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第二章 空间的平面和直线


第二章

空间的平面和直线

本章教学目的:通过本章的学习,使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式,熟 练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件,会求平面与空间直线间各种距离和夹 角. 本章教学重点: (1)空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式; (2)平面与空间直线间各种位置关系的解析条件; (3)平面与空间直线各种度量关

系的量化公式. 本章教学难点: (1)空间直线一般方程向标准方程的转化; (2)综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程. 本章教学内容:

§2.1 仿射坐标系中平面的方程,两平面的相关位置
2.1.1 平面的参数方程和普通方程
确定一个平面的条件有:不在同一直线上的三个点;一条直线和直线外的一点;两条相 交或平行直线.为了利用向量法,我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”. 约定: ? —表示平面; 定义:与平面 ? 平行的一对非共线向量 v1 , v 2 ,称为 ? 的方位向量.与 ? 垂直的非零向量

? ?

? n ,称为 ? 的法线向量,简称法向量.
一. 平面的参数方程 1.已知 ? 上一点 M 0 及其方位向量 a, b 时: 建立坐标系 ?O; e1 , e2 , e3 ? ,设 r0 = OM 0 = ? x0 , y0 , z0 ? ,对动点 M ,设

? ?

? ? ?

?

?

?????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? r ? OM ? {x, y, z} ,则 M ? ? ? M 0 M , a, b 共面 ? r ? r 0 , a, b 共面 ?

? ? ? ? ? ? ? r ? r 0 ? ? a ? ? b ? r ? r 0 ? ua ? vb ,

———— ? 的向量式参数方程 (1)

若令 a ? { X 1 , Y1 , Z1}, b ? { X 2 , Y2 , Z 2} ,则

?

?

? x ? x0 ? X 1u ? X 2v, ? ? y ? y0 ? Y1u ? Y2v, ————π 的坐标式参数方程 (2) ? z ? z ? Z u ? Z v. 0 1 2 ?
二 平面的普通方程 为得到 ? 的普通方程,我们有 M ? ? ? M 0 M , a, b 共面 ?

?????? ? ? ?

x ? x0 X1 X2


y ? y0 Y1 Y2

z ? z0 Z1 Z2
=0, ——————π 的一般(普通)方程 (3)

Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,
其中

(4)

A?

Y1 Z1

Y2 Z2

,B ?

X1 Z1

X2 Z2

,C ?

X1 Y1

X2 Y2

, D ? ?( Ax0 ? By0 ? Cz0 ).

(1)——(3)统称为 ? 的点位式方程. 三 平面的其他方程 1. 已知平面π 上三非共线点 M i , i ? 1, 2,3 ,建立坐标系 ?O; e1 , e2 , e3 ? ,设

? ? ?

? ? ? ????? ? ???? ? r i ? OM i ? {xi , yi , zi }, i ? 1, 2,3 . 对动点 M ,令 r ? OM ? {x , y ,z } ,由(1)(2)(3)有 , ,

? ? ? ? ? ? M ? ? ? r ? r1 ? u (r 2 ? r1 ) ? v(r 3 ? r1 ),
? x ? x1 ? u ( x2 ? x1 ) ? v( x3 ? x1 ), ? ? y ? y1 ? u ( y2 ? y1 ) ? v ( y3 ? y1 ), ? z ? z ? u ( z ? z ) ? v( z ? z ), 1 2 1 3 1 ?

(5)

x ? x1 x 2 ? x1 x3 ? x1

y ? y1 y 2 ? y1 y 3 ? y1

z ? z1 z 2 ? z1 =0. z 3 ? z1
(6)

(4)——(6)统称为平面的三点式方程. 特别地,若 M i 是 ? 与三坐标轴的交点,即 M1 (a, 0, 0), M 2 (0, b, 0), M 3 (0, 0, c), ( abc ? 0) , 则

x?a M ? ? ? ?a ?a


y

z
(7)

b 0 =0, 0 c

x y z ? ? ? 1 ——————π 的截距式方程. 其中 a, b, c 称为 ? 在三坐标轴上的截距. a b c
2. 已知平面 ? 上一点 M 0 及其法向量 n : 建立直角坐标系 {O; i, j, k} ,设 r 0 ? OM 0 ? {x0 , y0 , z0 }, n ? { A, B, C} ,

?

?? ?

?

????? ?

?

(图 3.1)
对动点 M ,令 r ? OM ? {x, y, z} ,则

? ???? ?

