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第28届全国中学生物理竞赛预复赛试卷及答案


第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 本卷共 16 题,满分 200 分. 一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中, 有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合题意.把符合题意的选 项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6 分,选对 但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.常用示波器

中的扫描电压 u 随时间 t 变化的图线是 得分 阅卷 复核 6 10 14 7 11 15 8 12 16 总分

[

]

2.下面列出的一些说法中正确的是 A.在温度为 200C 和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过程中,它所吸 收的热量等于其内能的增量. B.有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100 度,并都把 0 刻度与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度,若用这两种温度计去测量同一环境的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同. C .一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减小了,体积都增大了,则从每个过程中气体 与外界交换的总热量看,在有的过程中气体可能是吸收了热量,在有的过程中气体可能是放出了热 量,在有的过程中气体与外界交换的热量为 0 . D .地球表面一平方米所受的大气的压力,其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的 空气分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量. [ ] 3.把以空气为介质的两个平行板电容器 a 和 b 串联,再与电阻 R 和电 动势为 E 的直流电源如图连接. 平衡后, 若把一块玻璃板插人电容器 a 中,则再达到平衡时, A.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压增大了 B.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压减小了 C.与玻璃板插入前比,电容器 b 贮存的电能增大了 D.玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增加量 [ ] 4.多电子原子核外电子的分布形成若干壳层,K 壳层离核最近,L 壳层次之,M 壳层更次之,……,每一 壳层中可容纳的电子数是一定的,当一个壳层中的电子填满后,余下的电子将分布到次外的壳层.当原 子的内壳层中出现空穴时,较外壳层中的电子将跃迁至空穴,并以发射光子(X 光)的形式释放出多余 的能量,但亦有一定的概率将跃迁中放出的能量传给另一个电子,使此电子电离,这称为俄歇(Auger) 效应,这样电离出来的电子叫俄歇电子.现用一能量为 40.00keV 的光子照射 Cd(镐)原子,击出 Cd 原子中 K 层一个电子,使该壳层出现空穴,己知该 K 层电子的电离能为 26.8keV.随后,Cd 原子的 L 层 中一个电子跃迁到 K 层,而由于俄歇效应,L 层中的另一个的电子从 Cd 原子射出,已知这两个电子的

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电离能皆为 4.02keV,则射出的俄歇电子的动能等于 A.( 26.8-4.02-4.02 ) keV B.(40.00-26.8- 4.02 ) keV C.( 26.8-4.02 ) keV D.( 40.00- 26.8 + 4.02 ) keV [ 5.一圆弧形的槽,槽底放在水平地面上,槽的两侧与光滑 斜坡 aa’、bb’相切,相切处 a、b 位于同一水平面内,槽 与斜坡在竖直平面内的截面如图所示.一小物块从斜坡 aa’上距水平面 ab 的高度为 Zh 处沿斜坡自由滑下,并自 a 处进人槽内,到达 b 后沿斜坡 bb’向上滑行,已知到达 的最高处距水平面 ab 的高度为 h;接着小物块沿斜坡 bb’滑下并从 b 处进人槽内反向运动, 若不考虑空气阻力, 则 A.小物块再运动到 a 处时速度变为零 B.小物块尚未运动到 a 处时,速度已变为零 C.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa’向上 滑行,上升的最大高度为 2h D.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa’向上滑行,上升的最大高度小于 h [ ] 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果不需写出求得 结果的过程. 6.( 6 分)在大气中,将一容积为 0.50m3 的一端封闭一端开口的圆筒筒底 得分 阅卷 复核 朝上筒口朝下竖直插人水池中,然后放手.平衡时,筒内空气的体积为 0.40m3.设大气的压强与 10.0m 高的水柱产生的压强相同,则筒内外水面 的高度差为 . 7.(10 分)近年来, 得分 阅卷 复核 由于 “ 微结构材料 ” 的发展, 研制具有负 折射率的人工材料 的光学性质及其应用,已受人们关注.对正常介质, 光线从真空射人折射率为 n 的介质时,人射角和折 射角满足折射定律公式,人射光线和折射光线分布 在界面法线的两侧;若介质的折射率为负,即 n<0,这时人射角和折射角仍满足折射定律公式,但人射光 线与折射光线分布在界面法线的同一侧. 现考虑由共轴的两个薄凸透镜 L1 和 L2 构成的光学系统, 两透镜的 光心分别为 O1 和 O2,它们之间的距离为 s.若要求以与主光轴成很小夹角的光线人射到 O1 能从 O2 出射, 并且出射光线与人射光线平行,则可以在 O1 和 O2 之间放一块具有负折射率的介质平板,介质板的中心位 于 OO’的中点,板的两个平行的侧面与主光轴垂直,如图所示.若介质的折射率 n= -1.5,则介质板的厚度 即垂直于主光轴的两个平行侧面之间的距离 d = . 8.( 10 分)已知:规定一个 K(钾)原子与 Cl(氯)原子相距很远时,他 得分 阅卷 复核 们的相互作用势能为 0;从一个 K 原子中移走最外层电子形成 K+离子所需 的能量(称为电离能)为 EK,一个 Cl 原子吸收一个电子形成 Cl-离子释放的 + 能量(称为电子亲和能)为 ECl;K 离子(视为质点)与 Cl-离子(视为质点) 之间的吸引力为库仑力,电子电荷量的大小为 e,静电力常量为 k.利用以上知识,可知当 KCI 分子中 K+ 离 子 与 Cl- 离 子 之 间 的 库 仑 相 互 作 用 势 能 为 0 时 , K+ 离 子 与 Cl- 离 子 之 间 的 距 离 rs , 可 表 示 为 .若已知 EK = 4.34ev, ECl=3.62eV , k =9.0 ×109N· m2· C-2 , e =1.60×10-19C,则 rs= m. ]

