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函数的单调性与周期绝世好题


1.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x 2 ? R 有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 , 则下列说法一定正确的是(C ) A. f ( x ) 为奇函数 B. f ( x ) 为偶函数 C. f ( x ) ? 1 为奇函数 D. f ( x ) ? 1 为偶函数

2.设

偶函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为减函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 为( )

f ( x) ? f (? x) x

? 0 的解集

A. ( ? 2, 0) ? (2, ?? ) B.( ?? , ? 2) ? (0, 2)

C.( ?? , ? 2) ? (2, ?? )

D.( ? 2, 0) ? (0, 2)

3. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 4 已知函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1、2 都有 f(x1·2)=f(x1)+f(x2), x x 且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1, (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3) 2 解不等式 f(2x -1)<2. 5 已知函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,且对任意 a , b ? R ,都有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f (b ) ,且当
x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求证: (1)函数 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x ) 是

奇函数。 6.设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的定义域是 x ? R 且 x ? ? 1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 x ?1

,求 f ( x ) 和 g ( x ) 的解析式.

7.已知函数 f(x)是定义在(0,∞)的增函数,且 f(xy)= f(x)+ f(y) (1) 证明:f(
x y

)=f(x)- f(y) (2)已知 f(3)=1, 且 f(a)>f(a-1)+2 ,求 a 的取值范围。

8.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) , f ( 0 ) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意的
a , b ? R ,有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ·f ( b )

(1)证明: f ( 0 ) ? 1 ; (2)证明:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x ) ? 0 ; (3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数; (4)若 f ( x ) ·f ( 2 x ? x 2 ) ? 1 ,求 x 的取值范围 9、设 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) , 且在 ( 0 , ?? ) 上为增函数,f ( ) ? f ( x ) ? f ( y )
y x

(1)求证 f (1) ? 0 , f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ; (2)设 f ( 2 ) ? 1 ,解不等式 f ( x ) ? f (
10. (本题满分 13 分))已知函数 f ? x ? ? x ? (1) 求 a 的值; (2) 判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (3) 函数在 ?3 , ? ? ? 上是增函数还是减函数?并证明你的结论. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) ? R,y ? R) (x ,且 f(0)≠0, 试证 f(x)是偶函数. 11.设函数 y=f(x) ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) (x , 求证 f(x)是偶函数.

1 x?3

)?2

a x

,且 f (1) ? 10 .

1 12.定义在 [ ? 1,] 上的函数 y ? f ( x ) 是减函数,且是奇函数,若

f ( a ? a ? 1) ? f ( 4 a ? 5 ) ? 0 ,求实数 a 的范围。
2

13.设 足不等式

是定义在

上的增函数, 的 x 的取值范围.

,且

,求满

14 已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在其定义域内为增函数,满足 f(xy)=f(x)+f (y) f(2)=1,试解不等式 f(x)-f(x-2)>3. ,

15.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.? 16.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 5) ? ? f ( x ) ,则函数 f ( x ) 的周期为 17.已知函数 f ( x ) 对任意的 x ? R 都有 f ( x ) ? 1 ?
1 f ( x ? 2)

,则 f (0) ? m ( m ? 0, m ? 1) ,

求证: f ( x ) 是周期函数,并求出它的一个周期。 18 设函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称,且满足 f ( x 1 ? x 2 ) ?
f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 f ( x 2 ) ? f ( x1 )

;存在正常

数 a 使得 f ( a ) ? 1 。求证: (1) f ( x ) 是奇函数(2) f ( x ) 是周期为 4 a 的周期函数。 解: (1)令 x ? x1 ? x 2 ,则
f ( ? x ) ? f ( x 2 ? x1 ) ?
? f ( x ) 是奇函数

f ( x 2 ) f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

??

f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 f ( x 2 ) ? f ( x1 )

? ? f ( x1 ? x 2 ) ? ? f ( x )

(2)? f ( x ? a ) ? f [ x ? ( ? a )] ?

f ( x) f (? a ) ? 1 f (? a ) ? f ( x)

?

? f ( x) ? 1 ? 1 ? f ( x)

?1?

2 f ( x) ? 1

? f ( x ? 2a) ? 1 ?

2 f (x ? a) ? 1

? 1? 1?

2 2 f ( x) ? 1

?1? ?1

f ( x) ? 1 f ( x)

??

1 f ( x)

? f ( x ? 4a) ? ?

1 f ( x ? 2a)

? f ( x)

? f ( x ) 是周期为 4 a 的周期函数

【总结】证函数的奇偶性和周期性,通常是用定义加以验证。 变式 19 已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( ∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( 证明:(1)由 f(x)+f(y)=f(
x? y 1 ? xy

1 2

)=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y

),试证明:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

x? y 1 ? xy

),
x?x 1? x
2

令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( ∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

)=f(0)=0.

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

)

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<
x 2 ? x1 1 ? x 2 x1

x 2 ? x1 1 ? x 2 x1

>0,

<1,由题意知 f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

)<0,?即 f(x2)<f(x1).

∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 【总结】对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定 焦点. 20.讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2 ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。
?a , x<0, ? 21.已知函数 f(x)=? ? ?(a-3)x+4a, x≥0.
x

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

的范围是

满足对任意 x1≠x2,都有

f(x1)-f(x2) <0 成 x1-x2
( )

立,则 a 的取值范围是 A.(0,3) 1 C.(0, ] 4

B.(1,3) D.(-∞,3) ) f(x+3) 是奇函数

22. 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 是奇函数 C. f(x) =f(x+2) D.

23.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(
1 x

x y

) = f(x)-f(y)

) <2 .

24. f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ( 2 ) ? 0 在区间(0,6)内解的个数的 最小值是( A.2 ) B.3
x ? 2x ? a
2

C.4

D.5

25.已知函数 f(x)= (1)当 a=
1 2

,x∈[1,+∞]

x

时,求函数 f(x)的最小值;

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围


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