当前位置:首页 >> 数学 >>

0575 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(十)不等式


补差练习
题组一 应用不等式表示不等关系 1.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次 钉入木板的钉子长度满足后一次为前一次的 1 (k ? N ? ) .已知一个铁钉受击 3 次后全部进入

k

木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 4 ? 请从这件事中提炼出一个不等

r />
7

式组是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

.

4 ? 4 ? 1? 7 7k 答案: 4 ? 4 ? 4 2 ? 1? 7 7k 7k k ? N?
2.某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分 别为 40 万元、 万元的 A 型汽车和 B 型汽车.根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少 90 买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,

?40 x ? 90 y ? 1000? ? x ? 5? ? 则 ? y ? 6? ? ? x? y ? N? ? ? ?4 x ? 9 y ? 100? ? x ? 5? ? 即 ? y ? 6? ? ? x? y ? N? ? ?
3.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 命题的编号). ① ab ? 1 ;② a ? b ? (写出所有正确

2 ;③ a2 ? b2 ? 2 ;④ a3 ? b3 ? 3 ;⑤ 1 ? 1 ? 2 . a b

答案:①③⑤ 解析:两个正数,和定积有最大值, 即 ab ?

( a ? b) 2 ? 1? 4

当且仅当 a=b 时取等号,故①正确;

( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 4?
当且仅当 a=b 时取等号,得 a ? b ? 2? 故②错误?;
2 2 ( a ? b) ? 1? 故 a2 ? b2 ? 2 成立, 由于 a ? b ? 2

2

4

故③正确;

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? b2 ? ab) ? 2(a2 ? b2 ? ab)?
∵ ab ? 1? ∴ ? ab ? ?1. 又 a2 ? b2 ? 2? ∴ a ? b ? ab ? 1 .
2 2

∴ a3 ? b3 ? 2? 故④错误;

1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) a ? b ? 1 ? a ? b ? 1 ? 1=2?, a b a b 2 2b 2a
当且仅当 a=b 时取等号,故⑤成立. 4.如果 a ?R,且 a 2 ? a ? 0? 那么 a? a2 ? ?a? ?a2 的大小关系为 解析:因为 a 2 ? a ? 0? 即 a(a+1)<0, 所以-1<a<0, 因此 ?a ? a 2 ? 0? 且 0 ? ?a 2 ? a? 所以 ?a ? a ? ?a ? a .
2 2

?a ? a2 ? ?a2 ? a

.

5.已知 a>b>0,c<d<0,则 解析:

b 与 a 的大小关系为 a ?c b?d

b ? a a?c b?d

.

b ? a ? b 2 ? bd ? a 2 ? ac a?c b?d (a ? c)(b ? d )

?

(b ? a)(b ? a) ? (bd ? ac) . (a ? c)(b ? d )

因为 a>b>0,c<d<0, 所以 a-c>0,b-d>0,b-a<0, 又-c>-d>0,则有-ac>-bd, 即 ac<bd,则 bd-ac>0, 所以(b+a)(b-a)-(bd-ac)<0, 所以

b ? a ? (b ? a)(b ? a) ? (bd ? ac) ? 0? a?c b?d (a ? c)(b ? d )



b ? a . a?c b?d
?1

题组二 利用不等式的性质求范围 6.设 a=log 3 2? b ? ln 2? c ? 5 2 ? 则 .c<a<b
? 解析:∵ 1 ? log32 ? ln2 ? ln2,而 c ? 5 2 ? 1 ? 1

(a,b,c 的大小关系)

2

ln3

2

∴c<a<b.

7.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 3? ? 求 ? ? ? 的取值范围.

2 2

2

解:设 ? ? ? ? A(? ? ? ) ? B(? ? 2? )

? ( A ? B)? ? (2B ? A)? .
∴ ?

? A ? B ? 1? ?2 B ? A ? 1?

?B ? 2 ? 3 ∴ ? 1? ?A ? 3 ?
∴ ? ? ? ? 1 (? ? ? ) ? 2 (? ? 2? ) .

3

3

∵ ? ? ? ? (0? ? )?

2

∴ 1 (? ? ? ) ? (0? ? ) .

3

6

∵ ? ? 2? ? ( ? ? 3? )?

2 2

∴ 2 (? ? 2? ) ? ( ? ? ? ).

3

3

∴ ? ? ? ? (? ? 7? ) .