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9.(10 分)光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆,利用太阳 光对帆的光压,可使太空船在太空中飞行.设想一光帆某时刻位于距离太 阳为 1 天文单位(即日地间的平均距离)处,已知该处单位时间内通过垂 直于太阳光辐射方向的单位面积的辐射能量 E =1.37×103J· m -2·s-1, 设平面光 6 2 帆的面积为 1.0×10 m ,且其平面垂直于太阳光辐射方向,又设光帆对太阳光能全部反射(不吸收) ,则光 帆所受光的压力约等于 N. 10. (20 分) 有两个电阻 1 和 2, 得分 阅卷 复核 它们的阻值随所加电压的变 化而改变,从而它们的伏安特 性即电压和电流不再成正比 关系(这种电阻称为非线性电阻) .假设电阻 1 和电阻 2 的伏 安特性图线分别如图所示. 现先将这两个电阻并联, 然后接在 电动势 E=9.0V、内电阻 r0 = 2.0Ω 的电源上.试利用题给的数 据和图线在题图中用作图法读得所需的数据, 进而分别求出电 阻 1 和电阻 2 上消耗的功率 P1 和 P2.要求: i.在题图上画出所作的图线. (只按所画图线评分,不要 求写出画图的步骤及理由) ii.从图上读下所需物理量的数据(取二位有效数字) ,分 别是: iii.求出电阻 R1 消耗的功率 P1= ,电 阻 R2 消耗的功率 P2= . 得分 阅卷 复核

三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得 分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11.(17 分)宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 得分 阅卷 复核 的探测卫星.该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接,稳定时卫星始 终在空间站的正下方, 到空间站的距离 l=20km. 已知空间站的轨道为圆形, 周期 T = 92 min(分) . i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小. ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳.试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的 高度和卫星运行周期. 取地球半径 R = 6.400×103km, 地球同步卫星到地面的高度为 H0 =3.6000×104km, 地球自转周期 T0 = 24 小时.

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12.(17 分)某同 学选了一个倾角 为 θ 的斜坡, 他骑 在自行车上刚好 能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下 行驶,现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的 功率,为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏 板的圈数 N(设不间断的匀速蹬) ,并测得所用的 时间 t,再测得下列相关数据:自行车和人的总质 量 m,轮盘半径 Rl,飞轮半径 R2,车后轮半径 R3.试导出估测功率的表达式.己知上、下坡过程中斜坡及 空气作用于自行车的阻力大小相等,不论是在上坡还是下坡过程中,车轮与坡面接触处都无滑动.不计自 行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量. 得分 阅卷 复核

13.(20 分)电荷量为 q 的正电荷,均匀分布在由绝缘材料制成的质量为 m 半径为 R 的均匀细圆环上,现设法加外力使圆环从静止开始,绕通过环心 垂直于环面的轴线匀加速转动.试求从开始转动到环的角速度达到某一值 ω0 的整个过程中外力所做的功.已知转动带电圆环的等效电流为 I 时,等 效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量Ф =kI, k 为一已知常量.不计电荷作加速运动所产 生的辐射效应. 得分 阅卷 复核

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得分

阅卷

复核

14.(20 分)如图所示,一木块位于光滑的水平桌 面上,木块上固连一支架,木块与支架的总质量 为 M .一摆球挂于支架上,摆球的质量为 m ,

m?

