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北京市顺义区牛栏山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


北京市牛栏山一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题 牛栏山一中 2015.11.12 一、选择题: (每题 5 分,共 40 分)在每小题的 4 个选项中,只有 1 项是符合题目要求的. 1. 设集合 I =R,集合 M ? ?x x ? 1? ,N={x | ?1 ? x ? 2 } ,则集合{x | ?1 ? x ? 1 }等于( A. M ? N B

. M ? N C. (? I M) ? N D. (? I M) ? N ) D. 1 )

2. 若 f ( x) ? x 2 ? a ( a 为常数) , f ( 2) ? 3 ,则 a 的值为( A. ? 2 B. 2 C. ? 1 )

3. 函数 y ? (2 ? x) 0 ? 2 ? x 的定义域为( A. [?2,??) C. (?2,??)

B. [?2, 0) ? (0, ??) D. (??,2) )

4.如果奇函数 f ( x) 在区间上是增函数, 且最小值为 5, 那么 f ( x) 在区间 [?7,?3] 上是 ( A.增函数,且最小值为 ? 5 C.减函数,且最小值为 ? 5 5.已知 a ? 4
0.4

B.增函数,且最大值为 ? 5 D.减函数,且最大值为 ? 5

,b ? 8

0.2

,c ? ( )

1 2

? 0 .5

,则(

) D. a ? b ? c
2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b
?

C. a ? c ? b
2

6. 已知幂函数 f ( x) ? x (? ? Z ) ,具有如下性质: f ( 1 ) ? f (- 1 ) ? 2[ f (1) ? f (?1) ? 1] , 则 f ( x) 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 )

7.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? A. ? 2 B. ? 1

log2 (4 ? x), x ? 0 ,则 f (3) 的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 ?
C. 2 D.1

?| lg x |, 0 ? x ? 10 ? 8.已知函数 f ( x ) ? ? 1 , 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c) , 则 abc ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2
的取值范围是( A. (1,10) ) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24)

二、填空题: (每题 5 分,共 30 分) 9.写出满足条件 {1,3} ? A ? {1,3,5} 的集合 A 的所有可能情况是 10.函数 y ? 1 ? 2 x ( x ? [2,3])的值域为 ; ;

11 . 若 奇 函 数 y ? f ( x )( x ? R且x ? 0) , 当 x ? (0,??) 时 , f ( x ) ? x ? 1 , 那 么 使

f ( x ? 1) ? 0 的 x 的取值范围为

; ; ;

12.若函数 y ? 2? x ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 13.函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 3x ? 4) 的单调增区间为 14 .定义 R 在上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ?

y ) ? f ( x ) ? f ( y )? 2xy (x , y? R ), f (1) ? 则 2

f ( ?3 ) =



三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 已 知 集 合 A ? { x | 3 ? x ? 7} , B ? { x | 2 ? x ? 10} 。 求 ? R ( A? B ) , ? R (A ? B) ,

??

R

A? ? B , A ? ?? R B? .

16.计算下列各题: (本题满分 14 分,每小题 7 分,共 14 分)
1 4 1 ? ? 7 (1)0.064 3 ? (? )0 ? [(?2)3 ] 3 ? 16?0.75 ? 0.012 8

5 7 1 (2)2 lg ? lg ? 2 lg 3 ? lg 49 3 4 2
17. (本题满分 13 分) 已知 f ( x) ?

5 px 2 ? 2 是奇函数,且 f ( 2) ? . 3 3x ? q

(1)求实数 p, q 的值; (2)判断函数 f ( x ) 在 ( ??,?1) 上的单调性,并加以证明. 18. (本题满分 14 分)某企业打算购买工作服和手套,市场价为每套工作服 53 元,每副手套

3 元,该企业联系了两家商店 A 和 B ,由于用货量大,这两家商店都给出了优惠条件: 商店 A :买一赠一,买一套工作服,赠一副手套; 商店 B :打折,按总价的 95%收款. 该企业需要工作服 75 套,手套 x 副( x ? 75 ) ,如果工作服与手套只能在一家购买,请你 帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱? 19. (本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? log2 (a x ? bx ) ,且 f (1) ? 1, f (2) ? log 2 12 。 (1)求 a , b 的值; (2)当 x ? [1, 2] 时,求 f ( x ) 的最大值.

