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⑦竞赛中的二次曲线问题


Y.P.M 数学竞赛讲座

1

竞赛中的二次曲线问题
高中联赛中的二次曲线问题具有知识性、方法性和综合性,着重于对“数形结合”的考察,掌握用“数”研究“形”, 并且充分挖掘蕴含的几何本质,利用“形”助“数”,减少计算量,妙解几何题.

1.第一定义 [例 1]:(1990 年全国高中数学联赛试题)设双曲线的左

右焦点是 F1,F2,左右顶点是 M,N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上,
则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( (A)在线段 MN 内部 ) (C)点 M 或点 N (D)不能确定的 (B)在线段 F1M 内部或线段 NF2 内部

[解析]: [类题]:
2 1.①(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知定点A(4, 7 ).若动点P在抛物线y =4x上,且点P在y轴上的射影为点M,

则|PA|-|PM|的最大值是

.
2

②(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过抛物线 y =x 的焦点 F 的直线 l 的倾斜角 θ ≥ 线于 A,B 两点,且 A 点在 x 轴上方,则|FA|的取值范围是 .

? ,l 交抛物 4

2.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 x 2 ? y 2 + ( x ? 8)2 ? ( y ? 5)2 =20,则|3x–4y–100|的最 大值为 ,最小值为 .
x2 y2 =1上的动点,则|MA|+|MB|的最大 ? 25 9

3.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知点A(4,0),B(2,2),M是椭圆 值为 .

②(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 A(4,0),B(2,2)是椭圆 动点,则|MA|+|MB|的最小值是 ,最大值是
x2 a2 ? y2 b2

y2 x2 + =1 内的点,M 是椭圆上的 9 25

. =1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是该双曲线右支上任意一点,

4.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)双曲线 则分别以线段PF1,A1A2为直径的两圆一定( (A)相交 )

(B)内切
x2 a
2

(C)外切
? y2 b2
2 2 2

(D)相离

5.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T.延 ) (D)不确定

长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的大小关系为( (A)|MO|-|MT|>b-a (B)|MO|-|MT|<b-a (C)|MO|-|MT|=b-a

6.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆 圆与双曲线的一个交点,则 cos∠F1PF2= .

y2 x2 2 2 +y =1 和双曲线 x =1,其中 F1,F2 为椭圆的焦点,且 P 是椭 2 4

2.第二定义 [例 2]:(1999 年全国高中数学联赛试题)给定 A(?2,2),已知 B 是椭圆 x
取最小值时,求 B 的坐标.
2

25

?

5 y2 =1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF| 3 16

[解析]: [类题]:
1.①(1997 年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围为( (A)(0,1) ) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞)
2 2 2

2
2 2

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.
x2 y 2 =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条 ? 16 9

②(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆锥曲线x +y +6x?2y+10?|x?y+3|=0的离心率是 2.(1999 年全国高中数学联赛试题)已知点 P 在双曲线

双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P 的横坐标是_____. 3.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)定长为m的线段AB的两个端点在双曲线 么,AB中点M的横坐标的最小值为 F2 在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 且与l相切的圆一共有 个.
2

x2 a2

?

y2 b2

=1的右支上移动(m>

2b 2 ),那 a

(用a、b、m表示).
2 2

4.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2 是双曲线 x -3y =3 的左、右焦点,A,B 两点在右支上,且与 .
2

5.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若抛物线y =2x的焦点是F,准线是l,点M(2,m)是抛物线上一点,则经过点F,M 6.(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)抛物线y =16x的焦点为F,以F与A(4,4)为焦点作一椭圆,使其与已知抛物线有 公共点,当长轴最短时,椭圆的方程是__________.

3.离心率 [例 3]:(2000 年全国高中数学联赛试题)在椭圆
若该椭圆的离心率是
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.

5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2

[解析]: [类题]:
1.①(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设一个椭圆的焦距、 短轴长、 长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e= ②(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)椭圆 则椭圆的离心率为 .
x2 a
2

.
0

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,左焦点为F,且∠ABF=90 ,

2.(2012 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)过原点 O 的直线 l 与椭圆 C: 异于 M,N 的任一点.若直线 PM,PN 的斜率之积为- ,则椭圆 C 的离心率为
1 3

?

y2 b2

=1(a>b>0)交于 M,N 两点,P 是椭圆 C 上 .

3.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)某个圆的圆心在双曲线的一条准线上,并且圆经过双曲线的一 个顶点和一个焦点,则双曲线的离心率是 .
k (k>0)的离心率用 f(k)表示,则 f(k)= x

4.①(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)双曲线 y=

.

②(2002 年湖南省高中数学奥林匹克竞赛试题)已知动点 P(x,y)满足二次方程 10x-2xy-2y+1=0,则此二次曲线的离 心率为 .
x2 a
2

5.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知椭圆 ∠AQB=120 ,则该椭圆的离心率e的取值范围是
0

?

y2 b2

=1(a>b>0),长轴的两个端点为A,B,若椭圆上存在点Q,使

.
x2 a
2

②(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设 A1、A2 为椭圆

?

y2 b2

=1(a>b>0)的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、

A2 的点 P,使得 PO ? PA2 =0,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 6.①(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设双曲线 α 的取值范围是 .
x2 a
2

.
2 3 ,2],则双曲线的两条渐近线夹角 3

?

y2 b2

=1 的离心率 e∈[

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②(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)若双曲线
x2 a
2

3
? y2 b2

=1(a>0,b>0)上横坐标为 .

3 a 的点到右焦点的距离大于 2

它到左准线的距离,则该双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是

4.焦点弦长 [例 4]:(1997 年全国高中数学联赛试题)过双曲线 x2λ 的直线 l 恰有 3 条,则λ = .
y2 =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点,若实数λ 使得|AB|? 2

[解析]: [类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)直线l过抛物线y =a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直.若l被抛物线截得的 线段长为4,则a= .
x2 y2 =1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上, ? 12 3
2

2.①(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)椭圆 那么,|PF1|是|PF2|的( (A)7 )倍. (B)5

(C)4

(D)3

②(2011 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设斜率为

x2 y 2 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)交于不同的两点 P、Q,若 2 a b

点 P、Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 3.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知双曲线 的距离为 .
2

.

x2 y 2 =1的焦点F1,F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M ? 6 3

4.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2 是双曲线 x –3y =3 的左、右焦点,A,B 两点在右支上,且 与 F2 在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 .
x2 a
2

2

5.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆C:
AF 9 ? 4 2 ? ,则椭圆的离心率等于 BF 7

?

y2 b2

=1(a>b>0),过左焦点F,并且斜率为1的

直线交椭圆于A,B两点,若

.
1 1 ? = m n

6.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)过椭圆

x2 6
2

?

y2 2
2

=1的一个焦点F作弦AB.若|AF|=m,|BF|=n,则

.

5.焦点三角形 [例 5]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 F1,F2 是椭圆 x
三角形△PF1F2 的面积等于______.
2

9

?

y2 =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则 4

[解析]: [类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)椭圆 的面积为 .
2 2 2

x2 5
2

?

y2 32

=1 的焦点为 F1,F2,如果椭圆上的一点 P 使 PF1⊥PF2,则△PF1F2

2.(2000 年第十一届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)圆 x +y =r (r>0)经过椭圆

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的两个焦点 F1,F2, .

且与该椭圆有四个不同的交点,设 P 是其中的一个交点,若△PF1F2 的面积为 26,椭圆的长轴为 15,则 a+b+c= 3.(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设椭圆 ∠F1MF2=2θ ,△F1MF2 的内心为 I,则|MI|cosθ =

x2 2 +y =1 的左、 右焦点分别为 F1,F2,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4

.

4
点 F1、F2 连线的夹角∠F1PF2=120?,且点 P 到两准线的距离分别为 2 和 6,则椭圆的方程为 5.(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 P 是椭圆 点,O 为中心,则|PF1||PF2|+|OP| =
2

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.

4.(2005 年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的一点 P 和两个焦

x2 y 2 + =1 上异于长轴端点的任意一点,F1、F2 分别是其左、右焦 9 16

.
2 2

6.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知F1,F2是双曲线x -y =1的两个焦点,M是该双曲线右支上的点,O为坐标原点. 若|MF1|+|MF2|= 6 |MO|,则点M的坐标为 .

6.弦长公式 [例 6]:(2005 年全国高中数学联赛试题)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两个顶点在抛物线 y=x2 上.则
该正方形面积的最小值为 .

[解析]: [类题]:
1.(1992 年第三届“希望杯”全国数学邀请赛 ( 高二 ) 试题 ) 椭圆曲线上两个点的连接线段称为椭圆的弦 , 经过椭圆
1 x2 y2 3 7 =1 内的点 A( ,0)有 k 条长度成等差数列的弦,公差 d∈[ ,1],则 k 值的集合是 ? 2 9 4 4

. .

2.(2012 年全国高中数学联赛河北初赛试题)过椭圆

x2 2 0 +y =1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45 弦 AB,则|AB|为 2
x2 y2 =1的右焦点的弦AB=8.则△AOB的面积是_____. ? 25 16

3.(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)设过椭圆

4.(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知椭圆的长轴长为 4,焦距|F1F2|=2,过椭圆的焦点 F1 的两条互相垂直的弦 的长度和是
48 ,则这两条弦的长度的积是 7

.
2

5.(2002 年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)长为 m(m<1)的线段 AB 的两端在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短距离等于 .
x2 a2 ? y2 b2

6.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a、b是两已知正数,且a>b.点P、Q在椭圆 Q的直线平行于直线OP.且与y轴交于点R,则
| AQ | ? | AR | | OP |2

=1上,若连接点A(?a,0)与

=_____.(O为坐标原点).

7.三角形面积 [例7]:(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设直线l:y=x+b(0<b< )与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为坐标原点.
则当△AOB的面积最大时,直线l的方程为 .
1 2

[解析]: [类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)过抛物线 y =8x 的焦点 F,作一条斜率为 2 的直线 l,若 l 交抛物线于 A,B 两点,则△OAB 的面积是 .
? x2 2 +y =1的两个焦点为F1,F2.过右焦点F2作倾斜角为 的弦AB,则 4 2
2

②(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知椭圆 △ABF1的面积为 .

2.(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:

x2 y 2 ? =1的右焦点为F,一条过原点且倾 12 4

斜角为锐角的直线l与双曲线交于A,B两点,若△ABF的面积为8 3 ,则直线l的斜率为

.

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3.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)F1为椭圆

5
x2 y2 =1的右焦点,AB为过原点的弦,则△ABF1面积的最大为 ? 25 9

.

4.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(?2 3 , 0),右顶点为D(4,0).设点A的坐标是(2,1),过原点O的直线交椭圆于点B、C,则△ABC面积的最大值是 点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B,则△OAB面积的最大值是 5.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知椭圆
2 2

.

②(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点分别为(- 6 ,0)和( 6 ,0),O为坐标原 .
x y =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过椭圆的右焦点 F2 作一条 ? 4 3

直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是

.
2

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(

5 3 ,- )且与抛 2 2

物线交于 A、B 两点,向量 AB ⊥ FM ,若点 C 位于抛物线的弧 AOB(O 为坐标原点)上,则△ABC 的面积最大可达到

.

8.内接三角形 [例 8]:(2011 年全国高中数学联赛试题 A)直线 x-2y-1=0 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,C 为抛物线上的一点,∠ACB=900,
则点 C 的坐标为 .

[解析]: [类题]:
1.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)一个正三角形ABC内接于椭圆 在y轴上,则此正三角形的边长为_____. 2.(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知抛物线 y =2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是 直角三角形,则这样的点 P 共有( (A)0 个 为原点,则∠P1OP2 是( (A)直角 ( ) (B)钝角三角形
2 2

x2 y2 =1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A的高 ? 9 4

) (C)4 个
2 2

(B)2 个 ) (B)钝角

(D)6 个

3.①(1991 年第二届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)过 A(p,0)作抛物线 y +p =2px(p>0)的与对称轴垂直的弦 P1P2,O (C)锐角
2

(D)不确定

②(1999 年全国高中数学联赛试题)已知点 A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线 y =4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是 (A)锐角三角形 (C)直角三角形 .
2

(D)答案不确定

4.①(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)以抛物线y=x 上的一点为M(1,1)直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角 形△MAB与△MCD,则线段AB与CD的交点E的坐标为 则斜边上的高|CD|= .
2

②(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)Rt△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 x =2py(p>0)上,且斜边 AB∥x 轴. 5.(2002 年全国高中数学联赛试题)已知点 A(0,2)和抛物线 y =x+4 上两点 B,C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值范围. 6.(2006 年全国高中数学联赛山西初赛试题)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、 B 两点,且|AB|=
8 6 .在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形 11

,若存在,C 点的坐标是

.

9.对称性质 [例 9]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,若 2x1x2=-1,
则 2m 的值是 .

[解析]: [类题]:
1.(2003 年全国高中数学联赛试题)过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两 点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 . 2.(2000 年全国高中数学联赛试题)已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边
2 2 2 o

6
三角形,则△ABC 的面积是 .

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2

3.(1995 年第六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)△AOB 的顶点 O 在坐标原点,A,B 两点在抛物线 y =8x 上,且△AOB 的垂心恰与抛物线焦点重合,则△AOB 的外接圆的方程是 0),则椭圆的方程为 . . . 4.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)过直线l:y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为F1(-3,0),F2(3, 5.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1(-1,1),F2(-1,-3)是椭圆的两个焦点,直线 x+y=1 与椭圆有且 仅有一个交点,则椭圆的中心到准线的距离是 椭圆的离心率是 . 6.(1990 年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆的两个焦点是 F1(3,-6),F2(6,3),一条切线为 4x=3y,这个

10.轨迹问题 [例 10]:(2007 年全国高中数学联赛试题)设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不
可能是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

[解析]: [类题]:
1.①(1994 年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)动点 P 到 F( 2 , 2 )的距离等于到 l:x+y– 2 =0 的距离的
2 倍,则 P 的轨迹是(

) (B)双曲线的一支 ) (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 (C)等轴双曲线 (D)实虚轴不等的双曲线

(A)椭圆

②(2002 年湖南省高中数学奥林匹克竞赛试题)已知 A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且过 A、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为( (A)双曲线 是( ) (B)圆或椭圆
2

(B)椭圆

2.①(1992 年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)动圆 M 过定点 A 且和定圆 O 相切,那么动圆 M 的中心的轨迹 (A)圆 (C)圆或椭圆或双曲线
2 2 2

(D)圆或椭圆或双曲线或直线 .

②(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)与圆 x +y -4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 是双曲线的中心,则AB中点轨迹的普通方程是_____.

