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广东省深圳市宝安中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


广东省深圳市宝安中学 2015—2016 学年度上学期期末考试

高一数学试题
选择题(1—12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 A. 5 5 2 5 B. 5 C.- 5 5 2 5 D.- 5

2.已知向量 a ? (?5, 6) , b ? (10,?12

) 则 a 与 b A.垂直 3. sin B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

?

?

?

2015? ? 3
1 2
B

A

3 2

C ?

1 2

D ?

3 2

1 错误!未找到引用源。的零点所在的大致区间是 x 1 1 3 3 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, ) D. ( ,2) 2 2 2 2 ? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? 5.在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,若 AD =2 DB , CD = CA + ? CB ,则 ? = 3 2 2 1 1 A B ? C D ? 3 3 3 3 6.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图,则 ω=
4.函数 f ? x ? ? 2 x ?

错误!未找到引用源。 A.5 B. 4 C.3 D.2

? 7.设向量 a 与 b 满足 a ? 2 , b 在 a 方向上的投影为 1 ,若存在实数 ? ,使得 a 与 a ? ? b 垂
直,则 ? ? A.

?

?

?

?

?

?

?

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

1

8.将函数 f ( x) ? 3 sin( 平移 式是 A. g ( x ) ? C. g ( x) ?

?

2? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 y ? g ( x) 的解析 3
3 sin x ?1 2
B. g ( x) ? D. g ( x) ?

x ? ) 的图象上各点的横坐标变为原来的 ? 倍,将所得图象向右 2 3

?

3 sin

x ?1 2

3 sin

? 2x
2

?1

3 sin

? 2x
2

?1

9. 设 向 量 a , b 的 夹 角 为 ? , 定 义 a , b 的 向 量 积 : a ? b 是 一 个 向 量 , 它 的 模 | a ? b |=

r r

r r

r

r

r

r

r r r r r r | a | ? | b | sin ? ,若 a ? (? 3, ?1) , b ? (1, 3) ,则| a ? b |=
A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4

10.下列函数中,在 (??,0) 上为减函数的是 B. y ? x C. y ? x cos x 11.函数 y=sin x| |(0<x<π)的图象大致是 sin x A. y ? x
2016 2015 2013 2015 ? 2014 2015

D. y ? x

?

2015 2016

12.已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x 实数 a,b,c 满足 f(a)· f(b)· f(c)<0(0<a<b<c),若实数 x0 为方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中,不可能 成立的是 ... A.x0<a B.x0>b C.x0<c D.x0>c

1 3

填空题(13—16 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 y ? log 1 ( x ? 2 x) 的单调递减区间是_______________.
2 2

14.若 x ? log 4 3 ,则 (2 ? 2 ) ?
x

?x 2

15.设 f ( x ) ? a sin( ?x ? ? ) ? b cos( ?x ? ? ) ? 4( a, b, ? , ? 是常数 ) ,且 f (2015) ? 5 , 则 f (2016) ? 16.给出下列命题:①若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 ; ②已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则
x ? x 2 y1 ? y 2 1 AB ? ( 1 , ); 2 2 2
2 2

③已知 a, b, c 是三个非零向量,若 a ? b ? 0 ,则 | a ? c |?| b ? c | ;
2

④已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0 , e1 , e2 是一组基底, a ? ?1 e1 ? ?2 e2 则 a 与 e1 不共线, a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a ? b ?| a? | ? | b | .其中正确命题的序号是 解答与证明题(17—22 题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 120° , 求: ⑴ a ?b ; .

?

?

? ?

⑵ (3b ? 2a ) ? (4a ? b) .

?

?

?

?

18.(本题 12 分) 设函数 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? a (0 ? x ? 3, a ? 0) 的最大值为 m ,最小值为 n .
2

(1)求 m , n 的值(用 a 表示); (2)若角 ? 的终边经过点 P ( m ? 1, n ? 3) ,求

2 sin(? ? ? ) ? sin( cos(?? ) ? cos(

5? ?? ) 2

3? ?? ) 2 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知 α∈(0,

?
2

),且 cos2α=

4 . 5

(Ⅰ)求 sinα+cosα 的值; (Ⅱ)若?∈(

?
2

,π),且 5sin(2α+β)=sinβ,求角 β 的大小 .

