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函数中的任意和存在性问题题选


函数中的任意和存在性问题一
题选:

填空题

12.设曲线 y ? ? ax ?1? ex 在点 A? x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x ? e? x 在点 B ? x0 , y2 ? 处的切线为 l 2 . 若存在 x0 ? ? 0, ? ,使得 l1 2 解:函数 y

? 3? ? ?

? l2 ,则实数 a 的取值范围为



? ?ax ? 1?e x 的导数为 y / ? ?ax ? a ? 1?e x ,
0

? l1 的斜率为 k1 ? ?ax0 ? a ? 1?e x ? l2 的斜率为 k 2 ? ? x0 ? 2?e ? x
0

,函数 y

/ ?x ? ?1 ? x ?e ? x 的导数为 y ? ?x ? 2?e

, 由题设有 k1 ? k 2

? ?1从而有

?ax

0

? a ? 1?e x ? ? x0 ? 2 ?e ? x ? ?1
0 0

? a? x02 ? x0 ? 2? ? x0 ? 3

3? ? x0 ? ? ?0, ? 问题转化为求 a ? ? 2?

3 x0 ? 3 的值域,?1 ? a ? . 2 x ? x0 ? 2
2 0
2

(南通市 2011 届高三第一次调研测试数学试卷)13. 已知 f ( x) ? x , g ( x) ? ( ) ? m , 若对 ? x1 ? ? ?1,3? , ? x2 ? ?0, 2? ,
x

1 2

f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是



13. m ≥

1 4

(盐城市 2010/2011 学年度高三年级第二次调研) 13、已知函数

f ( x) ? x ?

1 ? a 2 , g ( x) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 若存 x
.

在 ?1 , ? 2 ? ? , a ? (a ? 1) ,使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 9 ,则 a 的取值范围是 ?a ? 13. ?1, 4?

?1

?

(南通市 2010 届高三第二次调研测试)14.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? ax ? 2a .若存在 x0 ? R ,使得
2

f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是



解析:显然 a ? 0 ,抛物线与直线的交点至少有一个在 x 轴下方,从而联立方程组,消去 x 得

y 2 ? (4a ? 2a2 ) y ? a3 ? 7a2 ? 0 至少有一个负根,当△ ? ? 4a ? 2a 2 ? ? 4 ? 7a 2 ? a3 ? ? 4a 2 ? a 2 ? 3a ? 3?
2

≥0,即 a ≥

3 ? 21 3 ? 21 2 2 3 2 或a≤ 时,此方程有有实根,且函数 f ( y ) ? y ? ? 4a ? 2a ? y ? a ? 7 a 的 2 2

3 2 2 对称轴, y ? a ? 2a ? 0 ,说明若此方程只有一个负根,从而当 y ? 0 时, ?a ? 7a ? 0 得 a ? 7 ,所

以实数 a 的取值范围是 (7, ??)
1

(0, ? ?) (0, ? ?) (2010 福建理)15.已知定义域为 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ? ,恒有 f(2x)=2f(x) 成
立;当 x ? (1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: ①对任意 m ? Z ,有 f(2m )=0 ;②函数 f(x) 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得 f(2n +1)=9 ;④“函 ? ?) 数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 。 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 。

m m ?1 m 【解析】 对①, 因为 2 >0 , 所以 f(2m )=2f(2m-1 )=...=2m-1 f(2) ? 0 , 故①正确; 经分析②, 取 x? 2 ,2 ? ?,

?



x ? ?1, 2 ? , f 2m

x ? x ? ? m ? ? 2 ? m ,从而 f ( x) ? 2 f 2 ?2 ?

? x? m ? ? ? ... ? 2 2 ? ?

? x ? f ? m ? ? 2m?1 ? x ,其中 m ? 0,1, 2,... ?2 ?

n m ?1 n n 从 而 f ( x )?? 0,??? 也 正 确 。 ③ f 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 假 设 存 在 f 2 ? 1 ? 9 即 存 在 x1 , x2 满 足

?

?

?

?

2x1 ? 2x2 ? 10 ,又 2 x 变化如下:2,4,8,16,32,?显然不存在,所以该命题错误。根据前面分析容易
得出④正确 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。 14. (7,+∞)
( 无 锡 市 2011 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 )13 .已知 函数

f ( x) ? x2 ? 2x , 若 存在实 数 t , 当 x ? [1,m ]时,


f ( x ? t) ? 3 x恒成立,则实数 m 的最大值为
13.8

f ( x) ? ? x ? 1? ? 1 , x ? ?1, m? 时, f ( x ? t ) ? 3x 即 ? x ? t ? 1? ? 1 ? 3 x 即 x ? t ? 1 ? 3x ? 1
2 2

? 3x ? 1 ? x ? t ? 1 ? 3x ? 1 对 x ??1, m? 恒成立。所以 ? x ? 3x ? 1 ? t ? 1 ? 3x ? 1 ? x
设 u( x) ? ? x ? 3x ? 1 , v( x) ? 3x ? 1 ? x

u( x)max ? u(1) ? ?3 , v( x)max ? v(m) ? 3m ? 1 ? m

t 存在 ? 3m ? 1 ? m ? ?3 即 ?

? ? 3m ? 1 ? m ? 3 ,解得 1 ? m ? 8 。所以 mmax ? 8 m ? 1 ? ?

(盐城 2011.9 期初摸底考试 19)已知 f ( x ) 为 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 2) ⑴当 x ? 0 时,求 f ( x ) 的解析式; ⑵当 m ? R 时,试比较 f (m ? 1) 与 f (3 ? m) 的大小;
2

⑶求最小的整数 m (m ? ?2) ,使得存在实数 t ,对任意的 x ? ? m,10? ,都有 f ( x ? t ) ? 2ln x ? 3

4.已知 f(x)=

2x ? a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 1 2 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥ x

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=

|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 分析:本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨论思想和 灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解: (Ⅰ)f'(x)=

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2

∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x -ax-2,
2 2



方法一: ①
?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? ? ? ?1 ? a ? 1 ?? ( ?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ?

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:
a a ? ? ?0 ?0 ? ? ①? ? 或? ? 0≤a≤1 或-1≤a≤0 ? -1≤a≤1. 2 2 ? ? ?????? ? ? ? a ? ? ? ? ????? ? ? ? a ? ? ? ?

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由
2x ? a 1 = ,得 x2-ax-2=0, 2 x ?2 x

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根,
3

x1+x2=a,
∴ 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

x1x2=-2,
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: g(-1)=m2-m-2≥0, ② ②

?

g(1)=m2+m-2≥0,

? m≥2 或 m≤-2.
所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值 范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时,

m?0 ? ②? 2 ? g (?1) ? m ? m ? 2 ? 0

m?0 ? 或? ? m≥2 或 m≤-2. 2 ? g (1) ? m ? m ? 2 ? 0

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值范 围是{m|m≥2,或 m≤-2}.

4


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