3.①(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)在双曲线4x ?y =4的两条渐进线上分别取点A和点B,使|OA|?|OB|=5,其中O ②(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)一条长为4的线段AB在x轴正半轴上移动,另一条长为2的线段CD在y轴正半 轴上移动,如果两条线段的4个端点A、B、C、D四点共圆,那么这个圆的圆心的轨迹是__________. 4.①(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)在半径为1的⊙O上,取一个定点A和一个动点B.设点P满足AP∥OB,且 AP ? AB =1,则P点的轨迹是( (A)椭圆 ) (B)抛物线 .
2

(C)双曲线

(D)以上都有可能

②(2001年第十二届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)定圆C的圆心的坐标为(0,1),半径为1,动圆P与x轴相切且平 分圆C的周长,则动圆P的圆心的轨迹方程是 弦是 AB,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 .
2

5.①(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 l:ax-y-(a+5)=0(a 是参数)与抛物线 f:y=(x+1) 的相交 ②(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线y=x 上的长度等于1的弦的中点的轨迹方程是
2 2 2 2

.

6.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设P点在双曲线x ?y =1上运动,P处切线与圆x +y =1交于A和B,求弦AB中点Q 的轨迹方程.

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②(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)连接椭圆

7
x2 y2 =1的右焦点F2与椭圆上的动点A,作正方形F2ABC(F2、 A、 B、 ? 9 4

C四顶点按顺时针方向排列),则当点A沿椭圆运动一周后,动点C的轨迹方程是__________.

11.点与曲线 [例 11]:(1988 年全国高中数学联赛试题)已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部,那么参数 k 的取值范围是 [解析]: [类题]:
2 2

.

1.(2004 年全国高中数学联赛试题)已知 M={(x,y)|x +2y =3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对所有 m∈R,均有 M∩N≠ ? ,则 b 的 取值范围是 .
x2 x2 2 2 +y =1 的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0< 0 +y0 ≤ 2 2

2.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知椭圆 C: 1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .

3.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)抛物线y=

1 2 x (a≠0)以P(2a,2a)为中点的弦所在的直线方程是_____. 4a

②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)过点 P(1,1)作直线 l,使得它被椭圆 则直线 l 的方程为 .
2

x2 y2 =1 所截出的弦的中点恰为 P, ? 9 4

4.(1997 年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 y=x+1 与椭圆 mx +ny =1(m,n>0)相交于 A,B 两点,弦 AB 的 中点的横坐标是1 y2 x2 ,则双曲线 2 ? 2 =1 的两条渐近线所夹的锐角等于 3 m n
2 2

2

.
2 2

5.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)过二次曲线C1:3x +8y ?6x?32y=0与C2:9x ?16y ?18x+24y=0的交点的抛物线方 程为 .
2 2

6.(2002 年第十三届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线系 y =mx+2m +1(m∈R)在 xOy 平面上不经过的区域是 其面积等于 .

,

12.图形区域 [例 12]:(1984 年全国高中数学联赛试题)下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)>0 的是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

[解析]: [类题]:
1.(1985 年全国高中数学联赛试题)在下列四个图形中,已知有一个是方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(m≠0,n≠0)在同一坐标 系中的示意图,它应是( )
2 2 2

2.(2003 年全国高中数学联赛试题)设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是(

2

2

)

8
y y

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y

y

x

x

x

x

A

B
2

C )

D

3.(1991 年全国高中数学联赛试题)方程|x-y |=1-|x|的图像为(

4.(1990 年全国高中数学联赛试题)已知椭圆 表示是下面图中的( )

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)通过点(2,1),则这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴影

5.(1983 年全国高中数学联赛试题)已知 M={(x,y)|y≥x },N={(x,y)|x +(y-a) ≤1}.那么,使 M∩N=N 成立的充要条件是( ) 1 (A)a≥1 4 1 (B)a=1 4 (C)a≥1
2

2

2

2

(D)0<a<1

6.①(1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)由抛物线 x =2y,x 轴和直线 x=21 所围成的平面区域(边界除 外)中,横、纵坐标都是整数的点的个数是
2 2

.

②(2010 年全国高中数学联赛试题)双曲线 x -y =1 的右半支与直线 x=100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均 为整数的点)的个数是 .

13.参数方程

[ 例 13]:(2011 年全国高中数学联赛试题 B) 抛物线 y =2p(x2

p ) 上动点 A 到点 B(3,0) 的距离的最小值记为 d(p), 满足 2

d(p)=2的所有实数p的和为

.

[解析]: [类题]:
1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)当t取实数值变化时,用x= (A)圆 (B)不完整的圆 (C)椭圆
7 ? 5t 2 1 ? t2

,y=

2t 1 ? t2

表示的点(x,y)表示的曲线是

(D)不完整的椭圆
x2 y2 ? =1 上的任意一点 P(x,y)可使 x+2y+m 4 3

2.①(2011 年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆 ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

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②(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)当点(x,y)在曲线 大值与最小值的和是_____. 3.①(2011 年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆 的点的个数是 .

9
( x ? 5) 2 y 2 x2 y2 =1上变动时,代数式 所能取到的最 ? ? 16 9 16 9

x2 y2 3? 3 =1 上到直线 2x+3y+1=0 的距离等于 ? 9 4 2

②(2002 年全国高中数学联赛试题)直线 于 3,这样的点 P 共有( )个

x y x2 y2 ? =1 与椭圆 =1 相交于 A,B 两点,该椭圆上点 P,使得△PAB 面积等 ? 4 3 16 9

③(1998 年全国高中数学联赛试题)若椭圆 x +4(y-a) =4 与抛物线 x =2y 有公共点,则实数 a 的取值范围是_________. 4.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知一条直线l与双曲线 为原点,当OP⊥OQ时,双曲线的中心到直线l的距离d等于( (A)
ab b2 ? a 2
x2 a
2

2

2

2

?

y2 b2

=1(b>a>0)的两支分别相交于P,Q两点,O

) (C)
b2 ? a 2 ab

(B)

ab b ?a
2 2

(D)

b2 ? a 2 ab

②(2009 年全国高中数学联赛试题)椭圆

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)上任意两点 P,Q,若 OP⊥OQ,则乘积|OP||OQ|的最小值为 .
? x ? 2 cos? ? 的直线过点P(1,2),且与曲线 ? (0≤θ <2π )交于A、 B两点, 4 ? y ? sin?

5.(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)倾角为 则|PA|?|PB|= .

6.(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知 a>0,过 M(a,0)任作一条直线交抛物线 y =2px(p>0)于 P,Q 两点,若
1 | MP |2

2

+

1 | MQ |2

为定值,则 a=

.

14.范围问题 [例 14]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)椭圆
依次为 O,F,G,H,则
| FG | 的最大值为 | OH |

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点

.

[解析]: [类题]:
1.①(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果直线 y=kx-1 和椭圆 的取值范围分别是 .
2 2

x2 y2 ? =1 仅有一个交点,则 k 和 a 4 a

②(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 l 过点(0,2)且与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交 点,则 l 的倾斜角的取值范围是 的取值范围是_____. ②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 a +b =1(b≠0),若直线 ax+by=2 和椭圆 值范围是 .
MO 的最大值为 MF
2 2

.
2

2.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)设抛物线y=x +mx+2与两端点为(0,1),(2,3)的线段有两个相异的交点,则m

a y2 x2 + =1 有公共点,则 的取 b 2 6

3.①(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线顶点为 O,焦点为 F,M 是抛物线上的动点,则

.

②(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知点 P 是双曲线

x2 y 2 =1 上的动点,F1、F2 分别是其左、右焦点,O 为 4 8

10
坐标原点,则
| PF 1 | ? | PF2 | 的取值范围 | OP |

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.
y2 x2 + 2 =1(0<b<3)的左、 右焦点.若在椭圆的右准线上 9 b

4.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知 F1,F2 分别是椭圆 存在一点 P,使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2,则 b 的取值范围是 5.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)P 为椭圆
2 2

.

x y 2 2 =1 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x +y =9 的两条切线 PA、 ? 16 9

PB,切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S△MON 的最小值为
2

.

6.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若椭圆的长轴长为4,左顶点在抛物线y =x?1上,且左准线为y轴,则这样的椭 圆的离心率的最大可能值是_____.

15.两条曲线 [例 15]:(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设椭圆 [解析]: [类题]:
1.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)曲线2x ?xy?y ?x?2y?1=0和3x ?4xy+y ?3x+y=0的交点有( (A)2 个 (A)2 集合是
4 2 2 2 2

x2 y2 =1 与双曲线 xy=1 相切,则 t= ? t ?1 t ?1

.

) (D)其他 )个. (D)无穷多

(B)3 个
2 2

(C)4 个
2 2

(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)曲线2x -xy-y -x-2y-1=0和3x -4xy+y -3x+y=0的交点有( (B)3 .
2 2 2

(C)4
2 2 2

2.①(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线y=2x 和圆x +(y-a) =1有两个不同的公共点,则a的值的 ②(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)曲线 x +y -ay=0 与 ax +bxy+x=0 有且只有 3 个不同的公共点,那么必有( (A)(a +4ab+4)(ab+1)=0 (B)(a -4ab-4)(ab+1)=0
4

)

(C)(a +4ab+4)(ab-1)=0

4

(D)(a -4ab-4)(ab-1)=0

4

3.①(2009年全国高中数学联赛江西初赛试题)若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 的方程为 .

y 2 x2 ? =1的顶点和焦点,则椭圆 9 16

②(1997 年第八届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)如果 焦点的是( (A) ) (B)
x2 y2 =-1 ? 2q ? p q

x2 y2 =1 表示双曲线,那么下列各椭圆中,与双曲线共 ? ?p q

x2 y2 =1 ? 2q ? p q

(C)

x2 y2 =1 ? 2p ? q p

(D)

x2 y2 =-1 ? 2p ? q p

4.①(2005 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 k<3,k≠0,则二次曲线 (A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点

x2 y2 x2 y2 ? =1 与 =1 必有( 3?k k 5 2

)

(D)相同的离心率

②(1991 年第二届“希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)曲线 件是( ) (B)k>0 且 k≠16

x2 y2 2 2 ? =1 与曲线 9x +25y =225 的焦距相等的充要条 16 ? k k

(A)k<16 且 k≠0

(C)0<k<16
2 2

(D)k<0 或 k>16

5.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设曲线x +y +2x-2y=0和xy+2=0相交于A、B两点,则弦AB的中垂线 的方程是 .
x2 a
2

6.(2009 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知椭圆Г 1:

?

y2 b
2

=1 和双曲线Г 2:

x2 a
2

?

y2 b2

=1,其中 a>b>0,椭圆Г 1 的左

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a2 b2

11

右焦点分别为 F1,F2,双曲线Г 2 的左右焦点分别为 F3,F4,过 F4 作一条直线,与椭圆交于两个不同的点 A,B,其中 B 在 A,F4 之 间,直线 F3A 与 F2B 交于点 C,若直线 AF2,BF3,CF1 三线交于一点,则 = .

16.平几结合 [例 16]:(2006 年全国高中数学联赛试题)已知椭圆 x
上.当∠F1PF2 取最大值时,比
| PF1 | 的值为 | PF2 |
2

16

?

y2 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直线 l:x- 3 y+8+2 3 =0 4

.

[解析]: [类题]:
1.①(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列, 且∠ACB=120 ,则该双曲线的离心率为
0

.

②(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)等腰直角三角形 ? ABC 中,斜边 BC=4 2 ,一个椭圆以 C 为其焦点,另一个 焦点在线段 AB 上,且椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) . 2.①(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)抛物线y =2x上一点到直线x+y+1=0的距离的最小值为
2 2

.

②(1998 年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)P 是抛物线 y=x 上的任意一点,则当 P 和直线 x+y+2=0 上的 点的距离最小时,P 与该抛物线的准线的距离是 .
2 2

③(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)若点 P 在曲线 y=-x -1 上,点 Q 在 x=1+y 上,则|PQ|最小值是
2 2 2

.

3.①(2001年全国高中数学联赛上海初赛试题)设P是抛物线y =2x上的点,Q是圆(x?5) +y =1上的点,则|PQ|的最小值是__. ②(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知椭圆的方程为x + 则a的取值范围是 .
2

y2 a2

=1(0<a<1),椭圆上离顶点A(0,a)最远点为(0,-a),

4.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点 P(-2,0)到其渐近线的距离为
2 6 2 .若过 P 点作斜率为 的直线交双曲线于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 PM 是 PA 与 PB 的等比中项,则双曲线的半焦距 3 2



.
1 8
2

5.①(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线y= x 相交于A,B两点,F 是抛物线的焦点.若|AF|=2|FB|,则k= .
x2 a
2

②(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)双曲线

?

y2 b2

=1的右焦点为F,直线l:y=kx+d不过点F,且与双曲线的右支 .
2 2

交于点P,Q,若∠PFQ的外角平分线与l交于点A,则点A的横坐标为
2

6.①(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)点 P 在双曲线 x -y =a 的右支上,A1、A2 分别为双曲线的左、右顶点,且∠ A2PA1=2∠PA1A2,则∠PA1A2 为 10 ,则∠PA1x的大小是_____度.
0

.
2 2

②(1999年全国高中数学联赛上海初赛试题)点P在双曲线x ?y =6的右支上,A1、A2分别为左、右顶点,且∠PA2x=3∠PA1x+

17.向量结合 [例 17]:(2010 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知直线 x=2 与双曲线Г : x -y2=1 的渐近线交于 E1,E2 两点,记 OE1 =
4
e1 , OE 2 = e 2 ,任取上双曲线Г 的点 P,若 OP =a e1 +b e 2 (a,b∈R),则(
2

) (D)a +b ≥
2 2

(A)0<a +b <1

2

2

(B)0<a +b <

2

2

1 2

(C)a +b ≥1

2

2

1 2

12
[解析]: [类题]:

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1.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)设 A,B 为抛物线 y =2px(p>0)上相异两点,则| OA ? OB | -| AB | 的最小值 为 .
y2 x2 + =1上的一动点,F1和F2是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 的取值 4 12

2

2

2

2.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)P是椭圆 范围是 .

3.(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆
PA1 ? PF2 取最小值的时候,| PA1 ? PF2 |的值为

x2 y 2 + =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为椭圆上的一点,则当 3 4

.
x2 a
2

4.(2006 年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过双曲线 的直线,交两渐近线于 M、N 两点,则 PM ? PN 的值为( (A)a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实轴平行

) (C)2ab
x2 a
2

(B)b

2

(D)a +b

2

2

5.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知双曲线 C:

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 做双曲线 C 的一条 .
x y =1上运动,定点C的坐标为(0,3),且 CP + ? 9 4
2 2

渐近线的垂线与双曲线交于 M,垂足为 N,若|FN|=a,且 FM =λ MN ,则λ = 6.(2005年第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)点P、 Q在椭圆 λ CQ =0,则λ 的取值范围是

.

18.三角结合 [例 18]:(2005 年全国高中数学联赛试题)方程
(A)焦点在 x 轴上的椭圆
x2 sin 2 ? sin 3 ? y2 cos 2 ? cos 3

=1 表示的曲线是(

)

(B)焦点在 x 轴上的双曲线

(C)焦点在 y 轴上的椭圆

(D)焦点在 y 轴上的双曲线

[解析]: [类题]:
1.(2005 年第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)已知双曲线 为双曲线的右焦点,且直线 FA 的倾斜角为 arccos(2.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)设方程 (A)双曲线 (B)焦点在 x 轴上的椭圆
2 2

x2 a
2

?

y2 b2

=1 的一条渐近线与它的右准线交于点 A,F . ) (D)以上答案都不正确 .

