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高中数学必修2人教A教案3.1.1倾斜角与斜率


3.1.1

倾斜角与斜率

(一)教学目标 1.知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)理解直线倾斜角的唯一性. (3)理解直线斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 2.过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角 的正切即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3.情感、态度与价值观 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观 察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合的思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. (二)教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. (三)教学方法 教学环节 教学内容 我们知道, 经过两点有且只 有(确定)一条直线,那么,经 过一点 P 的直线 l 的位置能确定 吗?如图, 过一点 P 可作无数多 条直线 a,b,c,?易见,答案 是否定的, 这些直线有什么联系 呢? 直线的倾斜角的概念. 1.直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫做 直线 l 的倾斜角.特别地, 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定 ? ? 0? . 因为平面直角坐标系内的 每一条直线都有确定的倾斜程 度,引入直线的倾斜角之后,我 们就可以用倾斜角 ? 来表示平 面直角坐标系内的每一条直线 的倾斜程度. 师生互动 学生回答(不能确定) (1)它们都经过点 P. (2) 它们的倾斜程度不同. 接着教师提出:怎样描述 这种倾斜程度的不同?由此引 入课题. 设计意图

提出问题 引入

设疑激趣 导入课题

教师提问: 倾斜角 ? 的取值范围是什 么? 0? ? ? ? 180? 当直线 l 与 x 轴重合时
? ? 90?

概念形成

(由学生结合图形回答) 教师提问: 如左图, 直线 a∥b∥c, 那 么它们的倾斜角 ? 相等吗? 学生回答后作出结论. 一个倾斜角 ? 不能确定一 条直线, 进而得出. 确定一条直 线位置的几何要素. 通 过 这种师生 互动引导 学生明确 确定一条 直线位置 的两个几 何要素

概念深化

1

y

a b c x

O

确定平面直角坐标系内的 一条直线位置的几何要素: 一个 点 P 和一个倾斜角 ? . 2.直线的斜率 一条直线的倾斜角 ? ( ? ≠90°) 的正切值叫做这条直线 的斜率.斜率常用小写字母 k 表 示,即 k ? tan ? . 由此可知, 一条直线 l 的倾 斜角 ? 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如 ? = 45°时 k = tan45°= 1 ? = 135 °时 k = tan135 ° = –1 教师提出问题: 给定两点 P1 (x1, y1), P2 (x2, y2),x1≠x2,如何用两点的坐标 对于上面的斜率公式要注 来表示直线 P1、P2 的斜率? 意下面四点: 可用计算机作动画演示: (1)当 x1 = x2 时,公式右 直线 P1P2 的四种情况,并引导 边无意义,直线的斜率不存在, 学生如何作辅助线,共同完成 倾斜角 ? = 90°, 直线与 x 轴垂 斜率公式的推导. 直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无 关,即 y1、y2 和 x1、x2 在公式中 的前后次序可以同时交换, 但分 子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾 斜角而直接由直线上两点的坐 标求得; (4) 当 y1 = y2 时, 斜率 k = 0,直线的倾斜角 ? = 0°,直线 与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以 由直线上两点的坐标先求斜率 而得到.
y ? y1 k? 2 x2 ? x1

概念形成

教师提问:(由学生讨论 后回答) (1)当直线 l 与 x 轴平行 或重合时,k 为多少? k = tan0°= 0 (2)当直线 l 与 x 轴垂直 时,k 还存在吗? ? = 90°,k 不存在

设疑激发 学生思考 得出结论

3.直线的斜率公式

概念形成

借助多媒 体演示让 学生亲自 体会斜率 公式的推 导过程.

2

应用举例

例 1 已知 A (3, 2), B (–4, 1),C (0,–1),求直线 AB,BC, CA 的斜率,并判断它们的倾斜 角是钝角还是锐角.(用计算机 作直线,图略) 分析: 已知两点坐标,而且 x1 ≠ x2,由斜率公式代入即可 求得 k 的值; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜 角 ? 是钝角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜 角 ? 是锐角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜 角 ? 是 0°. 例 2 在平面直角坐标系 中, 画出经过原点且斜率分别为 1,–1,2 及–3 的直线 a,b,c,

学生分析求解 ,教师板书 例 1 略解:直线 AB 的斜 率 k1 = 1/7>0, 所以它的倾斜角 是锐角 . ? 直线 BC 的斜率 k2 = –0.5< 0,所以它的倾斜角 ? 是锐角.

例 2 略解: 设直线 a 上的 另个一点 M 的坐标为(x, y), 根 据斜率公式有 1 = (y – 0)/(x – 0) 所以 x = y 1. 分析: 要画出经过原点的直 可令 x = 1,则 y = 1,于是 线 a,只要再找出 a 上的另个一 点 M 的坐标为(1,1).此时过原 点 M.而 M 的坐标可以根据直线 点和点 M(1,1),可作直线 a. a 的斜率确定; 或者 k = tan ? =1 同理,可作直线 b,c,1. 是特殊值, 所以也可以以原点为 (用计算机作动画演示画直线 角的顶点,x 轴的正半轴为角的 过程) 一边,在 x 轴的上方作 45°的 课堂练习:P91 1 题、2 题、 角, 再把所作的这一边反向延长 3 题、4 题. 成直线即可. 归纳总结 (1)直线的倾斜角和斜率 的概念. (2)直线的斜率公式. 布置作业 见习案 3.1 第一课时 师生共同总结——交流— —完善 由学生独立完成

通过应用 进一步理 解倾斜角, 斜率的有 关定义

引 导 学生学会 自己总结 巩固深化

课后作业

备选例题
例 1 求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(–3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,–2),(6,–2) 4 ?1 【解析】(1) k ? ? 3 ? 0 ,所以倾斜角是锐角; 2 ?1 (2) k ?
2?5 ? ?1 ? 0 ,所以倾斜角是钝角; 0 ? ( ?3)

(3)由 x1 = x2 = 2 得:k 不存在,倾斜角是 90° ?2 ? (?2) (4) k ? ? 0 ,所以倾斜角为 0° 6?3 例 2 已知点 P (? 3,1) 点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角为 120°,则 Q 点的坐标为
3

. 【解析】因为点 Q 在 y 轴上,则可设其坐标为(0,6) 直线 PQ 的斜率 k = tan120°= ? 3 ∴k ?
b ?1 0 ? ( ? 3) ?? 3

∴b = –2,即 Q 点坐标为 (0, ? 2)

4


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