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对数与对数的运算习题(经典) (老师)


乐教、诚毅、奉献、创新

文庙校区数学辅导讲义
任课教师:彭老师 上课日期:
课题 一. 知识要点: 1. 对数与指数的关系. 2. 对数基本性质
ab ? N ?

学生名字:

上课年级: 上课时间:

对数与对数运算

loga 1 ?

>
, loga a ?


有:

loa ga n ?



a l oagn ?



3.对数运算性质. 如果 a ? 0, a ? 1 ,M > 0, N > 0 (2) log a

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M (3) loga ? log a M ? log a N N 4.对数的运算法则与指数的运算法则的联系:

M n ? n loga M (n ? R) .

式 子 运 算 性 质

ab ? N

loga N ? b
loga (MN ) ? loga M ? loga N M log a ? log a M ? log a N N

a m a n ? a m? n

am ? a m?n an (a m ) n ? a mn

loga M n ? n loga M (n ? R)

5.对数的换底公式及其性质: logb N 1 ; loga b ? ; loga N ? logb a logb a
n logan N n ? loga N ; logam N n ? m loga N ; loga b ? logb a ? 1

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2.1 对数与对数的运算
练习一 一、选择题 1、
log5 ( ? a ) 2

5

(a≠0)化简得结果是( B、a
2

) C、|a| D、a

A、-a

2、 log7[log3(log2x) ]=0,则 x A、

?

1 2

等于(

) D、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2

1 3 3

3、 log A、1

n?1? n

( n+ 1- n )等于( B、-1 C、2

) D、-2

4、 已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用表示是(
a


2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a )

2

5、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

1 4

B、4

C、1

D、4 或 1

6、 若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是( A、m>n>1 B、n>m>1 C、0<n<m<1 D、0<m<n<1




7、 若 1<x<b,a=log bx,c=logax,则 a,b,c 的关系是( ) A、a<b<c B、 a<c<b C、c<b<a D、c<a<b 二、填空题 8、 若 logax=logby=-

1 logc2, a, b, c 均为不等于 1 的正数, 且 x>0, y>0, c= ab , 则 xy=________ 2

9 、若 lg2=a,lg3=b,则 log512=________

10、 3 =2,则 log38-2log36=__________
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a

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11、 若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? ___________________ 12、 lg25+lg2lg50+(lg2) =
2

三、解答题
2 13、 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ?

(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1

14、 若 lga、lgb 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg( ab ) ? (lg
2

a 2 ) 的值。 b

15、 若 f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2, 试比较 f(x)与 g(x)的大小.

答案: 一、选择题 1、C;2、C;3、B; 4、A;5、B;6、C;7、D 二、填空题

1 2 2 a+ b 9、 1- a
8、 10、a-2 11、12 12、2
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二、解答题 13、解:原式 ? lg 2 (2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2 ? 1)
2

? lg 2 (lg 2 ? lg 5) ?|lg 2 ? 1| ? lg 2 ? 1 ? lg 2 ?1
?lg a ? lg b ? 2 ? 14、解: ? 1 , lg a ? lg b ? ? 2 ? 1 =2(4-4× )=4 2
15、解: f(x)-g(x)=log x (

a lg( ab ) ? (lg ) 2 =(lga+lgb)(lga-lgb) 2 =2[(lga+lgb)-4lgalgb] 2 b

3 x). 4

? ?x ? 0 ? 4 (1) ? x ? 1 , 即 0<x<1 或 x> 时, f(x)>g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ? ? ?x ? 0 ? 4 (2) ? x ? 1 , 即 1<x< 时, f(x)<g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ? 4 (3) x= 时, f(x)=g(x). 3

2.1 对数与对数的运算
练习二 一、选择题 1、在 b ? loga?2 (5 ? a) 中,实数 a 的范围是( A、 a ? 5 或 a ? 2 C、 2 ? a ? 3 或 3 ? a ? 5 )

B、 2 ? a ? 5 D、 3 ? a ? 4

2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x)] ? 0 ,则 x A、

?

