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吉林省延边二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


吉林省延边二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 2 1. (4 分)己知集合 Q={x|2x ﹣5x≤0,x∈N},且 P?Q,则满足条件的集合 P 的个数是() A.3 B.4 C.7 D.8 2. (4 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的大致区间是() A.(1,2) +∞) B.(2,3) C.(e

,3) D.(e,

3. (4 分)设 A.a<b<c

, B.b<c<a



,则 a,b,c 的大小关系是() C.a<c<b D.c<b<a

4. (4 分)直线 l 的方程 x﹣2y+6=0 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距分别为() A. B. C.2,﹣6,3 D.

5. (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,那么 f(﹣2) 的值是() A. B. C.1 D.﹣1

x

6. (4 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等 腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是()

A.12π

B.4

π

C.3π

D.12

π

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7. (4 分)已知函数 () A.7

,则

的值是

B.2

C.5 均有意义,则函数

D.3 的图象大致是()

8. (4 分)若当 x∈R 时,y=

A.

B.

C.

D.

9. (4 分)已知函数 则实数 a 的取值范围是() A.

,在

上是增函数,

10. (4 分)直线 2x﹣y﹣1=0 被圆(x﹣1) +y =2 所截得的弦长为() A. B. C. D.

2

2

11. (4 分)关于直线 m、n 与平面 α、β,有以下四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α 且 n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中真命题有() A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

12. (4 分)已知函数 y=f (x)在 R 上是偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) , 当 x1,x2∈且 x1≠x2 时, ①f(3)=0 ②直线 x=﹣6 是 y=f(x)图象的一条对称轴 ③函数 y=f(x)在上为增函数
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,给出如下命题:f(2a﹣x)=f(x)

④函数 y=f(x)在上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为() A.①② B.②④ ①②④

C.①②③

D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是.

14. (5 分)函数 函数,则实数 m=.

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上是减

15. (5 分)若直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 2 则 m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°,其中正确答案的序号是. 16. (5 分)将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是(写出所有正确结论的序号)



三、解答题(共 6 题,52+20 分) 17. (10 分)已知全集为 R,集合 A={x|1≤x≤4},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=4 时,求?R(A∪B) ; (2)若 B?A 时,求实数 m 的取值范围. 18. (10 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点. (1)求证:BD1∥平面 AEC; (2)求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角.

19. (10 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂 为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出 场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件.
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(1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 20. (10 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4, (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A(1,0) ,且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.
2 2

21. (12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣2 对任意 m、n∈R 恒成立,当 x>0 时,f(x)>2. (Ⅰ) 求证 f(x)在 R 上是单调递增函数; 2 (Ⅱ)已知 f(1)=5,解关于 t 的不等式 f(|t ﹣t|)≤8; 2 (Ⅲ)若 f(﹣2)=﹣4,且不等式 f(t +at﹣a)≥﹣7 对任意 t∈恒成立.求实数 a 的取值范 围. 22.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实 数 t 的取值范围.

吉林省延边二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 2 1. (4 分)己知集合 Q={x|2x ﹣5x≤0,x∈N},且 P?Q,则满足条件的集合 P 的个数是() A.3 B. 4 C. 7 D.8 考点: 集合的包含关系判断及应用. 分析: 解出集合 Q,再根据 P?Q,根据子集的性质,求出子集的个数即为集合 P 的个数; 2 解答: 解:集合 Q={x|2x ﹣5x≤0,x∈N},
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∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P?Q, 又 Q 的子集的个数为 2 =8, ∴P 的个数为 8, 故选 D; 点评: 此题主要考查集合的包含关系判断及应用,是一道基础题;
3

2. (4 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的大致区间是() A.(1,2) B.(2,3) C.(e,3) D.(e,+∞)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合. 分析: 分别画出对数函数 lnx 和函数 的图象其交点就是零点. 解答: 解:根据题意如图: 当 x=2 时,ln2<lne=1, 当 x=3 时,ln3=ln >=ln = ,

∴函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的大致区间是(2,3) , 故选 B.