3 ),则此双曲线的离心率为 5

x2 sin(192007)0

+

y2 cos(192007)0

=1 所表示的曲线是(

(C)焦点在 y 轴上的椭圆

3.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)曲线 x -2xy-3y =1 的点到坐标原点的距离的最小值为 线 C 的一部分,则 C 的焦点坐标是 的坐标为 .
x2 a
2

4.(1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)适合方程 arctanx+arccoty=π 的点 P(x,y)的集合是某二次曲 .
2 2 2 2

5.(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)若直线 3xsin α +ycos α -3=0 与双曲线 x -y =1 仅有一个公共点,则该公共点

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设椭圆 E:

?

y2 b2

=1(a>b>0),A、B 是长轴的端点,C 为短轴 .

的一个端点,F1、F2 是焦点,记∠ACB=α ,∠F1CF2=β ,若 α =2β ,则椭圆 E 的离心率 e 应当满足的方程是

Y.P.M 数学竞赛讲座 19.极坐标
圆锥曲线的统一极坐标方程:如图: 以圆锥曲线的焦点 F 为极点,与焦点 F 对应的准线 l 垂直的射线 为极轴,建立极坐标系.设焦点 F 到准线 l 的距离为 p,PH⊥l 于 H 点,FG⊥PH 于 G 点,P(ρ,θ),则|PF|=ρ,∠PFx=θ,由圆锥曲线的 统一定义,|PH|= 一极坐标方程. 特别地:①圆锥曲线的焦点弦 PQ 中,若|PF|=ρ(P)= 焦点弦 PQ 中,
1 ? 1

13
H G F Q P x

ep 1 1 1 |PF|= ρ,|PG|=ρcosθ,由|PH|=|PG|+|GH| ? ρ=p+ρcosθ ? ρ= ,此为圆锥曲线的统 1 ? e cos? e e e

ep ep ep ,则|QF|=ρ(Q)= = ;②圆锥曲线的 1 ? e cos? 1 ? e cos(? ? ? ) 1 ? e cos?

? ( P)

? (Q)

=

ep 2 ;③如图:过双曲线ρ= 1 ? e cos? ep

右焦点 F(F 为极点)的直线与左、右两支分别交于点 P、Q,若|PF|= ρ(P)=
ep 1 ,则|FG|=p+|QH| ? ρ(Q)cos(π-θ)=p+ ρ(Q) 1 ? e cos? e ep ep ;④过双曲线ρ= 右焦点 F(F 为极点) 1 ? e cos? 1 ? e cos?

Q G

H F x

? ρ(Q)=-

的直线与左、右两支分别交于点 Q、P,则

1

? ( P)

?

1

? (Q)

=

2 . ep
1 所确定的曲线是( 1 ? cos? ? sin ?

[例 19]:(1982 年全国高中数学联赛试题)极坐标方程 ρ =
(A)圆 (B)椭圆

)

(C)双曲线

(D)抛物线

[解析]: [类题]:
1.①(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)一个圆的极坐标方程是ρ =5cosθ ?5 3 sinθ ,若规定极角范围为0≤θ <2 π ,则它的圆心的极坐标是 . . ) ②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)圆的极坐标方程是ρ = 2 (cosθ +sinθ ),则它的圆心的极坐标是 ③(2001年全国高中数学联赛湖南初赛试题)圆ρ =Dcosθ +Esinθ 与极轴所在直线相切的充要条件是( (A)DE=0 (B)DE≠0 (C)D=0,E≠0
1 的短轴长等于 2 ? cos?

(D)D≠0,E=0 .

2.①(2001 年全国高中数学联赛试题)椭圆ρ =

②(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)极坐标方程ρ =

sec2 2 tan 2

?
2 ?1

?

是一圆锥曲线,它的焦点到其相应准线的距离

2



.
1
n 1 ? Cm cos?

3.(1984 年全国高中数学联赛试题)对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m,n 极坐标方程ρ = 是 .

表示的不同双曲线条数

4.(1996 年全国高中数学联赛试题)曲线 C 的极坐标方程是ρ =1+cosθ ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______. 5.倾斜角为 30 的直线 AB 过抛物线 G:y =2px(x>0)的焦点 F,且与抛物线 G 交于 A、B 两点,若点 A、B 在抛物线 G 的准线 l 上的射影点分别为 D、C,M 是的 CD 中点,则|MF|= 6.过双曲线 . .
0 2

1 1 x2 y 2 ? =1 右焦点 F 的直线与左、右两支分别交于点 Q、P,若|PF|=m,|QF|=n,则 - = m n 4 3

14

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20.立体结合 [例 20]:(1985 年全国高中数学联赛试题)PQ 为经过抛物线 y2=2px 焦点的任意一条弦,MN 为 PQ 的准线 l 上的射影,PQ 线
l 转一周所得的旋转面面积为 S1,以 MN 为直径的球面面积为 S2,则下面的结论中,正确是( (A)S1>S2 (B)S1<S2 (C)S1≥S2 ) (D)有时 S1>S2,有时 S1=S2,有时 S1<S2

[解析]:

[类题]:
1.(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正方体ABCD-A′B′C′D′的侧面AA′B′B内有一点M到两直线AB、B′C′的 距离相等.那么,M的轨迹是( (A)抛物线的一部分 ) (B)双曲线的一部分 (C)椭圆的一部分 ) (D)抛物线或椭圆 . . (D)线段

2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P 到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线一定是( (A)圆或椭圆 (B)椭圆或双曲线 (C)双曲线或抛物线

3.(1986 年全国高中数学联赛试题)在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13.若作一平面与这 二球面相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则这个椭圆的长轴与短轴长之和是 与⊙O 相切,与圆锥的交线是一个椭圆.若⊙O 半径为 1,则椭圆的短轴长 5.(2002 年全国高中数学联赛试题)由曲线 x =4y,x = -4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体 的体积为 V1;满足 x +y ≤16,x +(y-2) ≥4,x +(y+2) ≥4, 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积为 V2,则( (A)V1=
1 V2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

4.(2006 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知圆锥的顶点 V 与底面圆心 O 的连线垂直于底面,一个过 VO 中点 M 的平面

) (B)V1=
2 V2 3

(C)V1=V2 接触到杯底的球的半径最大是

(D)V1=2V2
2

6.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y=x (-2≤x≤2)绕 y 轴旋转而构成的.请问能 .

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1

竞赛中的二次曲线问题
高中联赛中的二次曲线问题具有知识性、方法性和综合性,着重于对“数形结合”的考察,掌握用“数”研究“形”, 并且充分挖掘蕴含的几何本质,利用“形”助“数”,减少计算量,妙解几何题.

1.第一定义 [例 1]:(1990 年全国高中数学联赛试题)设双曲线的左右焦点是 F1,F2,左右顶点是 M,N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上,
则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( (A)在线段 MN 内部 ) (C)点 M 或点 N (D)不能确定的 (B)在线段 F1M 内部或线段 NF2 内部

[解析]:设△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点是 Q,若点 P 在右支上,则由|F1Q|-|F2Q|=|PF1|-|PF2|=2a ? 点 Q 在点 N. [类题]:
2 1.①(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知定点A(4, 7 ).若动点P在抛物线y =4x上,且点P在y轴上的射影为点M,

则|PA|-|PM|的最大值是

.

解:设焦点为 F,则|PM|=|PF|-1 ? |PA|-|PM|=|PA|-|PF|+1≤|AF|+1=4+1=5. ②(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过抛物线 y =x 的焦点 F 的直线 l 的倾斜角 θ ≥ 线于 A,B 两点,且 A 点在 x 轴上方,则|FA|的取值范围是 解 :当 θ = .
2

? ,l 交抛物 4

? ? 1 2 2 1 1 2 2 时,设|FA|=t,则 2(t- ) =t ? t=1+ ;当 θ = 时,|FA|= ,所以,|FA|的取值范围是( ,1+ ]. 4 2 2 2 4 2 2

2.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 x 2 ? y 2 + ( x ? 8)2 ? ( y ? 6)2 =20,则|3x–4y–100|的最 大值为 ,最小值为 .

解:满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图中的以 O,A(8,6)为焦点的椭圆,且 c=5,a=10,则 b=5 3 ,而|3x–4y–100| 可表示为椭圆上的点 P 到直线 3x–4y–100=0 的距离的 5 倍,设椭圆的中心为 B,则 B(4,3),BD=20,PB=QB=5 3 ,故最大值 为 5PD=5(20+5 3 ),最小值为 5QD=5(20–5 3 ). 3.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知点A(4,0),B(2,2),M是椭圆 值为 .
y2 x2 + =1 内的点,M 是椭圆上的 9 25 x2 y2 ? =1上的动点,则|MA|+|MB|的最大 25 9

②(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 A(4,0),B(2,2)是椭圆 动点,则|MA|+|MB|的最小值是 ,最大值是 .

解:设 F(-2,0),则|MA|+|MF|=10 ? |MA|+|MB|=10-(|MF|-|MB|)≥10-|BF|=10-2 5 ;|MA|+|MB|=10+(|MB|-|MF|)≤10+ |BF|=10+2 5 . 4.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)双曲线 则分别以线段PF1,A1A2为直径的两圆一定( (A)相交 ) (C)外切 (D)相离
x2 a
2

?

y2 b2

=1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是该双曲线右支上任意一点,

(B)内切

解:设线段 PF1 的中点为 M,则圆心距|OM|=

1 1 1 |PF2|= (|PF1|-2a)= |PF1|-a=半径之差,所以,内切. 2 2 2

5.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从双曲线

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T.延 ) (D)不确定

2

2

2

长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的大小关系为( (A)|MO|-|MT|>b-a (B)|MO|-|MT|<b-a (C)|MO|-|MT|=b-a

2
解:|MO|-|MT|=
1 1 1 |PF2|-|MT|= (|PF1|-2a)-|MT|= |PF1|-|MT|-a=|TF1|-a=b-a. 2 2 2

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6.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆 圆与双曲线的一个交点,则 cos∠F1PF2= .

y2 x2 2 2 +y =1 和双曲线 x =1,其中 F1,F2 为椭圆的焦点,且 P 是椭 2 4

解:由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2+2 ? |PF1|=3,|PF2|=1,|F1F2|=2 3 ? cos∠F1PF2=- .

1 3

2.第二定义 [例 2]:(1999 年全国高中数学联赛试题)给定 A(?2,2),已知 B 是椭圆 x
取最小值时,求 B 的坐标.
2

25

?

5 y2 =1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF| 3 16

[解析]:由|BF|=ed= 3 d ?
5

5 5 19 5 a2 3 ,2). |BF|=d ? |AB|+ |BF|=|AB|+d≥ -2= ,B(3 3 3 2 c

[类题]:
1.①(1997 年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围为( (A)(0,1)
2 2 2 2 2

) (B)(1,+∞)
2

(C)(0,5)
| x ? 2y ? 3| 5
2 2

(D)(5,+∞)
? e=
5 ? m>5. m

解:m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) ?

m 5

x 2 ? ( y ? 1)2 =

②(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆锥曲线x +y +6x?2y+10?|x?y+3|=0的离心率是
2 2 2 2 解:原式变形为(x+3) +(y?1) =|x?y+3|,即(x+3) +(y?1) = 2

.

| x ? y ? 3| 2

.所以动点(x,y)到定点(?3,1)的距离与它到直线

x?y+3=0的距离之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 2.(1999 年全国高中数学联赛试题)已知点 P 在双曲线
x2 y 2 ? =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条 16 9

双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P 的横坐标是_____. 解:设 P 到双曲线右准线的距离是 d,由|PF2|=ed= 16(P 不能在右支上). 3.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)定长为m的线段AB的两个端点在双曲线 么,AB中点M的横坐标的最小值为 (用a、b、m表示).
1 a2 (|AD|+|BC|)= 2 c
5 5 5 5 16 d ? |PF1|= d ? 8 ? d+( d ? 8)=2d ? d=16 ? P 的横坐标是 4 4 4 4 5

x2 a2

?

y2 b2

=1的右支上移动(m>

2b 2 ),那 a

解:设双曲线的右焦点为 F,分别过点 A,B 作右准线的垂线,垂足分别为 D,C,则 AB 中点 M 的横坐标=
1 1 1 a2 a2 a2 (|AF|+|BF|)≥ |AB|= m. 2e 2e 2e c c c

4.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2 是双曲线 x -3y =3 的左、右焦点,A,B 两点在右支上,且与 F2 在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 .
2

2

2

解:由|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a ? |F1A|+|F1B|=4a+|AB|, 5.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若抛物线y =2x的焦点是F,准线是l,点M(2,m)是抛物线上一点,则经过点F,M 且与l相切的圆一共有 4 个. 6.(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)抛物线y =16x的焦点为F,以F与A(4,4)为焦点作一椭圆,使其与已知抛物线有
2

个.

解:由点 M(2,m)是抛物线上一点 ? m= ? 2,由抛物线的定义,圆的圆心是 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点有

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公共点,当长轴最短时,椭圆的方程是__________.

3

解:设椭圆与抛物线交于点 P,抛物线的准线为 l,PQ⊥l,AB⊥l,则长轴=|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AB|=8 ? a=4,c=2 ? b=2
3 ,椭圆中心(4,2) ? 椭圆的方程是

( y ? 2) 2 ( x ? 4) 2 =1. ? 16 12

3.离心率 [例 3]:(2000 年全国高中数学联赛试题)在椭圆
若该椭圆的离心率是
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.

5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2

[解析]:∠ABF=900. [类题]:
1.①(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设一个椭圆的焦距、 短轴长、 长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e= 解:e=
5 ?1 . 2

.

②(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)椭圆 则椭圆的离心率为 解:e=
5 ?1 . 2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,左焦点为F,且∠ABF=90 ,

0

.

2.(2012 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)过原点 O 的直线 l 与椭圆 C: 异于 M,N 的任一点.若直线 PM,PN 的斜率之积为- ,则椭圆 C 的离心率为 解:设 M(acosθ ,bsinθ ),P(acosα ,bsinα ) ? N(-acosθ ,-bsinθ ). 1 b2 1 6 . ? 2 = ? e= 3 3 3 a
1 3

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)交于 M,N 两点,P 是椭圆 C 上 .

1 b 2 sin 2 ? ? sin2 ? b(sin ? ? sin? ) b(sin ? ? sin? ) =- ? 2 3 a(cos? ? cos? ) a(cos? ? cos? ) a cos2 ? ? cos2 ?

3.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)某个圆的圆心在双曲线的一条准线上,并且圆经过双曲线的一 个顶点和一个焦点,则双曲线的离心率是 解:e=2. 4.①(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)双曲线 y= 解:e= 2 . ②(2002 年湖南省高中数学奥林匹克竞赛试题)已知动点 P(x,y)满足二次方程 10x-2xy-2y+1=0,则此二次曲线的离 心率为 解:e= 2 . 5.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知椭圆 ∠AQB=120 ,则该椭圆的离心率e的取值范围是
0

.

k (k>0)的离心率用 f(k)表示,则 f(k)= x

.