1 M 摆线的质量不计.初始时,整个装置处 2

于静止状态.一质量为 m 的子弹以大小为 v0、方向垂直于图面向里的速度射人摆 球并立即停留在球内,摆球和子弹便一起开始运动.已知摆线最大的偏转角小于 900,在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的,木块未发生转动. i.求摆球上升的最大高度. ii.求木块的最大速率. iii.求摆球在最低处时速度的大小和方向.

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15.(20 分)图中坐标 原点 O (0, 0)处有一 带电粒子源,向 y≥0 一侧沿 Oxy 平面内的 各个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是 v,质量均为 m,电荷量均为 q.有人设计了一方向 垂直于 Oxy 平面, 磁感应强度的大小为 B 的均匀磁 场区域,使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界 射出时,均能沿 x 轴正方向运动.试求出此边界线 的方程,并画出此边界线的示意图. 得分 阅卷 复核

得分

阅卷

复核

16.(20 分)在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北方向航行, 船 C 以速度 2 2 u 向东偏北 450 方向航行. 在

某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航线并位于船 A 的前方,船 B 到 船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻作为计算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距 离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角速度.

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第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
一、选择题. 答案: 1.C 2.C 3.BC 4.A 5.D 评分标准: 本题共 5 小题,每小题 6 分.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题 答案与评分标准: 6.2.5m ( 6 分) 7.

3 s (10 分) 5

8.

ke 2 ( 6 分) Ek ? ECl

2.0×10-9 (2 分)

9.9 ( 10 分) 10. i.如图所示.( 8 分) (图错不给分,图不准确 酌情评分.) ii.并联电阻两端的电压 U0=2.3V (2 分) ,通过 电阻 1 的电流 I10=1.2A (3 分) ,通过电阻 2 的电流 I20= 2.2A ( 3 分) (读数第一位必须正确,第二位与答 案不同,可酌情评分.) iii.2.5 W ( 2 分), 4 .9W ( 2 分) 11.参考解答: i.设空间站离地面的高度为 H, 因为同步卫星 的周期和地球自转周期相同,根据开普勒第三定律 以及题意有

(R ? H )3 T 2 ? ( R ? H 0 )3 T02


(1)

T 2/3 H ?( R? H ) ? R 0 )( T0

(2)

代人数据得 H= 376km (3) 卫星的高度 h =H 一 l =356km (4) 卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随 空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动,有

G

Mm 2? ? F ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ( R ? h) T

(5) 式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量.空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动

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故有

G

Mm? 2? ? m?( ) 2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T

(6)

式中 m’为空间站的质量.由(5) 、 (6)两式得

F ? m(

2? 2 ( R ? H )2 ) ( R ? h)[ ? 1] T ( R ? h) 2

(7)

将(3) 、 (4)式及其他有关数据代人(7)式得 F=38.2N (8) ii.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆.在脱落的瞬间,卫星的速度垂 直于卫星与地心的连线,所以脱落点必是远地点(或近地点) ,由( 4)式可知,此点到地面的高度 h =356km (9) 设卫星在近地点(或远地点)的高度为 h',速度为 v',根据开普勒第二定律,有

( R ? h?)v? ?
根据机械能守恒,有

2? ( R ? h) 2 T

(10)

1 Mm 1 2? Mm mv?2 ? G ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ? G 2 R ? h? 2 T R?h
联立(10) 、 (11)两式并利用(6)式得

(11)

h? ?