?????? ? ? M ? ? ? M 0 M ? n ? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0 , (8)
————π 的点法式方程或法线式方程. 特别地,若 M 0 是自 O 向 ? 所作垂线的垂足,而

????? ? ? OM。 ????? ? ????? ? n ? ????? ,且记 OM ? ? p, r 0 ? OM ? ? pn , ? 0 0 OM。

?????? ? ? ? ? ? M ? ? ? M 0 M ? n ? (r ? r 0 ) ? n ? 0 ? x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ? p ? 0 , (9)
其中 n ? {cos ? , cos ? , cos ?} ,该方程称为 ? 的法式方程,它有如下特征: 1°一次项系数的平方和等于 1; 2°常数项 ? p ? 0 。 四 一般方程向法式方程的转化: 在直角坐标系下,若已知 ? 的一般方程为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,则 { A, B, C} 是 ? 的 法向量,而法式方程(9)中的一次项系数是 ? 的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化 为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子

?

???


1 A ? B2 ?C 2
2

? ( Ax ? By ? Cz ? D) ? 0 ,
再据 ? D ? 0 选取 ? 的符号即可。 下面,我们介绍平面方程中系数 A, B, C , D 的几何意义。 定理 2.1.1 设平面 ? 的方程是(4),则向量 ? (r , s, t ) 平行于平面 ? 的充分必要条件是

??

Ar ? Bs ? Ct ? 0 。
r ?? ? ? 证明: ? ∥ ? 的充分必要条件是 ? , v1 , v 2 共面,从而 s

??

X1 Y1 Z1

X2 Y2 ? 0 ,即 Ar ? Bs ? Ct ? 0 . Z2

t

因为平面 ? 的方程 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 中 A, B, C 不全为 0,取 A ? 0 ,令

?1 (? B ,1, 0), ? 2 (? C , 0,1) , A A
则 ?1 , ? 2 ∥ ? ,并且 ?1 , ? 2 不共线. 由于与平面 ? 平行的两个不共线的向量可以决定平面的 定向,因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。 推论 2.2.1 设平面 ? 的是(4),则平面 ? 平行于 x 轴(或 y , z 轴)的充分必要条件是

? ?

? ?

?? ??

?? ??

A ? 0( B ? 0, C ? 0) ;平面 ? 通过原点的充分必要条件是 D ? 0 。
定理 2.1.2 在空间取定一个仿射坐标系,则平面的方程必定是三元一次方程;反之,任意一 个三元一次方程表示一个平面。 证明:由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是三元一次方程. 反之, ? 给一个三元一次方程(6) ,不妨设 A ? 0 ,取三点

?D ? ? B?D ? ?C?D ? M1 ? ,0,0 ? , M 2 ? ,1,0 ? , M 3 ? ,0,1? , ?A ? ? A ? ? A ?
由于 M 2 M 1 ? ?

??????? ??????? ??????? ? B ? ??????? ? C ? ,1,0 ? , M 3 M1 ? ? ? ,1,0 ? ,则 M 2 M 1 , M 3 M 1 不共线,即 M1 , M 2 , M 3 不共线, ?A ? ? A ?

从而它们确定的平面π 的方程为

x?

D A B ? A C ? A

y 1 0

z 0 ?0, 1

展开即为(6) 。 例题:画出平面 x ? 2 y ? z ? 0 。

2.1.2 两平面的相关位置
定理 2.1.3 取定一个仿射坐标系,设平面 ? 1 , ? 2 的方程分别为:

A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0; A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0.
则 (1)

(10)

? 1 与 ? 2 相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例;

(2) ? 1 与 ? 2 平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例, 但常数项不与这些系 数成比例;

(3) ? 1 与 ? 2 重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。 证明: 充分性(必要条件)。 (1) 设平面 ? 1 , ? 2 的方程中一次项系数不成比例,则向量 ? 1 ? ( A1 , B1 , C1 ), ? 2 ? ( A2 , B2 , C2 ) 不共线,由定理 1.4 知

? ?

? ?

A1 A2
不全为 0 。 在(10)中,令 z ? 0 ,得

B1 B2

,

A1 A2

C1 C2

,

B1 B2

C1 C2

? A1 x ? B1 y ? D1 ? 0; ? ? A2 x ? B2 y ? D2 ? 0.

(11)

由于该方程组(11)的系数行列式不为 0 ,所以(11)有唯一解 ( x0 , y0 ) 。于是 ( x0 , y0 , 0) 是(10) 的一解,则 ? 1 与 ? 2 有公共点,并且第三个坐标为 0 的公共点只有一个 ( x0 , y0 , 0) 。可以取到 点 ( x1 , y1 , 0), x1 ? x0 , y1 ? y0 是 ? 1 上的点,但不是 ? 2 上的点,所以 ? 1 与 ? 2 相交。 (2) 由已知条件得,存在一个实数 ? ? 0 ,使得

A2 ? ? A1 , B2 ? ? B1 , C2 ? ?C1 , D2 ? ? D1 。
于是(10)变为

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0; ? D2 ? A1 x ? B1 y ? C1 z ? ? ? 0.
因为 D1 ?
D2

?

