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专题一平衡类问题


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专题一

平衡类问题

【高考点睛】 物体的平衡是力学的基础,各种力的概念、平衡条件的应用贯穿于力学乃至整个高中 物理。 对物体受力分析是解决力学问题的基础和关键, 力的合成与分解所遵循的平行四边形 定则、三角形法则、正交分解法是解决此类题的重要方法。 物体的平衡状态是人们在生产、 生活和科学实验中常见的一种状态, 是高考命题的热点。 从近几年的高考趋势看,本专题在高考中的命题趋势,一是更加注重学科内的综合,这 一部分内容更多的是考查与其他部分(如牛顿定律、动量、功和能、电场、磁场)的综合, 如 2004 年全国理综卷 24 题、 2005 年全国理综卷Ⅱ24 题. 同时考查得更具有创新性, 2004 如 年全国理综卷(天津)的第 17 题.二是与其他学科、生产生活、科学实践相结合也是大势所 趋,本专题内容可与数学、生物、建筑、及航空、航天等学科相联系,如利用数学求解力平 衡时的极值问题,利用斯·托克斯原理测量细胞大小、进行密立根油滴实验,建筑物的平衡 问题,以及航天器在不同运动过程中的受力问题. 这就要求同学们深刻地领会力学知识以便能灵活地运用到身边的具体事例中去, 以所学 知识为基础,从丰富翔实的背景材料中抽象出物理模型,正确地受力分析,利用有关的平衡 知识来解决实际问题. 【考题回放】 考题 1.(易错题)(2004·全国理综Ⅱ)如图 1-1 所示,四个完全相同的弹簧都处于水平位置, 它们的右端受到大小皆为 F 的拉力作用, 而左端的情况各不相同: ①中弹簧的左端固定在墙 上,②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用,③中弹簧的左端拴一小物块,物块在光滑的 桌面上滑动,④中弹簧的左端拴一小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量 都为零,以 l1 、 l2 、 l3 、 l4 依次表示四个弹簧的伸长量,则有 ( ) A. l2 > l1 B. l4 > l3 C. l1 > l3 D. l2 = l4 ① F ②F

F F





④ 图 1-1

错解:C 错因分析:在情形①中,因弹簧静止所以弹簧受到的弹力 kl1 ? F ;在情形③中,因弹簧向右 做加速运动, 而错认为弹簧受到的合力向右, 由牛顿第二定律弹力可知 kl3 ? F , 所以得 l1 > l3 . 正解: 在上述四种情形中, 取弹簧为研究对象, 不管弹簧的加速度为多少, 因弹簧是轻弹簧, 其质量为零,所以合力为零,每条弹簧受的弹力均等于 F,由胡克定律得每条弹簧的伸长量 相同,答案为 D. 答案:D 点评: 本题考查了考生所学的基础知识(力的平衡条件)、 基本技能(研究对象的选取)的掌握 程度,因此在高考复习中,学科的基础知识、基本技能、基本方法应是同学们复习的基础和 重点;在复习的过程中应注意“轻线”“轻弹簧”等物理模型的特点──轻线、轻弹簧上各 、 处的张力一定相等. 考题 2.(2005·天津卷)如图 1-2 所示,表面粗糙的固定 斜面顶端安有滑轮,两物块 P、Q 用轻绳连接并跨过滑轮 高考网 www.gaokao.com

图 1-2

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(不计滑轮的质量和摩擦) 悬于空中,Q 放在斜面上,均处于静止状态.当用水平向左的 ,P 恒力推 Q 时,P、Q 仍静止不动,则( ) A、Q 受到的摩擦力一定变小 B、Q 受到的摩擦力一定变大 C、轻绳上拉力一定变小 D、轻绳上拉力一定不变 解析:本题是一个静态平衡问题,由于不知物体 P 和 Q 的质量关系,所以放置在斜面上的 Q 物体在没有水平向左的恒力推 Q 时可能受到斜面对它的静摩擦力作用,也可能不受斜面对 它的摩擦力作用.设斜面倾角为 ? ,P 的质量为 m1 ,Q 的质量为 m 2 .在没有水平向左的恒力 推 Q 时分别有以下几种可能情况: ①当 m1 g ? m2 g sin? 时,斜面对物体 Q 的摩擦力为零; ②当 m1 g ? m2 g sin? 时,斜面对物体 Q 的静摩擦力沿斜面向下; ③当 m1 g ? m2 g sin? 时,斜面对物体 Q 的静摩擦力沿斜面向上. 在①这种情况下,当用水平向左的恒力推 Q 时,Q 受到的摩擦力一定变大;在②这种情 况下,当用水平向左的恒力推 Q 时,Q 受到的摩擦力一定变大;在③这种情况下,当用水 平向左的恒力推 Q 时,Q 受到的摩擦力可能是减小,也可能反向不变、减小或增大;由以 上分析可知 Q 受到的摩擦力从大小来看:①不变;②变小;③变大;这三种情况都有可能. 故选项 A、B 不正确.而轻绳上的拉力可确定 P 物体为研究对象,由于 P 物体处于静止状态, 所以 P 物体受力平衡,即轻绳的拉力等于 P 物体的重力.故轻绳的拉力不变. 答案:D 点评: 本题是一静态平衡问题, 而斜面上处于静态平衡的问题在我们平时的习题训练中并不 陌生, 而比较多的是就 Q 一个物体放置在斜面上处于静止状态, 分析物体所受静摩擦力的变 化情况.而本题在原有题型的基础上又进了一步,再增加一个作用力,分析物体所受静摩擦 力的变化情况,若考生对原有题型能够正确掌握它的分析方法那么本题也就不难作答了.可 见高考并不回避陈题,只不过在原有的基础上推陈出新. 【高考点睛】 物体的平衡状态是人们在生活、 生产和科学实验中常见的一种状态, 是高考命题的热点, 纵观近几年的高考题,虽然单独考查较少,但在高考试卷中无处不在,高考所涉及的内容以 物体平衡和摩擦力较多,涉及的题型以选择题的题型出现较多,且选择题的难度有所提升, 如 2003 年全国理综卷的第 19 题、2004 年全国理综卷Ⅱ的第 18 题;而计算题所占比例有逐 年上升的趋势,如 2002 年全国理综卷的第 29 题、2004 年全国理综卷的第 24 题.所以本专 题的重要性进一步凸现. 物体的平衡是力学的基础, 各种力的概念、 平衡条件的应用贯穿力学乃至整个高中物理. 对物体受力分析是解决力学问题的基础和关键,历年高考题中均反复考查.力的合成与分解 所遵循的平行四边形定则,也是矢量合成与分解时所遵循的普遍法则. 从近几年的高考趋势看,本专题在高考中的出题趋势,一是更加注重学科内的综合,这 一部分内容更多的是考查与其他部分(如牛顿定律、动量、功和能、电场、磁场)的综合, 考查得更具有创新性,如 2004 年全国理综卷(天津)的第 17 题;二是与其他学科、生产生 活、科学实践相结合也是大势所趋,本专题内容可与数学、生物、建筑、及航空、航天等学 科相联系,如利用数学求解力平衡时的极值问题,利用斯·托克斯原理测量细胞大小、进行 高考网 www.gaokao.com

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密立根油滴实验,建筑物的平衡问题,以及航天器在不同运动过程中的受力问题. 这就要求同学们深刻地领会力学知识以便能灵活地运用到身边的具体事例中去, 以所学 知识为基础,从丰富翔实的背景材料中抽象出物理模型,正确地受力分析,利用有关的平衡 知识来解决实际问题. 【精题精析】 题型一:力平衡的定量分析 例 1. 如图 1-3(a)所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口 水平,O 点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在 碗口上,线的两端分别系有质量为 m1 和 m2 的小球,当它们处于平 图 1-3(a) 衡状态时,质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平线的夹角为α = 60°.两小球的质量比 m 2 / m1 为( )

F合

A. 3 /3 B. 2 /3 C. 3 /2 D. 2 /2 解析:方法一:用力的合成法求解 以碗外小球 m2 为研究对象,小球受竖直向上的拉力 FT? 、竖直向下的重力 ? m2 g 的作用,根据平衡条件有 FT ? m2 g ① 以碗内小球 m1 为研究对象,小球受三个力,受力图如图 1-3(b)所示, 由于支持力 FN 、拉力 FT 、重力 m1g 三力平衡,故 FN 、 FT 的合力必与 m1g 等 大 反 向 , 由 几 何 知 识 知 , 两 力 与 竖 直 方 向 夹 角 皆 为 30? , 易 知 :
FT = FN =

FN

30? 30?