.

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0),长轴的两个端点为A,B,若椭圆上存在点Q,使

.
a 6 ≤ 3 ? e≥ . b 3

0 0 解:设椭圆短轴的端点为 D,则∠ADB≤∠AQB=120 ? ∠ADO≤60 ? tan∠ADO≤ 3 ?

②(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设 A1、A2 为椭圆

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、

4
A2 的点 P,使得 PO ? PA2 =0,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是

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.

?(?a 3 ) 2 ? 4(a 2 ? b 2 )a 2b 2 ? 0 ? 2 解:以为直径的圆 x(x-a)+y =0,与椭圆方程联立得(a -b )x -a x+a b =0 在(0,a)内有解 ? ? ?a a3 0 ? ? a ? 2(a 2 ? b 2 ) ?
2 2 2 2 3 2 2

>2b ? e>

2

2 . 2

6.①(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设双曲线 α 的取值范围是 解:e∈[ .

x2 a
2

?

y2 b2

=1 的离心率 e∈[

2 3 ,2],则双曲线的两条渐近线夹角 3

? 2 3 2 3 3 0 0 0 0 ,2] ? ≤ 1 ? k 2 ≤2 ? ≤k≤ 3 ? 30 ≤ ≤60 ? α 的取值范围是[60 ,120 ]. 2 3 3 3
x2 a
2

②(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)若双曲线

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)上横坐标为 .

3 a 的点到右焦点的距离大于 2

它到左准线的距离,则该双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是 解:双曲线上横坐标为 >e|

3 3 3 3 a2 a2 a2 a 的点到右焦点的距离为 e| a|,到左准线的距离为 e| a-()|.由条件知 e| a| 2 2 2 2 c c c

3 b a2 0 0 a-()| ? > 3 .因此,双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是(0 ,60 ). 2 a c

4.焦点弦长 [例 4]:(1997 年全国高中数学联赛试题)过双曲线 x2λ 的直线 l 恰有 3 条,则λ = .
2

y2 =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点,若实数λ 使得|AB|? 2

[解析]:双曲线 x2[类题]:

y 2b 2 =1 的通经 =4,实轴 2a=2,故λ =4. 2 a

1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)直线l过抛物线y =a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直.若l被抛物线截得的 线段长为4,则a= 解:抛物线的通经=2p=a=4. 2.①(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)椭圆 那么,|PF1|是|PF2|的( (A)7 )倍. (B)5 (C)4
3 3 3 b2 = =7 . ? |PF1|=4 3 2 2 2 a x2 y2 ? =1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上, 12 3

2

.

(D)3

解:由 PF1 的中点在 y 轴上 ? PF2⊥x 轴 ? |PF2|=

②(2011 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设斜率为

x2 y 2 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)交于不同的两点 P、Q,若 2 a b

点 P、Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 解:
2 b2 = ? 2 ac
2 e +e= 2 ? e=
2

.

2 . 2 x2 y 2 ? =1的焦点F1,F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M 6 3

3.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知双曲线 的距离为 .

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解:|MF1|=
6 6 6 b2 = =3 .d|MF2|=|MF1||F1F2| ? d=2. ? |MF2|=2a2 2 2 a
2 2

5

4.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2 是双曲线 x –3y =3 的左、右焦点,A,B 两点在右支上,且 与 F2 在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 解:|F1A|+|F1B|=4a+|F2A|+|F2B|=4a+|AB|≥4a+ .
2b 2 14 3 = . 3 a

5.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆C:
AF 9 ? 4 2 ,则椭圆的离心率等于 ? BF 7

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0),过左焦点F,并且斜率为1的

直线交椭圆于A,B两点,若

.
1 e 1 e

解:设直线 AB 的倾斜角为α ,左准线为 l,AD⊥l,BC⊥l,|AF|=m,|BF|=n,|AD|= m,|BC|= n,作 FH⊥AD,BG⊥x 轴,|AH|=
m 1 ? e cos? 1 | AH | 1 b 2 | FG | b 2 1 b2 b2 1 ? m,|FG|= - n,cosα = = ,cosα = = - ? . e e | BF | nc e | AF | e mc n 1 ? e cos? c c

6.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)过椭圆

x2 6
2

?

y2 22

=1的一个焦点F作弦AB.若|AF|=m,|BF|=n,则
1 e 1 e

1 1 ? = m n

.

解:设直线 AB 的倾斜角为α ,左准线为 l,AD⊥l,BC⊥l,|AF|=m,|BF|=n,|AD|= m,|BC|= n,作 FH⊥AD,BG⊥x 轴,|AH|=
1 1 2a 1 1 b2 b2 1 | AH | 1 b 2 | FG | b 2 1 b2 b2 1 ? = m,|FG|= - n,cosα = = ,cosα = = - ? = - ? . e e e mc nc e | BF | nc e | AF | e mc m n b2 c c

5.焦点三角形 [例 5]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 F1,F2 是椭圆 x
三角形△PF1F2 的面积等于______.
2

9

?

y2 =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则 4

[解析]:|PF1|+|PF2|=2a=6 ? |PF1|=4,|PF2|=2,2c=2 [类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)椭圆 的面积为 .
2 2

5 ? △PF1F2 为 Rt△ ? △PF1F2 的面积等于 4.

x2 5
2

?

y2 32

=1 的焦点为 F1,F2,如果椭圆上的一点 P 使 PF1⊥PF2,则△PF1F2

解:|PF1|+|PF2|=2a=10 ? |PF1| +|PF2| +2|PF2||PF2|=100;又由|PF1| +|PF2| =(2c) =64 ? |PF2||PF2|=18 ? 面积为 9. 2.(2000 年第十一届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)圆 x +y =r (r>0)经过椭圆
2 2 2

2

2

2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的两个焦点 F1,F2, .
2

且与该椭圆有四个不同的交点,设 P 是其中的一个交点,若△PF1F2 的面积为 26,椭圆的长轴为 15,则 a+b+c=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解:|PF1|+|PF2|=2a ? |PF1| +|PF2| +2|PF2||PF2|=4a ;|PF1| +|PF2| =(2c) ? |PF2||PF2|=2(a -c )=2b ? △PF1F2 的面积=b = 26;2a=15 ? c=
11 ? a+b+c=13+2 6 . 2

3.(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设椭圆 ∠F1MF2=2θ ,△F1MF2 的内心为 I,则|MI|cosθ =

x2 2 +y =1 的左、 右焦点分别为 F1,F2,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4

.
1 1 [2a-(|AF1|+|BF2|)]= (2a-|F1F2|)=a-c. 2 2

解:设△F1MF2 的内切圆切三边 MF1,MF2,F1F2 分别为 A,B,C,则|MI|cosθ =|MA|=

4.(2005 年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的一点 P 和两个焦 点 F1、F2 连线的夹角∠F1PF2=120?,且点 P 到两准线的距离分别为 2 和 6,则椭圆的方程为 .

6
解 :2

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a2 a2 2 2 2 2 2 2 =2+6 ? =4 ? xP=2;|PF1|+|PF2|=2a ? |PF1| +|PF2| +2|PF2||PF2|=4a ;(2c) =|PF1| +|PF2| +|PF2||PF2| ? |PF2| c c
2

|PF2|=4b ? △PF1F2 的面积=

1 4 b2 3 3b 2 2 2 |PF2||PF2|× ? |yP|= ? 2 +3 2 =1 ? a =13,c=3,b =4. 2 2 c a c

5.(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 P 是椭圆 点,O 为中心,则|PF1||PF2|+|OP| =
2 2 2 2 2 2 2

x2 y 2 + =1 上异于长轴端点的任意一点,F1、F2 分别是其左、右焦 9 16

.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解:在△PF1O 中,|PF1| =|OP| +c -2c|OP|cos∠POF1,在△PF2O 中,|PF2| =|OP| +c -2c|OP|cos∠POF2 ? |PF1| +|PF2| =2|OP|
2 2

+2c .|PF1|+|PF2|=2a ? |PF1| +|PF2| +2|PF1||PF2|=4a ? 2|OP| +2c +2|PF1||PF2|=4a ? |PF1||PF2|+|OP| =2a -c =a +b =25. 6.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知F1,F2是双曲线x -y =1的两个焦点,M是该双曲线右支上的点,O为坐标原点. 若|MF1|+|MF2|= 6 |MO|,则点M的坐标为
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.
2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 解:|MF1| +|MF2| =2|MO| +2c ;||MF1|-|MF2||=2a ? |MF1| +|MF2| -2|MF1||MF2|=4a ;|MF1|+|MF2|= 6 |MO| ? |MF1| +|MF2| +

2|MF1||MF2|=6|MO| ? |MF1| +|MF2| =2a +3|MO| ? 2a +3|MO| =2|MO| +2c ? |MO| =2b =2 ? x +y =2 ? 点 M 的坐标为.

6.弦长公式 [例 6]:(2005 年全国高中数学联赛试题)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两个顶点在抛物线 y=x2 上.则
该正方形面积的最小值为 .
2

[解析]:设正方形的边 AB 在直线 y=2x-17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C(x1,y1),D(x2,y2),则 CD 所在直线 l 的
方程 y=2x+b,将直线 l 的方程与抛物线方程联立,得 x =2x+b ? x1,2=1 ?
2

b ? 1 .令正方形边长为 a,则 a =(x1-x2) +(y1-y2) =

2

2

2

5(x1-x2) =20(b+1).在 y=2x-17 上任取一点(6,5),它到直线 y=2x+b 的距离为 a,a= 3,63 ? a =80,1280 ? 正方形面积的最小值为 800.
2

| 17 ? b | 5

.联立得:(b+17) =100(b+1) ? b=

2

[类题]:
1.(1992 年第三届“希望杯”全国数学邀请赛 ( 高二 ) 试题 ) 椭圆曲线上两个点的连接线段称为椭圆的弦 , 经过椭圆
1 x2 y2 3 7 ? =1 内的点 A( ,0)有 k 条长度成等差数列的弦,公差 d∈[ ,1],则 k 值的集合是 2 9 4 4

.

解:当弦 PQ⊥x 轴,由 1 ? 4≤k≤7.

7 3 3 1 1 3 y2 + =1 ? |y|= ? |PQ|=3;最长|PQ|=2a=6;令 a1=3,ak=6,则 d= .d∈[ ,1] ? ≤ ≤ 16 2 k ?1 2 2 k ?1 4

2.(2012 年全国高中数学联赛河北初赛试题)过椭圆

x2 2 0 +y =1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45 弦 AB,则|AB|为 2
2

.

解:椭圆的右焦点为(1,0),则弦 AB 为 y=x-1 代入椭圆方程得 3x -4x=0,|AB|= 3.(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)设过椭圆
2 2 2 2

4 2 . 3

x2 y2 ? =1的右焦点的弦AB=8.则△AOB的面积是_____. 25 16

解:设 AB:y=k(x-3) ? (16+25k )x -150k x+25k ×9-16×25=0 ? |AB|= 1 ? k 2 ×160 =0 ? d=2 ? △AOB 的面积是=8.

1? k2 16 ? 25k
2

=8 ? k=

2 5

? AB:2x- 5 y-6

4.(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知椭圆的长轴长为 4,焦距|F1F2|=2,过椭圆的焦点 F1 的两条互相垂直的弦 的长度和是
48 ,则这两条弦的长度的积是 7

.
1? k2 3 ? 4k
2

2 2 2 2 2 2 解:椭圆:3x +4y =12,F1(1,0),y=k(x-1) ? (3+4k )x -8k x+4k -12=0 ? |AB|= 1 ? k 2 ×12

=12

1? k2 3 ? 4k 2

;同理:|CD|=

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12
1? k2 4 ? 3k
2

7

.|AB|+|CD|=

576 48 48 1? k2 1? k2 2 +12 = . ? 12 ? k =1 ? |AB||CD|= 2 47 7 7 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2

5.(2002 年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)长为 m(m<1)的线段 AB 的两端在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短距离等于 解:设 AB:y=kx+b ? x -kx-b=0 ? |AB|= 1 ? k 2
2

.
k 2 ? 4b =m ? 2b=
1 m2 2 2 2 ( -k ),A(x1,x1 ),B(x2,x2 ),则 M 到 x 轴的距离 2 1? k2

d=

1 1 1 1 m2 m2 m2 2 2 2 2 2 (x1 +x2 )= [(x1+x2) -2x1x2]= (k +2b)= [(1+k )+ -1](函数 f(t)=t+ 在[1,+∞)内递增)≥ . 2 2 2 2 4 t 4 1? k

6.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a、b是两已知正数,且a>b.点P、Q在椭圆 Q的直线平行于直线OP.且与y轴交于点R,则
cos2 ? a
2

x2 a
2

?

y2 b2

=1上,若连接点A(?a,0)与

| AQ | ? | AR | | OP |2

=_____.(O为坐标原点).
1 | OP |
2

解:设 P(rcosα ,rsinα ),则 r (
2 2 2 3 2 4 2

2

?

sin2 ? b
2

)=1 ?

=

1 r
2

=

cos2 ? a
2
2

?

sin2 ? b
2

;|AR|=

a 2 ;AQ:y=tanα (x+a) ? (b + cos?

a tan α )x +2a tan α x+a tan α -a b =0 ? |AQ|= 1 ? tan 2 ?
2 2

2ab

b 2 ? a 2 tan 2 ?

? |AQ||AR|=

2a 2b2 b cos ? ? a 2 sin2 ?
2 2

?

| AQ | ? | AR | | OP |2

=2.

7.三角形面积 [例7]:(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设直线l:y=x+b(0<b< 1 )与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为坐标原点.
2

则当△AOB的面积最大时,直线l的方程为

.
b 2

[解析]:由 y2-2y+2b=0 ? |AB|=
b= .
1 3

2 ×2 1 ? 2b ,d=

? △AOB 的面积=b 1 ? 2b = bb(1 ? 2b) ≤ [

3 b ? b ? (1 ? 2b) 3 . ] = 9 3

[类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)过抛物线 y =8x 的焦点 F,作一条斜率为 2 的直线 l,若 l 交抛物线于 A,B 两点,则△OAB 的面积是
2 2

.
5 4 ×4 5 =10,d= ? △OAB 的面积=4 5 . 2 5

解:F(2,0),AB:y=2(x-2) ? y -4y-16=0 ? |AB|=

②(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知椭圆 △ABF1的面积为 .
2

? x2 2 +y =1的两个焦点为F1,F2.过右焦点F2作倾斜角为 的弦AB,则 4 2

解:F2((1,0),AB:y=x-1 ? 3x -4x=0 ? |AB|=

4 4 2 ,d= 2 ? △ABF1 的面积为 . 3 3

2.(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:

x2 y 2 ? =1的右焦点为F,一条过原点且倾 12 4

斜角为锐角的直线l与双曲线交于A,B两点,若△ABF的面积为8 3 ,则直线l的斜率为
2 2 解:F(4,0),AB:y=kx(k>0) ? (3k -1)x +12=0 ? |AB|= 1 ? k 2 ×4 3

.
1 ,k= . 2

1 1 ? 3k 2

,d=

4k 1? k2

3.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)F1为椭圆
2 2

x2 y2 ? =1的右焦点,AB为过原点的弦,则△ABF1面积的最大为 25 9

. =60

解:F1(-4,0),AB:y=kx ? (9+25k )x -9×25=0 ? |AB|= 1 ? k 2 ×30

1 9 ? 25k
2

,d=

4| k | 1? k
2

? △ABF1 面积=60

|k| 9 ? 25k 2

8
×
1 9 k2 ? 25

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≤12.当 AB⊥x 时.

