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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练29


双基限时练(二十九)
1.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的位置关系是( A.相离 C.相交 B.外切 D.内切 )

解析 圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心 C1(1,0),半 径 r1=1. 圆:x2+y2+4y=0,配方 x2+(y+2)2=4,圆心 C2(0,-2),半径 r2=2. 圆心距|C

1C2|= 5<r1+r2=3,且 5>r2-r1,∴两圆相交. 答案 C

2.两圆 x2+y2=r2 与(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则 r 的值是 ( ) A. 10 C.5 B. 5 10 D. 2

解析 圆心距 ?0-3?2+?0+1?2= 10=2r. 10 ∴r= 2 . 答案 D

3.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切线 有( ) A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条

解析 圆 x2+y2-4x+2y+1=0?(x-2)2+(y+1)2=4, 圆心 C1(2, -1),半径 r1=2.圆 x2+y2+4x-4y-1=0?(x+2)2+(y-2)2=9,圆心 C2(-2,2),半径 r2=3.

∵|C1C2|= ?2+2?2+?-1-2?2=5=r1+r2. ∴两圆相外切,∴公切线有 3 条. 答案 C

4.圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的 点共有( ) B.3 个 D.1 个

A.4 个 C.2 个

解析 圆 x2+2x+y2+4y-3=0?(x+1)2+(y+2)2=8. ∴圆心(-1,-2),半径为 r=2 2.而圆心(-1,-2)到直线 x+y |-1-2+1| +1=0 的距离 d= = 2, 2 ∴圆上点到直线的距离为 2的点有 3 个. 答案 B

5.已知半径为 1 的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16 相切,则动圆圆 心的轨迹方程是( )

A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17 或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25 或(x-5)2+(y+7)2=9 解析 设动圆圆心 G(x,y).当两圆内切时,有(x-5)2+(y+7)2= 9. 当两圆外切时,有(x-5)2+(y+7)2=25.应选 D. 答案 D

6. 已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程是________. 解析 二圆相减可得 x+3y=0.

答案

x+3y=0

7.以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是 ____________. 解析 半径 r= |4×1+3×2-35| =5,又圆心(1,2). 42+32

∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 答案 (x-1)2+(y-2)2=25

8.两圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则实数 a 的值为 __________. 解析 当两圆内切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5-1)2. ∴a=0;当两圆外切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5+1)2, ∴a=± 2 5. ∴a=0,或 a=± 2 5. 答案 0,或± 2 5 9. 已知点 P 是圆 x2+y2=16 上的一个动点, 点 A(12,0)是 x 轴上的 一定点,当点 P 在圆上运动时,线段 PA 的中点 M 的轨迹是什么?并 分析此轨迹与圆 x2+y2=16 的位置关系. 解 设线段 PA 的中点 M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式, 12 ?x=x + 2 , 得? y +0 ?y= 2 ,
0 0

?x0=2x-12, ? ?? ? ?y0=2y.

P(x0,y0)在圆 x2+y2=16 上, ∴(2x-12)2+(2y)2=16. 即(x-6)2+y2=4. 这就是点 M 的轨迹方程.

∴点 M 的轨迹是以(6,0)为圆心,2 为半径的圆. 两圆的圆心距 d= ?6-0?2+02=6,而两半径之和为 6. ∴两圆相外切. 10.求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 也相切的圆的方程. 解 由题意设所求圆的方程为圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆 C 与 直线 y=0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1(a,4),或 C2(a,- 4). 又已知圆 x2+y2-4x-2y-4=0 的圆心 A 的坐标为(2,1),半径为 3. 若两圆相切,则|CA|=4+3=7,或|CA|=4-3=1. (1)当 C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72,或(a-2)2+(4-1)2=12(无 解),故可得 a=2± 2 10. ∴所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=42,或(x-2+2 10)2 +(y-4)2=42. (2)当 C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72,或(a-2)2+(-4-1)2 =12(无解),故 a=2± 2 6. ∴所求圆的方程为(x-2-2 6)2+(y+4)2=42, 或(x-2+2 6)2+(y +4)2=42. 11.求圆 C1:x2+y2-2x+2y-1=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2y-3 =0 的公共弦长. 解 两圆的方程相减, 整理得公共弦所在的直线方程为 2x-2y-1 =0. 把圆 C1 的方程化为标准方程是(x-1)2+(y+1)2=3. 它的圆心 C1(1,-1),半径 r= 3.

又圆心 C1 到直线 2x-2y-1=0 的距离为 d= |2×1-2×?-1?-1| 3 =4 2, 22+?-2?2 9 30 3-8= 2 .

所以公共弦长为 2 r2-d2=2

12.已知圆 C 同时满足下列三个条件: ①与 y 轴相切;②圆心在直线 x-3y=0 上;③在直线 y=x 上截得 的弦长为 2 7. 求圆 C 的方程. 解 设圆 C 与直线 y=x 交于 A,B 两点, ∵圆心在直线 x-3y=0 上, ∴可设圆心的坐标为 C(3a,a). ∵圆 C 与 y 轴相切,∴半径 r=3|a|. |3a-a| 又圆心 C 到直线 y-x=0 的距离 d= = 2|a|. 2
?|AB|? 由③知|AB|=2 7,∴r2-d2=? 2 ?2, ? ?

即 9a2-2a2=7.解得 a=± 1. ∴圆心 C 的坐标为(3,1)或(-3,-1). 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9.


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