FT

m1 g 图 1-3(b)
FT
30? m1 g

m1g 2 cos 30?

?

3 m1g ② 3

? 由牛顿第三定律得 FT ? FT ③

FN 30?

由①②③解得

m2 3 ,A 正确. ? m1 3

图 1-3(c)

方法二:用三角形法求解 由于 FN 、 FT 、 m1g 三力平衡,故 FN 、 FT 与 m1g 组成如图 1-3(c)的矢量三角形,可知:
FT = FN =

m1g 2 cos 30
?

?

m 3 3 m1g ,再与①③两式联立可得: 2 ? m1 3 3

方法三:用正交分解法求解 建立直角坐标系如图 1-3(d),将 FN 、 FT 沿竖直、水平方向正交分解, 根据平衡条件
FT = FN =
FN cos 30? ? FT cos 30? ? m1g , FN sin 30? ? FT sin 30? 解 得 :

FN

? 30? 30

FT

m 3 3 m1g ,再与①③两式联立可得: 2 ? m1 3 3

m1 g 图 1-3(d)

答案:A 点评:本题为常规的物体平衡问题,对三力平衡问题,可以用力的合成法、三角形法、正交 分解法求解, 若三力中其中两力的大小相等或两力的方向垂直, 一般采用正交分解法比较简 捷. O 例 2.如图 1-4(a)所示,真空中两个相同的小球带有等量同种电荷,质量 均为 0.1g,分别用 10cm 长的绝缘细线悬挂于天花板上的一点,平衡时,B 60? 球偏离竖直方向 60? 角,A 球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触,求: (1)B 球带电量为多少? (2)墙壁对 A 球的支持力为多大? (3)若墙壁的绝缘性能不是很好, 而使 A 球在缓慢地漏电, 那么 B 球受到的 拉力、库仑力的大小如何变化? 高考网 www.gaokao.com

B

A
图 1-4(a)

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解析:(1) B 球受力如图 1-4(c)所示,因 B 球静止,所以 B 球受到的重力 mg 、拉力 FB 、库 仑力 F 三力组成的一个封闭的矢量三角形与 ?OAB 相似〖图 1-4(d、b)〗 ,所以用三角形法求 解较方便,可得:
mg FB F ? ? OA OB AB

因 OA ? OB ? AB ,所以 F ? mg 再据库仑定律 F ? K
Q2 r2

,解得: Q ? 3.3 ? 10?8 C

O
60?

FB

F
FB

FA

B
mg mg
图 1-4(c)

F

FN

A
图 1-4(b)

F
图 1-4(d)

mg
图 1-4(e)

(2) A 球受力如图 1-4(e)所示,因 A 球受到四个力的作用而静止,所以用正交分解法求解较 方便,可得: FN ? F sin 60? ? 0 ,解得: FN ? 8.66 ? 10?4 N (3) A 球在缓慢地漏电,导致 A 的电荷量减少,使 A、B 之间的距离 AB 在减小,但 mg 、 FB 、 F 三力组成的一个封闭的矢量三角形与 ?OAB 还是相似,可得:
mg FB F OB AB ,解得 FB ? ? ? mg ; F ? mg OA OB AB OA OA

因 OA ? OB ,所以 FB ? mg 不变;因 AB 在减小,所以 F 也减小. 答案:(1) Q ? 3.3 ? 10?8 C ; (2) FN ? 8.66 ? 10?4 N ; (3) 拉力 FB 不变,库仑力 F 在减小. 点评:本题中,B 球的三力平衡问题,用三角形法求解较简捷,特别是当 B 球受的库仑力在 变化时, 用三角形相似的方法求解更是一气呵成!(同学们试着用正交分解法去求解, 与上述 方法作一个比较!!);对于 A 球的多力平衡问题(三力以上的平衡问题),一般用正交分解法 的通用解法. 例 3.重为 G 的木块与水平面间的动摩擦因数为 ? ,一人欲用最小的作用力 F 使木板做匀 速运动,则此最小的作用力的大小和方向应如何? 解析:木块在运动中受摩擦力作用,要减小摩擦力应使作用力 F 斜 向上,设当 F 斜向上与水平方向的夹角为 ? 时,F 的值最小. 方法一:正交分解法 木块受力分析如图 1-5(a)所示,由平衡条件列方程:
F cos? ? ?FN ? 0 F sin? ? FN ? G ? 0

FN
Ff

?
G
图 1-5(a)

F

解得: F ?

?G cos? ? ? sin?
1 1? ?
2

cos? ? ? sin? ? 1 ? ? 2 (

cos? ?

?
1? ?2

sin? )

FR
Ff

FN

?
G

?

F

令 cos? ?

1 1? ?
2

, sin? ?

?
1? ?2



图 1-5(b)

? FR
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G

F
图 1-5(c)

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则 cos? ? ? sin? ? 1 ? ? 2 (cos ? cos? ? sin? sin? ) ? 1 ? ? 2 cos(? ? ? ) 可见 ? ? ? ? arctan ? 时 F 有最小值,即 Fmin ? 方法二:三角形法 由于 F f ? ?FN ,故不论 FN 如何改变, F f 与 FN 的合力 FR 的方向都不会发生改变,如图 1-5(b)所示,合力 FR 与竖直方向的夹角一定为 ? ? arctan ? ,力 FR 、G、F 组成封闭的矢量三 角形, 由图 1-5(c)可知, F 与 FR 垂直时, 有最小值, 当 F 由几何关系得: min ? G sin? ? F 答案:当 F 与水平方向的夹角 ? ? ? ? arctan ? 时, Fmin ?
?G
1? ?2

?G
1? ?2

?G
1? ?2

点评: 力的三角形法与正交分解法是解决共点力平衡问题的最常见的两种解法, 三力平衡适 于用力的三角形法求解,简捷、直观;多力平衡问题适于用正交分解法求解,但有时有冗长 的演算过程,因此需灵活处理.在某些情形时,可把多力化为三力,再采用三角形法,可谓 捷径! 题型二:力平衡的动态分析 例 4.如图 1-6(a)所示, 把球夹在竖直墙 AC 和木板 BC 之间, 不计摩擦, 球对墙的压力为 FN1 , 球对板的压力为 FN 2 ,在将木板 BC 逐渐放至水平的过程中,下列说法中正确的是( A. FN1 和 FN 2 都增大 B. FN1 和 FN 2 都减小 C. FN1 增大, FN 2 减小 D. FN1 减小, FN 2 增大
C
G

)

A B

? FN 2 ? FN 2 ? FN1

G
? FN1

图 1-6(a)

图 1-6(b)

图 1-6(c)

? 解析:取球为研究对象,球的受力情况如图 1-6(b)所示:重力 G,墙对球的弹力 FN1 ,木板 ? ? ? 对球的弹力 FN 2 ,这三个力的合力为零,根据平衡条件可以做出 G、 FN1 、 FN 2 组成的矢量三 ? 角形如图 1-6(c)所示.在木板逐渐放至水平的过程中,G 的大小方向不变, FN1 的方向不变, ? ? ? FN 2 与竖直方向的夹角逐渐变小.从图中不难看出 FN1 减小, FN 2 减小.