( R ? h)4 2( R ? H )3 ? ( R ? h)3

(12)

代人有关数据有 h ' = 238km (13 ) 由(9) 、 (13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km,近地点到地面的高度为 238km . 设卫星的周期为 T ',根据开普勒第三定律,卫星的周期

T? ? (

2 R ? h ? h? 3/ 2 ) T 2R ? 2H

(14)

代人数据得 T '= 90 . 4min (15) 评分标准:本题 17 分. 第 i 小题 9 分. ( l)式 2 分, ( 5)式 3 分, ( 6)式 2 分, (8)式 2 分. 第 ii 小题 8 分. (9) 、 (10)式各 l 分, (11)式 2 分, (12) 、 (13) 、 (14) 、 (15)式各 1 分. 12.参考解答: 解法一 因为下坡时自行车匀速行驶,可知阻力大小 f=mgsinθ (1) 由题意,自行车沿斜坡匀速向上行驶时,轮盘的角速度

??

2? N t

(2)

设轮盘边缘的线速度为 v1,由线速度的定义有 v1=ω R1 (3) 设飞轮边缘的线速度为 v2,后车轮边缘的线速度为 v3,因为轮盘与飞轮之间用链条连结,它们边缘上的线 速度相同,即 v1=v2 (4) 因飞轮与后车轮的转动角速度相同,故有

v2 R2 ? v3 R3

(5)

因车轮与坡面接触处无滑动,在车后轮绕其中心轴转动一周的时间 T 内,车后轮中心轴前进的路程

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?s ? 2? R3


(6 )

T?

2? R3 v3
?s T

(7)

车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小

V ?
由以上有关各式得

(8)

V?

2? NR1 R3 R2t

(9)

人骑自行车上坡的功率为克服阻力 f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率,即 P=fV+mgVsinθ 由(l) 、 (9) 、 (10)式得

(10)

P?

4mg? NR1 R3 sin ? R2t

(11)

评分标准:本题 17 分. ( l)式 3 分,求得(9 式共 8 分, (10)式 5 分, (11)式 1 分. 解法二 因下坡时自行车匀速行驶,若自行车出发点的高度为 h,则克服阻力所做的功 Wf 等于势能的减少,有 Wf=mgh (1) 用 s 表示自行车行驶的路程,有 h =ssinθ (2 ) 自行车沿斜坡匀速向上行驶时,骑车者所做的功 W,等于克服阻力的功 Wf 与势能增量 mgh 之和,即 W=Wf+mgh (3) 设骑车者蹬踩踏板 N 圈到达下坡时的出发点,因踏板转 N 圈可使后轮转 NR1/R2 圈,所以自行车行驶的距 离s为

s?

NR1 ? 2? R R2 4? NR1R3 ? mg sin ? R2t

(4)

由(1)到(4)式,得

W?

(5)

上式除以所用时间 t,即得骑车者功率

P?

W 4mg? NR1R3 ? sin ? t R2t

(6)

评分标准:本题 17 分. ( I)式 3 分, ( 2)式 l 分, (3)式 4 分, (4)式 6 分, (5)式 l 分, (6)式 2 分. 13.参考解答: 当环的角速度到达ω 0 时,环的动能

Ek ?

1 m( R? 0 ) 2 2

(l)

若在时刻 t,环转动的角速度为ω ,则环上电荷所形成的等效电流

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2? R ?? ?I ?? ?k 感应电动势 ?t ?t q ?? 由(2) 、 (3)式得 ? ? k 2? ?t

I?

q

R? ?

?q 2?

(2) (3) (4)

环加速转动时,要克服感应电动势做功,功率为 P1=εI

(5)

因为是匀加速转动,所以ω 和 I 都随时间 t 线性增加.若角速度从零开始增加到ω 0 经历的时间为 t0,则有

?0 ?

?? t0 ?t

(6)

若与ω 0 对应的等效电流为 I0,则在整个过程中克服感到电动势做的总功

1 W1 ? ? I 0t0 2
由以上有关各式得

(7)

W1 ? k
外力所做的总功

?02 q 2 8? 2

(8)

?02 q 2 1 W ? W1 ? Ek ? k ? m( R? 0 )2 2 8? 2

(9)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 4 分,(3)式 2 分,(5)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 3 分,(8) 式 l 分,(9)式 2 分 14.参考解答: i. 由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短, 可以认为在这过程中摆球仅获得速度但无位移. 设 摆球(包括停留在球内的子弹)向前(指垂直于图面向里)的速度为 u,由动量守恒定律有 mv0=2mu (l) 摆球以速度 u 开始向前摆动,木块亦发生运动.当摆球上升至最高时,摆球相对木块静止,设此时木块的 速度为 V,摆球上升的高度为 h,因水平方向动量守恒以及机械能守恒有 2mu=(2m+M)V (2)

mu 2 ?
解(l) 、 (2) 、 (3)三式得

1 (2m ? M )V 2 ? 2mgh 2

(3)

h?