点评: 此题利用数形结合进行求解, 主要考查了函数的零点与方程根的关系, 是一道好题.

3. (4 分)设 A.a<b<c

, B.b<c<a



,则 a,b,c 的大小关系是() C.a<c<b D.c<b<a

考点: 不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别考查幂函数 解答: 解:考查幂函数 y= (x≥0) 、对数函数 ,在区间
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(x>0)的单调性即可.

7. (4 分)已知函数 () A.7 考点: 函数的值. 专题: 计算题.

,则

的值是

B. 2

C. 5

D.3

分析: 根据已知函数解析式,先求 f(0) ,然后求出 f(f(0) ) ,再求出 f( 求解 解答: 解:由题意可得,f(1)=log21=0,f(f(1) )=f(0)=9 +1=2 f( ∴ )= +1= =7 +1=5
0

)即可

故选 A 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解, 解题的关键是明确不同 x 所对应的函数 解析式 8. (4 分)若当 x∈R 时,y=

均有意义,则函数

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数函数的定义知 a>0 且 a≠1,函数 +∞) 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,

由 x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=

均有意义,则

,推出 0<a<1,

再把函数表达式中的绝对值去掉,再讨论函数的单调性. 解答: 解:由对数函数的定义知 a>0 且 a≠1,函数 ∪(0,+∞) 的定义域为(﹣∞,0)

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若当 x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=

均有意义,则

,0<a<1,

又 x>0 时, ∵ ∵

, 单调递增, 单调

单调递减,y=logau 单调递减,∴由复合函数的单调性知

为偶函数,其图象应关于 y 轴对称,∴x<0 时,

递减, 综上知,选项 B 符合, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的性质, 利用函数的奇偶性判断函数的单调性, 其中还应用了复 合函数单调性的判断,较为综合.

9. (4 分)已知函数 则实数 a 的取值范围是() A. 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数 t=x ﹣ax﹣a 在
2

,在

上是增函数,

上恒为正数,且在

上是减函数,由﹣ ≤ ,且当 x=﹣ 时 t≥0,求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得函数 t=x ﹣ax﹣a 在 且在 上是减函数.
2

上恒为正数,

∴﹣ ≤ ,且当 x=﹣ 时,t= + ﹣a≥0. 解得﹣1≤a≤ , 故选 C. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,二次函数的性质,复合函数的单调性, 属于中档题. 10. (4 分)直线 2x﹣y﹣1=0 被圆(x﹣1) +y =2 所截得的弦长为() A. B. C. D.
2 2

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考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题拟采用几何法求解, 求出圆的半径, 圆心到直线的距离, 再利用弦心距、 半径、 弦的一半三者构成的直角三角形,用勾股定理求出弦长的一半,即得弦长 解答: 解:由题意,圆的半径是 ,圆心坐标是(1,0) ,圆心到直线 2x﹣y﹣1=0 的距 离是 =