答案:B 点评:在静力学中.不少题目需要利用矢量三角形对物体的受力情况进行动态分析,这时一 定要弄清哪些力是不变的,哪些力是变化的,是大小或方向变化还是二者均发生变化,这是 矢量三角形演化的依据. 例 5.如图 1-7(a)所示装置,两根细绳栓住一球,保持两细绳间的夹 角不变,若把整个装置顺时针缓慢转过 90? ,则在转动过程中,CA 绳的 拉力 F A 大小的变化情况是 , 绳 的拉力 FB 的大小变化情况 CB

?
A
C

B

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图 1-7(a)

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是 . 解析:取球为研究对象,由于球处一个动态平衡过程,球的受力情况如图 1-7(b)所示:重 力 mg ,CA 绳的拉力 F A ,CB 绳 的拉力 FB ,这三个力的合力为零,根据 平衡条件可以做出 mg 、F A 、FB 组成的矢量三角形如图 1-7(c)所示. 将 FB 装置顺时针缓慢转动的过程中,mg 的大小方向不变,而 F A 、 FB 的大小 ? 方向均在变,但可注意到 F A 、 FB 两力方向的夹角 ? 不变.那么在矢量三 FA 角形中, F A 、 FB 的交点必在以 mg 所在的边为弦且圆周角为 ? ?? 的圆 mg 周上,所以在装置顺时针转动过程中,CA 绳的拉力 FA 大小先增大后减 图 1-7(b) 小;CB 绳的拉力 FB 的大小一直在减小. 答案:先增大后减小;一直在减小. 点评:本题在利用矢量三角形对物体的受力情况进行动态分析时,除一 力恒定外,其余两力大小方向均在变,与一般的动态分析问题有所不同 mg FB (如例 4),但可充分挖掘题中的隐含条件──两力方向的夹角不变,从 ? ?? 而找到解决问题的关键所在. FA 题型三:整体法和隔离法 图 1-7(c) 例 6.如图 1-8(a)所示,两个质量均为 m 的小球 A、B 用轻杆连接后, 斜放在墙上处于平衡状态,已知墙面光滑,水平地面粗糙.现将 A 向上 移动一小段距离,两球两次达到平衡,那么将移动后的平衡状态与原来的平衡状态比较,地 F1 面对 B 球的支持力 FN 、 和轻杆上的压力 F F 的变化情况为( ) A. FN 不变、F 变大 B. FN 不变、F 变小 C. FN 变大、F 变大 D. FN 变大、F 变小
A

?

A F1
FN

?
B

mg
Ff

mg FN

B mg ? F ?

Ff

mg

解析:方法一:隔离法 图 1-8(a) 图 1-8(b) 图 1-8(c) 本题有两个研究对象,可先分别对 A 球、B 球隔离法分析,如图 1-8(b)所示,因 A 球受力平衡可得: F cos? ? mg ① 将 A 向上移动一小段距离,即 ? 角减小,所以 F 减小. 因 B 球受力平衡可得: FN ? mg ? F ? cos ? ②, F ? ? F ③ 由①②③得: FN ? 2mg 与 ? 角无关,故 FN 不变,选 B. 方法二:整体法 将 A、B 两球看作一整体受力情况如图 1-8(c)所示,因整体静止,故在竖直方向有: FN ? 2mg ,即 FN 不变;而 F 为整体的内力,故在整体法中得不出 F 的变化情况,只有对某 一单体隔离受力分析后,才能得出 F 的变化情况. 答案:B 点评:在相对静止的连接体问题中,所求的是系统的外力问题,一般用整体法处理较简捷; 所求的是系统的内力问题,只能用隔离法分析. 例 7.如图 1-9(a)所示,质量为 M 的大斜面体放在水平地面上,倾角为 ? .今有质量为 m 的 玩具汽车在斜面上匀速向上运动,斜面体保持静止. (1)若玩具汽车是电动的,自行匀速驶上斜面,则地面对 M 的支持力 FN1 和地面对 M 的静摩 擦力 F f1 各为多大?

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(2)若玩具汽车无动力, 是某人用沿斜面的拉力 F 使其匀速上行的, 则地面对 M 的支持力 FN2 和地面对 M 的静摩擦力 F f 2 各是多大?
FN1 FN 2 Ff2

v m

F

?

?

M

(M ? m) g
图 1-9(b)

(M ? m) g
图 1-9(c)

图 1-9(a)

解析:(1)因所求的是 M、m 组成的系统受到的外力,可以选择该系统为研究对象.虽然 m 相 对于 M 做匀速运动, m 相对于 M 匀速和 m 相对于 M 静止的两状态的受力情况相同, 但 因此可 视 M、 组成的系统为整体, m 整体受力情况如图 1-9(b)所示, 因整体静止, 可得: N1 ? (M ? m) g , F
F f1 ? 0

(2)因 m 相对于 M 做匀速运动,仍以 M、m 组成的整体为研究对象,受力情况如图 1-9(c) 所示,因整体静止,可得:
F f 2 ? F cos ? FN2 ? F sin? ? (M ? m) g ,化简得: FN2 ? (M ? m) g ? F sin?

答案:(1) FN1 ? (M ? m) g , F f1 ? 0 ;(2) F f 2 ? F cos ? , FN2 ? (M ? m) g ? F sin? 点评:严格意义上,相对静止的连接体可视为整体,但相对匀速运动的连接体的受力情况与 前者相同,所以加速度相同的连接体均可等效为一个整体处理;本题还可用隔离法求解,同 学们可把两种方法求解后作一比较,以便在今后处理连接体问题中体会何时可用整体法处 理,何时可用隔离法处理,何时必须用隔离法处理. O 题型四:与弹簧弹力有关的平衡问题 例 8.如图 1-10(a)所示,一根轻弹簧上端固定在 O 点,下端拴一个 钢球 P,球处于静止状态,现对球施加一个方向向右的外力 F,使球 缓慢偏移,在移动中的每一个时刻,都可认为钢球处于平衡状态.若 外力 F 方向始终水平,移动中弹簧与竖直方向的夹角 ? ? 90? 且弹簧的 伸长量不超过弹性限度, 则下面给出的弹簧伸长量 x 与 cos? 的函数关 系图象中,最接近的是( )

?
F
图 1-10(a)

P

x

x

x

x

O

cos?

O

A

B

cos?

O

C

cos?

O

1

D

cos?

解析:因小球经过每一位置时,小球均处于平衡状态,可取 ? 角为自变量,建立弹簧伸长量 x 与 ? 的 函 数 关 系 , 如 图 1-10(b) 所 示 中 , 对 小 球 受 力 分 析 可 得 : F弹
F弹 cos ? ? mg

?

F

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mg
图 1-10(b)

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联立 F弹 ? kx 可得: x ? 答案:D

mg k cos ?

点评:利用小球合力等于零,还可得到水平方向的平衡条件:F弹 sin? ? F ,可得:x ?

F , k sin?

但因 F 的变化得不出 F 与 ? 的简明关系,所以在建立方程时,应充分利用题目中的已知量. 例 9.(易错题)如图 1-11 所示,质量为 m 的物块与甲、乙两个弹簧相连接, 甲弹簧的下端与地相连,甲、乙弹簧的劲度系数分别为 k1 、 k 2 .现在用手拉乙弹 簧的上端 A,使它缓慢上移,当甲弹簧中的弹力变为原来的 2 3 时,乙上端 A 移 乙 k 动的距离可能为 错解: mg (
5 3 1 1 ? ) k1 k2

.