,所以该方程组无解,即 ? 1 与 ? 2 平行。

(3)由已知条件得,存在一个实数 ? ? 0 ,使得

A2 ? ? A1 , B2 ? ? B1 , C2 ? ?C1 , D2 ? ? D1 。
于是(10)变为

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0; ? ?? ( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D2 ) ? 0.
显然两个方程同解,即 ? 1 与 ? 2 重合。

2.1.3 三平面恰交于一点的条件
命题 1.2.1 设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为:

? i : Ai x ? Bi y ? Ci z ? Di ? 0, i ? 1, 2,3 .
则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是

(12)

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 ? 0 . C3

证明:上述三个平面交于一点等价于方程组(12)有唯一解,从而(12)的系数行列式不等于

0。

作业 习题 2.1: 1(1)(3)(5) , , ,2(3) ,9,11。

§2.2 直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离
2.2.1 直角坐标系中方程的系数的几何意义
法向量:与平面 ? 垂直的非零向量 n ,称为 ? 的法线向量,简称法向量。

?

?????? ? ? M ? ? ? M 0 M ? n ? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0 ,
————π 的点法式方程或法线式方程. 由(8)可看出:

(8)

直角坐标系中方程的系数的几何意义: 在直角坐标系中,平面方程的一次项系数 A, B, C 是 平面的一个法向量,即 n ? { A, B, C} 。

?

2.2.2 点到平面的距离
一 离差: 定义:设 n 为自原点 O 指向平面 ? 的单位矢量, M 0 为空间中一点,自 M 0 向 ? 引垂线,垂 足为 Q ,称 QM 0 在法矢 n 上的射影,

?

?

? ? QM 0 ? n ? QM 0 n cos?QM 0,? ? ? QM 0 , n
为 M 0 与 ? 间的离差。 可见,当 M 0 位于 ? 的 n 指向的一侧时 z

????? ? ?

????? ? ?

????? ? ?

????? ?

?

P Q
?? ? n0

? ? 0 ,否则 ? ? 0 。

? q
M0
?? r0

O

y

x

(图 3.2)
命题 2.1: 若平面 ? 的法式方程为 cos?x ? cos ?y ? cos?z ? p ? 0 , M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 与 ? 则 间的离差

? ? cos?x0 ? cos ?y0 ? cos?z 0 ? p 。
事实上,

? ? cos ? x0 ? cos ? y0 ? cos ? z0 ? pP0 M 0 ? n 0
????? ???? ? ????? ? ???? ? (OM 0 ? OP0 ) ? n 0 ? OM 0 ? n 0 ? OP0 ? n 0 .

??????

命题 2.2 在直角坐标系中,点 P ( x1 , y1 , z1 ) 到平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 的距离是 1

d?

Ax1 ? By1 ? Cz1 ? D A2 ? B 2 ? C 2



证明:作 PP0 ? ? ,垂足 P ( x0 , y0 , z0 ) ,则 P 到平面 ? 的距离是。平面 ? 的一个法向量 1 1 0

???? ? ???? ? ? ? n( A, B, C ) ,由于 P0 P1 ∥ n ,所以 d ? P0 P 1

???? ? ? P0 P ? ? n 0 , 1
在(13)两边用 n 0 作内积得

(13)

?

? ? P0 P ? n0 ? 1 1

???? ? ?

A2 ? B 2 ? C 2 Ax ? By1 ? Cz1 ? D ? 1 , A2 ? B 2 ? C 2

[ A( x1 ? x0 ) ? B( y1 ? y0 ) ? C ( z1 ? z0 )]

于是

???? ? Ax1 ? By1 ? Cz1 ? D d ? P0 P ? ? ? 。 1 A2 ? B 2 ? C 2

2.2.3 三元一次不等式的几何意义
设平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,则空间中任一点 M ( x, y, z ) 与 ? 间的离差

? ? x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ? p ? ? ( Ax ? By ? Cz ? D), ? Ax ? By ? Cz ? D ? , ?
而 ? 是固定地,所以上式的符号取决于 ? ,从而有: 对平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 一侧的点 M ( x, y, z ) ,使得 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 而对

? 另一侧的点 M ( x, y, z ) ,使得 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 。当然,对 ? 上的点 M ( x, y, z ) ,使
得 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 。 例 1:证明线段 M1M 2 M 2 与 ? : 5 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 相交,而线段 M 2 M 3 与 ? 不相交,其中

M1 (1, 0, 0), M 2 (1, 4, ?3), M 3 (2,5, 0) 。
证:略

2.2.4 两个平面的夹角
定义:两个相交平面的夹角是指交成四个二面角中任一个。其中两个等于两个平面法向量

? ? ? ? ? ? n1 , n 2 的夹角 ? n1 , n 2 ? ,另两个等于 ? ? ? n1 , n 2 ? 。两个平行或重合的平面的夹角为 0 或 ? 。
若在直角坐标系中,两个平面方程为 ? i : Ai x ? Bi y ? Ci z ? Di ? 0, i ? 1, 2 ,则两个平面 的夹角 ? 满足