4.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(?2 3 , 0),右顶点为D(4,0).设点A的坐标是(2,1),过原点O的直线交椭圆于点B、C,则△ABC面积的最大值是 解:椭圆 x +4y =16,BC:y=kx ? (1+4k )x -16=0 ? |BC|= 1 ? k 2 ×8
2 2 2 2

.
| 2k ? 1 | 1 ? 4k 2

1 1 ? 4k 2

,d=

| 2k ? 1 | 1? k2

? △ABC 面积=4

=4×

1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 4k 2

=4 1 ?

4 1 4k ? k

=4 1 ?

4 1 (?4k ) ? (? ) k

≤4 2 .

②(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点分别为(- 6 ,0)和( 6 ,0),O为坐标原 点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B,则△OAB面积的最大值是 解:椭圆C:
x2 y2 =1.△OAB面积的最大值是4. ? 8 2
x2 y2 ? =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过椭圆的右焦点 F2 作一条 4 3

.

5.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知椭圆

直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是
2 2

.
1 ×2|y1-y2|=12 2
m2 ? 1 (3m 2 ? 4) 2

解:设直线 l 的方程为 x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),(3m +4)y +6my-9=0 ? △F1PQ 面积= m +1≥1)=
2

(令 t=

1 1 ,函数 u=9t+ (t≥1)是增函数,故 t=1,m=0 时,u 有最小值,此时△F1PQ 的面积有最大值 3,因△F1PQ 1 t 9t ? ? 6 t 1 的周长是定值 8,故此时△F1PQ 内切圆的半径最大,因此其面积也最大,设此时△F1PQ 内切圆的半径为 t,则 ×8r=3 ? r= 2 3 9 ,所以△F1PQ 内切圆面积的的最大值为 π . 4 16

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(

2

5 3 ,- )且与抛 2 2

物线交于 A、B 两点,向量 AB ⊥ FM ,若点 C 位于抛物线的弧 AOB(O 为坐标原点)上,则△ABC 的面积最大可达到
2 2 2 2

.

解:F(1,0),kFM=-1 ? AB:y=x-4 ? y -4y-16=0 ? |AB|= 2 ×4 5 ;抛物线 y =4x 在 P(t ,2t)处的切线 2ty=2(x+t ) ? x-ty+ t =0,令其平行于 AB ? t=1 ? P(1,2) ? d=
2

5 2

2 ? △ABC 的面积最大=2 5 .

8.内接三角形 [例 8]:(2011 年全国高中数学联赛试题 A)直线 x-2y-1=0 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,C 为抛物线上的一点,∠ACB=900,
则点 C 的坐标为
2

.
CA =(x1-t ,y1-2t), CB =(x2-t ,y2-2t),∠ACB=90
2 4 2 2 2 0 3

[解析]:设 C(t ,2t),y2-8y-4=0 ? y1+y2=8,y1y2=-4 ? x1+x2=18,x1x2=1 ?
? CA CB =0 ?
2 2 2 2 4 2 2 2

(x1-t )(x2-t )+(y1-2t)(y2-2t)=0 ? x1x2-(x1+x2)t +t +y1y2-2(y1+y2)t+4t =0 ? t -14t -16t-3=0 ? (t+1)(t

-t -13t-3)=0 ? (t+1)(t+3)(t -4t-1)=0.若 t -4t-1=0 ? t -2(2t)-1=0 ? 点 C 在直线 x-2y-1=0 上,与 A 或 B 重合.

[类题]:
1.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)一个正三角形ABC内接于椭圆 在y轴上,则此正三角形的边长为_____.
2 解:y= 3 x+2 ? 31x +36 3 x=0 ? 边长=2×

x2 y2 ? =1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A的高 9 4

36 3 . 31
2

2.(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知抛物线 y =2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是 直角三角形,则这样的点 P 共有( )

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(A)0 个
0

9
(B)2 个
2

(C)4 个
p p 2 2 x+y =0 ? x - x+2px=0 无正根. 2 2
2 2

(D)6 个

解:∠OFP=90 的有 2 个;以 OF 为直径的圆 x -

3.①(1991 年第二届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)过 A(p,0)作抛物线 y +p =2px(p>0)的与对称轴垂直的弦 P1P2,O 为原点,则∠P1OP2 是( (A)直角 ) (B)钝角 (C)锐角 (D)不确定

2 2 2 0 解:由 y +p =2p ? y= ? p ? P1(p,p),P2(p,-p) ? OP 1 ? OP 2 =0 ? ∠P1OP2=90 .

②(1999 年全国高中数学联赛试题)已知点 A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线 y =4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是
2

(

) (B)钝角三角形
2 2 2

(A)锐角三角形

(C)直角三角形
2

(D)答案不确定

2 解:BC:x-5=t(y+2) ? y -4ty-8t-20=0 ? y1+y2=4t,y1y2=-8t-20 ? x1+x2=4t +4t+10,x1x2=(2t+5) ? AB ? AC =(x1-1)(x2-1)+

(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(2t+5) -(4t +4t+10)-(8t+20)-8t+5=0. 4.①(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)以抛物线y=x 上的一点为M(1,1)直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角 形△MAB与△MCD,则线段AB与CD的交点E的坐标为
2 2 2 2 2

.
2

解:设 y=kx+b ? x -kx-b=0 ? x1+x2=k,x1x2=-b ? y1+y2=k +2b,y1y2=b ,(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0 ? x1x2-(x1+x2)+1+y1y2(y1+y2)+1=0 ? b -k -3b-k+2=0 ? (b-k-2)(b+k-1)=0.b-k-2=0 ? y=kx+k+2 过点(-1,2);b+k-1=0 ? y=kx+1-k 过点 M. ②(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)Rt△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 x =2py(p>0)上,且斜边 AB∥x 轴. 则斜边上的高|CD|=
2 2

.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解:设 A(-2pt,2pt ),B(2pt,2pt ),C(2ps,2ps ),由 CA ? CB =0 ? (s -t )+(s -t ) =0 ? t -s =1 ? |CD|=2p(t -s )=2p. 5.(2002 年全国高中数学联赛试题)已知点 A(0,2)和抛物线 y =x+4 上两点 B,C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值范围. 解:设 C(t -4,t),B(a -4,a), AB ? BC =0 ? (a+2)(t+a)+1=0 ? a +(t+2)a+2t+1=0 ? (t+2) -4(2t+1)≥0 ? t≥4,或 t≤0. 6.(2006 年全国高中数学联赛山西初赛试题)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、 B 两点,且|AB|=
8 6 .在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形 11
2 2 2 2 2

,若存在,C 点的坐标是

.

解:设所求抛物线方程为 y =2px(p>0)由弦长|AB|= y=
2

2 24 8 6 建立关于 p 的方程.解得 p= 或 p=(舍去),故抛物线方程为 11 11 11

4 3 x.设 AB 的中点为 D(x0,y0),抛物线上存在满足条件的点 C(x3,y3),由于△ABC 为正三角形.所以 CD⊥AB,|CD|= 11 2

15 24 12 3 12 3 .由 CD⊥AB 得 x3-y3= ①,由|CD|= 得|x3+y3-1|= 11 11 11 11 1 14 25 10 ( ,- )不在抛物线上.故抛物线上存在一点( , ). 11 11 11 11

|AB|=

②,解①②得 x3=

1 25 10 14 ,y3= ,或 x3= ,y3=- . 11 11 11 11

9.对称性质 [例 9]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,若 2x1x2=-1,
则 2m 的值是 .
y ?y x ?x 5 1 y1 ? y 2 2 2 2 2 2 2 2 =-1,y1=2x1 ,y2=2x2 ? 2(x1+x2)=-1 ? x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2= . 1 2 = 1 2 +m ? x1 +x2 =- +m, 得 2 2 4 4 x1 ? x2

[ 解析]: 由
2m=3.

[类题]:
1.(2003 年全国高中数学联赛试题)过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两 点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 .
2 解:F(0,0),y= 3 x ? 3x -8x-16=0 ? x1+x2= ,y1+y2= 2 o

8 3

8 3

3 ? 中点 M(
2 2

4 4 , 3 3

3 ) ? PF:y-

4 3

3 =-

4 16 3 (x- )PF|= . 3 3 3

2.(2000 年全国高中数学联赛试题)已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边 三角形,则△ABC 的面积是 .

10
解:A(-1,0),y=
3 2 (x+1) ? x -x-2=0 ? x=2 ? y= 3 ? 边长=2 3 . 3

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3.(1995 年第六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)△AOB 的顶点 O 在坐标原点,A,B 两点在抛物线 y =8x 上,且△AOB 的垂心恰与抛物线焦点重合,则△AOB 的外接圆的方程是 .
5 (x-5) ? 圆心 M(9,0),外接圆的 2

2

2 2 解:焦点 F(2,0),A(2t ,4t),B(2t ,-4t), OA ? FB =0 ? t= 5 ? OA 的中垂线:y-2 5 =-

方程(x-9) +y =81. 4.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)过直线l:y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为F1(-3,0),F2(3, 0),则椭圆的方程为 .

2

2

解:F1(-3,0)关于直线的对称点 Q(-9,6),2a=|QF2|=6 5 . 5.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1(-1,1),F2(-1,-3)是椭圆的两个焦点,直线 x+y=1 与椭圆有且 仅有一个交点,则椭圆的中心到准线的距离是 .
a 2 13 = . 4 c

解:F1(-1,1)关于直线的对称点 Q(0,2),2a=|QF2|= 26 ,2c=|F1F2|=4 ? 椭圆的中心到准线的距离=

6.(1990 年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆的两个焦点是 F1(3,-6),F2(6,3),一条切线为 4x=3y,这个 椭圆的离心率是 .
m?6 3 ?? 33 6 n?3 4 ,n= ? 2a=|FF2|=9 2 . ? m=m?3 n?6 5 5 ?4 ? ? 3? ? 2 2 ? ? ?

解:2c=|F1F2|=3 10 ,设 F1 关于直线 4x=3y 的对称点为 F(m,n),则 ? ?

10.轨迹问题 [例 10]:(2007 年全国高中数学联赛试题)设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不
可能是( )

(A)

(B)

(C)

(D)
2c 和 r1 ? r2

[解析]:设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1,r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆 P 的圆心轨迹是焦点为 O1,O2,且离心率分别是
2c 的圆锥曲线(当 r1=r2 时,O1O2 的中垂线是轨迹的一部份,当 c=0 时,轨迹是两个同心圆). | r1 ? r2 |

当 r1=r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 B;当 0<2c<|r1-r2|时,圆 P 的圆心轨迹如选项 C;当 r1≠r2 且 r1+r2<2c 时,圆 P 的圆心轨迹如选项 D.由于选项 A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合,因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A.

[类题]:
1.①(1994 年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)动点 P 到 F( 2 , 2 )的距离等于到 l:x+y– 2 =0 的距离的
2 倍,则 P 的轨迹是(

) (B)双曲线的一支 (C)等轴双曲线 (D)实虚轴不等的双曲线

(A)椭圆 解:e= 2 ? 等轴双曲线.

②(2002 年湖南省高中数学奥林匹克竞赛试题)已知 A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且过 A、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为( (A)双曲线 (B)椭圆 ) (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分

解:另一个焦点|PA|+|AC|=|PB|+|BC| ? |PB|-|PA|=定值.(D). 2.①(1992 年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)动圆 M 过定点 A 且和定圆 O 相切,那么动圆 M 的中心的轨迹 是( )

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(A)圆 (B)圆或椭圆
2

11
(C)圆或椭圆或双曲线
2

(D)圆或椭圆或双曲线或直线

解:①A 与 O 重合,圆;②A 在圆内(不与 O 重合),椭圆;③A 在圆上,直线;④A 在圆外,双曲线. ②(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)与圆 x +y -4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 . 解:由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x=-2 为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上. 2 所以轨迹方程为 y =8x(x>0),或 y=0(x<0). 3.①(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)在双曲线4x ?y =4的两条渐进线上分别取点A和点B,使|OA|?|OB|=5,其中O 是双曲线的中心,则AB中点轨迹的普通方程是_____. 解:双曲线 4x ?y =4 的两条渐进线:y= ? 2x,A(a,2a),B(b,-2b),AB 中点 P(x,y),a+b=2x,a-b=y,|OA|?|OB|=5 ? 25a b =25
? a b =1 ? 4x -y = ? 4.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

②(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)一条长为4的线段AB在x轴正半轴上移动,另一条长为2的线段CD在y轴正半 轴上移动,如果两条线段的4个端点A、B、C、D四点共圆,那么这个圆的圆心的轨迹是__________. 解:设圆心 P(x,y),则 A(x-2,0),C(0,y-1),|PA| =|PC| ? x -y =3(x>0,y>0). 4.①(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)在半径为1的⊙O上,取一个定点A和一个动点B.设点P满足AP∥OB,且 AP ? AB =1,则P点的轨迹是( (A)椭圆 ) (B)抛物线
2 2 2 2 2 2 2 2

(C)双曲线

(D)以上都有可能
2 2

解:不妨设O(0,0),A(1;0),P(x,y),由于AP∥OB,可设B(k(x?1),ky).将这些坐标代入 AP ? AB =1可得k=x/[(x?1) +y ].最后, 利用B在⊙O上,即可得到(x,y)满足的方程为x =(x?1) +y ,即y =2x?1,所以P的轨迹是抛物线.选(B). ②(2001年第十二届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)定圆C的圆心的坐标为(0,1),半径为1,动圆P与x轴相切且平 分圆C的周长,则动圆P的圆心的轨迹方程是
2 2 2 2 2

.
2 2 2 2

解:设 P(a,b),圆 P:(x-a) +(y-b) =b 与 x +(y-1) =1 相减:2ax+2(b-1)y-a =0 过点(0,1) ? a =2(b-1) ? x =2(y-1). 5.①(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 l:ax-y-(a+5)=0(a 是参数)与抛物线 f:y=(x+1) 的相交 弦是 AB,则弦 AB 的中点的轨迹方程是
2 2

.
2 2 2

解:(x+1) =ax-(a+5) ? x -(a-2)x+a+6=0 ? x1+x2=a-2,y1+y2=a(x1+x2)-2(a+5)=(a-2) -14 ? 2y=(2x) -14. ②(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线y=x 上的长度等于1的弦的中点的轨迹方程是 解:设 y=kx+b,x -kx-b=0 ? x1+x2=k,y1+y2=k +2b ? 2x=k,2y=k +2b, 1 ? k 2
2 2 2 2 2

.

k 2 ? 4b =1 ? (1+4x )(4y-4x )=1.
2 2 2 2

6.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设P点在双曲线x ?y =1上运动,P处切线与圆x +y =1交于A和B,求弦AB中点Q 的轨迹方程. 解:斜率为 k 的双曲线 x ?y =1 切线 y=kx ? 0.y≠0). ②(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)连接椭圆
x2 y2 ? =1的右焦点F2与椭圆上的动点A,作正方形F2ABC(F2、 A、 B、 9 4
2 2

k 2 ? 1 ,弦 AB 中点 Q 为切线与 y=-

1 2 2 2 2 2 x 的交点,两式消去 k:(x +y ) =x -y (x≠ k

C四顶点按顺时针方向排列),则当点A沿椭圆运动一周后,动点C的轨迹方程是__________.
0 0 解:F2( 5 ,0),C(x,y),z=x- 5 +yi ? z(cos90 +isin90 )=(x- 5 +yi)i=-y+(x- 5 )i ? A(-y+ 5 ,x- 5 ) ?