2

m

k1

错因分析:把甲弹簧中的弹力仅当作拉力处理. 正解:本题的物理过程分三个阶段:①物块压于甲弹簧上,甲被压缩 x1 ;②甲
? 弹簧受力变为 mg ,甲可能被拉伸,也可能被压缩,拉伸(或压缩) x1 ;③乙弹

图 1-11

2 3

簧的弹力随甲的形变量变化 ?x1 的不同而变化,设乙伸长 x2 ,则 A 端移动距离为 x2 ? ?x1 . 开始时物块 m 全部压于甲弹簧上,压缩量 x1 ? (1)若甲仍处于压缩状态.
2 mg 2mg ? 对甲:弹簧压缩量 x1 ? 3 ? k1 3k1

mg k1

,甲的压缩量比原来减小 ?x1 ?

mg 2mg mg 也即物块 ? ? k1 3k1 3k1

上升的高度. 对乙:分析物块 m 平衡可知乙弹簧对物块 m 的拉力为 mg ,即伸长 x 2 ? 升距离 ?x ? x 2 ? ?x1 ?
mg 1 1 ( ? ) 3 k1 k 2

1 3

mg ,故 A 端上 3k 2

(2) 若甲处于伸长状态.
2 mg 2mg ? 对甲:弹簧伸长量 x1 ? 3 ? k1 3k1

,则甲弹簧从弹簧压缩量 x1 的状态开始向上的伸长量

? 为 ?x1 ?

mg 2mg 5mg 也即物块上升的高度. ? ? k1 3k1 3k1

对乙: 分析物块 m 平衡可知乙弹簧对物块 m 的拉力为 mg ? mg ? mg ,乙弹簧向上伸长
? 为 x2 ? 5mg 5mg 1 1 ? ? ,故 A 端上升距离 ?x ? ? x 2 ? ?x1 ? ( ? ). 3k 2 3 k1 k 2 mg 1 5mg 1 1 1 ( ? )或 ( ? ) 3 k1 k 2 3 k1 k 2

2 3

5 3

所以 A 端上移距离为 答案:

mg 1 5mg 1 1 1 ( ? )或 ( ? ) 3 k1 k 2 3 k1 k 2

点评:对“当甲弹簧中的弹力变为原来的 2 3 ”的全面理解是解决本题的关键所在,其实仔 细审题也可以从字里行间──“可能为”──体会到多解的可能性;本题容易出错的另一处 高考网 www.gaokao.com

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是将 A 点移动距离简单理解为某一个弹簧的伸长量, 其实 A 点的移动距离是由甲乙共同形变 的综合效果决定的. 题型五:与摩擦有关的问题 例 10.在水平桌面上有一木块受到力 F1 与 F2 的作用而处于平衡状态,如图 1-12 所示,如 撤去 F1 ,木块受到合外力为 ,如果撤去 F2 ,木块受到的合力为 . 解析:原来木块能处于平衡状态,说明物体必受到静摩擦力的作 用,且最大静摩擦力 F f m 满足 F f m ? 5 N .若撤去 F1 ,此时推力 故物体不动, 合外力为 0.其实物体受的静摩擦力已经发 F2 ? F f m ,
F ? 8N 1 F2 ? 3N

图 1-12

生了变化,由原来的 5N 变为此时的 3N.如撤去 F2 物体在 8N 推力作用下,若 F f m ? 8 N 则物体 仍 静 止 . 若 F f m 刚 好 为 5N , 则 物 体 受 的 合 外 力 3N. 故 这 种 情 况 下 物 体 受 的 合 外 力
0 ? F合 ? 3N (认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

答案:0; 0 ? F合 ? 3N 点评: 因静摩擦力的大小跟接触面间的压力大小无关, 分析静摩擦往往从物体的运动状态入 手,若为平衡态,静摩擦力将由平衡条件建立方程求解;而静摩擦力必须小于等于最大静摩 擦力,此时必须考虑压力大小得出最大静摩擦力不变,从而可知 F f m ? 5 N ,这是求解本题的 关键点. 例 11.长直木板上面的一端放有一铁块,木板绕固定轴 O 由水平 位置缓慢逆时针转动,如图 1-13(a)所示,在α 角为 0 ? 增大到 90? 的 过程中,铁块受到的摩擦力 F f 随角α 变化的图象中正确的是(设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力) ( )

O

?
图 1-13(a)

Ff

Ff

Ff

Ff

O

90? ?

O

A

B

?

O

C

90? ?

O

D

90? ?

解析:物体受力分析如 图 1-13(b)所示,转动较小角度时,压力 FN ? mg cos ? 较大,而重力沿斜面向下的分力 mg sin? 较小,因此铁块 受静摩擦力作用, 由力平衡条件知,静摩擦力 F f 静 ? mg sin? ,α 增大,
Ff


FN

Ff

O

?

mg

增大.

图 1-13(b)

随着α 增大,压力 FN ? mg cos ? 减小,最大静摩擦力减小,而重力沿斜面向下的分力
mg sin? 增大,因此当α 角超过某一值时,铁块受滑动摩擦力作用,由 F f 滑 ? ?FN 知,

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F f 滑 ? ?mg cos ? ,α 增大, F f



减小.所以综合上述两种情形,当α 增大时,摩擦力先按正

弦规律增大后按余弦规律减小,答案选 C. 答案:C 点评: 本题考察了影响静摩擦力大小和滑动摩擦力大小的因素, 在假设的静摩擦力超过最大 静摩擦力时,物体变静止为滑动,这种演化需要同学结合物体的受力特点,分析物体的整个 运动过程,这也是同学们求解每一力学题的习惯──先对研究对象受力分析、运动分析. 题型六:在复合场中有关的平衡问题 例 12. 如图 1-14(a)中 bacd 的导体框架,其平面 与水平面成θ 角,质量为 m 的导体棒 PQ 与 ab、cd o 接触良好,回路的电阻为 R,整个装置放于垂直于 框架平面的变化的磁场中,磁感应强度的变化如 图 1-14(b)所示,PQ 始终静止,在 0 ? t s 内,PQ 图 1-14(a) 图 1-14(b)

受到的摩擦力的变化情况可能是( ) A、一直增大 B、一直减小 C、先减小后增大 D、先增大后减小 解析:一般把物体的受力情况展示在平面图上,处理问题更加方便、准确. ⑴由楞次定律的推论:感应电流的方向总是要阻碍原磁通量的变化,可知在磁感应强度 B 减小的第一阶段,感应电流的安培力 F A 沿斜面向上,因 0 时刻可能安培力 FA ? mg sin? ,受 力 情 况 如 图 1-14(c1) 所 示 . 由 平 衡 条 件 可 得 : FA ? F f ? mg sin? , 当 B 减 小 时 , 可 知, FA ?? F f ? . 当 B 反向增大的第二阶段,感应电流的安培力 F A 沿斜面向下,如图 1-14(c2)所示,由平 衡条件可得: F f ? mg sin? ? FA ,当 B 增大时,可知, FA ?? F f ?
FN FN FN FN FN FN

B

F f FA

B
FA

Ff

B

FA

Ff

B

FA

B

F f FA

B

Ff

FA

?

?

?

?

?

