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绵阳南山中学2013年秋季高2016级半期考试


考试时间:2013 年 11 月 6 日上午 8:10—9:50

绵阳南山中学 2013 年秋季高 2016 级半期考试 数学试题
命题人 龙小平 审题人 王怀修 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分钟.注意事项:将试题答案写在答题卷上,在本试卷上作答无效 。 .........

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分共 40 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。
1.若全集 U ? ?0,1,2,3,? 且 CU A ? ? 1,2?,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 C. 7 个 2.函数 y=a A.(0,1) C.(2,2)
x-2



B. D.

5个 8个
)

+2(a>0,且 a≠1)的图象必经过点( B.(1,1) D.(2,3)

3.集合A={ x |2< x ≤5},B= ? x | x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围为( A.a<2 C.a≥2 B.a>2 D.a≤2
1



4.设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 , 则a, b, c 的大小关系是( A. c ? a ? b C. a ? c ? b
2

2 3

1 3

2

1 3

1



B. a ? b ? c D. b ? c ? a )

5.若函数 f ( x) ? ax ? (2 ? a ) x ? 1 是偶函数,则函数 f ( x) 的单调递增区间为( A. (??,0] C. (??,??) B. [0,??) D. [1,??) )

6.下列四个函数中,既是偶函数又在 (0,??) 上为增函数的是( A. f ( x) = log 2 x C. f ( x) ? 2 x
2

B. f ( x) ? ?

1 x

D. f ( x) ? ? | x |

7.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟 漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下

落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是(



A.
x

B.

C.

D.
)

8.已知函数 f ( x) ? lg(2 ? b) (b 为常数) ,若 x ? [1, ?) 时, f ( x) ? 0 恒成立,则( A. b<1 C. b≤1 B. b<0 D. b≤0

9.设函数 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集是 ( ) A. ? x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ? x | x ? ?3或x ? 3? B. ? x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ? x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

10.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

9 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( 2 5 A. B.1 2 1 C. D.0 2



第Ⅱ卷(非选择题

共 40 分)

二、填空题:共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填写在题中的横线上。
11.集合 A={﹣1,0,1},B={a+1,2a},若 A∩B={0},则实数 a 的值为

1 6 6 12.化简 ( a b )(?3a b ) ? ( a b ) 的结果为______________ 3
13.函数 y ?

2 3

1 2

1 2

1 3

1

5

log 2 (3 ? x) 的定义域为(用集合表示)______________ x?2
225

14.计算 log15

? lg

1 ? ln e ? lg 2 ? lg 5 的值是______________ 100
2

15.给出下列四个判断: ① 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? 2 , 则 函 数 f ( x) 的 值 域 为

{ y y ? 2或y ? ?2} ;

②若不等式 x 3 ? x 2 ? a ? 0 对一切 x ? [0,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是 {a a ? ?12} ; ③当

f ( x) ? log 3 x

时 , 对 于 函 数 f(x) 定 义 域 中 任 意 的

x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 都 有

f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? ; 2 2

④设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如: [2] ? 2 , [1.25] ? 1 ,对于给定的 n ? N ? , 定义

Cnx ?

3 16 n(n ? 1)? (n ? [ x] ? 1) x , x ? [1,??) ,则当 x ? [ ,2) 时函数 C8 的值域是 (4, ] ; 2 3 x( x ? 1)? ( x ? [ x] ? 1)

上述判断中正确的结论的序号是___________________

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 及演算步骤。
16. (本题满分 10 分) (1)已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? ?4或x ? 1 , B ? x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , 求: (CU A) ? (CU B ) (2) 已知集合 A ? {x ? 2 ? x ? 5} ,B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , 若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 2), g ( x) ? log a (2 ? x)(a ? 0且a ? 1) (1)判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求使 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围。 18.(本题满分 10 分)《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段 累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 超过 1500 元至不超过 4500 元的部分 超过 4500 元至不超过 9000 元的部分 税率(%) 3 10 20

?

?

?

?

(1)试建立当月纳税款与当月工资、薪金所得的函数关系式; (2)已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为 295 元,那么他当月的工资、薪金 所得是多少元? 19. (本题满分 10 分) (1)利用函数单调性的定义证明函数 h( x) ? x ?

3 在[ 3 , ?) 上是增函数; x
t 有如下性 x

(2)我们可将问题(1)的情况推广到以下一般性的正确结论:已知函数 y ? x ?

质:如果常数 t ? 0 ,那么该函数在 0, t 上是减函数,在 若已知函数 f ( x) ?