?? ? n1 ? n 2 cos ? ? ? ? ? n1 n2

A1 A2 ? B1B2 ? C1C2
2 2 2 A12 ? B12 ? C12 A2 ? B2 ? C2



特别地有

? ? n1 ? n 2 ? A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? 0 。
例 2: 设在直角坐标系中,平面 ? 1 , ? 2 的方程分别为

2 x ? y ? 2 z ? 3 ? 0,3x ? 2 y ? 6 z ?1 ? 0 。
求由 ? 1 , ? 2 构成的二面角的角平分面的方程,在此二面角内有点 P0 (1, 2 ? 3) . 解:点 M ( x, y, z ) 在所求的角平分面上的充分必要条件是:

M ( x, y, z) 到两平面距离相等,并且 M 与 P0 必须都在 ? 1 , ? 2 的同一侧或都在两平面的交线
上。因为 P0 (1, 2 ? 3) 的坐标适合

2 ?1 ? 2 ? 2 ? (?3) ? 3 ? ?9 ? 0, 3 ?1 ? 2 ? 2 ? 6 ? (?3) ? 1 ? 24 ? 0,
所以 M 的坐标满足条件

2x ? y ? 2z ? 3 22 ? (?1) 2 ? 22
并且适合

?

3x ? 2 y ? 6 z ? 1 32 ? 22 ? (?6) 2



?2 x ? y ? 2 z ? 3 ? 0, ? ?3 x ? 2 y ? 6 z ? 1 ? 0,
或者

?2 x ? y ? 2 z ? 3 ? 0, ? ?3 x ? 2 y ? 6 z ? 1 ? 0,
解得 23x ? y ? 4 z ? 24 ? 0 ,这就是所求的二面角的角平分面的方程。 作业 习题 2.2:4,5,8,9。

§2.3 直线的方程,直线、平面间的相关位置
2.3.1 直线的方程 一、 直线的参数方程:
利用:“一点和一个非零向量决定一条直线”来建立直线方程。建立坐标系 :

? ? ? ? ? ?O; e1 , e2 , e3 ? ,设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,非零向量 v( X , Y , Z ) ,求过 M 0 点且方向向量为 v 的直线 ? ?
方程。 根据点 M ( x, y, z ) 在直线 l 上的充分必要条件是 M 0 M ∥ v ? M 0 M ? tv, t ? R 。再设

?????? ?

?

?????? ?

?

? ? M 0 , M 的定位向量为 r 0 , r ,则有

? ? ? r ? r 0 ? tv 。

-----直线的向量式参数方程.

(3.1)

其中 t 是参数,其几何意义是点 M 在直线 l 上 [ M ; v] 中的坐标. (直线的任一方向向量 v ? {m, n, p} 的坐标 (m, n, p) 叫做该直线的一组方向数, 而它的方 向余弦叫做该直线的方向余弦.) 由(3.1)得

?

?

, ?x ? x ? t X 0 ? , ?y ? y ? t Y 0 ?z ? z ? t . Z 0 ?
二、 空间直线的对称式方程:

-------------- 直线的坐标式参数方程.

(3.2)

若一非零向量平行于一条已知直线,这个向量就称之该直线的方向向量. 显然,直线上 的任何向量均平行于直线的方向向量。 我们知道,过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线,因此,当直线 l 上 的一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个方向向量 s ( X , Y , Z ) 给定之后,空间直线 l 的位置就完全确 定了。 下面,我们来建立这种直线的方程.

?

?????? ? ? (图 3.4) 如图(3.5),设 M ( x, y, z ) 是直线 l 上的任一点,则 M 0 M ∥ s ,而

?????? ? M 0 M ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) ,


x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ?t。 X Y Z

------直线的对称式(或标准、 点向式)方程.

(3.3.1)

反过来,如果点 M 不在直线 l 上,则 M 0 M 与 s 不平行,从而(3.3)式不成立。 若 X , Y , Z 不全为 0 ,不妨设 Z ? 0 ,(3.3)式可改写为以下形式

?????? ?

?

? x ? x0 z ? z0 ? X ? Z , ? ? ? y ? y0 ? z ? z 0 ; ? Y ? Z
可整理为

(3.3.2)

?? 1 : x ? az ? c, ? ?? 2 : y ? bz ? d ;
其中

a?

X Y X X , b ? , c ? x0 ? z0 , d ? y0 ? y0 , Z Z Z Z

上述两个平面 ? 1 , ? 2 分别平行于 Oy, Ox 轴,我们把(3.3.2)叫做直线 l 的射影式方程。 三、 直线的两点式方程:

若已知直线 l 上两点 M1 (1 , y1 , z1 ), M 2 ( 2 , y2 , z2 ) ,则 M 1M 2 成为直线 l 的一个方向向量, 得直线 l 的方程:

???????

x ? x1 y ? y1 z ? z1 。 ? ? x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1
四、 直线的普通(一般)方程:

------直线的两点式方程.

