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考点19、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


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【考点 19】二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
2009 年考题 1.(2009 安徽高考)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?
?3 x ? y ? 4 ? ?x ?

0

4 分为面积相等的两部 3

分,则 k 的值是( (A)



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7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

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【解析】选 A。不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?

y B y =kx+ D C O A

?x ? 3y ? 4 4 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3 x ? y ? 4

4 3

1 4 4 4 (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx ? 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 3 1 2 1 交点为 D,则由 S?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? , 2 3 2 5 5 1 4 7 ∴ yD ? ∴ ? k ? ? ,k ? 。 2 2 2 3 3
∴S △ABC=

x

2.(2009 安徽高考)不等式组 ( )

所表示的平面区域的面积等于

A.

B.

C.

D.
?x ? 3y ? 4 ? 0 得交点 A 的坐标为 C(1,1) ,又 B、C ?3 x ? y ? 4 ? 0

【解析】选 C. 不等式组表示的平面区域如图所示,由 ? 两点的坐标为(0,4)(0, )故 S?ABC ? ,
4 3

1 4 4 (4- ) ?1= . . 2 3 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 3.(2009 福建高考)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域内 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
的面积等于 2,则 a 的值为( A. -5 B. 1 ) C. 2 D. 3
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

【解析】选 D.如图可得三线封闭区域即为满足

,故看作直线绕点(0,1)旋转, x ? 1 ? 0与x ? y ? 1 ? 0的可行域,而 ax ? y ? 1 ? 0 的直线恒过(0,1) 当 a=-5 时,则可行域不是一个封闭区域,当 a=1 时,面积是 1;a=2 时,面积是 好为 2,故选 D.

3 ;当 a=3 时,面积恰 2

?2 x ? y ? 4 ? 4.(2009 海南宁夏高考)设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ( ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值



(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

【解析】选 B. 画出可行域可知,当 z ? x ? y 过点(2,0)时, zmin ? 2 ,但无最大值。

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 5. (2009 山东卷高考)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的 ? x ? 0, y ? 0 ?
w.w.w.k.s. 5.u. c.o.m

值是最大值为 12,则

25 A. 6

2 3 ? 的最小值为( a b 8 11 B. C. 3 3

). y D. 4 z=ax+by 2 x-y+2=0

【解析】选 A. 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最 -2

O

2 3x-y-6=0

x

2 3 ? a b 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 =( ? ) ,故选 A. ? ?( ? ) ? ?2 ? a b 6 6 a b 6 6
大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而

?x ? y ? 3 ? 6.(2009 天津卷高考)设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的 ?2 x ? y ? 3 ?
最小值为( (A)6 ) (B)7 (C)8 (D)23
8

?x ? y ? 3 ? f?x? = -x+3 【解析】选 B. 画出不等式 ? x ? y ? ?1 表示的可行域,如右图, g?x? = x+1 ?2 x ? y ? 3 h?x? = 2?x-3 ?
q?x? = -2?x 3 +7

6

A
4

x-y=1

让目标函数表示直线 y ? ?

2x z ? 在可行域上平移,知在点 B 处目标函数取到最 3 3
-5

x+y=3
2

2x-y=3 B
5

小值,解方程组 ?

-15 -10 ?x ? y ? 3 得 ( 2,1) ,所以 z min ? 4 ? 3 ? 7 ,故选择 B。 ?2 x ? y ? 3

-2

-4

7.(2009 湖北高考)在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 )

?0 ? x ? 4 ? 【解析】选 B. 设使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆.则 ? 0 ? y ? 8 ,求 Z=400x+300y 最小值.可求出 ? 20 x ? 10 y ? 100 ?
最优解为(4,2)故 ?min ? 2200 故选 B. 8.(2009 湖南高考)已知 D 是由不等式组 ? 内的弧长为( A ) B

?x ? 2 y ? 0 ,所确定的平面区域,则圆 ?x ? 3y ? 0

x2 ? y2 ? 4 在区域 D

? 4

? 2
1 2

C

3? 4

D

3? 2

【解析】 B. 解析如图示, 选 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即 为所求,易知图中两直线的斜率分别是 , ? ,所以圆心角 ? 即

1 3

1 1 ? (? ) | 3 ?1 ,所以 为 两 直 线 的 所 成 夹 角 , 所 以 tan ? ? 2 1 1 1 ? (? ) ? | 2 3 |

??