?

?

? t ,???上是增函数。

4 x 2 ? 12 x ? 3 , x ? ?0,1? ,利用上述性质求出函数 f ( x) 的单调区间;又 2x ?1

已知函数 g ( x) ? ? x ? 2a ,问是否存在这样的实数 a ,使得对于任意的 x1 ? ?0,1? ,总存在

x2 ? ?0,1? ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,若不存在,请说明理由;如存在,请求出这样的实数 a
的值。

数学答案
一、选择题: ADBCA CACBD 二、填空题: 11.-1 12. ? 9a 13. {x x ? 3且x ? 2} 14.

3 2

15.②④

三、解答题: 16.解: (1) 先求出:C u A ? {x ? 4 ? x ? 1}, C u B ? {x x ? 3或x ? ?2} ---------- 2 分 (各得 1 分) 所以 (C u A) ? (C u B ) ? {x x ? 3或x ? 1} -----------------4 分(若直接得正确结论得 4 分) (2)当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;…….6 分 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, 由 B ? A ,得 ?

?m ? 1 ? ?2 ,即 2 ? m ? 3 ;……..9 分; (或者建立三个不等式组) ? 2m ? 1 ? 5

∴ 综上所得:取值范围是: m ? 3 …..10 分 17.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 {x ? 2 ? x ? 2} ------1 分 验证满足偶函数的定义(略)--------4 分 (2)原不等式化为: log a (4 ? x 2 ) ? 0 -----6 分 当 0 ? a ? 1 时,不等式等价于: 4 ? x 2 ? 1 --------7 分 即 x ? 3, 此时 x 的范围是 {x ? 3 ? x ?
2

3} ----------8 分

当 a ? 1 时, 不等式等价于: 0 ? 4 ? x 2 ? 1 ----------9 分 此时 x 的范围是 {x 3 ? x ? 2或者 - 2 ? x ? ? 3} ---------10 分 18.解:(1)设当月工资、薪金为 x 元,纳税款为 y 元,---------1 分

?0(0 ? x ? 3500) ?( x ? 3500) ? 3%(3500 ? x ? 5000) ? 则y?? ---------------5 分(正确一个给 1 分) ?45 ? ( x ? 5000) ? 10%(5000 ? x ? 8000) ? ?345 ? ( x ? 8000) ? 20%(8000 ? x ? 12500) ?0(0 ? x ? 3500) ?0.03 x ? 105(3500 ? x ? 5000) ? 即 y= ? ---------------------6 分(直接得出不扣分) ) 0 . 1 x ? 455 ( 5000 ? x ? 8000 ) ? ? ?0.2 x ? 1255(8000 ? x ? 12500)

(2)由(1)知:295= 0.1x ? 455 ------------8 分 解得:x=7500(元)-----------9 分 所以该负责人当月工资、薪金所得是 7500 元。-----------------10 分 19.(1)设 x1 , x 2 ? [ 3,?)且x1 ? x 2 ,--------1 分 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?

3 3 ? x2 ? x1 x2

=

( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 3) ,---------2 分 x1 x 2
3 , 所以x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 3, 所以x1 x 2 ? 3 ? 0 -----------3 分

应为, x 2 ? x1 ?

所以, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,因此,函数在给定的区间上单调递增--------4 分 (2)解:因为 y ? f ( x) ? 4 x ? 12 x ? 3 ? 2 x ? 1 ?
2

2x ?1

4 ? 8 ,---------------5 分 2x ?1

设 u ? 2 x ? 1, x ? ?0,1?,1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? 当 1 ? u ? 2, 即0 ? x ?

4 ? 8, u ? ?1,3? ,由已知性质得, u

1 ? 1? 时, f ( x) 单调递减,所以递减区间为 ?0, ? 2 ? 2?

当 2 ? u ? 3, 即

1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ( x) 单调递增,所以递增区间为 ? ,1? 2 ?2 ? 1 2 11 ,得 f ( x) 的值域为 ?? 4,?3? ------------8 分(以上三个结 3

由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ? 论各 1 分)

由于 g ( x) ? ? x ? 2a 为减函数,故 g ( x) ? ?? 1 ? 2a,?2a ?, x ? ?0,1? 由题意, f ( x) 的值域为 g ( x) 的值域的子集,从而有

?? 1 ? 2a ? ?4 ? ?? 2a ? ?3
所以 a ?

-------------9 分

3 ,所以存在满足条件的值。----------10 分 2


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