(3.4)

空间直线 l 可看成两平面 ? 1 和 ? 2 的交线。事实上,若两个相交的平面 ? 1 和 ? 2 的方程分 别为

? i : Ai x ? Bi y ? Ci z ? Di ? 0, i ? 1, 2,
那么空间直线 l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0, ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0.

(3.5)

反过来,如果点不在直线 l 上,那么它不可能同时在平面 ? 1 和 ? 2 的上,所以它的坐标不满足 方程组(3.5)。因此, l 可用方程组(3.5)表示,方程组(3.5)叫做直线的一般方程。 一般说来,过空间一直线的平面有无限多个,所以只要在无限多个平面中任选其中的两 个,将它们的方程联立起来,就得到了空间直线的方程。 例 1 用对称式方程及其参数方程表示直线

? x ? y ? z ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 3 z ? 4 ? 0.
解 先找出这直线上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,如:取 x ? 1 代入方程组得

? y ? z ? ?2, ? ?? y ? 3 z ? ?6,
解此二元一次方程组得 y ? 0, z ? ?2 ,于是,得到直线上的一点 (1, 0, ?2) 。 再找该直线的一个方向向量 s ,由于两平面的交线与两平面的法线向量

?

? ? n1 ? (1,1,1), n2 ? (2, ?1,3)

都垂直,可取

? ? ?i j ? ? ? ? v ? n1 ? n 2 ? ? 1 1 ? 2 ?1 ? ? 1

? k? ? 1? 3? ?

? ? ? 1? 1 1 ? 1 1 ? i? j? k ? 4i ? j ? 3k , ?1 3 2 3 2 ?1

因此,所给直线的对称式方程为

x ?1 y z ? 2 ? ? 4 ?1 ?3 ;
直线的参数方程为

? x ? 1 ? 4t , ? ? y ? ?t , ? z ? ?2 ? 3t. ?
2.3.2 两条直线的相关位置 一、空间两直线的位置关系:
设二直线

li :

x ? xi y ? yi z ? zi ? ? , i ? 1, 2 。 Xi Yi Zi

下面讨论空间两直线的相关位置问题. 由直线 l1 上定点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , l 2 上的定点

??????? ? ? ??????? M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,得矢量 M1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1} ,根据三矢量 v1 , v 2 , M 1M 2 的关系
可得下面的定理。 定理: 空间两直线 li : 10 异面:

x ? xi y ? yi z ? zi ? ? , i ? 1, 2 的相关位置关系如下: Xi Yi Zi

x2 ? x1 ?? m1 m2
20 相交:

y2 ? y1 n1 n2

z2 ? z1 p1 p2 ?0
; (3.6.1)

? ? 0 , m1 : n1 : p1 ? m2 : n2 : p2 ;
30 平行:

(3.6.2)

m1 : n1 : p1 ? m2 : n2 : p2 ? ( x2 ? x1 ) : ( y2 ? y1 ) : ( z2 ? z1 ) ;
40 重合:

(3.6.3)

m1 : n1 : p1 ? m2 : n2 : p2 ? ( x2 ? x1 ) : ( y2 ? y1 ) : ( z2 ? z1 ) .

(3.6.4)

2.3.3 直线和平面的相关位置
一 各种位置关系的解析条件:

? x ? x0 ? tX , ? 设直线 l : ? y ? y0 ? tY , 与平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 。 ? z ? z ? tZ , 0 ?
则 (1) l 与 ? 相交 ? ? M1 ( x1 , y1 , z1 ) ? l ? ? ? ? 唯一的 t ,使得

A( x0 ? tX ) ? B( y0 ? tY ) ? C ( z0 ? tZ ) ? 0 ? AX ? BY ? CZ ? 0 ;
所以有 l 与 ? 相交 ? AX ? BY ? CZ ? 0 ; (2) l ∥ ? ? 不存在唯一的 t 使得

A( x0 ? tX ) ? B( y0 ? tY ) ? C ( z0 ? tZ ) ? D ? 0 ? AX ? BY ? CZ ? 0 ;
(3) l 在 ? 上〈═〉存在无穷多个 t 使得