?

mg
图 1-14(c1)

mg

mg

mg
图 1-14(d2)

mg
图 1-14(d3)

mg
图 1-14(d4)

图 1-14(c2) 图 1-14(d1)

⑵若 0 时刻可能安培力 FA ? mg sin? ,受力情况如图 1-14(d1)所示,由平衡条件可得:
FA ? mg sin? ? F f ,当 B 减小时,可知, FA ?? F f ? ;当 F f 减小到零后, FA ?? F f 反向 ? ,如

图 1-14(d2 、d3)所示. 当 B 反向增大,安培力 F A 沿斜面向下,由平衡条件可得: F f ? FA ? mg sin? ,当 B 增大时, 可知, FA ?? F f ? . 综上两种情况,摩擦力可能一直增大,可能先减小后增大. 答案:AC 点评:在对物体受力分析时,只要同学们判断清楚磁场力的特点后,余下的处理问题的方法 高考网 www.gaokao.com

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与前面的例题相似,只要知道静摩擦力大小、方向的特点,就可把握解决问题的关键. 例 13. 如图 1-15(a)所示, 地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场, 已知磁 场方向垂直于纸面向里,一个带电油滴沿着一条与竖直方向成θ 角的直 线运动.由此可判断( ) M A、如果油滴带正电,它是从 M 点运动到 N 点 B、如果油滴带正电,它是从 N 点运动到 M 点 θ C、如果水平电场方向向左,油滴是从 M 点运动到 N 点 N D、如果水平电场方向向右,油滴是从 M 点运动到 N 点 解析: 若油滴所做的直线运动是变速运动, 则洛伦兹力 F f 的大小必变化, 而重力 mg 与电场力 F 是恒力,又 F f 的方向垂直运动方向,油 滴所受的合力与 MN 运动方向不共线,则油滴做变速曲线运动, 与题目的条件矛盾,所以油滴一定做匀速直线运动. 在对带电油滴受力分析时,先分析重力,再电场力,后磁 场力.重力 mg 竖直向下,电场力 F 可能水平向右、可能水平向 左. 图 1-15(a)

Ff Ff

? mg

F

? mg

F

图 1-15(b)

若 F 水平向右,无论洛伦兹力 F f 垂直 MN 斜向上或斜向下,如图 1-15(b)所示,油滴不 能处于平衡状态. 若 F 水平向左,则 F f 垂直 MN 斜向上时,如图 1-15(c)所示,油滴受力平

Ff

衡,如果水平电场方向向右,则油滴带负电,油滴是从 N 点运动到 M 点;如 F ? 果水平电场方向向左,则油滴带正电,油滴是从 M 点运动到 N.所以选 AC. mg 答案:AC 图 1-15(c) 点评:做好此题必须要理解洛伦兹力大小、方向的特点,速率决定洛伦兹力 大小, 而洛伦兹力又只改变速度方向, 从而导出带电体在场力作用下的直线运动一定是匀速 直线运动; 同时必须加强思维的多元性培养, 从而挖掘出物体所受合外力为零时出现的各种 可能情况. 【高考点击】 例 14.武汉市水果湖建有一座李白放鹰台,每年春天吸引了许多游客前往放风筝.会放风筝 的人,可以使风筝静止在空中.如图 1-16(a)所示的四幅图中,AB 代表风筝的截面.OL 代 表风筝线,风向水平,假设风筝表面光滑,风筝可能静止的是( )
B
O

B

A

90?

风向

A

O

B

O

风向

风向

A

O

B

A

风向

L

L

L

L
FT

D C 图 1-16 (a) 解析:因风筝静止,风筝所受合力为零,所以对风筝受力分析,可知风筝受 A 到竖直向下的重力 mg 、 线对其斜右下的拉力 FL 、 风对其垂直表面向上的托力 因三力合力为零, 则只有 B 图满足题意, 受力情况如图 1-16 (b) FT 三力作用, 高考网 www.gaokao.com

A

B

O

B

mg

FL

图 1-16(b)

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所示. 答案:B 点评: 本题自然把力的平衡知识与同学们非常贴近、 熟悉的生活经历联系起来, 基础性很强, 考查了同学们能否从实际的生活中抽象出物理模型、利用力平衡知识去解决实际问题的能 力,这是高考出题的一种趋向. 例 15. 如图 1-17(a)所示,将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于 A、B 两点上,一 物体用动滑轮悬挂在绳子上,达到平衡时,两段绳子间的夹角为 ? 1 ,绳子张力为 F1 ;将绳 子一端由 B 点移动 C 点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为 ? 2 ,绳子张力为 F2 ; 再将绳子一端由 C 点移至 D 点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为 ? 3 ,绳子的 张力为 F3 ,不计摩擦,则( ) A. ? 1 = ? 2 = ? 3 B. ? 1 < ? 2 < ? 3 C. F1 > F2 > F3 D. F1 = F2 < F3
B A
C

B
D

A ?? O ?
C

F1

F1

A

F2

? ?

F2

C

A
F3

?

?
mg

F3

D

mg mg

图 1-17(a)

图 1-17(b)

解析: 滑轮和绳上都无摩擦, 所以两边绳子中的拉力相等, 故两绳与竖直方向的夹角也相等, 如图 1-17(b)所示,设动滑轮和物体的总质量为 m,A、B 或 A、C 两点的水平距离为 d , A、 D 两点的水平距离为 d ? ,线总长为 l .当绳系 B 点时,将 BO 延长至与竖直壁的延长线交于 C 点,由几何知识可知 OA=OC,则绳与竖直方向的夹角为 ? ?
?1
2 ? arcsin mg d ,则 F1 ? l 2 cos ?

同理,当绳系 C 点时,绳与竖直方向的夹角 ? ? ? ,即 ? 2 ? ?1 , F2 = F1 . 当绳系 D 点时,绳与竖直方向的夹角为 ? ?
? 3 ? ? 2 ? ?1 .由 F3 ?

?3
2

? arcsin

d? ,因 d ? ? d ,则 ? ? ? ? ? ,即 l

mg 得 F3 ? F2 ? F1 ,所以选 D. 2 cos ?

答案:D 点评: 本题中的绳子从 B 点移到 C 点的物理情景同学们非常熟悉, 它考察了力的平衡知识和 平面几何知识问题; 而本题新增把绳子从 C 点移到 D 点的变色, 考察了同学们是否真正领会 该题的思维精髓.所以学习应融会贯通,旧瓶装新酒(陈题改造)也是考察同学们能力的一 种高考题源. 例 16.在一个与水平面成α 角的粗糙斜面上放着一个物 体在 A 点,它系于一根不可伸长的细绳上,绳子的另一 C A α 端 B 通过小孔 C 穿出底面,如图 1-18(a)所示,开始 时物体与 C 等高,当物体开始缓慢下滑时,适当的拉动 绳端 B, 使物体在斜面上划过一个半圆到达 C, A 和斜 则 图 1-18(a) 面之间的动摩擦因数μ 为( ) A. sin? B. cos? C. tan ? D. cot ? 解析:物体在缓慢运动的过程中,在每个位置均可看作处于平衡 A 状态,为使物体的平衡条件具有任意性, 可取物体在某一任意位置 ? 处,设此时连线 DC 与 AC 之间的夹角为 ? ,物体所受重力为 mg . F f 高考网 www.gaokao.com
?

B

F

O ?

C

D

mg sin?

图 1-18(b)

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根据 ? ?

Ff FN

,只要求出 F f 、 FN 即可.

对物体受力分析,在垂直于斜面方向上 FN ? mg cos ? 在斜面平面上的受力情况如图 1-18(b)所示,因细绳对物体的拉力 F 未知,所求的只 是 摩 擦 力 F f , 只 需 将 重 力 的 分 力 mg sin? 、 F f 沿 垂 直 于 DC 方 向 分 解 即 可 , 则
F f cos ? ? mg sin? cos ?

因三角形 ODC 为等腰三角形,所以 ? ? ?ODC ? ? ,上式可化简为 F f ? mg sin ? ,再根据
??
Ff FN ? mg sin ? ? tan ? mg cos ?