( y ? 5 )2 ( x ? 5 )2 ? =1. 9 4

11.点与曲线 [例 11]:(1988 年全国高中数学联赛试题)已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部,那么参数 k 的取值范围是 . [解析]:k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 为椭圆 ? k2≠0,1;原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部 ? k2-1<0 ? k∈(-1,0)∪
(0,1).

[类题]:
1.(2004 年全国高中数学联赛试题)已知 M={(x,y)|x +2y =3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对所有 m∈R,均有 M∩N≠ ? ,则 b 的 取值范围是 .
2 2

12
解:对所有 m∈R,y=mx+b 恒过点(0,b),2b ≤3. 2.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知椭圆 C: 1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
2

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x2 x2 2 2 +y =1 的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0< 0 +y0 ≤ 2 2

解:点 P 在椭圆 C 内,2c≤|PF1|+|PF2|≤2a. 3.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)抛物线y=
2

1 2 x (a≠0)以P(2a,2a)为中点的弦所在的直线方程是_____. 4a
2

解:A(x1,y1),B(x2,y2) ? x1+x2=4a,y1+y2=4a ? x1 =4ay1,(4a-x1) =4a(4a-y1) ? y1=x1 ? 直线方程是 y=x. ②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)过点 P(1,1)作直线 l,使得它被椭圆 则直线 l 的方程为 .
2 2 2 2 2 2

x2 y2 =1 所截出的弦的中点恰为 P, ? 9 4

解:A(x1,y1),B(x2,y2) ? x1+x2=2,y1+y2=2 ? 4x1 +9y1 =36,4(2-x1) +9(2-y1) =36 ? 4x1+9y1=13 ? 直线 l:4x+9y=13. 4.(1997 年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 y=x+1 与椭圆 mx +ny =1(m,n>0)相交于 A,B 两点,弦 AB 的 中点的横坐标是1 y2 x2 ,则双曲线 2 ? 2 =1 的两条渐近线所夹的锐角等于 3 m n

.

解:中点的横坐标是-

1 2 2 4 2 4 2 2 2 2 ? 中点的纵坐标是 ? x1+x2=- ,y1+y2= ? mx1 +ny1 =1,m(- -x1) +n( -y1) =1 ? 3mx1-6ny1+m 3 3 3 3 3 3 4 4 ? α =arctan . 3 3
2 2 2 2

+4n=0 ? m=2n ? k=2 ? tanα =-

5.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)过二次曲线C1:3x +8y ?6x?32y=0与C2:9x ?16y ?18x+24y=0的交点的抛物线方 程为
2

.
2

解:y ?3y=0(它是抛物线的退化情况,代表两条直线 y=0,y=3).3x -6x=8y. 6.(2002 年第十三届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线系 y =mx+2m +1(m∈R)在 xOy 平面上不经过的区域是 其面积等于 .
2 2

,

2 2 2 2 2 2 2 2 解:y =mx+2m +1 ? 2m +xm-y +1=0 ? x -8(1-y )<0 ? x +8y <8,a=2 2 ,b=1,S=abπ =2 2 π .

12.图形区域 [例 12]:(1984 年全国高中数学联赛试题)下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)>0 的是(

)

(A)
2

(B)
2 2

(C)
2 2

(D)

[解析]:logx(logxy )>0.①当 x>1 时,logxy >1 ? y >x;②当 0<x<1 时,0<logxy <1 ? 0<x<y <1;选(D). [类题]:
1.(1985 年全国高中数学联赛试题)在下列四个图形中,已知有一个是方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(m≠0,n≠0)在同一坐标 系中的示意图,它应是( )
2 2 2

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2.(2003 年全国高中数学联赛试题)设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是( y y y
2 2

13
)

y

x

x

x

x

A

B
2

C )

D

3.(1991 年全国高中数学联赛试题)方程|x-y |=1-|x|的图像为(

4.(1990 年全国高中数学联赛试题)已知椭圆 表示是下面图中的( )

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)通过点(2,1),则这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴影

5.(1983 年全国高中数学联赛试题)已知 M={(x,y)|y≥x },N={(x,y)|x +(y-a) ≤1}.那么,使 M∩N=N 成立的充要条件是 ( ) 1 (B)a=1 4
2 2 2 2 2

2

2

2

1 (A)a≥1 4

(C)a≥1
5 5 ? a≥ . 4 4
2

(D)0<a<1

解:y+(y-a) =1 ? y +(1-2a)y+a -1=0 ? (1-2a) -4(a -1)=0 ? a=

6.①(1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)由抛物线 x =2y,x 轴和直线 x=21 所围成的平面区域(边界除 外)中,横、纵坐标都是整数的点的个数是 解:x=1,y= .

1 2 2 ,个数是 0;x=2,y=2,个数是 1;x=3,个数是 4;x=4,个数是 7;x=5,个数是 12;x=2k(1≤k≤10),y=2k ,个数是 2k 2
2

-1;x=2k-1(1≤k≤10),y=2k -2k+
? 前 10 项和=1420.

n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 2 2 2 2 ,个数是 2k -2k.(2k -1)+(2k -2k)=4k -2k-1 的前 n 项和=4× -n(n+1)-n 6 2

②(2010 年全国高中数学联赛试题)双曲线 x -y =1 的右半支与直线 x=100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均 为整数的点)的个数是 .

2

2

解:由对称性知,x 轴上方的区域:x=100 ? y≤99;直线 y=k 与右半支交于 Ak( k 2 ? 1 ,k)(左侧有 k 个),与直线 x=100 交于 Bk(100,k),则线段 AkBk 内部的整点个数是 99-k(k=1,2,…,99),前 99 项和=99×49=4851;x 轴上有 98 ? 2×4851+98=9800.

14
13.参数方程

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p ) 上动点 A 到点 B(3,0) 的距离的最小值记为 d(p), 满足 2

[ 例 13]:(2011 年全国高中数学联赛试题 B) 抛物线 y =2p(x2

d(p)=2的所有实数p的和为

.

[解析]:设A(2pt2+
2

p p p 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ,2pt),则|AB| =(2pt + -3) +2p t =4p t +4p(p-3)t +( -3) =(2pt +p-3) - p(p-2). 2 2 2 4 p p 3 3 2 2 -3) ? | -3|=2 ? p=10;②当 p<3 时,d (p)=- p(p-2) ? - p(p-2)=4 ? p=1,2;和为 13. 2 2 4 4

①当 p≥3 时,d (p)=(

[类题]:
1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)当t取实数值变化时,用x= (A)圆 解:x=
7 ? 5t 2 1 ? t2
7 ? 5t 2 1 ? t2

,y=

2t 1 ? t2

表示的点(x,y)表示的曲线是

(B)不完整的圆
? x-5=
2 1 ? t2

(C)椭圆

(D)不完整的椭圆

(x>5) ? t=

y y y 2 2 2 ) ]=2 ;y≠0 ? (x-3) +y =1,(7,0)不在该圆上,(B). ? y[1+( x?2 x?2 x?2

2.①(2011 年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆 ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

x2 y2 ? =1 上的任意一点 P(x,y)可使 x+2y+m 4 3

解:设 x=2cosα ,y= 3 sinα ;x+2y+m≥0 ? 2cosα +2 3 sinα ≥-m ? 4sin(α +

? )≥-m ? -4≥-m ? m≥4. 6

②(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)当点(x,y)在曲线 大值与最小值的和是_____. 解:设 x-5=4cosα ,y=3sinα ;

( x ? 5) 2 y 2 x2 y2 =1上变动时,代数式 所能取到的最 ? ? 16 9 16 9

1 1 1 x2 y2 =1+ (40cosα +25) ? max-min=(1+ ×65)-[1+ (-15)]=5. ? 16 16 16 16 9

3.①(2011 年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆 的点的个数是 .
| 6 2 sin(? ? 13

x2 y2 3? 3 ? =1 上到直线 2x+3y+1=0 的距离等于 9 4 2

?
4

解:设 x=3cosα ,y=2sinα ,α ∈[0,2π ).d=

) ? 1|

,d1=

6 2 ?1 13

,d2=

6 2 ?1 13

.d2<

3? 3 <d1.个数是 2. 2

②(2002 年全国高中数学联赛试题)直线 于 3,这样的点 P 共有( (A)1 个 解:|AB|=5 ? h= ) (B)2 个

x y x2 y2 ? =1 与椭圆 ? =1 相交于 A,B 两点,该椭圆上点 P,使得△PAB 面积等 4 3 16 9

(C)3 个

(D)4 个

? 6 12 12 12 .设 P(4cosα ,3sinα ) ? d= | 2 sin(α + )-1|,d1= ( 2 -1),d2= ( 2 +1),d1<h<d2,个数是 2. 4 5 5 5 5
2 2 2

③(1998 年全国高中数学联赛试题)若椭圆 x +4(y-a) =4 与抛物线 x =2y 有公共点,则实数 a 的取值范围是_________. 解:设 x=2cosα ,y=a+sinα ? 4cos α =2(a+sinα ) ? a=-2sin α -sinα +2∈[-1, 4.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知一条直线l与双曲线 为原点,当OP⊥OQ时,双曲线的中心到直线l的距离d等于( (A)
ab b2 ? a 2
x2 a
2
2 2

17 ]. 8

?

y2 b2

=1(b>a>0)的两支分别相交于P,Q两点,O

) (C)
b2 ? a 2 ab

(B)

ab b2 ? a 2

(D)

b2 ? a 2 ab

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解:设 P(rcosα ,rsinα ) ? Q(Rcos(90 +α ),Rsin(90 +α ))=Q(-Rsinα ,Rcosα ) ? r ( R(
2 0 0 2

15
cos2 ? a
2

?

sin2 ? b2

)=1,

sin2 ? a
2

?

cos2 ? b2

)=1 ? d=

rR r ?R
2 2

=

1 1 r2 ? 1 R2

=

1 1 a2 ? 1 b2

=

ab b ? a2
2

.

②(2009 年全国高中数学联赛试题)椭圆
0

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)上任意两点 P,Q,若 OP⊥OQ,则乘积|OP||OQ|的最小值为 .
0 2

解:设 P(rcosα ,rsinα ) ? Q(Rcos(90 +α ),Rsin(90 +α ))=Q(-Rsinα ,Rcosα ) ? r ( R(
2

cos2 ? a
2

?

sin2 ? b2

)=1,

sin2 ? a
2

?

cos2 ? b
2

)=1 ? 1=(Rr) (

2

cos2 ? a
2

?

sin2 ? b
2

)(

sin2 ? a
2

?

cos2 ? b2

)=(Rr) [

2

1 a 2b 2

+

1 1 1 1 2 2 2 ( ) sin 2α ]≤(Rr) [ 2 2 + 4 a 2 b2 a b

2 2 2 1 1 1 2 2a 2b2 2 (a ? b ) ( ) ]=(Rr) . ? rR≥ 2 4 4 4 a 2 b2 4a b a ? b2

5.(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)倾角为 则|PA|?|PB|= .

? x ? 2 cos? ? 的直线过点P(1,2),且与曲线 ? (0≤θ <2π )交于A、 B两点, 4 ? y ? sin?

? 2 t ? x ?1? ? 2 ,(1+ 2 t)2+4(2+ 2 t)2=4 ? 5t2+18 2 t+26=0 ? |PA|?|PB|=|t1t2|= 26 . 解:设 AB: ? 5 2 2 ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ?

6.(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知 a>0,过 M(a,0)任作一条直线交抛物线 y =2px(p>0)于 P,Q 两点,若
1 | MP |2

2

+

1 | MQ |2

为定值,则 a=

.

解:设 PQ: ? +

? x ? a ? t cos? 2 p cos? 2 pa cos2 ? 1 1 1 1 2 2 ,t1t2=- 2 ? + = 2 + 2 = ? t sin α -2ptcosα -2ap=0 ? t1+t2= 2 2 2 sin ? sin ? | MP | a2 | MQ | t1 t2 ? y ? t sin ?

1 1 1 sin 2 ? 2 = 2 +( )sin α ? a=p. ap a 2 pa a

14.范围问题 [例 14]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)椭圆
依次为 O,F,G,H,则
| FG | 的最大值为 | OH |
1 4 1 2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点

.

c [解析]: | FG | = a ? =e(1-e)≤ (e= 时取等号). 2
| OH |

a c

[类题]:
1.①(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果直线 y=kx-1 和椭圆 的取值范围分别是
2 2

x2 y2 ? =1 仅有一个交点,则 k 和 a 4 a

.
2 2

解:a>0,(4k +a)x -8kx+4(1-a)=0 ? △=0 ? a=1-4k ,1-4k >0 ? k∈(-

1 1 2 , ),a=1-4k ≤1 ? a∈(0,1]. 2 2
2 2

②(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直线 l 过点(0,2)且与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交 点,则 l 的倾斜角的取值范围是 .

16
2 2 解:设 y=kx+2 ? (1-k )x -4kx-10=0 ? ?( x1 ? 6 ) ? ( x2 ? 6 ) ? 0 ? k∈(-

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? ? ??0

? ( x ? 6 )( x ? 6 ) ? 0 2 ? 1

15 15 3? ,-1) ? α ∈(π -arctan , ). 4 3 3

2.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)设抛物线y=x +mx+2与两端点为(0,1),(2,3)的线段有两个相异的交点,则m 的取值范围是_____. 解:直线:y=x+1,x +mx+2=x+1 ? x +(m-1)x+1=0 在[0,2]内有二根 ? m∈[2 2 2 2

2

3 ,-1). 2

②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 a +b =1(b≠0),若直线 ax+by=2 和椭圆 值范围是 .
2 2 2 2

a y2 x2 + =1 有公共点,则 的取 b 2 6

解:将 ax+by=2 代入椭圆方程并整理得:(3a +b )x -12ax+12-6b =0,因直线和椭圆有公共点,则判别式(12a) -4(3a +b )(12 -6b )≥0 ? b -2+3a ≥0 ? b -2(a +b )+3a ≥0 ? a ≥b ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

a ∈(-∞,-1]∪[1,+∞). b
MO 的最大值为 MF

3.①(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线顶点为 O,焦点为 F,M 是抛物线上的动点,则
2

.