A( x0 ? tX ) ? B( y0 ? tY ) ? C ( z0 ? tZ ) ? 0 ? AX ? BY ? CZ ? Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D ? 0 。
推论: l ∥ ? 但 l 不在 ? 上 ? AX ? BY ? CZ ? Ax0 ? By0 ? Cz0 ? 0 。 例题 2.3 在直角坐标系中,直线 l 的方程为

x ? 1 y ?1 z ? 2 , ? ? ?2 1 ?3
求过 l 并且平行于 z 轴的平面 ? 的方程以及 l 在 xOy 平面上的投影的方程。 例题 2.3 在仿射坐标系中,求过点 M 0 (0, 0, ?2) ,与平面 ?1 : 3x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 平行,且与 直线

l1 :
相交的直线 l 的方程。 解:略。 作业

x ?1 y ? 3 z ? ? , 4 ?2 1

习题 2.3: 4(1) ,5(2) ,7,8(3) ,9(3) ,10(2) ,11(2)(4) , 。

§2.4 点、直线和平面之间的度量关系
2.4.1 点到直线的距离
设空间中有一点 M ( x1 , y1 , z1 ) 及一直线 l : r ? r 0 ? tv, v ? { X , Y , Z } , M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 l 上的一点,则有

?

?

? ?

?????? ? ? M 0M ? v d? ? ? v

y1 ? y0 Y

z1 ? z0 Z

2

?

z1 ? z0 Z

x1 ? x0 X

2

?

x1 ? x0 X

y1 ? y0 Y

2

X 2 ?Y2 ? Z2



2.4.2 两条直线之间的距离
定义 2.1 两条直线上的点之间的最短距离称为这两条直线间的距离。 定义 2.2 分别与两条异面直线 l1 , l2 垂直相交(正交)的直线 l 称为 l1 与 l 2 的公垂线,两垂足的 连线段称为公锤线段。 命题 2.4 两条异面直线的公垂线存在而且唯一。 证明:存在性。因为 v1 不平行于 v 2 ,所以 v1 与 v1 ? v 2 不共线,于是 M 1 , v1 , v1 ? v 2 决定一个平

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面 ? 1 。同理, M 2 , v 2 , v1 ? v 2 决定一个平面 ? 2 。因为 v1 不平行于 v 2 ,根据习题 1.5 的 11 题 知:v1 ? (v1 ? v 2 ) 与 v 2 ? (v1 ? v 2 ) 不共线, 它们分别是平面 ? 1 和 ? 2 的法向量, 于是 ? 1 和 ? 2 必 相交,设交线为 l , l 的方向向量为: [v1 ? (v1 ? v 2 )] ? [v 2 ? (v1 ? v 2 )] ,根据习题 1.5 的 10 题 知 : 这 个 向 量 等 于 (v1 ? v 2 ) (v1? v 2 ), 因 此 v1 ? v 2 为 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 。 由 于
2

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? ? ? ? ? vi ? v1 ? v 2 , i ? 1, 2 ,所以 l ? li , i ? 1, 2 。因为 l 与 li 都在 ? i , i ? 1, 2 内,且 v1 ? v 2 不平行于 ? vi , i ? 1, 2 ,所以 l 与 li 都相交,这说明 l 是 li , i ? 1, 2 的公垂线。
唯一性。假设 l ? 也是 li , i ? 1, 2 的公垂线,则 l ? 的方向向量垂直于 vi , i ? 1, 2 ,从而 v1 ? v 2 就 是 l ? 的方向向量。因为 l ? 在由 l ? 和 v1 ? v 2 所确定的平面 ? i , i ? 1, 2 内,所以 l ? 是 ? 1 与 ? 2 的交 线,于是 l ? 与 l 重合。 命题 2.5:二条异面直线 l1 与 l 2 的公垂线段间长就 l1 与 l 2 间的距离。 证明:设 PP2 是 l1 与 l 2 的公垂线段。在 li , i ? 1, 2 上任取一点 Qi , i ? 1, 2 。作出由 M 1 , v1 , v 2 决 1 定一个平面 ? ,于是公垂线 PP2 ? ? 。由 Q2 作 ? 的垂线,垂足为 N ,因为 l 2 ∥ ? ,所以 1

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

P P2 ? Q2 N 。于是 PP2 ? Q2 N ? Q1Q2 。所以 P P2 是 l1 与 l 2 上的点之间的最短距离。 1 1 1
命题 2.6 假设二异面直线 l1 与 l 2 的方程分别为

li :
则 l1 与 l 2 间的距离为:

x ? xi y ? yi z ? zi ? ? , i ? 1, 2 。 Xi Yi Zi

x2 ? x1 X1 d? Y1 Y2 X2 Z1 Z2
2

y2 ? y1 Y1 Y2 Z1 Z2 X1 X2
2

z2 ? z1 Z1 Z2 ? X1 X2 Y1 Y2
? ?
2



?