?
4

,而圆的半径是 2,所以弧长是

? ,故选 B。 2
G1 B1 y I 4 I1

?x ? y ? 1 ? 9. (2009 陕西高考)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 ?2 x ? y ? 2 ?
z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是(
(A) ( ? 1 ,2 ) (C) ( ?4, 0] (B) ( ?4 ,2 ) )
w.w.w

F1

3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 G x

(D) ( ?2, 4)
R D1 S H1 C1

【解析】选 B. 根据图像判断,目标函数需要与 x ? y ? 1 , 2 x ? y ? 2 平行, 由图像知 a 的取值范围是( ?4 ,2 ).

10. (2009 四川高考)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利 润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最 大利润是
w.w.w.k.s.5 .u.c.o. m



) B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

A. 12 万元

【解析】选 A. 设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨,可使利润 z 最大,

? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 故本题即已知约束条件 ? ,求目标函数 z ? 5 x ? 3 y 的最大值, ?x ? 0 ?y ? 0 ?
可求出最优解为 ?

?x ? 3 ,故 zmax ? 15 ? 12 ? 27 ,故选择 D。 ?y ? 4

11.(2009 山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为 __________元. 【解析】设甲种设备需要生产

x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

z ? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

6 ? ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

6 ? ? x ? y ? 10 作出不等式表示的平面区域,当 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 的交点(4,5)时, 目标函 5 ? x ? 2 y ? 14 ?
数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. 答案:2300

? x ? y ? 2, ? 12.(2009 浙江高考)若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
【解析】通过画出其线性规划,可知直线 y ? ? 答案:4



w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

2 x ? Z 过点 ? 2,0? 时, ? 2 x ? 3 y ?min ? 4 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.(2009 北京高考)若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为__________. ?y ? 5 ?
【解析】如图,当 x ? 4, y ? ?2 时,

s ? y ? x ? 2 ? 4 ? ?6 为最小值.故应填 ?6 .
答案: ?6

? x ? y ? 2 ? 0, ? 14.(2009 北京高考)若实数 x, y 满足 ? x ? 4, ? y ? 5, ?
则 s ? x ? y 的最大值为
.s.5

.

【解析】 如图,当 x ? 4, y ? 5 时, s ? x ? y ? 4 ? 5 ? 9 为最大值. 故应填 9. 答案:9

?x ? y ? 1 ? 15.(2009 陕西高考)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?2 x ? y ? 2 ?
目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是 【解析】画出可行域易得最值. 答案:1 11
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

,最大值是

? y ? 2x ? 16.(2009 上海高考)已知实数 x、y 满足 ? y ? ?2 x ?x ? 3 ?
则目标函数 z=x-2y 的最小值是___________.
w.w.w.k.s.5

【解析】画出满足不等式组的可行域如右图,目标函数化为: y ?

1 1 x ? z ,画直线 2 2

y?

1 1 x 及其平行线,当此直线经过点 A 时, ? z 的值最大,z 的值最小,A 点坐标 2 2

为(3,6) ,所以,z 的最小值为:3-2× 6=-9。 答案:-9

16

2008 年考题

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 1. (2008 山东高考)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
平面区域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范

y

14

12

10

?2,10?

8

?1,9?

?3,8?

围是( (A)[1,3] (C)[2,9]


6

y=f(x)

(B)[2, 10 ]
4

(D)[ 10 ,9]
2

【解析】选 C.本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M,
1 3 显然 a ? 1 ,只需要研究过 (1,9) 、 (3,8) 两种情形。 a ? 9 且 a ? 8 即 2 ? a ? 9.

