AB )+P(A )+P( ) =0.5×0.4×(1﹣0.6)+0.5×(1﹣0.4)×0.6+(1﹣0.5)×0.4×0.6 =0.38, P(ξ=3)=0.12, ∴Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5. 点评: 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望,是历年 2015 届高考的必考题型之 一.解题时要认真审题,注意排列组合知识和概率知识的灵活运用.
n﹣1

19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣( )

+2(n∈N ) ,数列{bn}满足 bn=2 an.

*

n

(Ⅰ)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=log2 值. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差数列的通项公式即可得出. (Ⅱ)先求通项,再利用裂项法求和,进而解不等式,即可求得正整数 n 的最大值. 解答: (Ⅰ)证明:∵Sn=﹣an﹣( ) (n∈N ) , ∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+( )
n n﹣1 n﹣1 + n﹣1

,数列{

}的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn

(n∈N )的 n 的最大

*

+2(n∈N ) ,当 n≥2 时,Sn﹣1=﹣an﹣1﹣( )

+

n﹣2

+2



化为 2 an=2 an﹣1+1. n ∵bn=2 an.∴bn=bn﹣1+1,即当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=1. 令 n=1,可得 S1=﹣a1﹣1+2=a1,即 a1= . 又 b1=2a1=1,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. n 于是 bn=1+(n﹣1)?1=n=2 an, ∴an= . =n,

(Ⅱ)解:∵cn=log2 ∴ = ﹣ ,

∴Tn=(1﹣ )+( ﹣ )+…( ﹣ 由 Tn ,得 1+ ﹣ ﹣

)=1+ ﹣ ,即 +

﹣ >

, ,

∵f(n)=

+

单调递减,f(4)=

,f(5)=



∴n 的最大值为 4. 点评: 本题综合考查了“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差数列的通项公式、“裂项法”等基础 知识与基本方法,考查恒成立问题,正确求通项与数列的和是关键.

20. (13 分)椭圆 E:

(a>b>0)与双曲线
2

有公共

的焦点, 过椭圆 E 的右顶点作任意直线 l, 设直线 l 交抛物线 y =2x 于 M、 N 两点, 且 OM⊥ON. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A、关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B, 试判断直线 PA,PB 是否相互垂直?并证明你的结论. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设直线 l:ty=x﹣a,代入 y =2x,并整理,利用韦达定理,结合 OM⊥ON,即 可求椭圆 E 的方程; (2)PA⊥PB,设 P(x0,y0) ,将直线 AD 的方程 并整理,求出 B 的坐标,证明 kPA?kPB=﹣1,即可得到结论. 解答: 解: (1)设点 M(x1,y1) ,
2 2 2

代入椭圆的方程,



设直线 l:ty=x﹣a,代入 y =2x,并整理得 y ﹣2ty﹣2a=0, 所以 故有 = …(2 分)

=(t +1) (﹣2a)+at +a =a ﹣2a,解得 a=2…(5 分) 又椭圆与双曲线有公共的焦点,故有 , 所以椭圆的方程为 (2)PA⊥PB. 证明:设 P(x0,y0) ,则 A(﹣x0,﹣y0) , 且 .…(7 分)

2

2

2

2

将直线 AD 的方程

代入椭圆的方程,

并整理得 由题意,可知此方程必有一根﹣x0, , =

…(9 分)



所以

…(12 分)

故有 kPA?kPB=﹣1,即 PA⊥PB…(13 分) 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系, 考查韦达定理的运用,属于中档题.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

(x>0) .

(Ⅰ)试判断函数 f(x)在(0,+∞)上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若 f(x)> 对于?x∈(0,+∞)恒成立,求正整数 k 的最大值;
2n﹣3

(Ⅲ)求证: (1+1×2) (1+2×3) (1+3×4)…[1+n(n+1)]>e



考点: 不等式的证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)对函数 f(x)求导数,可判 f′(x)<0,进而可得单调性; (Ⅱ)问题转化为 h(x)= ,进而可得 min∈(3,4) (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知 k 值; > (x>0) , 可得 ln (x+1) >2﹣ , 令 x=n (n+1) (n∈N ) ,
*

>k 恒成立,通过构造函数可得 h(x)

一系列式子相加,由裂项相消法可得 ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n﹣3, 进而可得答案. 解答: (Ⅰ)解:∵f(x)= ∴f′(x)=﹣
2

(x>0) ,

[

+ln(x+1)]…(2 分) >0,ln(x+1)>0,∴f′(x)<0,

∵x>0,∴x >0,

∴函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数.…(4 分) (Ⅱ)解:f(x)> 恒成立,即 h(x)= >k 恒成立,

即 h(x)的最小值大于 k.…(6 分)

而 h′(x)= 则 g′(x)=

,令 g(x)=x﹣1﹣ln(x+1) (x>0) , >0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,

又 g(2)=1﹣ln3<0,g(3)=2﹣2ln2>0, ∴g(x)=0 存在唯一实根 a,且满足 a∈(2,3) ,a=1+ln(a+1) 当 x>a 时,g(x)>0,h′(x)>0,当 0<x<a 时,g(x)<0,h′(x)<0, ∴h(x)min=h(a)=a+1∈(3,4) 故正整数 k 的最大值是 3 …(10 分) (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知 ∴ln(x+1)> ﹣1=2﹣
*

> >2﹣

(x>0)

…(12 分) ,

令 x=n(n+1) (n∈N ) ,则 ln[1+n(n+1)]>2﹣ ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] >(2﹣ =2n﹣3[ =2n﹣3(1﹣ )+(2﹣ + +…+ )=2n﹣3+ )+…+[2﹣ ] >2n﹣3
2n﹣3

]

∴(1+1×2) (1+2×3)…[1+n(n+1)]>e …(16 分) 点评: 本题考查函数与导数的综合应用,涉及恒成立问题和数列求和的方法,属中档题.


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