证明:假设二异面直线 l1 与 l 2 的公锤线段为 PP2 ,因为公垂线的方向向量为 v1 ? v 2 ,所以 1

???? ? ? ? ? ? ? P1 P2 ∥ v1 ? v 2 。记 e ? (v1 ? v 2 )0 ,则

???? ???? ? ? ? ????? ??????? ?????? ? ??????? ? ? d ? PP2 ? PP2 ? e ? ( PM 1 ? M 1M 2 ? M 2 P2 ) ? e ? M 1M 2 ? e 1 1 1 ??????? ? ? ??????? ? ? ? ? = M 1M 2 ? (v1 ? v 2 ) ( M 1M 2 , v1 , v 2 ) ??????? v1 ? v 2 ? M 1M 2 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? v1 ? v 2 v1 ? v 2 v1 ? v 2
若直线方程在直角系下给出,则

x2 ? x1 X1 d? Y1 Y2 X2 Z1 Z2
2

y2 ? y1 Y1 Y2 Z1 Z2 X1 X2
2

z2 ? z1 Z1 Z2 ? X1 X2 Y1 Y2
??????? ? ?
2



?

注:该公式的几何意义是:两条异面直线 l1 与 l 2 间的距离 d 等于以 M 1M 2 , v1 , v 2 为棱的平行 六面体的体积除以以 v1 , v 2 为邻边的平行四边形的面积。

? ?

4.3 两条直线的夹角,直线和平面的夹角
一、 两直线的夹角: 定义 2.3 两条直线的夹角规定为它们的方向向量的夹角或它的补角。 命题:设在直角坐标系下,两直线方程为

li :


x ? xi y ? yi z ? zi ? ? , i ? 1, 2 。 Xi Yi Zi

? ? ? ? ? ? ? ? S1 ? S 2 cos ? ? cos? S 1 , S 2 ? ? ? ? ? ? ? S1 S 2

X 1 X 2 ? Y1Y2 ? Z1Z 2 X 12 ? Y12 ? Z12 X 2 2 ? Y2 2 ? Z 2 2
L2



L1

? ? s1
M1

?

?? s1
?? ? s2

L2

(图 3.5)
M1

??? s2

L1

定义 2.4 直线 l 与平面 ? ( l 不垂直 ? )的夹角规定为 l 与它在平面 ? 上的垂直投影所夹的锐 角 ? ;当 l ? ? 时, l 与平面 ? 的夹角规定为 ? 2 。 设平面 ? 的法向量为 n, l 的方向向量为 v 。则有

?

?

? ? ? 2 ? ? v , n ? 或 ? ? ? v , n? ? ? 2 。
因此有 sin ? ? cos ? v, n? 。 补充内容

? ?

? ?

? ?

平面束与平面把
一 平面束: 1 定义:空间中过一定直线 l0 的所有平面的集合称为有轴平面束, l0 称为这平面束的轴;空 间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。 有轴、平行平面束统称为平面束。 2 方程: 定理 1:对任一对确定的不全为 0 的实数 ? , ? ,方程

? ( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0 ,
表示过二相交平面

(1)

? i : Ai x ? Bi y ? Ci z ? Di ? 0, i ? 1, 2 的交线 l0 的一个平面;反之,对过 l0 的任一平面 ? ,必存在不全为 0 的实数 ? , ? ,使 ? 的方
程为(1) 证明:先证(1)表示过 l0 的平面。 方程(1)整理为

(? A1 ? ? A2 ) x ? (? B1 ? ? B2 ) y ? (?C1 ? ?C2 ) z ? (? D1 ? ? D2 ) ? 0 。 我们断言:上式中 x, y, z 的系数不全为 0 ,其实若不然,则有 ? A B C ? ? 1 ? 1 ? 1, ? A2 B2 C2 这与 ? 1 与 ? 2 相交矛盾。所以(1)表示一平面 ? ,又显然 ? 过 ? 1 与 ? 2 的交线 l0 。
下证:对任意过 l0 的平面 ? ,必存在不全为 0 的实数 ? , ? ,使 ? 的方程为(1) 。 首先, ? ? ? 1 , ? ? 1 ? 0 , ? ? ? 2 , ? ? 0 ? 1 。 若 取 取 若 , ? 若 , ? 一般地, ? ? ? i , i ? 1, 2 , 取 ? 上一点 A(? , ? , ? ) ? l0 。于是,

? ( A1? ? B1? ? C1? ? D1 ) ? ? ( A2? ? B2 ? ? C2? ? D2 ) ? 0 ,


A ? ? B2 ? ? C2? ? D2 ? ?? 2 , ? A1? ? B1? ? C1? ? D1 因 (? , ? , ? ) ? l0 ,故 A1? ? B1? ? C1? ? D1 , A2? ? B2 ? ? C2? ? D2 全不为 0 ,因此可取