3 6

即 ? ? ? 的取值范围是 ( ? ? 7? ) .

3 6

8.已知三个不等式:ab>0 ? bc ? ad ? 0? c ? d ? 0( 其中 a、b、c、d 均为实数),用其中两个不

a

b

等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则组成的正确命题的个数是 (D ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.给出下列命题: ①若 a>b,则 1 ? 1 ;

a

b

? ②若 a>b,且 k ? N ? 则 a ? b ;
k k

③若 ac ? bc ? 则 a>b;
2 2

④若 c>a>b>0,则

a ? b . c?a c?a
(只需填序号).

其中假命题是 ①②

解析:当 a>0>b 时 ? 1 ? 1 ? 故命题①错误;

a

b

当 a,b 不都是正数时,命题②是不正确的; 当 ac ? bc 时,可知 c 2 ? 0?
2 2

∴a>b,即命题③正确; 对于命题④,∵c>a,∴c-a>0, 从而 ∴

1 ? 0? 又 a>b>0, c?a

a ? b ? c?a c?a

故命题④也是正确的. 10.2010 年 11 月,在广州成功举办了第十六届亚运会,下表为亚运会官方票务网站公布的几种 球类比赛的门票价格,某球迷赛前准备用 12 000 元预订 15 张下表中球类比赛的门票:

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,该球迷想预订上表中三种球类比赛门票, 其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票 的费用,求可以预订的男篮比赛门票数. 解:设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订 n( n ? N ) 张,则男篮比赛门票预订(15-2n) 张, 得 ?
?

?800n ? 500n ? 1000(15 ? 2n) ? 12000? 800n ? 1000(15 ? 2n)? ?
7 14

解得 4 2 ? n ? 5 5 . 由 n?N ? 可得 n=5,∴15-2n=5. ∴可以预订男篮比赛门票 5 张. 题组三 一元二次不等式的解法 11.不等式 x ? 5 2 ? 2 的解集是
?

( x ? 1)

[? 1 ?1 ) ? ( 1 3 ] . ? 2
2 2

解析:原不等式可化为 x ? 5 ? 2( x ?1) ( x ? 1)? 即 2 x ? 5x ? 3 ? 0? 即(2x+1 )( x ? 3) ? 0? 解得

? 1 ? ? 1 ? x ? 3? 故原不等式的解集是 ? ? ?1? ? ?1,3? . 2 ? 2 ?
12.不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为? {x|-2<x<1 或 x>3}
2

x ?1

.

( x ? 3)( x ? 2) 解析: x ? x ? 6 ? 0? ? 0? 所以-2<x<1 或 x>3.
2

x ?1

x ?1

13.解关于 x 的不等式 12 x2 ? ax ? a2 (a ? R). 解:由 12x2 ? ax ? a2 ? 0 ? (4 x ? a)(3x ? a)>0

? ( x ? a )( x ? a ) ? 0? 4 3
①a>0 时 ?? a ? a ?

4

3

解集为{x| x ? ? a 或 x ? a };

4

3

②a=0 时 ? x2 ? 0? 解集为{x| x?R 且 x ? 0 }; ③a<0 时 ?? a ? a ?

4

3

解集为{x| x ? a 或 x ? ? a }.

3

4

14.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0. 1x (0 ? x ? 240)?
2

若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 150 台 . 解析:依题意得 25 x ? 3 000+20x-0. 1x ?
2
2 整理得 x ? 50 x ? 30 000 ? 0? 解得 x ? 150 或 x ? -200,

因为 0<x<240,所以 150 ? x ? 240? 即最低产量是 150 台. 15.若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为
2 2

-1<a<1

.

解析:令 f ( x) ? x ? ax ? a ?1?
2 2

∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需 f(0)<0,即 a ? 1<0,∴-1<a<1.
2

题组四 不等式的恒成立问题 16. 在 R 上 定 义 运 算 :x*y=x(1-y). 若 不 等 式 (x-a)*(x+a)<1 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 , 则

?1 ? a ? 3 2 2

.

2 2 2 2 解 析 : 依 题 设 x ? a ? x ? a ? 1 恒 成 立 , 即 ( x ? 1 ) ? (a ? 3 ? a ) ? 0 恒 成 立

2

4

? a 2 ? a ? 3 ? 0 恒成立 ? ? 1 ? a ? 3 . 4 2 2
17.设奇函数 f(x)在

? ??11? 上是单调函数,且 f (?1) ? ?1? 若函数 f(x) ? t 2 ? 2at ? 1对所有的
.

