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芝罘区数学函数的值域习题


【芝罘区数学】

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函数的值域
(1)定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 (2)求函数的值域没有通性解法,只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法,下 面给出常见方法。 1. 分析观察法 有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 2. 反函数法、分离常数法 对于形如 y ?

cx ? d ( a ? 0) 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反 ax ? b

函数(仅求 x 的表达式)的定义域从而得到原函数的值域。 3. 换元法 (1)代数换元对形如 y ? ax ? b ? cx ? d (a ? 0) 的函数常设 t ? cx ? d 来求值域; ( 2 ) 三 角 换 元 法 对 形 如 y ? ax ? b ? c ? x 2 (a ? 0) 的 函 数 常 用 “ 三 角 换 元 ” ,如令

x ? c cos ? 来求值域。
注意:(1)新元的取值范围,(2)三角换元法中,角的取值范围要尽量小。 4. 配方法 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解, 但在转化的过程中要注意等价 性,特别是不能改变定义域。 5.判别式法 对形如 y ?

a1 x2 ? b1 x ? c1 2 (a1 ? a22 ? 0) 的函数常转化成关于 x 的二次方程,由于方程有 2 a2 x ? b2 x ? c2

实根,即 ? ? 0 从而求得 y 的范围,即值域。注意:①定义域为 R,②要对方程的二次项系 数进行讨论。 6. 利用函数的有界性 对形如 y ?

a sin x ? c ,由于正余弦函数都是有界函数,值域为[-1,1],利用这个性质可 b cos x ? d

求得其值域。 7. 基本不等式法 对形如(或可转化为) f ( x ) ? ax ?

b a?b ? ab , a 2 ? b 2 ? 2ab 求得最值。注意 ,可利用 x 2

【芝罘区数学】 “一正、二定、三等” 8.利用函数单调性求值域 对形如(或可转化为) f ( x ) ? ax ? 域,可求得值域。 9.数形结合法

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b ,考虑函数在某个区间上的单调性,结合函数的定义 x

若函数的解析式的几何意义比较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法。 10.导数法

(3)例题讲评 1.函数 y=x4-4x2+3在区间[-2,3]上的最小值为 (A)-1 2.函数 y= (A) (B)36 (C)12 (D)0 ( ) ( )

2 ? 4x ? x2
(B) [1,2]

(0 ? x ? 4) 的值域是
(C) [0,2] (D) [- 2 , 2 ]

[-2,2]

3.若函数 y = x2 – 3x – 4 的定义域是[ 0 , m ],值域是[ ? 是_________。 4.求下列函数的值域

25 , –4 ],则实数 m 的取值范围 4

3x ? 4 (1)y= 5x ? 6

ex ?1 y = ex ?1 (2)
(4) y ? 2x ? 4 1 ? x (6) y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |

(3) y ?
(5) y ?

2 cos x ? 1 3 cos x ? 2

x2 ? x x2 ? x ? 1

【芝罘区数学】 5. 已知函数 f(x)的值域是[

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3 4 , ],求函数 g(x) ? f (x) ? 1 ? 2f (x) 的值域 8 9

6.已知函数

的值域是

,求

的值

.

f ( x) ?
7.若

1 2 3 x ?x? 2 2 的定义域和值域都是 [1, b] (b ? 1) ,试确定 b 的值。


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