答案:C 点评: 缓慢运动的准静态平衡问题是一种典型的静力学模型, 通常利用三力平衡的三角形法 较方便,但在此题中,利用正交分解法更加地容易寻找角与角的关系;本题核心的思维观点 是寻找函数(动摩擦因数μ)与自变量(物体位置θ)的函数关系,考察了同学们的数学能 力在物理问题中的具体应用,也是对同学们的科学素养(科学的方法和手段)的考察. 【临战演习】 1.有关合力与分力的问题,下列说法正确的是( ) A.合力和它的分力同时作用在物体上 B.合力的大小等于两个分力大小的代数和 C.合力可能小于它的某一个分力 D.合力的大小可能等于某一个分力 解析:合力与分力的作用效果是等效替代的关系,所以 A 错;合力与分力的大小方向关系遵 循平行四边形定则,其合力的大小的变化范围为 F1 ? F2 ? F合 ? F1 ? F2 ,即 F合 的大小既可能 等于 F1 ,也可能等于 F2 ;可能小于 F1 、 F2 中的任何一个力;也可能大于 F1 、 F2 中的任何 一个力,所以 B 错,CD 对. 答案:CD 2.一氢气球下系一小重物 G,重物只在重力和绳的拉力作用下做匀速直线运动,不计空气阻 力和风力影响,重物匀速运动的方向如图 1-19 中箭头所示的虚线方向,图中气球和重物在 运动中相互所处的位置正确的是( )

v
A B

v

v
C

v
D

图 1-19

解析:对重物作为研究对象,重物只受重力和拉力作用处于平衡状态,该两力方向均在竖直 方向,所以选 A. 答案:A 3.如图 1-20 所示,在磁感应强度为 B 的匀强磁场的区域中有一光滑斜面体固定在地面上 , 在斜面上放了一根长为 L ,质量为 m 的导线,当通以如图示方向的电流 I 后,导线恰能保 高考网 www.gaokao.com

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持静止,则磁感应强度 B 必须满足( ) A. B ? mg sin? / IL ,方向垂直斜面向上; B. B ? mg sin? / IL ,方向垂直斜面向下; C. B ? mgtg? / IL ,方向竖直向上 D. B ? mg / IL ,方向水平向右.

FA

FN

图 1-20

mg

图 1-20(a) 解析:对于 A、C、D 的磁场方向对电流分别产生沿斜面向下、水平向右、 竖直向下的安培力, 故这三种情况均不能使导线平衡.对于 B, 受力情况如图 1-20 (a) 所示, 由平衡条件知, mg sin? ? ILB ,可得: B ? mg sin? / IL 答案:B 4.如图 1-21 所示,轻杆 AB 下端有一固定轴,使杆 AB 可在纸平面内无摩 C 擦转动,上端有一光滑的轻质小滑轮,一根细绳一端 C 系在墙上,绕过滑 B 轮另一端系一质量为 m 的物体,当 C 端在缓慢地上移过程中,则杆对滑轮 的作用力将( ) A A.变大 B.不变 图 1-21 C.变小 D.无法确定 FN 解析:因同一条绳跨过光滑的定滑轮,所以绳子在 B 点左右的两部分 拉力 F1 ? F2 ? mg ,轻杆 AB 只有杆的两端受力,无论杆 AB 处在哪种状 F1 态, 杆的 B 端对滑轮的弹力 FN 必沿杆的方向, 滑轮的受力情况如图 1-21 ?1 ?2 (a)所示,根据力的平衡条件, F1 sin?1 ? F2 sin? 2 ,可得: ?1 ? ? 2 ; F2 FN ? 2F2 cos ? 2 ? 2mg cos ? 2 ,当 C 端上移时, ? 1 、 ? 2 均增大,同时杆往 图 1-21(a) 下转动,杆对滑轮的作用力 FN 减小,所以选 C. 答案:C 5.(2006 江西吉安市高三模拟考试)如图 1-22 所示,电荷量为 Q1 、 Q2 的两个正点电荷分 别置于 A 点和 B 点,两点相距 L.在以 L 为直径的光滑绝缘半圆环 上,穿着一个带电小球 ?q (视为点电荷) ,在 P 点平衡.不计小球 的重力,那么,PA 与 AB 的夹角 ? 与 Q1 、Q2 的关系应满足( ) A. tan 3 ? ? C. tan 3 ? ?
Q2 Q1 Q1 Q2

P

B. tan 2 ? ? D. tan 2 ? ?

Q2 Q1 Q1 Q2

?
A
O

B

图 1-22
F2

? ?
P

F1

解析:对小球 ?q 受力分析如图 1-22(a)所示,图中由圆知识可 得 ? ? ? ? 90? ,因小球 ?q 平衡又 FN 未知,可在垂直于 FN 方向上建 立平衡条件, F1 sin? ? F2 sin ? 将 F1 ? k
k Q1q (2R sin ? ) 2 Q1 q (2R sin ? ) 2

A
Q2 q (2R sin ? ) 2

?
O

FN

B

图 1-22(a) 代 入 上 式 得 :
sin ? cos ?
2

、 F2 ? k

sin ? ? k

Q2 q (2R sin ? ) 2

sin ? ,化简得, Q1

? Q2

cos ? sin ?
2

,整理可得: tan 3 ? ?

Q2 . Q1

答案:A 6.如图 1-23 所示,条形磁铁放在水平粗糙桌面上,它的正中间上方固定一根长直导线,导 线中通过方向垂直纸面向里(即与条形磁铁垂直)的电流,和原来没有电流通过时相比较, 磁铁受到的支持力 FN 和摩擦力 F f 将( )

图 1-23 高考网 www.gaokao.com

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A. FN 减小, F f =0 C. FN 增大, F f =0

B. FN 减小, F f ≠0 D. FN 增大, F f ≠0

解析:在直导线处磁铁产生的磁场方向水平向左,在直导线中通入图示方向的电流时,导线 所受的安培力方向竖直向上.根据牛顿第三定律,通电导线对磁铁的作用方向竖直向下,使 桌面对磁铁的支持力 FN 增大,而磁铁在水平方向不受任何力作用,所以摩擦力 F f =0. 答案:C 7.如图 1-24 所示, 物块 M 通过与斜面平行的细绳与小物块 m 相连, 斜面的倾角 ? 可以改变, 讨论物块 M 对斜面的摩擦力的大小,则有( ) M A.若物块 M 保持静止,则 ? 角越大,摩擦力一定越大 m B.若物块 M 保持静止,则 ? 角越大,摩擦力一定越小 ? C.若物块 M 沿斜面下滑,则 ? 角越大,摩擦力一定越大 D.若物块 M 沿斜面下滑,则 ? 角越大,摩擦力一定越小 图 1-24 解析:当物块 M 沿斜面下滑时,物块所受的是动摩擦力,大 小为 F f ? ?Mg cos ? , ? 角越大,摩擦力 F f 越小,D 正确. 若物块 M 保持静止时,物块相对斜面有沿斜面下滑或上 滑的趋势.当静摩擦力 F f 沿斜面向上时,如图 1-24(a)所示,
Mg sin ? ? F f ? FT ①,而 FT ? mg ②.由①②得 Mg sin ? ? F f ? mg ,当 ? 角越大, F f 越大. 当
FN
Ff

FN FT
Ff

FT

Mg

Mg

图 1-24(a)

图 1-24(b)

静摩擦力 F f 沿斜面向下时,如图 1-24(b)所示,同理可得, F f ? Mg sin? ? mg ,当 ? 角越大,
F f 越小,所以 AB 均不完整.

答案:D 8.如图 1-25 所示,A 为静止在水平地面上的圆柱体,B 为一均匀板,它的一 端搭在 A 上,另一端用轻绳悬起,板和竖直方向的夹角 ? ? 90? ,则( A.地面对 A 的支持力等于 A 和 B 的重力之和 B.地面对 A 的支持力小于 A 和 B 的重力之和 C.地面对 A 的摩擦力方向水平向右 D.地面对 A 的摩擦力方向水平向左 解析: 在求地面对 A 摩擦力时, A、 整体为研究对象较佳, 以 B 如图 1-25 (a)所示,由平衡条件得: F f1 ? FT sin ? ,可知 F f1 方向水平向左.由
FN1 ? FT sin ? ? (m A ? m B ) g ,可知 FN1 ? m A ? m B ) g
Ff
1



图 1-25
FN1

?