3

20.(本题 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图象时,
7 3

x
?x ? ?
A sin(?x ? ? )

x1
0 0

1 3

x2
?
0

x3
2?

?
2

3? 2

3

? 3

0

(1)请写出上表的 x1 、x 2 、x3 , 并直接写出函数的解析式; ( 2 )将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 3

g ( x) 的图象, P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点和最低
点(如图) ,求 ?OQP 的大小; (3)求 ?OQP 的面积.

21.(本题 12 分) 由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱。1 个单位的固体碱在水中逐步

? 16 ? x?8 0 ? x ? 2 ?? 溶化,水中的碱浓度 y 与时间 x 的关系,可近似地表示为 y ? ? x ? 2 。 ? 2? x?4 ? 4? x
只有当河流中碱的浓度不低于 ...1 时,才能对污染产生有效的抑制作用。 (1)判断函数的单调性(不必证明) ; (2)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长? (3)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河 中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和, 求河中碱浓度可能取得的最大 值.

22.(本题 12 分) 设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a). (1)求函数 f ( x) 的定义域;

4

(2)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (3)求 g(a) ;

5

高一数学试题答案
选择题(1—12 题,每小题 5 分,共 60 分) BDDB ABCB CABD

填空题(13—16 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2,??) 14.

4 3

15.3

16.①③④

解答与证明题(17—21 题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 解:⑴ a ? b ?| a || b | cos

2? 1 ?? 3 2
2 2

…5 分 …10 分

⑵ (3b ? 2a ) ? (4a ? b) ? ?8 | a | ?10a ? b ? 3 | b | ? ?10 18.(本题 12 分) 解:(1)可得 f ( x ) ? ?( x ? 1) ? 1 ? a ,而 0 ? x ? 3 ,
2

∴ m ? f (1) ? 1 ? a , n ? f (3) ? ?3 ? a ;………………………………………………6 分 (2)由(1)知角 ? 的终边经过点 P ( a , a ) ,? tan ? ? 1 ,所以 cos ? ? 0 , 原式=

? 2 sin ? ? cos ? , cos ? ? sin ?

分子分母同时除以 cos ? 得原式= 19.(本小题满分 12 分) 解:(I)由 cos2α= 所以 sin2α=

? 2 tan ? ? 1 3 ? ? ……………………………………12 分 1 ? tan ? 2
……2 分 ……3 分

4 4 ,得 1-2sin2α= . 5 5

1 ?? 10 ,又 α∈ ? ? 0, ? ,所以 sinα= 10 . 10 2 ? ?

9 因为 cos2α=1-sin2α,所以 cos2α=1- 1 = . 10 10

?? 3 10 又 α∈ ? ? 0, ? ,所以 cosα= 10 ? 2?
所以 sinα+cosα=

……5 分

10 3 10 2 10 + = . 10 10 5

……6 分

?? (Ⅱ)因为 α∈ ? ? 0, ? ,所以 2α∈ ? 0,? ? , ? 2?

6

由已知 cos2α=

4 ,所以 sin2α= 1- cos 2 2? = 5

1?

16 = 3 5 25

……7 分 ……9 分 ……11 分 ……13 分

由 5sin(2α+β)=sinβ,得 5(sin2αcosβ+cos2αsinβ)=sinβ. 所以 5(

3 cosβ+sinβ)=sinβ,即 3cosβ=-3sinβ,所以 tanβ=-1. 5
?2 ?

因为 β∈ ? ? ,? ? , 所以 β= ? . ? ? 20.(本题 12 分) 解: (1) x1 ? ?

3 4

? 2 个单位得到函数 g ( x) ? 3 sin x 3 2 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,所以 P (1, 3), Q(3, ? 3)
(2)将 f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 所以, QO ? (?3, 3 ), QP ? (?2,2 3 )

2 4 10 ? ? 所以f ( x) ? 3 sin( x ? ) , x 2 ? , x3 ? 2 3 ………………4 分 3 3 3

| QO |? 12 , | QP |? 4, QO ? QP ? 12
? cos ?OQP ? QO ? QP | QO || QP | ? 所以 ?OQP ? 6 .…………………………8 分
(3) OM ?