? 2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, 2. (2008 广东高考)若变量 x,y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ?
A.90 B.80 C.70 D.40 y



【解析】选 C.画出可行域(如图) ,在 B(10, 20) 点 取最大值 zmax ? 3?10 ? 2 ? 20 ? 70

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? ?5 x ? y ? 10 ≤ 0, 3.(2008 山东高考)设 x,y 满足约束条件 ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为 .

x

【解析】本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点

0), 5), 5) 分别为 (0,0), (0,2), (2, (3, 验证知在点 (3, 时取得最大值 11.
答案:11

2007 年考题 1.(2007 全国Ⅰ) 下面给出的四个点中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 的平面区域内的点是( )

? x ? y ? 1 ? 0, 2 ,且位于 ? 表示 2 ?x ? y ?1 ? 0

, A. (11)

, B. ( ?11)

? C. ( ?1, 1)

, D. (1 ? 1)

【解析】选 C. 位于 ?

?x ? y ?1 ? 0 ,表示的平面区域内的点是(-1,-1)和(1,-1) ,而点(-1,-1) ?x ? y ?1 ? 0

到直线 x-y+1=0 的距离为

2 ,故选 C. 2

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 2. (2007 北京高考)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a ? 4 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 ? a ≤1 或 a ≥ 3 3 3 ? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 【解析】选 D。不等式组 ? ,将前三个不等式画出可行域, y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a ? y 2 2 2 三个顶点分别为(0,0),(1,0),( , ),第四个 3 3 2 2 2 2 1 , 不等式 x ? y ? a ,表示的是斜率为-1 的直线的下方, ( , ) 3 3 3 3



? ?
1

∴ 当 0<a≤1 时,表示的平面区域是一个三角形,

x

4 当 a≥ 时,表示的平面区域也是一个三角形。 3
? x ? y ? ?1, ? 3. (2007 天津高考)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ?3 x ? y ? 3, ?
则目标函数 z ? 4x ? y 的最大值为 A.4 B.11 ( ) C.12 D.14

0

【解析】选 B.易判断公共区域为三角形区域,求三个顶点坐标为 (0,1) 、 (2,3) 、 (1,0) , 将 (2,3) 代入得到最大值为 11.

? x ? y ? 2 ≤ 0, ? y 4. (2007 辽宁高考)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是( ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. [ , 6]



9 5

B. ? ??, ? ? ? 6, ? ? ?

? ?

9? 5?

3? ? C. ? ??, ? ? 6, ? ?

6] D. [3,

【解析】选 A.画出可行域为一三角形,三顶点为 C(1,3) 、 B(1,6)和 A(

5 9 y , 表示可行域内的点(x,y)与原点 , ) 2 2 x

(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值 6,

5 9 9 , )时取最小值 。 5 2 2 y 9 因此 的范围为[ ,6]. 5 x
当(x,y)=( 5. (2007 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y ) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} ,则平 面区域 B ? {( x ? y, x ? y ) | ( x, y ) ? A} 的面积为( A. 2 B. 1 C. )

1 2

D.

1 4

【解析】选 B。根据平面区域 A 得 0≤x≤1,0≤y≤1,则可得 0≤x+y≤1,-1≤x-y≤1,画图即得面积为 1.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6.(2007 安徽高考) 如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1上,那么 PQ 的最小值为(
(A) 5 ? 1 (B)

) (C) 2 2 ? 1 (D) 2 ? 1 2x-y+2=0
3 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 3

4 5

?1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【解析】选 A。点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,画出可行域如图, ?x ? y ? 2 ? 0 ?
点 Q 在圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1上,那么 PQ 的最小值为圆心 (0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1,即为 5 -1。

x-2y+1=0

x+y-2=0

7. (2007 四川高考)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 项目乙投资的

2 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元. 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润, 3

对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大 利润为( (A)36 万元 ) (B)31.2 万元 (C)30.4 万元 (D)24 万元

【解析】选 B.对甲项目投资 24 万元,对乙项目投资 36 万元,可获最大利润 31.2 万元.因为对乙项目 投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目乙投资的

2 倍)尽可能多地安排资金 3

2 倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性 3

规划的通法求解.选 B.注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现.

? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 8.(2007 山东高考)设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P ( x, y ) 到直线 x ? y ? 10 ? 0? x?4 ? y ?1 ?
距离的最大值是_______. y x+2y=10
8

x=4

6

4

y=1
2 -10 -5 5 10

x

2x+y=3 【解析】画图确定可行域,从而确定 (1,1) 到直线直线 x ? y ? 10 距离的最大为 4 2. 答案: 4 2.

? ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0? ? ? ? 2 2 9. (2007 浙江高考)设 m 为实数,若 ?( x,y ) ?3 ? x ≥ 0 ? ? ( x,y ) x ? y ≤ 25 , ? ? ? ?mx ? y ≥ 0 ? ?

?

?

则 m 的取值范围是



【解析】 作图易知,设 A(?5, 0), B(3, 4), C (3, ?4), 若 m ? 0, 不成立;故当 m ? 0 且斜率大于等于 kOC ? ? 方成立. m ? [0, ] 答案: m ? [0, ]

4 时 3

4 3

4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 10.(2007 陕西高考) 已知实数 x、y 满足条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ,则 z=x+2y 的最大值为 ?3x ? y ? 3 ? 0, ?
【解析】画出可行域知 Z 在直线 x-2y+4=0 与 3x-y-3=0 的交点(2,3)处取得最大值 8.

.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 11. (2007 湖北高考)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0 则目标函数 2x ? y 的最小值为 ? ?2 ≤ x ≤ 3 ?
【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域, 令 2 x ? y ? z , y ? ?2 x ? z ,显然当平行直线过点 x=-2 y x=3 x+y+3=0



3 ? 3 3? ? ? , ? 时, z 取得最小值为 ? . 2 ? 2 2? 3 答案: ? 2

3 ? 2

o

3 x+y=0

x

12.(2007 湖南高考) 设集合 A ? {( x,y) | y ≥ | x ? 2 |}, B ? {( x,y ) | y ≤ ? | x | ?b} , A? B ? ? . (1) b 的取值范围是 ; .

1 2

(2)若 ( x,y ) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

, 【解析】 (1)由图象可知 b 的取值范围是 [1 ? ?).
(2)若 ? x, y ? ? A ? B, 令 t= x ? 2 y ,则在(0,b)处取得最大值,所以 0+2b=9,所以 b=

9 . 2

? 答案: (1) [1, ?)

(2)

9 2
y E(0,3) B(-1,3) C(0,2) O
x+y=2 y=3

? x ? y ≥ 2, ? 13.(2007 福建高考) 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2, ?0 ≤ y ≤ 3, ?
则 z ? 2 x ? y 的取值范围是________. 【解析】画出可行域知 z=2x-y 在(-1,3)取得最小值-5,在(5,3) 取得最大值 7,范围是[-5,7]. 答案:[-5,7].

A(5,3) D(2,0) x
x-y=2

? x ? y ?1 ? 14. (2007 重庆高考)已知 x,y 满足 ? 2 x ? y ? 4 ,则函数 z = x+3y 的最大值是________. ? x ?1 ?
【解析】画出可行域,当直线过点(1,2)时,

zmax ? 1? 6 ? 7.
答案:7 15.(2007 山东高考)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费 用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视 台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

? x ? y ? 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ? 90000, ? x ? 0,y ? 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

y
500 400

300 l 200 100 M

? x ? y ? 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ? 900, ? x ? 0,y ? 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) ? 点 M 的坐标为 (100, .

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.


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考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
学案3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1. 若点(1,3)和(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是___. 2. 如图所示的平面区域(...
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考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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考点25 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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