2 Mv0 8 g (2m ? m)

(4)

ii.摆球升到最高后相对木块要反向摆动.因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置前的整个过 程中,摆线作用于支架的拉力始终向斜前方,它使木块向前运动的速度不断增大;摆线经过竖直位置后, 直到摆线再次回到竖直位置前,摆线作用于支架的拉力将向斜后方,它使木块速度减小,所以在摆线(第 一次)返回到竖直位置的那一时刻,木块的速度最大,方向向前 以 V’表示摆线位于竖直位置时木块的速率,u’表示此时摆球的速度(相对桌面) ,当 u' >0,表示其 方向水平向前,反之,则水平向后.因水平方向动量守恒以及机械能守恒,故有 2mu ? 2mu? ? MV ? (5)

m u2 ? m ?u2 ?

1 2

2 M? V

(6)

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解(1) 、 (5) 、 (6)三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小

V? ? 0

(7) (8)

2mv0 V? ? 2m ? M

(7) 式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度, 它也是摆球在以后相对木块往复运动过程中 摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度;而题中要求的木块的最大速率为(8)式,它也是摆球在 以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时木块的速度. iii.在整个运动过程中,每当摆线处于竖直位置时,小球便位于最低处.当子弹刚射人摆球时,摆球 位于最低处,设这时摆球的速度为 u,由(l)式得

u?

1 v0 2

(9)

方向水平向前.当摆球第一次回到最低处时,木块速度最大,设这时摆球的速度为 u',由 (l) 、 (5) 、 (6) 三式和(8)式可得

1 m? M 2 v u? ? 0 M ? 2m
其方向向后. 当摆球第二次回到最低处时,由(7)式木块速度减至 0,设这时摆球的速度为 u'', 由(l) 、 (5) 、 (6)式可得 u''= u ?

(10)

1 v0 2

(11)

方向向前,开始重复初始的运动. 评分标准:本题 20 分. 第 i 小题 8 分.(1) 式 1 分,(2) 、 (3)式各 3 分, (4) 式l分 第 ii 小题 7 分.(5)、(6)式各 3 分,(8)式 l 分 第 iii 小题 5 分. ( 9 )式 l 分, (10)式 3.分, (11)式 l 分. 15.参考解答: 先设磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直 xy 平面向 里,且无边界.考察从粒子源发出的速率为 v、方向与 x 轴夹角为 θ 的粒子,在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周 运动,圆轨道经过坐标原点 O,且与速度方向相切,若圆 轨道的半径为 R,有

qvB ? m mv qB

v2 R

(1)



R?

(2)

圆轨道的圆心 O’在过坐标原点 O 与速度方向垂直的直线上,至原 点的距离为 R,如图 1 所示.通过圆心 O’作平行于 y 轴的直线与 圆轨道交于 P 点,粒子运动到 P 点时其速度方向恰好是沿 x 轴正方 向,故 P 点就在磁场区域的边界上.对于不同人射方向的粒子,对 应的 P 点的位置不同,所有这些 P 点的连线就是所求磁场区域的边 界线.P 点的坐标为

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x=—Rsinθ (3 ) y=一 R + Rcosθ (4) 这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数 θ,得 x2 +(y+R)2=R2 (5) 由(2) 、 (5)式得

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(6)

这是半径为 R 圆心 O’ ’的坐标为(0,一 R ) 的圆,作为题所要求的 磁场区域的边界线,应是如图 2 所示的半个圆周,故磁场区域的边 界线的方程为

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

x?0 y?0

(7)

若磁场方向垂直于 xy 面向外, 则磁场的边界线为如图 3 示的半圆, 磁场区域的边界线的方程为 x2 +(y—R)2=R2
2

x?0 y?0 x?0 y?0

(8 )



mv 2 m2v 2 x ? (y ? ) ? 2 2 qB q B

(9)