20. (本题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (1)求实数 a 的值;

?2 x ? a

2x ? 1

是奇函数,

(2)判断该函数在定义域 R 上的单调性(不要求写证明过程); (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
2 2

(4)设关于 x 的方程 f (4x ? b) ? f (?2x?1 ) = 0 有实数根,求实数 b 的取值范围.

参考答案: 1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C 14.6

9. ?5?, ? ? 1,5?, ?3,5?, ? 1,3,5

10. 11. ?- ?,0? ? (1,2) 12. (??,?1] 13. ?4,???

15. ?R (A ? B) ? x x ? 2, 或x ? 10 ……3 分 ?R (A ? B) ? x x ? 3, 或x ? 7 ……6 分

?

?

?

?

(?R A) ? B ? ?x 2 ? x ? 3, 或7 ? x ? 10?……9 分, A ? (?R B) ? ?x x ? 2, 或3 ? x ? 7, 或x ? 10?…………12 分.
16.(1)

143 …………7 分 (2)2 …………14 分 80

17.(1) p ? 2, q ? 0 ……6 分 (2)利用定义证明…………13 分 18.设按商店 A 和 B 优惠付款数分别为 f ( x) 和 g ( x) 商店 A : f ( x) ? 75 ? 53 ? ( x ? 75) ? 3 ? 3x ? 3750( x ? 75) 商店 B : g ( x) ? (75 ? 53 ? 3x) ? 95% ? 2.85x ? 3776.25( x ? 75) 令 f ( x) ? g ( x) ,解得 x ? 175 令 y ? f ( x) ? g ( x) ? 0.15x ? 26.25 , 当 75 ? x ? 175 时, y ? 0 ,选择商店 A ; 当 x ? 175 时, y ? 0 ,选择商店 B ; 19. (1)有题设得 ? (2)因为 f( x) ? ……………7 分 ……12 分 ……14 分 选择 A 与 B 是一样的 ……4 分 ……8 分 ……10 分

?log2 (a ? b) ? 1

?a ? 4 ? . …………5 分 ? 2 2 b ? 2 log ( a ? b ) ? log 12 ? 2 ? 2

log 2( 4 x ? 2 x ) ,由 4 x ? 2 x ? 0 ? x ? 0 即 f ( x) 的定义域为 ?x x ? 0?

(0, ? ?) 因为 x ? [1,2] 为 的真子集,令 t ? 2 ,则 2 ? t ? 4 ……………9 分
x

于是, f ( x) ? ? (t ) ? log 2 (t ? t ) ? log 2 [( t ? ) ? ] ,
2 2

1 2

1 4

又 ? (t ) 在上为增函数……………11 分 所以 f ( x) 的为 f (2) ? ? (4) ? log2 12. ……………13 分

20. (1)由题设,需

?a f (0) ? ?12 ? 0,? a ? 1,

? f ( x) ?

1 ? 2x ,经验证, f ( x ) 为奇函数,? a ? 1 --------4 分 1 ? 2x

(2)该函数在定义域 R 上是减函数------6 分
2 2 2 2 ( 3 ) 由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) , ? f ( x) 是 奇 函 数

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ,由(2)知 f ( x ) 是减函数

? 原问题转化为 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ,即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立?? ? 4 ?12k ? 0,
得 k ? ? 即为所求----------------10 分 (4)因为方程 f (4 ? b) ? f (?2
x x ?1

1 3

) ? 0 有实数根,
x x ?1

由(2) ,4 ?b ? 2
x

x ?1

,即方程 b ? 4 ? 2

有解--------12 分

? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,
∴ b ? [?1, ??) ------------14 分.


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