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导数及其应用测试题


导数及其应用测试题 一、选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.下列各式正确的是( ) A.(sin a)′=cos a(a 为常数) C.(sin x)′=cos x 2.函数 y=x (x-3)的减区间是( A.(-∞,0) C.(0,2)
3 2

B.(cos

x)′=sin x 1 -6 -5 D.(x )′=- x 5 ) B.(2,+∞) D.(-2,2) )

3.曲线 y=4x-x 在点(-1,-3)处的切线方程是( A.y=7x+4 C.y=x-4
3 2

B.y=7x+2 D.y=x-2 ) D.5 )

4.若函数 f(x)=x +ax -9 在 x=-2 处取得极值,则 a=( A.2 B.3 C.4

1 3 2 5.函数 y= x +x -3x-4 在[-4,2]上的最小值是( 3 17 A.- 3 64 C.- 3 B. 16 3

11 D.- 3

1 6.若曲线 y= 在点 P 处的切线斜率为-4,则点 P 的坐标是(

x

)

?1 ? A.? ,2? ?2 ? ? 1 ? C.?- ,-2? ? 2 ?
A.在(-∞,0)上为减函数 C.在(4,+∞)上为减函数 8. 若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)
2

? 1 ? ?1 ? B.?- ,-2?或? ,2? ? 2 ? ?2 ? ?1 ? D.? ,-2? ?2 ?
) B.在 x=0 处取极小值 D.在 x=2 处取极大值

7. 已知函数 y=f(x), 其导函数 y=f′(x)的图象如下图所示, 则 y=f(x)(

a , 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是( x+1
B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

)

9.把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与 高的比为( A.2∶1
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) B.1∶π

C.1∶2

D.2∶π

10 .已知对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,

g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时(

) B. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

A. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

11.已知 f(2)=-2,f′(2)=g(2)=1,g′(2)=2,则函数

g?x? 在 x=2 处的导数值为( f ?x?
C.-5 D.5

)

A.-

12.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( ) A. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.函数 f(x)=e +e 在(0,+∞)上的单调性是________. 14.若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调递增函数,则 m 的取值范围是________. 15.已知函数 f(x)=x -12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m =________. 16.若曲线 y=x -2ax +2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,则整数 a 的值为 __________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (10 分)如果函数 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,试确定实数 a 的取值范围,并求出
3
3 2 3 3 2

5 4

B.

5 4

x

-x

这三个单调区间.

18.(12 分)设函数 f(x)=x -3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值点.

3

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19.(12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-

3

2

2 与 x=1 时都取得极值. 3

(1) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 2 (2) 若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c 恒成立,求 c 的取值范围.

20.(12 分)设函数 f(x)=x+ax +blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0) ,且在 P 点处的切线斜率为 2.(1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

2

21.(12 分)已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C=25 000+200x+

1 2 x (元) ,问: (1)要使 40

平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生 产多少件产品?

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x +ax +b(a,b∈R). (1)若 a=0,b=2,求 F(x)=(2x+1)f(x)的导数; (2)若函数 f(x)在 x=0,x=4 处取得极值,且极小值为-1,求 a,b 的值; (3)若 x∈[0,1],函数 f(x)的图象上的任意一点的切线斜率为 k,试讨论 k≥-1 成立
第 3 页 共 7 页

3

2

的充要条件.

导数及其应用测试题答案及解析 一、选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1. C. 2.C.解析:y′=3x -6x,由 y′<0,得 0<x<2.故选 C. 3.解析:由题意得 y′=4-3x ,所以 y′|x=-1=1,于是切线方程为 y+3=x+1,即 y=x -2.故选 D. 4.B.解析: ∵f′(x)=3x +2ax,∴f′(-2)=12-4a=0,∴a=3. 5.A.解析: y′=x +2x-3,令 y′=0,得 x=-3 或 x=1,分别计算 f(-4),f(-3),
2 2 2 2

f(1),f(2),比较大小,取其中最小的,故选 A.
1 1 1 1 1 2 6.解析:y′=- 2,由- 2=-4,得 x = ,从而 x=± ,分别代入 y= ,得 P 点的坐标 x x 4 2 x

? 1 ? ?1 ? 为?- ,-2?或? ,2?. ? 2 ? ?2 ?
7.D.解析:在(-∞,0)上,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,0)上为增函数,A 错;在 x=0 处, 导数由正变负, f(x)由增变减, 故在 x=0 处取极大值, B 错; 在(4, +∞)上, f′(x)<0,

f(x)为减函数,C 对;在 x=2 处取极小值,D 错.
8.D.解析: f(x)=-x +2ax,对称轴为 x=a,当 a≤1 时,f(x)在[1,2]上为减函数, 由 g′(x)= -a x+
2 2

<0,得 a>0.故 0<a≤1. 6-x ?6-x?2·x= 1 ,圆柱体积 V=π ? ? 2π 4π ? 2π ?