1 2

等于( C、 8

) D、 4

1 2 4

B、

1 2 2

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3、 3

log

3

4

的值是(

) C、 3 D、 4

A、 16

B、 2

4、 已知 log5 3 ? a, log5 4 ? b ,则 log 25 12 是( A、 a ? b B、

) D、

1 (a ? b) 2

C、 ab

1 ab 2

5、 已知 2 log 6 x ? 1 ? log 6 3 ,则 x 的值是( A、

) D、

3
3

B、

2

C、

2 或? 2

3或 2

6、 计算 lg 2 ? lg 5 ? 3 lg 2 lg 5 ? (
3

) D、 0

A、 1

B、 3

C、 2

7、 已知 2 ? 3, log 4
x

8 ? y ,则 x ? 2 y 的值为( 3
C、 4



A、 3

B、 8

D、 log 4 8

8、 设 a、b、c 都是正数,且 3 ? 4 ? 6 ,则(
a b c



A、

1 1 1 ? ? c a b

B、

2 2 1 ? ? c a b

C、

1 2 2 ? ? c a b

D、

2 1 2 ? ? c a b

二、填空题 9、 若 logx ( 2 ? 1) ? ?1,则 x=________,若 log
2

8 ? y ,则 y=___________。

10、 若 f ( x) ? log 3 ( x ? 1) ,且 f (a) ? 2 ,则 a=_____________

11、 已知 log a x ? 2, logb x ? 1, log c x ? 4 ,则 log abc x ? _________

12、 2

log4 ( 3 ? 2 ) 2

? 3log9 (

3 ?2 ) 2

? ___________

三、解答题 13、计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)
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14、已知 log14 7 ? a, log14 5 ? b ,用 a、b 表示 log 35 28 。

15、设 M ? {0,1 },N ? {11 ? a, lg a,2 a ,a} ,是否存在实数 a,使得 M ? N ? {1} ?

答案: 一、选择题 1、 C;2、A;3、A;4、B;5、B;6、A;7、A;8、B 二、填空题 9、 2 ? 1,6 10、10 11、

4 7

12、4 三、解答题 13、解:原式= (log2 5 ?
3

log5 4 log5 8 log2 25 log2 5 ? )(log5 2 ? ? ) log2 4 log2 8 log5 25 log5 125

= (3 log2 5 ?

2 log5 2 3 log5 2 2 log2 5 log2 5 ? )(log5 2 ? ? ) 2 log2 2 3 log2 2 2 log5 5 3 log5 5
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= (3 ? 1 ? ) log 2 5 ? 3 log 5 2 = 13 ?

1 3

log5 5 ? log5 2 =13、 log5 2
log14 28 log14 35

14、解: log 35 28 ?

?

log 14 7 ? log 14 4 a ? 2 log 14 2 ? log 14 7 ? log 14 5 a ?b a ? 2 log 14 14 7 ? a ? 2(1 ? log 14 7) a ?b a ?b

? ?

a ? 2(1 ? a ) 2 ? a ? a ?b a ?b

15、解:? M ? {0,1 },N ? {11 ? a, lg a,2 a ,a} 要使 M ? N ? {1} ,只需 1 ? N 且 0 ? N 若 11 ? a ? 1,则 a ? 10 ,这时 lg a ? 1 ,这与集合中元素的互异性矛盾,? a ? 10 若 lg a ? 1 ,则 a ? 10 ,与 a ? 10 矛盾
a 若 2 ? 1 ,则 a ? 0 ,这时 lg a 无意义,? a ? 0

若 a ? 1,则 11 ? a ? 10 , lg a ? lg 1 ? 0,2 ? 2
a

, 0, 2, 1},M ? N ? {0, 1} ,这与已知条件矛盾 此时 N ? {10
因此不存在 a 的值,使 M ? N ? {1}

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