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【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形章末导学案 新人教A版必修5


【步步高】 2014-2015 学年高中数学 第一章 解三角形章末复习 课新人教 A 版必修 5
课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.

一、选择题 1.在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( ) A.45°或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案 C sin A 2 解析 sin B=b? = ,且 b<a,∴B=45°. a 2 2.在△ABC 中,已知 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 C 解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A+B)>0, ∴A+B<90°,∴C>90°,C 为钝角. 3.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(-∞,0) ? 1 ? ?1 ? C.?- ,0? D.? ,+∞? 2 2 ? ? ? ? 答案 D 解析 由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1), c=2mk(m>0), ? ? k+ mk ?a+b>c ?m 1 ∵? 即? ,∴k> . 2 ?a+c>b ?3mk>m k+ ? ?

)

1

4.如图所示,D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角 分别是 β 、α (β <α ).则 A 点离地面的高 AB 等于( )

A.

asin α sin β

α -β asin α cos β C. α -β 答案 A 解析 设 AB=h,则 AD= , sin α

B.

asin α sin β

α -β acos α cos β D. α -β

h

在△ACD 中,∵∠CAD=α -β ,∴ ∴

CD

a
α -β

α -β sin β h asin α sin β = ,∴h= . sin α sin β α -β



AD

.

5.在△ABC 中,A=60°,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为( ) A.25 B.51 C.49 3 D.49 答案 D 1 1 3 解析 S△ABC= AC?AB?sin 60°= ?16?AB? =220 3,∴AB=55. 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴BC =AB +AC -2AB?ACcos 60°=55 +16 -2?16?55? =2 401. 2 ∴BC=49. 2 2 6.(2010?天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a -b = 3bc, sin C=2 3sin B,则 A 等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 解析 由 sin C=2 3sin B,根据正弦定理,得 c=2 3b,把它代入 a2-b2= 3bc 得 a2-b2=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 由余弦定理,得 cos A= = 2bc 2b?2 3b 4 3b 又∵0°<A<180°,∴A=30°. 二、填空题 2 7.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则 2 此三角形的面积是________cm . 答案 6 3 2 解析 由 5x -7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2. 5 3 ∵x2=2>1,不合题意.∴设夹角为 θ ,则 cos θ =- , 5 4 1 4 2 得 sin θ = ,∴S= ?3?5? =6 (cm ). 5 2 5 = 6b
2 2



3 . 2

2

8.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 =____________. sin A 答案 解析 2 39 3 1 1 3 由 S= bcsin A= ?1?c? = 3,∴c=4. 2 2 2
2 2 2 2

a

∴a= b +c -2bccos A= 1 +4 -2?1?4cos 60° = 13. a 13 2 39 ∴ = = . sin A sin 60° 3 9.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则 x 的取值范围是 ______________. 答案 2<x<2 2 解析 因为三角形有两解,所以 asin B<b<a, 2 即 x<2<x,∴2<x<2 2. 2 10.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75°的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 等于 ________km. 答案 20 2

解析 ∴BC=

如图所示,

= sin 45° sin 30°

BC

AC

20 2 ?sin 45°= ? sin 30° 1 2 2

AC

=20 2 (km). 三、解答题 11.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sin A=2sin Bcos C,试确定△ ABC 的形状. 解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 2 2 2 得 b +2bc+c -a =3bc, b2+c2-a2 bc 1 2 2 2 即 a =b +c -bc,∴cos A= = = , 2bc 2bc 2 π ∴A= . 3 a2+b2-c2 a2+b2-c2 又 sin A=2sin Bcos C.∴a=2b? = , 2ab a 2 2 ∴b =c ,b=c,∴△ABC 为等边三角形. 12.在△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. (1)求最大角的余弦值; (2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为 4 的平行四边形的最大面积. 解 (1)设这三个数为 n,n+1,n+2,最大角为 θ ,
3

n2+ n+ 2- n+ 2 <0, 2?n n+ 2 化简得:n -2n-3<0? -1<n<3. * ∵n∈N 且 n+(n+1)>n+2,∴n=2.
则 cos θ = 4+9-16 1 ∴cos θ = =- . 2?2?3 4 (2)设此平行四边形的一边长为 a, 则夹 θ 角的另一边长为 4-a, 平行四边形的面积为: 15 15 2 2 S=a(4-a)?sin θ = (4a-a )= [-(a-2) +4]≤ 15. 4 4 当且仅当 a=2 时,Smax= 15. 能力提升 1 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 2 解 (1)∵cos 2C=1-2sin C=- ,0<C<π , 4 ∴sin C= 10 . 4 = , sin A sin C

(2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理 得 c=4. 1 2 由 cos 2C=2cos C-1=- 及 0<C<π , 4 6 . 4 2 2 2 由余弦定理 c =a +b -2abcos C, 2 得 b ± 6b-12=0(b>0), 解得 b= 6或 2 6, 得 cos C=± ∴?

a

c

?b= 6, ?c=4

或?

?b=2 6, ?c=4.

14.如图所示,已知在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD =135°,求 BC 的长.

解 设 BD=x,在△ABD 中,由余弦定理有 AB2=AD2+BD2-2AD?BD?cos∠ADB, 2 2 2 即 14 =x +10 -20xcos 60°, 2 ∴x -10x-96=0,∴x=16(x=-6 舍去), 即 BD=16. BC BD 在△BCD 中,由正弦定理 = , sin∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC= =8 2. sin 135°

4

1.在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当的选取定理, 简化运算过程. 2.应用正、余弦定理解应用题时,要注意先画出平面几何图形或立体图形,再转化为 解三角形问题求解,即先建立数学模型,再求解.

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