故弦长为 2

=

故选 D 点评: 本题考查直线与圆相交的性质求解本题的关键是利用点到直线的距离公式求出圆 到直线的距离以及利用弦心距、弦的一半、半径三者构成的直角三角形求出弦长. 11. (4 分)关于直线 m、n 与平面 α、β,有以下四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α 且 n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中真命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用. 专题: 规律型. 分析: 命题①中注意考虑面面平行的性质及 m 与 n 位置的多样性; 命题②中注意考虑面面垂直的性质及 m 与 n 位置的多样性; 命题③根据 n∥β 且 α∥β,知 n∥α; 命题④由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,可知 m 与 n 不平行,借助于直线平移先得到一个与 m 或 n 都平行的平面, 则所得平面与 α、β 都相交,根据 m 与 n 所成角与二面角平面角互补的结论. 解答: 解:命题①中,由 m∥α,n∥β 且 α∥β,能得到 m∥n,或 m 与 n 异面,或 m 与 n 相交三种可能,故命题①错误; 命题②中,根据∵m∥α 且 n⊥β 且 α⊥β,也能得到 m∥n,或 m 与 n 异面,或 m 与 n 相 交三种可能,故命题②错误; 命题③中,若 m⊥α,且 α∥β,则 m⊥β,又因为 n∥β,所以 m⊥n,故命题③正确; 对于命题④,由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行,否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾,通过平移使得 m 与 n 相交, 且设 m 与 n 确定的平面为 γ, 则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角, 因为 α⊥β, 所以 m 与 n 所成的角为 90°,故命题④正确. 故选 B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查空间中直线与平面之间的位置关系, 考 查空间想象能力,属于基础题.

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12. (4 分)已知函数 y=f (x)在 R 上是偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) , 当 x1,x2∈且 x1≠x2 时, ,给出如下命题:f(2a﹣x)=f(x)

①f(3)=0 ②直线 x=﹣6 是 y=f(x)图象的一条对称轴 ③函数 y=f(x)在上为增函数 ④函数 y=f(x)在上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为() A.①② B.②④ C.①②③

D.①②④

考点: 函数的零点;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数的图象. 专题: 计算题. 分析: ①令 x=﹣3,代入 f(x+6)=f(x)+f(3) ,根据函数为偶函数,得到 f(3)=0; ②将 f(3)=0 代入,得到 f(x+6)=f(x) ,故 f(x)是周期等于 6 的周期函数,再由 f(x) 是偶函数可得,x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③根据偶函数 f(x)在上为增函数,且周期为 6 得到函数 y=f(x)在上为减函数; ④根据 f(3)=0,周期为 6,得到 f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0,有四个零点. 解答: 解:①令 x=﹣3,则由 f(x+6)=f(x)+f(3) ,函数 y=f (x)在 R 上是偶函数, 得 f(3)=f(﹣3)+f(3)=2f(3) ,故 f(3)=0,故①正确. ②由 f(3)=0,可得:f(x+6)=f(x) ,故 f(x)是周期等于 6 的周期函数. 由于 f(x)为偶函数,y 轴是对称轴,故直线 x=﹣6 也是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴, 故②正确. ③因为当 x1,x2∈,x1≠x2 时,有 成立,故 f(x)在上为增

函数, 又 f(x)为偶函数,故在上为减函数,又周期为 6.故在上为减函数,故③错误. ④函数 f(x)周期为 6,故 f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0,故 y=f(x)在上有四个 零点,故④正确. 故选 D. 点评: 本题考查了抽象函数的单调性, 奇偶性, 周期性, 综合性比较强, 需熟练灵活掌握, 属于基础题. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是 . 考点: 专题: 分析: 解答: S= (1+ 平面图形的直观图. 计算题. 水平放置的图形为直角梯形,求出上底,高,下底,利用梯形面积公式求解即可. 解:水平放置的图形为一直角梯形,由题意可知上底为 1,高为 2,下底为 1+ , +1)×2=2+ .

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故答案为:2+ . 点评: 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法, 也可利用原图和直观图的面积 关系求解.属基础知识的考查.

14. (5 分)函数 函数,则实数 m=2.

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上是减

考点: 幂函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据幂函数的定义, 令幂的系数为 1, 列出方程求出 m 的值, 将 m 的值代入 f (x) , 判断出 f(x)的单调性,选出符和题意的 m 的值. 解答: 解: ∴m ﹣m﹣1=1 解得 m=2 或 m=﹣1 当 m=2 时,f(x)=x 在 x∈(0,+∞)上是减函数,满足题意. 0 当 m=﹣1 时,f(x)=x 在 x∈(0,+∞)上不是减函数,不满足题意. 故答案为:2. α 点评: 解决幂函数有关的问题,常利用幂函数的定义:形如 y=x (α 为常数)的为幂函 数;幂函数的单调性与指数符号的关系.是基础题. 15. (5 分)若直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 2 则 m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°,其中正确答案的序号是①⑤. 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两平行线 l1 与 l2 之间的距离公式可得 d= 得的线段的长为 2 = .直线 m 被两平行线所截 ,解 ,
﹣3

是幂函数

2

,可得直线 m 与两条平行线的垂线的夹角 θ 满足:

得 θ=60°.即可得出 m 的倾斜角. 解答: 解:∵两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 之间的距离 d= 直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 2 ∴直线 m 与两条平行线的垂线的夹角 θ 满足: 解得 θ=60°. ∴m 的倾斜角可以是 15°或 75°. 故答案为:①⑤. , = , .

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点评: 本题考查了两条平行线之间的距离公式、 直线的倾斜角与夹角, 考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 16. (5 分)将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角为 60°; 其中正确结论是①②④(写出所有正确结论的序号) 考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: 作出此直二面角的图象, 由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断, 即可得出 正确结论. 解答: 解: 作出如图的图象, 其中 A﹣BD﹣C=90°, E 是 BD 的中点, 可以证明出∠AED=90° 即为此直二面角的平面角 对于命题①,由于 BD⊥面 AEC,故 AC⊥BD,此命题正确; 对于命题②,在等腰直角三角形 AEC 中可以解出 AC 等于正方形的边长,故△ ACD 是等 边三角形,此命题正确; 对于命题③AB 与平面 BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE=45°,故 AB 与平面 BCD 成 60°的角不正确; 对于命题④可取 AD 中点 F,AC 的中点 H,连接 EF,EH,FH,由于 EF,FH 是中位线, 可证得其长度为正方形边长的一半,而 EH 是直角三角形的中线,其长度是 AC 的一半即正 方形边长的一半,故△ EFH 是等边三角形,由此即可证得 AB 与 CD 所成的角为 60°; 综上知①②④是正确的 故答案为①②④

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点评: 本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法, 线面之间的角的求法, 以 及线线之间位置关系的证明方法.综合性较强,对空间立体感要求较高. 三、解答题(共 6 题,52+20 分) 17. (10 分)已知全集为 R,集合 A={x|1≤x≤4},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=4 时,求?R(A∪B) ; (2)若 B?A 时,求实数 m 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)将 m=4 代入集合 B 中,确定出 B,找出既属于 A 又属于 B 的部分,求出 A 与 B 的并集,找出 R 中不属于并集的部分,即可确定出所求的集合; (2)分两种情况考虑:当 B 为空集时,B 为 A 的子集,此时 2m﹣1 小于 m+1,求出 m 的 范围;当 B 不为空集时,列出关于 m 的不等式组,求出不等式组的解集,即可求出 m 的范 围. 解答: 解: (1)当 m=4 时,B={x|5≤x≤7}, ∴A∪B={x|1≤x≤4 或 5≤x≤7}, ∴CR(A∪B)={x|x<1 或 4<x<5 或 x>7}; (2)当 B=?时,满足 B?A, ∴2m﹣1<m+1,∴m<2;

当 m≠?时,由 B?A,得到



解得:2≤m≤ , 综上,m 的范围为 m≤ . 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,以及集合关系中参数的取值问题,熟练掌握 交、并、补集的定义是解本题的关键. 18. (10 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点.
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(1)求证:BD1∥平面 AEC; (2)求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 连结 BD, 交 AC 于 O, 连结 EO, 由已知条件得 OE∥BD1, 由此能证明 BD1∥ 平面 AEC. (2) 由线面垂直得 AA1⊥BD, 由正方形性质得 AC⊥BD, 从而∠BC1O 是 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角,由此能求出 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角. 解答: (本题满分 13 分) (1)证明:连结 BD,交 AC 于 O,连结 EO, ∵E,O 分别是 DD1 与 BD 的中点, ∴OE∥BD1, 又∵OE 在平面 AEC 内,BD1 不在平面 AEC 内, ∴BD1∥平面 AEC. (2)解:∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥平面 ABCD, ∴AA1⊥BD,又正方形 ABCD 中,AC⊥BD, ∴BD⊥平面 ACC1A1, ∴∠BC1O 是 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角, 设正方体棱长为 a,Rt△ BOC1 中,BO= ∴BO= ,∴∠OC1B=30°, ,BC= ,