?

12 3 ? 2 2 3?4

M

T ? 2 根据函数图像的对称性可知线段 2

PQ 必过点 M(如图)? S ?OQP ? S ?POM ? S ?QOM

1 1 | y P | ?OM ? | yQ | ?OM 2 2 ?| y P | ?OM ? ? 2 3?
21.(本题 12 分) 解: (1)函数在 [0,2] 上单调递增,在 ( 2,4] 上单调递减;……………………2 分 …………………………………………12 分

? 5 ? 17 ? 16 5 ? 17 ? x ?8 ?1 ? 5 ? 17 ?x? ?? ?? 2 ? ? x ? 2 --------4 分 (2) ? x ? 2 2 2 ? ?0 ? x ? 2 ?0 ? x ? 2 ?

?4 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 3 ………………………………………………………………5 分 ? ?2 ? x ? 4
综上,得

5 ? 17 ? x ? 3 ………………………………………………………………6 分 2
7

即若 1 个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为

3?

5 ? 17 1 ? 17 ………………………………………………………7 分 ? 2 2
16 ? x ? 8 单调递增 x?2

(3)由(1)知,当 0 ? x ? 2 时, y ? ? 当 2 ? x ? 4 时, y ? 4 ? x 单调递减

所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱, 即 2 ? x ? 4 时,

? ? 16 16 y ? 4 ? x ? ?? ? ( x ? 2) ? 8? ? 14 ? (2 x ? ) …………………………10 分 x ? ( x ? 2) ? 2 ?
记 f ( x) ? 2 x ? 单调递增。 对任意 x1 , x2 满足, 2 ? x1 ? x2 ? 2 2 ,

16 ,下面用单调函数的定义证明 f ( x) 在 (2,2 2 ) 上单调递减, (2 2 ,4) 上 x

f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? (2 x1 ? ? ( x1 ? x2 )

16 16 ) ? ( 2 x2 ? ) x1 x2

2 x1 x2 ? 16 ?0 x1 x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以, f ( x) 在 (2,2 2 ) 上单调递减,同理可证, f ( x) 在 (2 2 ,4) 上单
调递增。 故当且仅当 2 x ?

16 , 即x ? 2 2 时, f ( x) min ? f (2 2 ) ? 8 2 , x

所以 y 有最大值 14 ? 8 2 。……………………………………………………………12 分 22.(本题 12 分)

?1 ? x 2 ? 0 ? (1)依题得: ?1 ? x ? 0 ,解得: ? 1 ? x ? 1 。函数 f ( x) 的定义域为 [ ?1,1] ; ?1 ? x ? 0 ?
………………………………2 分
(2)∵ t ∵t
2

? 1 ? x ? 1 ? x ,∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1
∴ t 的取值范围是 [

? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2,4] ,且 t ? 0 ……①

2 ,2] 。

…………………………………4 分 由①得:

1? x2 ?

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 。 2 2 2
…………………………………………………6 分

8

(3)由题意知 g ( a ) 即为函数 m(t ) ? ∵直线 t 1)当 a 由t

1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2

??

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2

? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,
1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ;……7 分 a

??

2)当 a 3)当 a

? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2;………………………………8 分 ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
2 1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? 2 a
时, g ( a )

若t

?? ??

? m( 2 ) ? 2 ,

1 1 1 , ? ( 2 ,2] 即 a ? (? 2 ,? 1 ] 时, g (a ) ? m(? ) ? ?a ? a a 2a 2 2 1 1 若 t ? ? ? ( 2,??) 即 a ? ( ? ,0) 时, g ( a ) ? m( 2) ? a ? 2 .………………11 分 a 2
若t

? ? a?2 综上所述,有 g ( a ) = ? 1 ? ?? a ? 2a ? ? 2 ? ?

1 (a ? ? ) 2 .…………………………………………12 分 2 1 , (? ?a?? ) 2 2 2 (a ? ? ) 2

9


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