9.A.解析: 设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r=

3 3 2 (x -12x +36x)(0<x<6), V′= (x-2)(x-6), 当 x=2 时, V 最大. 此时底面周长为 2π r 4π 6-2 =2π × =4,圆柱底面周长与高的比为 2∶1.故选 A. 2π 10.B.解析:由已知 f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶 函数,在对称区间的单调性相反, x>0 时 f’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选 B.
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11. A. 解析:∵ (

g ?x? g? ? x ? f ? x ? ? g ? x ? f ? ? x ? ∴当 x=2 时,所求导数值为 )? ? f ?x? f 2 ?x?

g? ? 2 ? f ? 2 ? ? g ? 2 ? f ? ? 2 ? 2 ? ? ?2 ? ? 1?1 5 ? ?? . 2 4 4 f ?x?
12.C.解析:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值, 即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.增函数.解析: ∵f′(x)=e -e =e (e -1),当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 2 14.m≥ 解析: f′(x)=3x +2x+m.∵f(x)在 R 上是单调递增函数,∴f′(x)≥0 在 R 3 1 2 上恒成立,即 3x +2x+m≥0.由 Δ =4-4×3m≤0,得 m≥ . 3 15.32.解析: f′(x)=3x -12,令 f(x)=0,得 x=±2.∴f(3)=-1,f(-3)=17,
2

x

-x

-x

2x

f(2)=-8,f(-2)=24,则 M=24,m=-8,∴M-m=32.
16. 1.解析: ∵曲线 y=x -2ax +2ax, ∴该曲线上任意点处切线的斜率 k=y′=3x -4ax+2a. 又∵切线的倾斜角都是锐角,∴k>0 恒成立,即 3x -4ax+2a>0 恒成立.∴Δ =(-4a) -4×3 ×2a=16a -24a<0,∴0<a<
2 2 2 3 2 2

3 .又∵a∈Z,∴a=1. 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)
2 17. 解析: f ?( x) ? 3a ? 1

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0, x ? R ,此时 f ( x ) 只有一个单调区间,与题设条件矛盾; 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 1 ? 0 ,此时 f ( x ) 也只有一个单调区间,矛盾; 若 a ? 0, f ( x) ? 3a( x ?

1 1 )( x ? ) ,此时 f ( x) 恰有三个单调区间,其中减区间为 ?3a ?3a

(??, ?

1 1 1 1 )和( , ??) ,增区间为 (? , ) ?3a ?3a ?3a ?3a
2

18.解析:(1)f′(x)=3x -3a(a≠0),因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相 切,

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所以?

?f ? ?f ?

=0, =8.
2

? -a =0, ? 即? ?8-6a+b=8. ?

解得 a=4,b=24.

(2)f′(x)=3(x -a)(a≠0), 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值 点; 当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 x=± a, 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时,x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 19.解析: (1)f(x)=x +ax +bx+c,f?(x)=3x +2ax+b
3 2 2

由 f?( -

2 1 12 4 )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= - ,b=-2 3 2 9 3
(-?,- +

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表:
x

2 ) 3



2 3

(-

2 ,1) 3


1 0 极小值

(1,+?) +

f? (x) f(x)

0 极大值

?

?

?

2 2 )与(1,+?) ,递减区间是(- ,1) 3 3 1 2 22 (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27
所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。要使 f(x)?c (x?〔-1, 2 2〕 )恒成立,只需 c ?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2
2

20. 解析:(1)f′(x)=1+2ax+ 解得 a=-1,b=3.

?f ?1? ? 0 ?1 ? a ? 0 b ? .由已知条件得 ? ,即 ? . x 1 ? 2a ? b ? 2 f ? 1 ? 2 ? ? ? ? ?

(2) f(x)的定义域为 (0, +∞) , 由(1)知 f(x)=x-x +3lnx.设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x +3lnx, 则 g′(x)=-1-2x+

2

2

3 ? x ? 1?? 2x ? 3? =. x x

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 而 g(1)=0, 故当 x>0 时,g(x)≤0, 即 f(x)≤2x-2.

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21. 解析: (1)设平均成本为 y 元,则 y ? ∴ y? ?

25 000 ? 200x ? x

1 2 x 40 ? 25 000 ? 200 ? x , x 40

?25 000 1 ? , 令 y′=0 得 x=1 000.当在 x=1 000 附近左侧时,y′<0; x2 40

在 x=1 000 附近右侧时,y′>0,故当 x=1 000 时,y 取极小值,而函数只有一个点使 y′=0, 故函数在该点处取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1 000 件产品.

x x2 x2 (2)利润函数为 S=500x-(25 000+200x+ )=300x-25 000,S′=300, 20 40 40
令 S′=0,得 x=6 000,当在 x=6 000 附近左侧时,S′>0;在 x=6 000 附近右侧时,S′<0, 故当 x=6 000 时,S 取极大值,而函数只有一个点使 S′=0,故函数在该点处取得最大值, 因此,要使利润最大,应生产 6 000 件产品. 22.解析: (1)F(x)=-2x -x +4x+2, ∴F′(x)=-8x -3x +4. 2a 2 (2)令 f′(x)=-3x +2ax=0 得 x=0 或 x= . 3 ∴ 2a =4 得 a=6, 3
3 2 4 3

当 x<0,f′(x)<0,当 0<x<4 时,f′(x)>0, 故当 x=0 时,f(x)达到极小值 f(0)=b,∴b=-1. (3)当 x∈[0,1]时,-3x +2ax≥-1 恒成立. 即 g(x)=3x -2ax-1≤0. 对一切 x∈[0,1]恒成立, 只需?
? ?g ?g ?
2 2

=-1≤0 =2-2a≤0



即 a≥1. 反之,当 a≥1 时,g(x)≤0 对 x∈[0,1]恒成立. ∴a≥1 是 k≥-1 成立的充要条件.

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