FT

(mA ? mB ) g

答案:BD 9.重为 G 粗细均匀的棒用轻绳 MPN 悬吊起来,如图 1-26 所示,当棒静 止时有( ) A.棒必处于水平 B.棒必与水平相交成 30 ? 角且 N 高 M 低 高考网 www.gaokao.com

图 1-25(a)

图 1-26

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C.绳子 MP 和 NP 的张力必有 FM ? FN ,且绳子 OP 的张力 FOP ? G D.绳子 MP 和 NP 的张力必有 FM ? FN ,且绳子 OP 的张力 FOP ? G 解析:如图 1-26(a)棒受到的三个力 G、 FM 、 FN 的作用点不是同一 点,但因棒静止,该三力的作用线的延长线必交于一点 P(三力汇交原 理).由题意可知 ?PMN 为直角三角形,重心 C 应为 MN 边的中点,由平 面几何的知识可知, ? ? 30 ,又 PC 边竖直向下,所以棒与水平方向的 夹 角 ? ? 90 ? 30 ? ? ? 30 . 对 棒 利 用 水 平 方 向 的 合 力 为 零 的 条 件 , 可得 FM cos 60? ? FN cos 30? , FM ? 3FN . 即 FM cos(30 ? ? ? ) ? FN cos(60? ? ? ) , 再对棒与轻绳 MPN 组成的整体为对象,可得绳子 OP 的张力 FOP ? G ,所以选 BC.
? ? ?

P

FN
N

FM
M

?
30? C

?

?

G

图 1-26(a)

答案:BC 10.如图 1-27 所示,一圆柱形容器上部的圆筒较细,下部的圆筒较粗足够长,容器的底部是 一可沿圆筒无摩擦移动的活塞,用细绳通过测力计将活塞提着,容器盛着水,开始时水面与 上部圆筒的开口处在同一水平面上, 在提着活塞的同时使活塞缓慢地下移, 在这一过程中测 力计的读数 F 随活塞下移的距离 h 的变化关系可用图 1-28 中的哪一个表示( )

F

F

F

F

O

h

O

A

B

h

O

C
图 1-28

h

O

D

h
图 1-27

解析:设液柱高度为 H,活塞处的压强 P ? ?gH ,测力计的读数 F ? PS ? ?gSH .随着活塞下移 至液面到达粗筒之前, 液柱高度 H 随活塞下移的距离 h 不断减小, 可知 F 随 h 增加而不断减 小;当液面下降至粗筒之后,液柱高度 H 不变,可知 F 不变,与 h 增加无关,所以选 D. 答案:D y 11.在图 1-29 中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场.取坐标如图, 一带电粒子沿 x 轴正方向进入此区域, 在穿过此区域的过程中运动方向始 E B 终不发生偏转.不计重力的影响,电场强度 E 和磁感应强度 B 的方向可能 O x 是( ) z 图 1-29 ①E 和 B 都沿 x 轴方向 ②E 沿 y 轴正向,B 沿 z 轴正向 ③E 沿 z 轴正向,B 沿 y 轴正向 ④E、B 都沿 z 轴方向 A.①② B.②③ C.①④ D.①②③ 解析:(1)当 E 和 B 都沿 x 轴方向,带电粒子的速度 v 方向与 B 的方向平行,粒子不受洛 伦兹力作用,只受与 v 同向或反向的电场力,而使粒子做变速直线运动,所以①正确. (2)磁场方向可在平行于 yz 平面的任何方向,电场 E 方向平行于 yz 平面,并与 B 的 方向垂直.当迎着 x 轴正方向看时, B 的方向沿顺时针转 90°后就是 E 的方向,E 和 B 的大 由 小可取满足关系式
E ? v 的任何值,可使粒子做匀速直线运动,所以②正确. B

答案:A 12.如图 1-30 所示,用一种钳子夹着一块混凝土砌块起吊,已知钳子与砌块之 间的动摩擦因数 ? ? 0.4 ,钳子质量 m=20kg,为使砌块不从钳口滑出,处于竖 直方向的绳子的力至少要 700N,则此时钳口对砌块施加的压力为 高考网 www.gaokao.com (设

F

图 1-30

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钳子与砌块间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 解析:以钳子和砌块的整体为对象,可知砌块的重力 Mg ? F ? mg ? 700N ? 200N ? 500N ,再选砌块为研究对象,如图 (a) ,根据竖直方向的合力为零,可知: F f ?
F f ? ?FN 得 FN ?

Ff

Ff

1-30

Mg ? 250N ,再由 2

FN

FN

Ff

?

?

250N ? 625N 0.4

Mg

图 1-30(a)

答案: 625N 13.如图 1-31 所示, q1 、 q 2 、 q3 分别表示在一条直线上的三个点 电荷,已知 q1 与 q 2 之间的距离为 l1 , q 2 与 q3 之间的距离为 l 2 ,且 每个电荷都处于平衡状态.⑴如 q 2 为正电荷,则 q1 为_____电荷, q3 为____电荷. ⑵ q1 、 q 2 、 q3 三者电荷量大小之比是___∶___∶_____.

图 1-31

解析: ⑴根据每个电荷均于平衡状态, 所以每个电荷受到另两个电荷对其的库仑力等大反向, 可知 q1 带负电, q3 带负电. ⑵根据库仑定律公式,对 q1 , k 对 q2 , k
q1q 2 l1 2 ?k q 2 q3 l2 2 q1q 2 l1
2

?k

?l1 ? l 2 ?

q1q3

2

,得 q 2 : q3 ? l12 : (l1 ? l 2 ) 2
l l2 l1 ) 2 :1 l1 ? l 2

得 q1 : q3 ? l12 : l 2 2 ,故 q1 : q 2 : q3 ? ( 1 ) 2 : (
l1 ) 2 :1 l1 ? l 2

答案:⑴负,负;⑵ ( 1 ) 2 : (

l l2

14.如图 1-32 所示,已知 m A ? mB ? mC ? 1Kg ,物体 A、B、C 及地面 间的摩擦因数均为 ? ? 0.1 ,轻绳与滑轮间的摩擦可忽略,轻绳两端分别

1 2

1 3

与 A、C 两物体相连接,若要用力将 C 物匀速拉出,则所需要加的拉力 F 最小为 N. 图 1-32 解析:C 在向左做匀速运动的同时,由于轻绳的牵连,A 向右做匀速运 动,那么 B 将做什么运动呢?B 受到的 A、C 对其的摩擦力均为被动力, A 则 B 必与 A、C 中的某一物体一起匀速运动.假设 B 与 A 一起运动,则 A、 F f CB B B 间为静摩擦力,受力分析如图 1-32(a)所示,以 A、B 整体为对象, F f BA A F fCB ? ? (m A ? mB ) g ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 10N ? 3N ,则 FT ? F fCB ? 3N ;再以 A 为对 象 , 则 F f BA ? FT ? 3N , 而 A 、 B 间 的 最 大 静 摩 擦 力

A B C

FT FT

图 1-32(a)

? F f BA
? F f CB

A B B C

F f m ? ?m A g ? 0.1 ? 10N ? 1N ,得到:F f m ? F fCB ,所以 A 与 B 发生相对滑动,

? FT
? F f AB ? F f AB

而 B、C 相对静止. 或者假设 B 与 C 一起运动,则 B、C 间为静摩擦力,受力分析如图
? 1-32(b)所示,以 A 为对象, FT ? F f?BA ? ?m A g ? 0.1 ? 10N ? 1N .

F

? FT ? F fC

再以 B 为对象,可得: F f?CB ? F f? AB ? 1N ,而 B、C 间的最大静摩擦力

图 1-32(b)

为 F fCBm ? ? (m A ? mB ) g ? 0.1? (1 ? 2) ?10N ? 3N ,则 F f?CB ? F fCBm ,所以 B 与 C 相对静止.