∴BC1 与平面 ACC1A1 所成的角为 30°.

点评: 本题考查直线与平面平行的证明, 考查直线与平面所成的角的求法, 解题时要认真 审题,注意空间思维能力的培养.

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19. (10 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂 为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出 场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 考点: 函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 应用题. 分析: (1)根据题意,函数为分段函数,当 0<x≤100 时,p=60;当 100<x≤600 时,p=60 ﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x. (2) 设利润为 y 元, 则当 0<x≤100 时, y=60x﹣40x=20x; 当 100<x≤600 时, y= (62﹣0.02x) x﹣40x=22x﹣0.02x ,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论. 解答: 解: (1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x. ∴p= (2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x﹣40x=20x; 当 100<x≤600 时,y=(62﹣0.02x)x﹣40x=22x﹣0.02x . ∴y= 当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时,y=22x﹣0.02x =﹣0.02(x﹣550) +6 050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6050>2000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6050 元. 点评: 本题考查分段函数,考查函数的最值,解题的关键是正确写出分段函数的解析式, 属于中档题. 20. (10 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4, (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A(1,0) ,且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.
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考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 计算题. 分析: (I)由直线 l1 过定点 A(1,0) ,故可以设出直线的点斜式方程,然后根据直线与 圆相切,圆心到直线的距离等于半径,求出 k 值即可,但要注意先讨论斜率不存在的情况, 以免漏解. (II)圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,则设圆心 D(a,2 ﹣a) ,进而根据两圆外切,则圆心距等于半径和,构造出关于 a 的方程,解方程即可得到答 案. 解答: 解: (Ⅰ)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x=1,符合题意. (1 分) ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即 (4 分)

解之得



所求直线方程是 x=1,3x﹣4y﹣3=0. (5 分) (Ⅱ)依题意设 D(a,2﹣a) ,又已知圆的圆心 C(3,4) ,r=2, 由两圆外切,可知 CD=5 ∴可知 解得 a=3,或 a=﹣2, ∴D(3,﹣1)或 D(﹣2,4) , ∴所求圆的方程为(x﹣3) +(y+1) =9 或(x+2) +(y﹣4) =9. (9 分) 点评: 本题考查的知识点是圆的方程, 直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系, 其中 (1) 的关键是根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,构造出关于 k 的方程, (2)的 关键是根据两圆外切,则圆心距等于半径和,构造出关于 a 的方程. 21. (12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣2 对任意 m、n∈R 恒成立,当 x>0 时,f(x)>2. (Ⅰ) 求证 f(x)在 R 上是单调递增函数; 2 (Ⅱ)已知 f(1)=5,解关于 t 的不等式 f(|t ﹣t|)≤8; 2 (Ⅲ)若 f(﹣2)=﹣4,且不等式 f(t +at﹣a)≥﹣7 对任意 t∈恒成立.求实数 a 的取值范 围. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数恒成立问题. 专题: 综合题;分类讨论;转化思想;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)结合已知先构造 x2﹣x1>0,可得 f(x2﹣x1)>2,利用函数的单调性的定 义作差 f(x1)﹣f(x2)变形可证明 (Ⅱ)由 f(1) ,及 f(2)=f(1)+f(1)﹣2 可求 f(2) ,然后结合(I)中的函数的单调 性可把已知不等式进行转化,解二次不等式即可 (Ⅲ)由 f(﹣2)及已知可求 f(﹣1) ,进而可求 f(﹣3) ,由已知不等式及函数的单调性 可转化原不等式,结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解
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=5, (7 分)