(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)设抛物线y =4x的焦点为F,顶点为O,M是抛物线上的动点,则
MO 2 )= MF

| MO | 的最大值为 . | MF |

解:设抛物线方程为 y =2px 点 M(x,y),则(

2

x2 ? y2 x 2 ? 2 px x 2 ? 2 px x 2 ? 2 px = = ≤ 2 p 2 3 1 3 1 ( x ? ) ? y 2 x 2 ? px ? p x 2 ? px ? ( x 2 ? p 2 ) x 2 ? px ? ? 2 px 2 4 4 4 4 4

=

MO 4 2 3 ≤ . ? MF 3 3

②(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知点 P 是双曲线 坐标原点,则
| PF 1 | ? | PF2 | 的取值范围 | OP |

x2 y 2 =1 上的动点,F1、F2 分别是其左、右焦点,O 为 4 8

.
6 6 x2 x+2 2 ,|PF1|= x-2 2 ,|OP|= x 2 ? y 2 = x 2 ? ?4 = 2 2 2

解:由不妨设 P(x,y)(x≥2 2 ) ? |PF1|=
| PF 1 | ? | PF2 | = | OP |
6x 3 2 x ?4 2

3 2 x ?4 ? 2

=

6 3 4 ? 2 x2

∈(2, 6 ].

4.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知 F1,F2 分别是椭圆 存在一点 P,使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2,则 b 的取值范围是

y2 x2 + 2 =1(0<b<3)的左、 右焦点.若在椭圆的右准线上 9 b

.
9 交 x 轴于点 K,则在椭圆的右准线上存在一点 c

解:线段 PF1 的垂直平分线过点 F2,等价于|F2P|=|F1F2|,设椭圆的右准线 x= P,使得|F2P|=|F1F2|,等价于|F2K|≤|F1F2| ?

9 2 2 2 -c≤2c ? c ≥3 ? b =9-c ≤6.故 b 的取值范围是(0, 6 ]. c

5.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)P 为椭圆

x2 y2 2 2 ? =1 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x +y =9 的两条切线 PA、 16 9

PB,切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S△MON 的最小值为 解:设 P(4cosα ,3sinα ),α ∈(0,

.

? 9 3 27 27 ),则 AB:4xcosα +3ysinα =9 ? M( ,0),N(0, ) ? S△MON= ≥ . 2 4 cos? sin ? 4 sin 2? 4

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2

17

6.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若椭圆的长轴长为4,左顶点在抛物线y =x?1上,且左准线为y轴,则这样的椭 圆的离心率的最大可能值是_____. 解:左顶点到左准线的距离
4 c 2 a2 -a≥1 ? c≤ ? e= ≤ . 3 a 3 c

15.两条曲线 [例 15]:(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设椭圆 [解析]:1= [类题]:
1.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)曲线2x ?xy?y ?x?2y?1=0和3x ?4xy+y ?3x+y=0的交点有( (A)2 个 (A)2
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 =1 与双曲线 xy=1 相切,则 t= ? t ?1 t ?1

.

x2 y2 1 x2 1 (t>1)= ≥2 2 =1 ? t= 5 . ? ? t ?1 t ?1 t ? 1 x 2 (t ? 1) t ?1

) (D)其他 )个. (D)无穷多

(B)3 个
2 2

(C)4 个
2 2

(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)曲线2x -xy-y -x-2y-1=0和3x -4xy+y -3x+y=0的交点有( (B)3
2

(C)4
2 2 2

解:2x ?xy?y ?x?2y?1=0 ? 2x -(y+1)x-(y+1) =0 ? (x-y-1)(2x+y+1)=0;3x -4xy+y -3x+y=0 ? 3x -(4y+3)x+y(y+1)=0 ? (x-y-1)(3x-y)=0. 2.①(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)抛物线y=2x 和圆x +(y-a) =1有两个不同的公共点,则a的值的 集合是
2 2 2 2

.
2 2

解:y+2(y-a) =2 ? 2y +(1-4a)y+2a -2=0 有两相等的正根,或一正根一负根 ? a=
2 2 2

17 ,或-1<a<1. 8

②(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)曲线 x +y -ay=0 与 ax +bxy+x=0 有且只有 3 个不同的公共点,那么必有( (A)(a +4ab+4)(ab+1)=0
2 4

)

(B)(a -4ab-4)(ab+1)=0

4

(C)(a +4ab+4)(ab-1)=0

4

(D)(a -4ab-4)(ab-1)=0

4

解:ax +bxy+x=0 ? x=0,或 ax+by+1=0.当 x=0 时,y=0,a(a≠0);当 ax+by+1=0 时,或直线 l:ax+by+1=0 过点(0,a),或直线 l 与圆相切 ? ab+1=0,或 2
| a b ? 1|
2 2

=|

a ?b

a 4 | ? a -ab-4=0 ? (B). 2

3.①(2009年全国高中数学联赛江西初赛试题)若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 的方程为 解:a=5,c=3 ? b=4 ? .
x2 y2 ? =1. 16 25

y 2 x2 ? =1的顶点和焦点,则椭圆 9 16

②(1997 年第八届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)如果 焦点的是( (A) 解:
2

x2 y2 =1 表示双曲线,那么下列各椭圆中,与双曲线共 ? ?p q

)
2

x y =1 ? 2q ? p q

(B)

x2 y2 =-1 ? 2q ? p q

(C)

x2 y2 =1 ? 2p ? q p

(D)

x2 y2 =-1 ? 2p ? q p

x2 y2 2 =1 表示双曲线 ? (-p)q<0 ? pq>0.(i)当 p>0,q>0 时,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c =p+q;(ii)当 p<0,q<0 时, ? ?p q
2

双曲线的焦点在 x 轴上,且 c =-(p+q),(D):

x2 y2 x2 y2 2 =-1 ? =1,c =-(p+q). ? ? 2p ? q p ? 2p ? q ? p
x2 y2 x2 y2 ? =1 与 =1 必有( 3?k k 5 2

4.①(2005 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 k<3,k≠0,则二次曲线 (A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点

)

(D)相同的离心率

18
解:当 0<k<3,则 0<3-k<3, -k,

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x2 y2 2 2 2 =1 表示实轴为 x 轴的双曲线,a +b =3=c ,二曲线有相同焦点;当 k<0 时,-k>0,且 3-k> 3?k k

x2 y2 2 2 2 2 2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆.a =3-k,b =-k,a -b =3=c 与已知椭圆有相同焦点. 3?k k x2 y2 2 2 =1 与曲线 9x +25y =225 的焦距相等的充要条 ? 16 ? k k

②(1991 年第二届“希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)曲线 件是( ) (B)k>0 且 k≠16

(A)k<16 且 k≠0
2 2

(C)0<k<16

(D)k<0 或 k>16

解:曲线 9x +25y =225 是焦点在 x 轴上的椭圆,c=4;曲线

x2 y2 2 =1:(i)当 k<0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆,c =(16-k)? 16 ? k k
2

(-k)=16;(ii)当 0<k<16 时,表示焦点在 x 轴上的双曲线,c =(16-k)+k=16;(iii)当 k>16 时,不存在;(A). 5.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设曲线x +y +2x-2y=0和xy+2=0相交于A、B两点,则弦AB的中垂线 的方程是
2 2 2 2

.

解:曲线 x +y +2x-2y=0 和 xy+2=0 均关于直线 x+y=0 对称 ? 交点 A,B 也关于直线 x+y=0 对称 ? 弦 AB 的中垂线的方程是 x +y=0. 6.(2009 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知椭圆Г 1:
x2 a
2

?

y2 b
2

=1 和双曲线Г 2:

x2 a
2

?

y2 b2

=1,其中 a>b>0,椭圆Г 1 的左

右焦点分别为 F1,F2,双曲线Г 2 的左右焦点分别为 F3,F4,过 F4 作一条直线,与椭圆交于两个不同的点 A,B,其中 B 在 A,F4 之 间,直线 F3A 与 F2B 交于点 C,若直线 AF2,BF3,CF1 三线交于一点,则 解:由塞瓦定理得:
a2 b2

=

.

F3 F1 F2 B CA F F F B CA FF a2 3 2 FF =1,由梅涅劳斯定理得: 3 4 ? 2 ? =1 ? 3 1 = 3 4 ? 2 = . ? ? 4 F1F2 BC AF3 F4 F2 BC AF3 F1F2 F4 F2 b

16.平几结合 [例 16]:(2006 年全国高中数学联赛试题)已知椭圆 x
上.当∠F1PF2 取最大值时,比
| PF1 | 的值为 | PF2 |
2

16

?

y2 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直线 l:x- 3 y+8+2 3 =0 4

.
3 ,

[解析]:由平面几何知,要使∠F1PF2 最大,则过 F1,F2,P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点.设直线 l 交 x 轴于 A(-8-2
0),则∠APF1=∠AF2P ? △APF1∽△AF2P ?
| PF1 | | AP | | PF1 | | AF1 | 2 = ,又由圆幂定理,|AP| =|AF1||AF2| ? = = 3 -1. | PF2 | | AF2 | | PF2 | | AF2 |

[类题]:
1.①(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列, 且∠ACB=120 ,则该双曲线的离心率为
0

.
2 2 2 2 2 2

解:设 BC=x ? AC=2a+x,BC+AB=2AC ? x+2c=2(2a+x) ? x=2c-4a,又因 AB =AC +BC +AC×BC ? 4c =(2c-2a) +(2c-4a) +(2c2a)(2c-4a) ? 2c -9ac+7a =0 ? e=
2 2

7 . 2

②(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)等腰直角三角形 ? ABC 中,斜边 BC=4 2 ,一个椭圆以 C 为其焦点,另一个 焦点在线段 AB 上,且椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) .
2 2 解:BC=4 2 ? AB=AC=4,4a=AB+BC+CA=8+4 2 ? a=2+ 2 ;设另一个焦点为 F,BF=2a-AC=2 2 ? 4c =16+8 ? c= 6 ? b =

4 2 ?

x2 6?2 2

?

y2 4 2

=1.
2

2.①(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)抛物线y =2x上一点到直线x+y+1=0的距离的最小值为 解:

.

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2

19
.

②(1998 年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)P 是抛物线 y=x 上的任意一点,则当 P 和直线 x+y+2=0 上的 点的距离最小时,P 与该抛物线的准线的距离是 解: ③(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)若点 P 在曲线 y=-x -1 上,点 Q 在 x=1+y 上,则|PQ|最小值是 解: 3.①(2001年全国高中数学联赛上海初赛试题)设P是抛物线y =2x上的点,Q是圆(x?5) +y =1上的点,则|PQ|的最小值是__. 解: ②(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知椭圆的方程为x + 则a的取值范围是 解:圆:x +(y-a) =4a ? 1y=-a ?
3a3 ? a a2 ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

y2 a2

=1(0<a<1),椭圆上离顶点A(0,a)最远点为(0,-a),

.
y2 a2

+(y-a) =4a ? (a -1)y -2a y-3a +a =0(有一根 y=-a) ? (y+a)[(a -1)y-(3a -a)]=0 只有一根

2

2

2

2

3

4

2

2

3

≤-a ? a≥

2 2 ,1). ? a∈[ 2 2

4.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点 P(-2,0)到其渐近线的距离为
2 6 2 .若过 P 点作斜率为 的直线交双曲线于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 PM 是 PA 与 PB 的等比中项,则双曲线的半焦距 3 2



.
| ?2k | 1? k2

解:设渐近线的方程为 y=kx,由题设得

=

2 6 ,解得 k= ? 3

2 ,双曲线的渐近线方程为 y= ?

2 x,故可设双曲线的方

程为 2x -y =λ (λ ≠0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y= 当△>0,即λ >或 21 .

2

2

2 2 (x+2),代入双曲线方程消去 y,得 3x -4x-2λ -4=0. 2

8 2 时,由题设可知,|PM| =|PA||PB|,可化为|(x1+2)(x2+2)|=4,解得λ =2,或 14.所以双曲线的半焦距为 3 3

5.①(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线y= x 相交于A,B两点,F 是抛物线的焦点.若|AF|=2|FB|,则k= .
2

1 8

2

解:焦点 F(0,2),直线 y=kx-2 过点 C(0,-2),准线 l:y=-2,AD⊥l,BE⊥l,|AF|=2|BF| ? |AD|=2|BE| ? xA=2xB;x -8kx+16=0
? xA+xB=8k,xAxB=16 ? 2(
8 3 2 2 k) =16 ? k= . 3 4

②(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)双曲线

x2 a
2

?

y2 b2

=1的右焦点为F,直线l:y=kx+d不过点F,且与双曲线的右支 .

交于点P,Q,若∠PFQ的外角平分线与l交于点A,则点A的横坐标为 解:作 AH⊥x 轴,PB⊥AH,QC⊥AH ?
? 点 A 的横坐标为 x=
a2 = c

PB QC AP PB AP FP PB FP = ;由外角平分线定理: = = = ? ? ? AH 是其右准线 PF QF AQ QC AQ FQ QC FQ

a2 a 2 ? b2

.
2 2 2

6.①(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)点 P 在双曲线 x -y =a 的右支上,A1、A2 分别为双曲线的左、右顶点,且∠ A2PA1=2∠PA1A2,则∠PA1A2 为
2 2 2 2 2 2

.
2

解:作 PH⊥A1A2,由 x -y =a ? y =x -a =(x-a)(x+a) ? |PH| =|HA1||HA2| ? Rt△A1PH∽Rt△PA2H ? ∠PA1H=∠A2PH ? ∠PA1A2 =22.5 . ②(1999年全国高中数学联赛上海初赛试题)点P在双曲线x ?y =6的右支上,A1、A2分别为左、右顶点,且∠PA2x=3∠PA1x+
2 2 0

20
10 ,则∠PA1x的大小是_____度. 解:∠PA1x=20 .
0 0

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17.向量结合 [例 17]:(2010 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知直线 x=2 与双曲线Г : x -y2=1 的渐近线交于 E1,E2 两点,记 OE1 =
4
e1 , OE 2 = e 2 ,任取上双曲线Г 的点 P,若 OP =a e1 +b e 2 (a,b∈R),则(
2

) (D)a +b ≥
2 2

(A)0<a +b <1

2

2

(B)0<a +b <

2

2

1 2

(C)a +b ≥1

2

2

1 2
2 2

[解析]: OE1 = e1 =(2,1), OE2 = e2 =(2,-1),设 P(x,y),由 OP =a e1 +b e2
a +b ≥
2 2

? x=2a+2b,y=a-b ? (a+b) -(a-b) =1 ? 4ab=1 ?