? ? A1? ? B1? ? C1? ? D1 , ? ? ?( A2? ? B2 ? ? C2? ? D2 ) , 则(1)便表示过 l0 的一平面,又显示该平面过 A ,所以这平面就是 ? 。
例:求过二平面 4 x ? y ? 3z ? 1 ? 0, x ? 5 y ? z ? 2 ? 0 的交线,且过原点的平面的方程。 解:略。 定理 2:设在方程(1)中, ? 1 ∥ ? 2 ,则对任意一对满足 ? ? : ? ? A1 : A2 的不全为 0 的实数 (1)表示平行于 ? i 的一个平面π ;反之,对任意平行于 ? i 的平面π ,必存在满足 ?, ? , ? ? : ? ? A1 : A2 的不全为 0 的实数 ? , ? ,使π 的方程为(1) 。 证明:先证,对任意一对满足 ? ? : ? ? A1 : A2 的不全为 0 的实数 ? , ? , (1)表示平行于 ? i 的 平面π 。 由于 ? ? : ? ? A1 : A2 ,所以 ? A1 ? ? A2 ? 0 ,从而(1)表示一平面π ,又

A1 : A2 ? B1 : B2 ? C1 : C2 ? k ,


(? A1 ? ? A2 ) : A2 ? (? B1 ? ? B2 ) : B2 ? (?C1 ? ?C2 ) : C2 ? ? k ? ? ,
所以π ∥ ? 2 ∥ ? 1 。 再 证 : 对 任 意 平 行 于 ? i 的 平 面 ? , 必 存 在 不 全 为 0 的 且 满 足 ? ? : ? ? A1 : A2 首先,若 ? ? ? 1 ,取 ? ? 1, ? ? 0 ;若 ? ? ? 2 ,取 ? ? 0, ? ? 1 ,显然此时有

的实数 ? , ? ,使 ? 的方程为(1) 。

?? : ? ? A1 : A2 ( A1 , A2 要么同时为 0,要么同时非 0) 。
一般地, ? ? ? i , i ? 1, 2 , ? 上一点 A(? , ? , ? ) ? ? , 若 取 同定理 1 的证明类似。 ? , ? 取 满足

A ? ? B2 ? ? C2? ? D2 ? 。 ?? 2 ? A1? ? B1? ? C1? ? D1
下面验证 ? ? : ? ? A1 : A2 。 其实,若不然,则

A2 A2? ? B2 ? ? C2? ? D2 ? , A1 A1? ? B1? ? C1? ? D1


A1 ( A2? ? B2 ? ? C2? ? D2 ) ? A2 ( A1? ? B1? ? C1? ? D1 ) ? 0 , ( A1B2 ? A2 B1 ) ? ? ( A1C2 ? A2C1 )? ? A1D2 ? A2 D1 ? 0 ,


A1 B1 C1 ? ? , A2 B2 C2

A1 D1 ? ,进一步有 ?1 ? ? 2 ,这与已知不符,所以 ? ? : ? ? A1 : A2 A2 ,即(1)表示 A2 D2 一平行于 ? i 的平面, 又显然 A(? , ? , ? ) 在该平面上,所以这平面正是 ? 。 定理 3:设平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,则 ? ? ∥ ? ? ? ? 的方程可表为 ? : Ax ? By ? Cz ? ? D ? 0, ? ? R 。
所以 证明:事实上,〈═”显然。 “ “═〉 ”若 ? ? ? ? ,且设

? ? : Ax ? By ? Cz ? D? ? 0 ,

则由两直线平行的充分必要条件得 D? ? ? D, ? ? R ,所以

? ? : Ax ? By ? Cz ? ? D ? 0 。
定理 4:两直线

?? 1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0, l1 : ? ?? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0; ?? 3 : A3 x ? B3 y ? C3 z ? D3 ? 0, l2 : ? ?? 4 : A4 x ? B4 y ? C4 z ? D4 ? 0;
在同一平面上的充分必要条件是

A1 A2 A3 A4

B1 B2 B3 B4

C1 C2 C3 C4

D1 D2 D3 D4 ? 0。

例:求与平面 3x+y-z+4=0 平行,且在 z 轴的截距等于-2 的平面的方程。 解:略。 二 平面地(平面汇) 1、定义:空间中过一定点 M 的所有平面的集合称为平面把, M ——把心。 2、方程: 定理 5:对于任意不全为 0 的实数 A, B, C ,方程

A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0 ,
使其方程为(2) 。 更一般地,我们有 定理 6:对任意不全为 0 的实数 A, B, C ,方程

(2)

表示过 M ( x0 , y0 , z0 ) 的一个平面 ? ,反之,对过 M 的任一平面 ? 必存在不全为 0 的 A, B, C

A( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ) ? B( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? C ( A3 x ? B3 y ? C3 z ? D3 ) ? 0
表示过三平面

(3)

? i : Ai x ? Bi y ? Ci z ? Di ? 0, i ? 1, 2,3 (唯一)交点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的一个平面 ? ;反之, 对任意过 M 的平面 ? ,必存在不全为 0 的 实数 A, B, C ,使 ? 的方程为(3) 。

作业: 习题:1(2) ,2(3) ,3(2) ,4(2) ,7。


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