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最后以 B、C 整体为对象,可得:
? ? ? ? ? F ? F fc ? FT ? F f AB ? ? (m A ? mB ? mC ) g ? FT ? F f AB ? 0.1 ? (1 ? 2 ? 3) ? 10N ? 1N ? 1N ? 8N

答案: 8N 15.如图 1-33 所示为一悬挂重物的三角形支架示意图,三角形三边长度 之比为 L AB : L AC : LBC ? 2 : 3 : 4 ,当支架顶端的悬挂重物为 G 时,BC 杆和

C

A
G

AC 绳受到的力分别为多大? 解析: C 点受力分析见图 1-33 对 (a) 所示, C 点所受的三个力 F、F A 、 因 B 图 1-33 FB 方向的夹角均不垂直,用三角法处理力平衡问题比较简 FB 捷,如图 1-33(b)所示,F、 FB 、 F A 三力组成一个封闭的 C FA 矢 量 三 角 形 , 易 得 该 矢 量 三 角 形 与 ?ABC 相 似 , 得 到
F : FA : FB ? L AB : L AC : LBC ? 2 : 3 : 4 ,所以 F A ?

FA FB

3 G , FB ? 2G 2

A
G

F ?G

F

答案: 2G , G

3 2

B

图 1-33 a) (

图 1-33 b) (

16. 如图 1-34 所示,匀强电场方向水平向右,匀强磁场方 向垂直纸面向里,一质量为 m、电荷量为 q 的微粒以速度 v 与磁场方 向垂直,与电场成 45? 角射入复合场中,恰能做匀速直线运动,求电 场强度 E 的大小及磁感应强度 B 的大小. 解析:由于带电微粒所受洛伦兹力 qvB 与 v 垂直,电场力 qE 方向与电 场方向平行,知微粒必须还受重力 mg (隐含条件)才能做匀速直线 运动,假设微粒带负电,受电场力水平向左,则它受洛伦兹力就应斜 向右下方与 v 垂直,这样粒子不能做匀速直线运动,所以粒子应带正 电荷,画出受力图如图 1-34(a)所示,根据合外力等于零可得平衡 方程: qE ? qvB cos 45? , mg ? qvB sin 45? ,解得: E ?
mg ;B? q
2 mg qv

v
45?

图 1-34
qvB

v
qE

mg

图 1-34(a) 答案: E ?
mg ;B? q
2 mg qv
D
?

B E
C?

17. 如图 1-35 所示为拔桩架示意图,绳 CE 水平,绳 CA 竖直, F 已知绳 DE 与水平方向夹角为α ,绳 BC 与竖直方向为β ,若在 E 点施加竖直向下的大小为 F 的力, CA 绳向上拔桩的力的大小. 求 图 1-35 解析:对 E 点、C 点受力分析如图 1-35(a)所示,因 E 点静止, 可知 FT ? FD cos ? , F ? FD sin? ,解得: FT ? F cot ? ①. 因 C 点 静 止 , 可 知 FA ? FB cos ? , FT ? FB sin ? 解 得 : FD FT FT FA ? FT cot ? ②.将①代入②式得: FA ? F cot ? ? cot ? ? E 答案: F cot ? ? cot ?

A

?

FB

C

FA F 18.一个底面粗糙,质量为 m 的劈放在水平面上,劈的斜面光滑 图 1-35(a) 且倾角为 30°,如图 1-36 所示,现用一端固定的轻绳系一质量 也为 m 的小球、绳与斜面夹角为 30°,求: (1)当劈静止时绳子拉力为多大? 30? (2)若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的 K 倍,为使 30? 整个系统静止,K 值心须满足什么条件? 图 1-36 解析: (1)对 C 球受力分析如图 1-36(a)所示,因小

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FN1

FT 30?
Ff

FN 2

30?

FT

mg

2mg

图 1-36(a)

图 1-36(b)

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球受力平衡,所以 FT cos 30? ? mg sin 30? ,得 FT ?

3 mg 3

(2)对小球与劈组成的整体受力分析如图 1-36(b)所示,因整体受力平衡,所以
FN2 ? 2mg ? FT sin 60? ?
Ff 3 3 3 ? mg ,可知 K≥ mg , F f ? FT cos 60? ? FN 2 9 6 2

答案:

3 3 mg ;K≥ 3 9

19. 在电视节目中,我们常常会看到一种精彩的水上运动──滑水板,如图 1-37 所示,运 动员在快艇的水平牵引力作用下,脚踏倾斜的滑板在水上匀速滑行, v 快艇 设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为 m ? 70Kg , 滑板的总面积
S ? 0.12m 2 ,水的密度 ? ? 1.0 ?103 Kg / m 3 .理论研究表明:当滑板与水平

水面

方向的夹角为θ (板前端抬起的角度)时,水对板的作用力大小为
FN ? ?Sv 2 sin 2 ? ,方向垂直于板面.式中 v 为快艇的牵引速度,S 为滑

1-37

板的滑水面积. 求:为使滑板能在水上滑行,快艇水平牵引滑板的最小速度. 解析:以滑板和人为研究对象,对其受力分析,滑板与人共受三个力 作用, 重力 mg 、 水对滑板作用力 FN 、 及绳子对人的拉力 F, 如图 1-37 (a)所示,由物体的平衡条件可得: FN cos ? ? mg ? 0 将 FN ? ?Sv 2 sin 2 ? 代入上式整理后: v ? mg / ?S sin 2 ? cos ?

?
F
?

FN

mg

1-37(a)

在运动员与滑板的总质量、 滑板滑水面积最大值均一定时, 维持滑板平衡所需的牵引速 度大小由滑板与水平方向的夹角确定. 令 y ? sin 2 ? cos ? ,所以 y 2 ? sin 4 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? (2 cos 2 ? ) 当且仅当 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? 时,三者之积为最大值,即 tan ? ? 2 时,y 有最大值
y m ax ? 2 3 .故快艇的最小速度 v min ? 9
3 3mg ? 2 ?S 35 3 m / s ? 3.9m / s 4

1 2

答案: 3.9m / s 20.在一用绝缘材料制作的、倾角为 ? 的斜面上放置一个质量为 m、电荷量为 ?q 的小滑块. 如图 1-38 所示.滑块与斜面的动摩擦因数为 ? ( ? ? tan? ).整个装置处在匀强磁场中, 磁感应 强度为 B,方向垂直斜面向上.当小滑块在斜面上运动并达到稳定状态时, 其速度的大小和方向怎样? 解析:由于 ? ? tan? ,物体重力沿斜面的分力大于静摩擦力,所以滑块下 滑,下滑过程中物体受重力、洛伦兹力、弹力、动摩擦力作用,当合力为 零时,滑块达到稳定的速度,由平衡条件可求得速度的大小和方向.滑块 在斜面内的受力情况如图 1-38(a)所示,滑块达到稳定速度时,在斜面平 面内各力的合力为零 .由力平衡条件得:
2 F f2 ? F洛 ? m 2 g 2 sin 2 ?

B

?q

?
图 1-38

FN

Ff

F洛

Ff

?
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v ?
mg
mg sin?
主视图

侧视图

图 1-38(a)

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又因为 F f ? ?mg cos ? , F洛 ? qvB 解以上三式得: v ?
mg sin 2 ? ? ? 2 cos 2 ? qB
Ff mg sin? ? ? cot? ,即:

设速度与重力沿斜面向下的分力 mg sin? 之间的夹角为 ? ,则 cos? ?
? ? arccos( ? cot ? )

答案: v ?

mg sin 2 ? ? ? 2 cos 2 ? ; 速 度 与 重 力 沿 斜 面 向 下 的 分 力 mg sin? 之 间 的 夹 角 为 qB

? ? arcco s (co t? ) ?

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