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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--坐标系与参数方程(选修4-4)


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

坐标系与参数方程
1、(常州市 2013 届高三期末)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

? ? ?1 ,曲线 C2 3?


? ?

??

? ,判断两曲线的位置关系. 4?

解:将曲线 C1 ,???C2 化为直角坐标方程得:

C1 :??x ? 3 y ? 2 ? 0 ,
C2 :?x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0
即 C2 :?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,
2 2

圆心到直线的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 ? 2, 2

∴曲线 C1与C2 相离. 2、(连云港市 2013 届高三期末)

解:曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 即(x-2)2+y2=4. ……………………3分 ……………………5分 ………………7分 ……………10分

直线l的普通方程方程为y=x-m, 则圆心到直线l的距离d= 4-(

14 2 2 )= , 2 2

|2-0-m| 2 所以 = ,即|m-2|=1,解得m=1,或m=3. 2 2

3、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)在极坐标系中, A 为曲线 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 上 的动点, B 为直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 上的动点, 求 AB 的最小值.

解:圆的方程可化为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ,所以圆心为 ? ?1,0 ? ,半径为 2…………………3 分
2

又直线方程可化为 x ? y ? 7 ? 0 …………………………………………… 5 分 ?1 ? 7 ? 4 2 ,故 ( AB) min ? 4 2 ? 2 …………………………10 分 所以圆心到直线的距离 d ? 2 4、(南通市 2013 届高三期末)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程
? x ? ? 3t , ? 为? (t 为参数,t∈R).试在曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大. ?y ?1? t ?







线

C













x2 ? y2 ? 1 . 3

…………………………………………………………………2 分 线 l 的 普 通 方 程 是



x ? 3 y ? 3 ? 0.

………………………………………………………………4 分

设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

d?

3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? . …………………………………… 2

……………7 分 因为 ? 2 ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 2 ,所以

π π π 3π 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z),即 ? ? 2kπ ? (k ? Z)时,d 取得最大值. 4 4 2 4
此时 3 cos ? ? ?
6 2 . ,sin ? ? ? 2 2

综 上 , 点 M 的 极 坐 标 为 ( 2, 大.

7π ) 时 , 该 点 到 直 线 l 的 距 离 最 6

………………………10 分 6 2 注 凡给出点 M 的直角坐标为 (? ,? ) ,不扣分. 2 2

5、(徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程
? ?x ? ? ? 为? ? ?y ? ? ? 2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 2 ? r sin? 2

直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 值.

?
4

) ? 1, 若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的

? ?x ? ? ? 因为圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 ? r cos? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ),消去参数得, 2 ? r sin ? 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 ,半径为 r ,……3 分 ?x? ? ?? y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,………6 分

? 4

?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,……………………8 分

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .…10 分 6、 (苏州市 2013 届高三期末) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A , 16 4

上顶点为 B ,点 P 是第一象限内在椭圆上的一个动点,求 ?PAB 面积 S 的最大值. 答案:

7、 (泰州市 2013 届高三期末)已知直线 l : ? ( ? 为参数)相交于 A,B 两点,m 为常数. (1) 当 m=0 时,求线段 AB 的长;

?x ? 1 ? t ? x ? 2 cos? (t 为参数)与圆 C:? ? y ? ?t ? y ? m ? 2 sin ?

(2) 当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值. 解 :(1)直线 l:x+y-1=0 曲线 C:x2+y2=4 圆心到直线的距离为 d=

1 2

AB=2 r ? d = 14 …………………………………………………………………..5 分
2 2

(2)x2+(y-m)2=4,x+y-1=0 d=

m ?1 2

=1

∴ m-1= ± 2

m=1+ 2 或 m=1- 2 ………………..……………..10 分

8、 (无锡市 2013 届高三期末)已知在极坐标系下,圆 C:p= 2cos( ? ? (? ? 答案:

?
2

)与直线 l: ? sin

?
4

)= 2 ,点 M 为圆 C 上的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.

x2 y 2 ? ? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分 16 9 别为 A, B ,动点 P 是椭圆上任一点,求 ?PAB 面积的最大值。 x y 解:依题意 A(4, 0) , B (0,3) , AB ? 5 ,直线 AB : ? ? 1 ,即 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4 3 设点 P 的坐标为 (4 cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是 | 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 12 ? d? ? | 2 sin(? ? ) ? 1| , …………………4 分 5 5 4 ? 12( 2 ? 1) 当 sin(? ? ) ? ?1 时, d max ? , …………………6 分 4 5 1 所以 ?PAB 面积的最大值是 S ? AB ? d max ? 6( 2 ? 1) …………………10 分 2
9、(扬州市 2013 届高三期末)已知椭圆 C : 10、(镇江市 2013 届高三期末)求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ? 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? x ? 2 ? 2t , (是参数截得的弦长. ? y ? 1 ? 4t

? ? 3cos ? 即: x 2 ? y 2 ? 3x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ;……4 分

3 2

9 4

? x ? 2 ? 2t , 即: 2 x ? y ? 3 ,…… 6 分 ? ? y ? 1 ? 4t ,

d?

3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1) 2

? 0 ,…… 8 分

即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为 3 .…… 10 分


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