1 . 2

[类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)设 A,B 为抛物线 y =2px(p>0)上相异两点,则| OA ? OB | -| AB | 的最小值 为 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解:设 A(2pt ,2pt),B(2ps ,2ps) ? | OA ? OB | -| AB | =4p [(t +s ) +(t+s) ]-4p [(t -s ) +(t-s) ]=8p [(ts) +ts]≥-2p . 2.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)P是椭圆 范围是 .
y2 x2 + =1上的一动点,F1和F2是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 的取值 4 12

2 2 2 解:设 P(2 3 cosα ,2sinα ),F1(-2 2 ,0),F2(2 2 ,0) ? PF1 ? PF2 =12cos α -8+4sin α =8cos α -4∈[-4,4].

3.(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆
PA1 ? PF2 取最小值的时候,| PA1 ? PF2 |的值为

x2 y 2 + =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为椭圆上的一点,则当 3 4

.

2 2 解:设 P(2cosα , 3 sinα ),A1(-2,0),F2(1,0) ? PA1 ? PF2 =(2cosα +2)(2cosα -1)+3sin α =(cosα +1) -2 ? 当 cosα =-1

时, PA1 ? PF2 取最小值-2,此时 PA1 ? PF2 =(3,0) ? | PA1 ? PF2 |=3. 4.(2006 年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过双曲线 的直线,交两渐近线于 M、N 两点,则 PM ? PN 的值为( (A)a
2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实轴平行

) (C)2ab (D)a +b
2 2

(B)b

2

解:设 P(x0,y0) ? M(

a a a 2 2 0 y0,y0),N(- y0,y0) ? PM ? PN =x0 -( y0) =a . b b b

5.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知双曲线 C:

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 做双曲线 C 的一条 .

渐近线的垂线与双曲线交于 M,垂足为 N,若|FN|=a,且 FM =λ MN ,则λ = 解:|FN|=a=b ? c= 2 a,设 lFN:y=-x+c,则其与双曲线联立得 M(

3c c c c , ),而 N( , ),所以λ =1. 4 4 2 2

6.(2005年第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)点P、 Q在椭圆

x2 y2 ? =1上运动,定点C的坐标为(0,3),且 CP + 9 4

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λ CQ =0,则λ 的取值范围是 解: CP +λ CQ =0 ? -λ = .

21

1 1 | CP | ∈[ ,5](相切时=1,垂直x轴时=5,交换P,Q) ? λ ∈[-5,- ]. 5 5 | CQ |

18.三角结合 [例 18]:(2005 年全国高中数学联赛试题)方程
(A)焦点在 x 轴上的椭圆
x2 sin 2 ? sin 3 ? y2 cos 2 ? cos 3

=1 表示的曲线是(

)

(B)焦点在 x 轴上的双曲线

(C)焦点在 y 轴上的椭圆

(D)焦点在 y 轴上的双曲线

[解析]:由

2 + 3 >π ? 0<

? ? ? ? ? ? - 2 < 3 - < ? cos( - 2 )>cos( 3 - ) ? sin 2 >sin 3 ;又 0< 2 < , 2 2 2 2 2 2

? 2? 3 < 3 <π ? cos 2 >0,cos 3 <0,方程表示的曲线是椭圆;(sin 2 -sin 3 )-(cos 2 -cos 3 )=2 2 sin 2 2

sin(

? ? 3? 2? 3 ? 2? 3 2 ? 3 3? 2? 3 ? + ).- < <0, < < < + <π ? ? 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2

2 sin

2? 3 2? 3 ? <0,sin( + )>0 4 2 2

? (sin 2 -sin 3 )<(cos 2 -cos 3 ) ? 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选(C).

[类题]:
1.(2005 年第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)已知双曲线 为双曲线的右焦点,且直线 FA 的倾斜角为 arccos(解:直线 FA 的倾斜角α =arccos(x2 a
2

?

y2 b2

=1 的一条渐近线与它的右准线交于点 A,F .

3 ),则此双曲线的离心率为 5

3 3 4 5 3 ) ? cosα =- ? tanα =- ;AF⊥渐近线 ? e= 1 ? ( ) 2 = ; 5 5 3 4 4

2.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)设方程 (A)双曲线 解:19
2007

x2 sin(192007)0

+

y2 cos(192007)0

=1 所表示的曲线是(

) (D)以上答案都不正确

(B)焦点在 x 轴上的椭圆
2 1003

(C)焦点在 y 轴上的椭圆
2007 0 2

=19(19 )

=19(360+1)

1003

=19×360n+19 ? sin(19
2 2

) =sin19 ,cos(19
2

0

2007 0

) =cos19 ,cos19 >sin19 >0,(C). .
2

0

0

0

3.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)曲线 x -2xy-3y =1 的点到坐标原点的距离的最小值为
2 2

解:设 x=rcosα ,y=rsinα ? r (cos α -2sinα cosα -3sin α )=1,cos α -2sinα cosα -3sin α =2cos2α -sin2α -1≤ 5 -1 ? r ≥
2

5 ?1 . 4

4.(1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)适合方程 arctanx+arccoty=π 的点 P(x,y)的集合是某二次曲 线 C 的一部分,则 C 的焦点坐标是 .
1 ? e= 2 ,a= 2 ? c=2 ? 焦点(- 2 , 2 ), x

解:设 arctanx=α ? tanα =x ? arccoty=π -α ? y=cot(π -α )=-cotα =( 2 ,- 2 ).

5.(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)若直线 3xsin α +ycos α -3=0 与双曲线 x -y =1 仅有一个公共点,则该公共点 的坐标为
2

2

2

2

2

.
2 2 2 2

解:当 cos α =0 时,直线 x=1 与双曲线 x -y =1 仅有一个公共点(1,0);当 cos α ≠0 时,直线 y=k(x-1)+3,k=-3tan α <0,(1k )x -2k(3-k)x-(3-k) -1=0 有一个 ? k=-1,有一个公共点(
2 2 2

17 15 5 , ),或 k≠-1,△=0 ? k= ,与 k<0 矛盾. 8 8 3

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设椭圆 E:

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0),A、B 是长轴的端点,C 为短轴 .

的一个端点,F1、F2 是焦点,记∠ACB=α ,∠F1CF2=β ,若 α =2β ,则椭圆 E 的离心率 e 应当满足的方程是

22
解:tan
3 2

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? a ? ? ? ? ? c b 2 1 ? 2e e2 2 ? 2 ? 2 = ,tan = ? tan =etan ? tan =etan ? tan =1-2e ? tan = 2 ;e =1-( ) =1? 2 b 2 b 2 2 4 2 4 2 a 1 ? 2e e

2e -2e -2e+1=0.

19.极坐标
圆锥曲线的统一极坐标方程:如图: 以圆锥曲线的焦点 F 为极点,与焦点 F 对应的准线 l 垂直的射线 为极轴,建立极坐标系.设焦点 F 到准线 l 的距离为 p,PH⊥l 于 H 点,FG⊥PH 于 G 点,P(ρ,θ),则|PF|=ρ,∠PFx=θ,由圆锥曲线的 统一定义,|PH|= 一极坐标方程. 特别地:①圆锥曲线的焦点弦 PQ 中,若|PF|=ρ(P)= 焦点弦 PQ 中,
1 ? 1
ep ep ep ,则|QF|=ρ(Q)= = ;②圆锥曲线的 1 ? e cos? 1 ? e cos(? ? ? ) 1 ? e cos?

H

G F Q

P x

ep 1 1 1 |PF|= ρ,|PG|=ρcosθ,由|PH|=|PG|+|GH| ? ρ=p+ρcosθ ? ρ= ,此为圆锥曲线的统 1 ? e cos? e e e

? ( P)

? (Q)

=

2 ; ep

③如图:过双曲线ρ=

ep 右焦点 F(F 为极点) 1 ? e cos?

Q G

H F x

的直线与左、右两支分别交于点 P、Q,若|PF|=ρ(P) =
ep ,则|FG|=p+|QH| ? ρ(Q)cos(π-θ)=p+ 1 ? e cos?

ep ep 1 ρ (Q) ? ρ (Q)=; ④过双曲线ρ = 右焦点 F(F 为极点 ) 的直线与左、右两支分别交于点 Q 、 P,则 1 ? e cos? 1 ? e cos? e

1

? ( P)

?

1

? (Q)

=

2 . ep
1 所确定的曲线是( 1 ? cos? ? sin ?

[例 19]:(1982 年全国高中数学联赛试题)极坐标方程 ρ =
(A)圆 (B)椭圆

)

(C)双曲线

(D)抛物线
1 . 2( x ? 1)

[解析]:ρ = [类题]:

1 ? ρ -ρ cosθ +ρ sinθ =1 ? 1 ? cos? ? sin ?

x 2 ? y 2 =x-y+1 ? 2xy=2x-2y+1 ? y=1-

1.①(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)一个圆的极坐标方程是ρ =5cosθ ?5 3 sinθ ,若规定极角范围为0≤θ <2 π ,则它的圆心的极坐标是 .
5 5 ,2 2
3 ) ? 极坐标 M(5,

2 2 2 解:ρ =5cosθ ?5 3 sinθ ? ρ =5ρ cosθ ?5 3 ρ sinθ ? x +y =5x-5 3 y ? 圆心 M(

5? ). 3

②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)圆的极坐标方程是ρ = 2 (cosθ +sinθ ),则它的圆心的极坐标是 ③(2001年全国高中数学联赛湖南初赛试题)圆ρ =Dcosθ +Esinθ 与极轴所在直线相切的充要条件是( (A)DE=0 (B)DE≠0 (C)D=0,E≠0
1 的短轴长等于 2 ? cos?

.

)

(D)D≠0,E=0 .

2.①(2001 年全国高中数学联赛试题)椭圆ρ =

1 解:椭圆ρ = = 2 ? cos?

1 1 1 2 1 2 3 2 3 b2 1 2 = ? 2b= .ρ (0)=a+c=1,ρ (π )=a-c= ? a= ,c= ? 2b= . ? e= ,ep= 1 2 2 3 3 3 3 3 a 1 ? cos? 2

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②(1986 年全国高中数学联赛上海初赛试题)极坐标方程ρ =
sec2 2 tan 2

23
?
2 ?1

?

是一圆锥曲线,它的焦点到其相应准线的距离

2

是 解 :ρ =

.
sec2 2 tan 2

?
2 ?1

?

=
cos2

1

?
2

2

(2 tan 2

?
2

=
? 1)

1 1 ? sin2

?
2

=

2 1 2 3 ? e= ,ep= ? p=2. 1 3 3 1 ? cos? 3

3.(1984 年全国高中数学联赛试题)对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m,n 极坐标方程ρ = 是 .

1
n 1 ? Cm cos?

表示的不同双曲线条数

解:圆锥曲线的极坐标方程ρ =
n

ep b2 1 1 ,极坐标方程ρ = 为 ep= =1 时的特例.极坐标方程ρ = 当 n n 1 ? e cos? a 1 ? Cm cos? 1 ? Cm cos?
1 1 1 2 1 2

且仅当 e>1 时为双曲线,Cm >1 ? 有 6 个不同值:C2 ,C3 ,C4 ,C4 ,C5 ,C5 . 4.(1996 年全国高中数学联赛试题)曲线 C 的极坐标方程是ρ =1+cosθ ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______. 解:在曲线 C:ρ =1+cosθ 上任取 P(ρ ,θ ) ? |OP|=ρ =1+cosθ ,∠POA=θ ? |PA| =|OA| +|OP| -2|OA||OP|cosθ =4+(1+ cosθ ) -4(1+cosθ )cosθ =5-2cosθ -3cos θ ∈[0,
0 2 2 2 2 2 2

16 16 16 ] ? 扫过的图形是以 A 为圆心,半径为 的圆 ? 面积是 π . 3 3 3

5.倾斜角为 30 的直线 AB 过抛物线 G:y =2px(x>0)的焦点 F,且与抛物线 G 交于 A、B 两点,若点 A、B 在抛物线 G 的准线 l 上的射影点分别为 D、C,M 是的 CD 中点,则|MF|=
0

.
2

解:由抛物线的性质知,∠AMB=90 ,且 MF⊥AB,由射影定理知,|MF| =|FA||FB|.又由抛物线的极坐标方程知,|FA|=ρ (A)= ρ (60 )=
0

p p p p p p2 0 2 = ,|FB|=ρ (B)=ρ (240 )= = = =4p ? ? |FA||FB|= 1 ? cos? 1 ? cos 300 1 ? cos? 1 ? cos 2100 1 ? cos 300 1 ? cos2 300

|MF|=2p. 6.过双曲线
1 1 x2 y 2 ? =1 右焦点 F 的直线与左、右两支分别交于点 Q、P,若|PF|=m,|QF|=n,则 - = m n 4 3

.

20.立体结合 [例 20]:(1985 年全国高中数学联赛试题)PQ 为经过抛物线 y2=2px 焦点的任意一条弦,MN 为 PQ 的准线 l 上的射影,PQ 线
l 转一周所得的旋转面面积为 S1,以 MN 为直径的球面面积为 S2,则下面的结论中,正确是( (A)S1>S2 (B)S1<S2 (C)S1≥S2 ) (D)有时 S1>S2,有时 S1=S2,有时 S1<S2

[解析]:

[类题]:
1.(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正方体ABCD-A′B′C′D′的侧面AA′B′B内有一点M到两直线AB、B′C′的 距离相等.那么,M的轨迹是( (A)抛物线的一部分 解: 2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P 到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线一定是( (A)圆或椭圆 解: 3.(1986 年全国高中数学联赛试题)在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13.若作一平面与这 (B)椭圆或双曲线 (C)双曲线或抛物线 ) (D)抛物线或椭圆 ) (B)双曲线的一部分 (C)椭圆的一部分 (D)线段

二球面相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则这个椭圆的长轴与短轴长之和是 解:

.

4.(2006 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知圆锥的顶点 V 与底面圆心 O 的连线垂直于底面,一个过 VO 中点 M 的平面 与⊙O 相切,与圆锥的交线是一个椭圆.若⊙O 半径为 1,则椭圆的短轴长 解: 5.(2002 年全国高中数学联赛试题)由曲线 x =4y,x = -4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体 的体积为 V1;满足 x +y ≤16,x +(y-2) ≥4,x +(y+2) ≥4, 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积为 V2,则( (A)V1=
1 V2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

.

) (B)V1=
2 V2 3

(C)V1=V2 解:

(D)V1=2V2
2

6.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y=x (-2≤x≤2)绕 y 轴旋转而构成的.请问能 接触到杯底的球的半径最大是 .
? ?x2 ? ( y ? r)2 ? r 2 2 2 2 ? x (1-2r+x )=0.由题意,方程 x +1-2r=0 没有非零 2 ? y ? x ?

解:过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r,由 ? 实数解 ? 1-2r≥0 ? r≤
1 . 2

(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)若曲线ax +bxy+cy =1(b ?4ac≠0)和三直线x=1,y=1,y=x+1分别相切.则( A、a = b = c B、a = b = ?c C、a = ?b = c D、?a = b = c 解:

2

2

2

)


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