? ? x? ??11? 都成立,当 a ? ??11? 时,则 t 的取值范围是 (????2] ? {0} ? [ 2,+ ?)
解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在 ??11? 上是单调函数, ? ∴ ?1 ? f ( x) ? 1? ∴当 a ? ??11? 时,t ?2at ? 1 ? 1 恒成立, ?
2

即 t ? 2at ? 0 恒成立,
2

令 g (a) ? t 2 ? 2at? a ? ??11? , ? ∴ ?

?t 2 ? 2t ? 0?
2 ?t ? 2t ? 0?

∴ ?

? t ? 2或t ? 0? ?t ? ?2或t ? 0?

∴ t ? 2 或 t=0 或 t ? ?2 . 18.已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? 0 的解集是 (??? ?1) ? (? 1 ???)? 则 a=

x ?1

2

-2

.

解析: ax ? 1 ? 0 ? (ax ? 1)( x ? 1)<0,根据解集的结构可知,a<0 且 1 ? ? 1 ? ∴a=-2.

x ?1

a

2

题组四 一元二次不等式的综合应用 19.不等式 x ? |x|-2<0 的解集是 {x|-2<x<2}
2

.

2 解析:原不等式 ? |x| ? |x| ?2 ? 0 ? ( |x|-2)(|x|+ 1) ? 0 ? |x| ?2 ? 0 ? ?2 ? x ? 2 .

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? 2 20.已知不等式组 ? 2 的解集是不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 的解集的子集,则实数 ? x ? 6x ? 8 ? 0
a 的取值范围是

a?9

. 的解集是{x|2<x<3},

解析:因为不等式组 ?

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0?
2 ? x ? 6x ? 8 ? 0

设 f ( x) ? 2x2 ? 9x ? a? 则由题意得 ?
2

? f (2) ? 0? 解得 a ? 9 . ? f (3) ? 0?

21.已知集合 A={x| x ? x ? 6 ? 0 },B={x|0<x-m<9}, (1)若 A ? B ? B? 求实数 m 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解:∵A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}. (1)∵ A ? B ? B? ∴ A ? B .

? m ? ?2? ?m ? ?2? ∴ ? ? ?m ? 9 ? 3? ?m ? ?6?
即 ?6 ? m ? ?2 . (2)∵ A ? B ? ? , ∴ m ? 9 ? ?2 或 m ? 3? 即 m ? ?11 或 m ? 3 . 22.已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为{x|x<1 或 x>b}.
2

(1)求 a,b; (2)解不等式 ax2 ? (ac ? b) x ? bc<0. 解:(1)因为不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为{x|x<1 或 x>b},
2

所以 x=1 与 x=b 是方程 ax ? 3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.
2

由根与系数的关系,得

?1 ? b ? 3 ? ? a ? 1? ? a 解得 ? ? ?b ? 2? ?1 ? b ? 2 ? a ?
所以 ?

? a ? 1? ?b ? 2 ?
2

(2)原不等式 ax ? (ac ? b) x ? bc<0, 可化为 x ? (2 ? c) x ? 2c<0,即(x-2)(x-c)<0.?
2

①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为 ? . 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为{x|2<x<c};
2

当 c<2 时,不等式 ax2 ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2 ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为 ? .?

9


相关文章:
0575 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(十)不等式
0575 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(十)不等式_数学_高中教育_教育专区。...不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为 ? . 综上所述:当 c>2 时,不等式 ...
0576 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(十一)不等式
0576 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(十一)不等式_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 0576 数学-泰兴中学2014届高三数学补差练习(...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习一数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习高三数学 2014.9.12 一、...
2014届高三理科数学小综合专题练习(不等式)
2014届高三理科数学小综合专题练习(不等式)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014届高三理科数学小综合专题练习(不等式)_数学_高中...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习四数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2015 年春学期阶段练习高三数学 命题:吴光亮 审题:...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习八数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习高三数学一、填空题:本大题...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习一数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习高三数学 2014.9.12 一、...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习五数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2015 年春学期阶段练习高三数学一、填空题:本大题...
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习五数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习数学试题_数学_高中教育_教育专区。泰兴市第一高级中学 2015 年春学期阶段练习高三数学一、填空题:本大题...
更多相关标签: