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1 数学-南京市金陵中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


金陵中学 2013-2014 学年度第一学期期中试卷
高一数学
命题:翁德强 审核:张松年 李跃学









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第

20 题)两部分。本 试卷满分 100 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡上交。 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在答题 卡上。 3.作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它 位置作答一律无效。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,请将答案填在答卷纸上) 1. 已知集合 P={x|1<x<6},集合 Q={x|x-3>0},则 P∩Q= ▲ . 2. 函数 f(x)= 1-x+lg(3x+1)的定义域是 ▲ . 3. 函数 f(x)=x2-2x+3,x∈[0,3]的值域是 ▲ .

4. 函数 f(x)=log2(x-1)的单调递增区间是 ▲ . 5. 计算: (3-π)2= ▲ .

6. 若方程 lgx=4-2x 的根 x0∈(k,k+1),其中 k∈Z,则 k 的值为 ▲ . 1 1 7. 设幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,8),则当 f(x)=8 时,实数 x 的值为 ▲ .
?2x, x>0, 8. 已知函数 f(x)=? 若 f(a)=-2,则 a 的值为 ▲ . ?x+1,x≤0.

1 1 9. 设 f(x)=|logax|,其中 a>1,则 f(2),f(3),f(4)由大到小排列为 ▲ . .... 10.函数 y=2
x-1

的值域为 ▲



11.若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,则 f(-1)= ▲ . 12.已知函数 f(x)对于任意的 x∈R,都满足 f(-x)=f(x),且对任意的 a,b∈(-∞,0],当 a f(a)-f(b) ≠b 时,都有 <0.若 f(m+1)<f(2),则实数 m 的取值范围是 ▲ . a-b 13. 函数 f(x)=(2-x)|x-6|在区间(-∞, a]上取得最小值-4, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.定义:如果函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间[a,b]?D(其中 a<b),使得 在区间[a, b]上, f(x)的取值范围恰为区间[a, 那么称函数 f(x)是 D 上的 b], “正函数” 若 .

1

1 1 函数 g(x)=m- x (m>0)是(0,+∞)上的“正函数” ,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 8 分) (1)已知
1 1 2+x-2=3,求 x

1 x+x 的值;

(2)计算:(log43+log83)?(log32+log98). 16.(本题满分 10 分) 设全集为 R,集合 A={x|x≤-3,或 x≥6},B={x|2<x<7}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)设 C={x|m-3≤x≤3m-2},若 B?C,求实数 m 的取值范围. 17.(本题满分 8 分) 1 10-ax 1 设函数 f(x)=(2) ,其中 a 为常数,且 f(3)=2. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围. 18.(本题满分 10 分) 某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块 长方形 MNDG 的地面修建一座公寓楼.问如何设计才 能使公寓楼地面 MNDG 的面积最大,并求出最大的面 积. 19.(本题满分 12 分) 8 探究函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,+∞)上的最 小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下:
x y ? ? 0.5 14 1 7 1.5 5.33 1.7 5.11 1.9 5.01 2 5 2.1 5.01 2.2 5.04 2.3 5.08 3 5.67 4 7 5 8.6 7 12.14 ? ?

E G 60m A

100m

D 80m N

M B 70m C

8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点,请你直接写出函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0, .... +∞)上的单调区间,并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值. 8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上的单调性; 8 (3)设函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,a]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式. 20.(本题满分 10 分) 已知函数 m(x)=log2(4x+1),n(x)=kx(k∈R). (1)当 x>0 时,F(x)=m(x).若 F(x)为 R 上的奇函数,求 x<0 时 F(x)的表达式; (2)若 f(x)=m(x)+n(x)是偶函数,求 k 的值; 4 (3)对(2)中的函数 f(x),设函数 g(x)=log2(a?2x-3a),其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象

3

有且只有一个公共点,求 a 的取值范围.

4

金陵中学 2013-2014 学年度第一学期期中试卷
高一数学参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,请将答案填在答卷纸上) 1 1.{x|3<x<6} 2.(-3,1] 3.[2,6] 4.(1,+∞) 5.π-3 6.1 7.2 8.-3 1 1 1 1 9.f(4)>f(3)>f(2) 10.[2,+∞) 11.-3 12.(-3,1) 13.[4,4+2 2] 14.(0,2) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 8 分) (1)已知
1 1 2+x-2=3,求 x

1 x+x 的值;

(2)求值:(log43+log83)?(log32+log98).
1

【解析】(1)因为 x2+x 即 x+x
-1

1 1 1 -2 - =3,所以(x2+x 2)2=32,

??2 分

+2=9. ??4 分 ??6 分 ??8 分

1 所以 x+x =7. 1 1 3 (2)(log43+log83)?(log32+log98)=(2log23+3log23)?(log32+2log32) 5 5 25 =6log23?2log32=12. 16.(本题满分 10 分) 设全集为 R,集合 A={x|x≤-3,或 x≥6},B={x|2<x<7}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)设 C={x|m-3≤x≤3m-2},若 B?C,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)A∪B={x|x≤-3,或 x>2}. ?RA={x|-3<x<6}, 所以(?RA)∩B={x|2<x<6}.
?3m-2≥7 (2)因为 C={x|m-3≤x≤3m-2},且 B?C,所以? . ?m-3≤2

??2 分 ??4 分 ??5 分 ??7 分 ??10 分

所以所求实数 a 的取值范围是[3,5]. 17.(本题满分 8 分) 1 10-ax 1 设函数 f(x)=(2) ,a 为常数,且 f(3)=2. (1)求 a 值;
5

(2)求使 f(x)≥4 的 x 值的取值范围. 1 1 10-3a 1 【解析】(1)由 f(3)=2,即(2) =2, 所以 10-3a=1,解得 a=3. 1 10-3x 1 -2 (2)由已知(2) ≥4=(2) ,所以 10-3x≤-2, 解得 x≥4, 故 f(x)≥4 解集为{x|x≥4}. 18.(本题满分 10 分) 某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形 MNDG 的地面修建一座公寓 楼.问如何设计才能使公寓楼地面 MNDG 的面积 最大,并求出最大的面积. 【解析】 设长方形为 MNDG 的边 MG=x m, 矩形 MNDG 的面积为 S m2,则 3 3 MN=70+2(80-x)=-2x+190. 3 于是 S=MG?MN=-2x2+190x ??2 分 ??4 分 ??6 分 ??8 分 E G 60m A N M B 70m C 100m D 80m ??8 分 ??2 分 ??4 分 ??6 分

3 190 18050 =-2(x- 3 )2+ 3 ,x∈(60,80) 190 18050 所以当 x= 3 ∈(60,80)时,S 有最大值 3 .

190 18050 答:只要使与 AE 平行的边长为 3 m,公寓楼的地面面积达到最大为 3 m2.??10 分 19.(本题满分 12 分) 8 探究函数 f(x)=2x+x -3,x∈(0,+∞)上的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表 如下:
x y ? ? 0.5 14 1 7 1.5 5.33 1.7 5.11 1.9 5.01 2 5 2.1 5.01 2.2 5.04 2.3 5.08 3 5.67 4 7 5 8.6 7 12.14 ? ?

8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点,请你直接写出函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0, .... +∞)上的单调区间,并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值. 8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上的单调性; 8 (3)设函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,a]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
6

【解析】(1)由表中可知 f(x)在(0,2]为减函数,[2,+∞)为增函数, 并且当 x=2 时,f(x)min=5. (2)证明:设 0<x1<x2≤2,

??2 分 ??4 分

8(x2-x1) 2(x1-x2)(x1x2-4) 8 8 因为 f(x1)-f(x2)=2x1+x -3-(2x2+x -3)=2(x1-x2)+ x x = , x1x2 1 2 1 2 ??7 分 因为 0<x1<x2≤2,所以 x1-x2<0,0<x1x2<4,即 x1x2-4<0. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0,2]为减函数. ??9 分

8 (3)由(2)可证:函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上单调递减,在区间[2,+∞)上单调递 增.则 8 ①当 0<a<2 时,(0,a]?(0,2],所以函数 f(x)=2x+ x -3 在区间(0,a]上单调递减, 8 故 f(x)min=f(a)=2a+a-3; ??11 分

8 ②当 a≥2 时,函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上单调递减,[2,a]上单调递增, 故 f(x)min=f(2)=5; 8 综上所述,函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,a]上的最小值为

?2a+8-3,0<a<2, ? a g(a)=? ? ?5, a≥2.
20.(本题满分 10 分)

??12 分

已知函数 m(x)=log2(4x+1),n(x)=kx(k∈R). (1)当 x>0 时,F(x)=m(x).若 F(x)为 R 上的奇函数,求 x<0 时 F(x)的表达式; (2)若 f(x)=m(x)+n(x)是偶函数,求 k 的值; 4 (3)对(2)中的函数 f(x),设函数 g(x)=log2(a?2x-3a),其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象 有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 【解析】(1)设 x<0,则-x>0,由于 F(x)为 R 上的奇函数,所以 F(x)=-F(-x)=-log2(4 +1),所以 x<0 时,F(x)=-log2(4
-x -x

+1);

2分

(2)因为 f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x)对任意 x∈R 恒成立, 即 log2(4
-x

4分 6分

+1)-kx=log2(4x+1)+kx 恒成立,所以 k=-1.
7

4 4 (3)由于 a>0,所以 g(x)=log2(a?2x-3a)定义域为(log23,+∞), 4 也就是满足 2x>3. 因为函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点, 4 4 所以方程 log2(4x+1)-x=log2(a?2x-3a)在(log23,+∞)上只有一解, 4x+1 4 4 即方程 2x =a?2x-3a 在(log23,+∞)上只有一解. 4 令 2x=t,则 t>3,因而等价于关于 t 的方程 4 (a-1)t2-3at-1=0 4 (*)在(3,+∞)上只有一解. 8分

3 4 ①当 a=1 时,解得 t=-4/(3,+∞),不合题意; ∈ 4 2a ②当 0<a<1 时,记 h(t)=(a-1)t2-3at-1,其图象的对称轴 t= <0. 3(a-1) 4 所以函数 h(t)=(a-1)t2-3at-1 在(0,+∞)上递减,而 h(0)=-1, 4 所以方程(*)在(3,+∞)无解. 4 2a ③当 a>1 时,记 h(t)=(a-1)t2-3at-1,其图象的对称轴 t= >0, 3(a-1) 4 16 16 所以只需 h(3)<0,即 9 (a-1)- 9 a-1<0,此式恒成立. 综上所述,所求 a 的取值范围为(1,+∞). 10 分

8


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