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【全程复习方略】2014年人教A版数学文(广东用)课时作业:3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式]


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课时提升作业(二十)
一、选择题 1.函数 f(x)=1-2sin2x 是( )

(A)最小正周期为 2π 的奇函数 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 (D

)最小正周期为π 的偶函数 2.(2013·揭阳模拟)在△ABC 中,tan A+tan B+ 3 = 3 tan A·tan B, 则 C 等于( )

? 2? ? ? (A) ?????????????? (B) ?????????????? (C) ?????????????? (D) 3 3 6 4 1 ? 3.若 tan α =lg(10a),tan β =lg ,且α +β = ,则实数 a 的值为( a 4 1 (A)1 (B) 10 1 (C)1 或 (D)1 或 10 10

)

4.函数 f(x)= 3 cos(3x-θ )-sin(3x-θ )是奇函数,则θ 为( (A)kπ (k∈Z) (B)kπ +

)

? (k∈Z) 6 ? ? (C)kπ + (k∈Z) (D)-kπ - (k∈Z) 3 3 1 1 ? 5.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且α , β ∈(0, ), 则 cos(α -β ) 3 3 2

的值等于(

)

?A? ?

1 1 1 23 ?????????????? B ? ?????????????? C ? ? ?????????????? D ? 2 2 3 27

6.(2013·湛江模拟)若钝角α 满足 cos α =- ,则 tan( ? )的值为 ( ) (B)-3 (C)
1 3

3 5

? 2

? 4

(A)3 二、填空题

(D)-

1 3

7.化简:sin2x+2sin xcos x+3cos2x=_______. 8.(2013·泰州模拟)已知 sin α = ,cos β = ,其中α ,β ∈(0, ), 则α +β =_______. 9.(能力挑战题)已知:0°<α <90°,0°<α +β <90°,3sin β =sin(2α +β ),则 tan β 的最大值是________. 三、解答题 10.(2013·惠州模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+ ? )(ω >0,0≤ ? ≤π ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π . (1)求 f(x)的解析式. (2)若α ∈(- , ),f(α + )= ,求 sin(2α +
? 3 ? 2 ? 3 1 3 5? )的值. 3

3 5

3 5

? 2

11. (2013· 中山模拟) 已知函数 f(x)=2sin(ω x+ ? )(ω >0,0< ? <π ) 的最小正周期为π ,且 f( )= 2 . (1)求ω , ? 的值. (2)若 f( )=? 2 6 (0<α <π ),求 cos 2α . 5 ? 4

12.(能力挑战题)函数 f(x)=
? 4 ? 2

3 1 ? cos 2x 1 sin 2x ? ? . 2 2 2

(1)若 x∈[ , ] ,求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值. (2)若不等式[f(x)-m]2<1 在 x∈[ , 取值范围.
? 4 ? ]上恒成立,求实数 m 的 2

答案解析
1.【解析】选 D.∵f(x)=1-2sin2x=cos 2x, ∴T=
2? 2? ? =π. ? 2

∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 2.【解析】选 A.由题意得, tan A+tan B=- 3 (1-tan Atan B) , ∴
tan A ? tan B ?? 3, 1 ? tan Atan B

即 tan(A+B)=-

3, 3,

∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)= ∵0<C<π,∴C= .
? 3

3.【思路点拨】利用两角和的正切公式求出 tan(α+β)的值,然后转 化成关于 lg a 的一元二次方程求得 lg a 的值,进而求出 a 的值. 【解析】选 C.tan(α+β)=1?
lg(10a) ? lg
tan? ? tan? 1 ? tan?tan?

1 a ? 1 ?lg2a+lg a=0, ? 1 1 ? lg(10a) lg a 1 所以 lg a=0 或-1,即 a=1 或 . 10

4.【解析】选 D.由已知得,f(x)=2[
1 ? sin(3x-θ)]=2sin( -3x+θ) 2 3 ? =-2sin(3x- -θ). 3

3 cos(3x-θ)2

∵f(x)是奇函数,∴- -θ=kπ,k∈Z. 故θ=-kπ- ,k∈Z.
? ),∴2α∈(0,π). 2 1 7 ∵cos α= ,∴cos 2α=2cos2α-1=- , 3 9

? 3

? 3

5.【解析】选 D.∵α∈(0,

∴sin 2α= 1 ? cos2 2? ?
? 2

4 2 . 9

∵α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)= 1 ? cos2 (? ? ?) ?
2 2 , 3

∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
7 1 4 2 2 2 23 ? (? ) ? (? ) ? ? ? . 9 3 9 3 27

6.【解析】选 B.∵cos α=- ,α∈( ,π),∴sin α= , tan α=- ,∵
4 3 1 ? ? ? =-tan(α+ )=-tan[2( ? )] tan? 2 2 4

3 5

? 2

4 5

? ? 2tan( ? ) 2 4 ? ?3, =? ? ? 4 1 ? tan 2 ( ? ) 2 4 ? ∵α∈( ,π), 2 ? ? ? 3? ? ? ∴ ? ? ( , ),? tan( ? ) ? ?3. 2 4 2 4 2 4

7.【解析】原式=2sin xcos x+2cos2x+cos2x+sin2x =sin 2x+1+cos 2x+1 = 2 sin(2x+ )+2 答案: 2 sin(2x+ )+2
? 4 ? 4

8.【解析】∵α,β∈(0, ∴cos α= ,sin β= .
4 5 4 5

? 3 3 ),sin α= ,cos β= , 2 5 5

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = × - × =0. ∵α,β∈(0, ∴α+β= . 答案:
? 2 ? 2 ? ),∴0<α+β<π. 2 4 5 3 5 3 5 4 5

9. 【解析】 由 3sin β=sin(2α+β)得 3sin(α+β-α)=sin(α+β+α), 化简得 sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α, ∴tan β=tan(α+β-α)= =
tan? ? 1 ? 2tan 2? 1 1 ? 2tan? tan? .
tan(? ? ?) ? tan? 1 ? tan(? ? ?)tan?

由题意知,tan α>0, ∴
1 +2tan α≥2 2 tan?
1 2 =2tan α,即 tan α= 时等号成立) , tan? 2

(当且仅当

∴tan β的最大值为 答案:
2 4

1 2 2

?

2 . 4

【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公 式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.

(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和 或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利 用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧. 10.【解析】(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π,
2? =1.∴f(x)=sin(x+ ? ). T ? ∵f(x)是偶函数,∴ ? =kπ+ (k∈Z), 2 ? 又 0≤ ? ≤π,∴ ? = . 2

∴T=2π,则ω=

则 f(x)=cos x. (2)由已知得 cos(α+ )= ,∵α∈(- , ), ∴α+ ∈(0,
? 3

? 3

5? ). 6

? 3

1 3

? 3

? 2

则 sin(α+ )= ∴sin(2α+

2 2 . 3

5? 2? )=-sin(2α+ ) 3 3
? 3 ? 3

=-2sin(α+ )cos(α+ )=-

4 2 . 9
2? ? 得ω,利用 f( ) ? 2 得 ? . ? 4

11.【思路点拨】 (1)利用 T=
? 2 6 5

(2)利用 f( )=- 代入解析式 f(x)并化简,再构造角即可求 cos 2α. 【解析】 (1)由函数的最小正周期为π,可知 又由 f( )= 2 ,得 2sin( ? ? )= 2 , 所以 cos ? =
2 , 2
? 4 ? 4 ? 2 2? =π,所以ω=2. ?

又 ? ∈(0,π),所以 ? = . (2)由 f( )=- ,得 sin(α+ )=- . 因为α∈(0,π),
? 2 6 5 ? 4 3 5

? 5? ? 3 ),又 sin(α+ )=- <0, 4 4 4 5 ? 4 所以 cos(α+ )=- , 4 5 ? ? ? 24 所以 cos 2α=sin( +2α)=2sin( +α)cos( +α)= . 2 4 4 25

所以α+ ∈( ,

? 4

【变式备选】若向量 m=( 3 sin ωx,0),n=(cos ωx,-sin ωx)(ω >0), 在函数 f(x)=m〃 (m+n)+t 的图象中, 对称中心到对称轴的最小距离为 , 且当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 1. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 【解析】 (1) 由题意得 f(x)=m〃 (m+n)+t=m2+m〃 n+t=3sin2ωx+ 3 sin ω x〃 cos ωx+t = - cos 2ωx+
? 3
3 2 3 2

? 3

? 4

3 sin 2ωx+t 2
3 +t. 2

= 3 sin(2ωx- )+

∵对称中心到对称轴的最小距离为 , ∴f(x)的最小正周期为 T=π. ∴
2? =π,∴ω=1. 2?

? 4

? 3 3 sin(2x- )+ +t, 3 2 ? ? ? ? 当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ] , 3 3 3 3 ? ? ? ∴当 2x- = ,即 x= 时, 3 3 3

∴f(x)=

f(x)取得最大值 3+t.

∵当 x∈[0,

? ]时,f(x)max=1, 3

∴3+t=1,∴t=-2, ∴f(x)=
? 1 3 sin(2x- )- . 3 2

(2)由(1)知 f ? x ? ? 3sin(2x ? ) - .
? ? ? 2 3 2 ? 5 ? 5 2kπ- ≤2x≤2kπ+ π,kπ- ≤x≤kπ+ π, 6 6 12 12 ? 5 ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ π](k∈Z). 12 12

? 3

1 2

2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,

12.【思路点拨】 (1)先利用所学公式把 f(x)变换成 f(x)=Asin(ω x+ ? )+b 的形式.利用所给 x 的范围,求得最值及对应 x 的值.(2)利 用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解. 【解析】(1)f(x)= =
1 ? cos 2x 1 3 ? sin 2x2 2 2

1 ? 3 sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1, 2 6 2

? ? 5? , 3 6 6 ? ? ? 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=0, 6 2 3 ? 5? ? 1 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)min=- . 6 6 2 2 ? ? 2 (2)方法一:∵[f(x)-m] <1(x∈[ , ] )?f(x)-1<m<f(x)+1(x 4 2

∵x∈[ , ],∴ ≤2x- ≤

? 4

? 2

∈ [ , ]), ∴m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 故 m 的取值范围为(-1, ). 方法二:∵[f(x)-m]2<1?m-1<f(x)<m+1,
1 2 ? 4 ? 2

∴m-1<- 且 m+1>0,故-1<m< , 故 m 的取值范围是(-1,
1 ). 2

1 2

1 2

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