解答: 证明: (Ⅰ)?x1,x2∈R,当 x1<x2 时,x2﹣x1>0, ∴f(x2﹣x1)>2f(x1)﹣f(x2) =f(x1)﹣f(x2﹣x1+x1) =f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2 =2﹣f(x2﹣x1)<0, 所以 f(x1)<f(x2) , 所以 f(x)在 R 上是单调递增函数…(4 分) (Ⅱ)∵f(1)=5, ∴f(2)=f(1)+f(1)﹣2=8, 2 2 由 f(|t ﹣t|)≤8 得 f(|t ﹣t|)≤f(2) ∵f(x)在 R 上是单调递增函数,所以 … (8 分) (Ⅲ)由 f(﹣2)=﹣4 得﹣4=f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)﹣2?f(﹣1)=﹣1 所以 f(﹣3)=f(﹣2)+f(﹣1)=﹣4﹣1﹣2=﹣7, 由 f(t +at﹣a)≥﹣7 得 f(t +at﹣a)≥f(﹣3) ∵f(x)在 R 上是单调递增函数, 2 2 所以 t +at﹣a≥﹣3?t +at﹣a+3≥0 对任意 t∈恒成立. 2 记 g(t)=t +at﹣a+3(﹣2≤t≤2) 只需 gmin(t)≥0.对称轴 (1)当 盾. 此时 a∈? (2)当 时, 时, 与 a≥4 矛
2 2

, 又﹣4<a<4,所以﹣4<a≤2 (3)当 时,gmin(t)=g(2)=4+2a﹣a+3≥0?a≥﹣7

又 a≤﹣4 ∴﹣7≤a≤﹣4 综合上述得:a∈…(14 分) 点评: 本题主要考查了赋值法在抽象函数的函数值的求解中的应用, 抽象函数的单调性的 证明及函数的恒成立问题的应用,具有很强的综合性 22.已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
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(3)若存在实数 a∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实 数 t 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围; (3)根据方程有三个不同的实数根,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: (1)函数 y=f(x)为奇函数. 当 a=0 时,f(x)=x|x|+2x, ∴f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x) , ∴函数 y=f(x)为奇函数; (2)f(x)= ,

当 x≥2a 时,f(x)的对称轴为:x=a﹣1; 当 x<2a 时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1; ∴当 a﹣1≤2a≤a+1 时,f(x)在 R 上是增函数, 即﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; (3)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的解. ①当﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数, ∴关于 x 的方程 ( f x) =tf (2a) 不可能有三个不相等的实数根; … (9 分) ②当 a>1 时,即 2a>a+1>a﹣1, ∴f(x)在(﹣∞,a+1)上单调增,在(a+1,2a)上单调减,在(2a,+∞)上单调增, ∴当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时,关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数 根; 即 4a<t?4a<(a+1) , ∵a>1, ∴ 设 . ,
2

∵存在 a∈,使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴1<t<h(a)max, 又可证 ∴<h(a)max= , ∴1<t< ③当 a<﹣1 时,即 2a<a﹣1<a+1, ∴f(x)在(﹣∞,2a)上单调增,在(2a,a﹣1)上单调减,在(a﹣1,+∞)上单调增, 在(1,2]上单调增

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∴当 f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a)时,关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数 根; 即﹣(a﹣1) <t﹣4a<4a, ∵a<﹣1, ∴ 设 , ,
2

∵存在 a∈,使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴1<t<g(a)max, 又可证 ∴g(a)max= , ∴1<t< ; 综上:1<t< . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断, 以及函数单调性的应用, 综合考查分段函数的应 用,综合性较强,运算量较大. 在[﹣2,﹣1)上单调减,

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