证明同前 评分标准:本题 20 分. ( l)或(2)式 2 分, (3) 、 (4)式各 4 分, (7)式 3 分,图(图 2 ) 2 分(只要半圆的位置正确就给 2 分), (9)式 3 分,图(图 3 ) 2 分(只要半圆的位置正确就给 2 分) 16.参考解答: 以 t =0 时刻船 A 所在的位置为坐标原点 O,作如图 1 所示平面直角坐标系 Oxy,x 轴指向正东,y 轴指 向正北.可以把船 C 的速度分解成沿正东方向的分速 度 vx 和沿正北方向的分速度 vy 两个分量.根据题意有 vx=vy=2u (1) 在 t 时刻,三船的位置如图 1 所示.B、C 二船在 y 方 向位移相等,两船的连线 BC 与 x 轴平行,两船间的距 离

BC ? a ? 2ut
BC 的中点到 B 点的距离为 别为

(2)

1 a ? ut . 中点 M 的坐标分 2
(3) (4)

1 3 xM ? a ? a ? ut ? a ? ut 2 2

yM ? 2ut

可见 M 点沿 x 方向的速度为 u, 沿 y 方向的速度为 2u, 在 t = 0 时刻 BC 的中点在 x 轴上, 其 x 坐标为 3a/2. 在与 M 点固连的参考系中考察,并建立以 M 为原点的直角坐标系 Mx'y' , x'轴与 x 轴平行,y'轴与 y 轴 平行,则相对 M,船 A 的速度只有沿负 y'方向的分量,有

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uAM=uAM y'=—2u 在时刻 t,船 A 在坐标系 Mx'y'的坐标为

(5)

3 x? a A ? ? 2

(6) (7)

y? A ? u AM t

可以把 A 船的速度分解为沿连线 MA 方向的分量 uAM1 和垂直于连线 MA 方向的分量 uAM2 两个分量,uAM1 使连线 MA 的长度增大, uAM2 使连线 MA 的方向改变, 如图 2 所示.若用 R 表示 t 时刻连线 MA 的长度,则 连线 MA 绕 M 点转动的角速度

??

u AM 2 R

(8)

若 MA 与 x'轴的夹角为θ ,则有

uAM 2 ? uAM cos?


(9)

cos ? ?

x? A R

(10)

2 ?2 R ? x? A ? yA

(11)

由(5)到(10)各式得

??

12au 9a ? 16u 2t 2
2

(12)

评分标准:本题 20 分. 求得(5)式共 6 分, ( 6) 、 (7)式各 l 分, (8)式 6 分, (9)式 2 分, (10) 、 (11)式各 l 分,( 12 ) 式 2分

第 13 页

第 28 届全国中学生物理竞赛复赛试题
2011

一、 (20 分)如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动,其周期 T 为 76.1 年。1986 年它 过近日点 P0 时,与太阳 S 的距离 r0=0.590AU,AU 是天文单位,它等于地球与太阳的平均距离。经过一段 时 间 , 彗 星 到 达 轨道 上的 P 点 , SP 与 SP0 的夹 角 θ P=72.0°. 已 知 : 1AU=1.50×10 m , 引力 常量
11

G=6.67×10-11m3?kg-1?s-2,太阳质量 mS=1.99×1030kg.试求 P 到太阳 S 的距离 rP 及彗星过 P 点时速度的大小
及方向(用速度方向与 SP0 的夹角表示) 。
P rP θP S P0

二、 (20 分) 质量均匀分布的刚性杆 AB、 CD 如图放置, A 点与水平地面接触, 与地面间的静摩擦因数为 μ A,

B、D 两点与光滑竖直墙面接触,杆 AB 和 CD 接触处的静摩擦因数为 μ C,两杆的质量均为 m,长度均为 l.
(1)已知系统平衡时 AB 杆与墙面夹角 θ ,求 CD 杆与墙面的夹角 α 应满足的条件(用 α 及已知量满足 的方程式表示) 。 (2)若 μ A=1.00,μ C=0.866,θ =60.0°,求系统平衡时 α 的取值范围(用数值计算求出) 。

D α B θ

C A

第 14 页

三、 (25 分)人造卫星绕星球运行的过程中,为了保持其对称轴稳定在规定指向,一种最简单的办法就是 让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向,又要求减慢或者消除卫星 的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法,其原理如图。 设卫星是一半径为 R、质量为 M 的薄壁圆筒,其横截面如图所示。图中 O 是圆筒的对称轴。两条足够 长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的 Q、Q'(位于圆筒直径两端)处, 另一端各拴有一质量为 m/2 的小球。正常情况下,绳绕在圆筒外表面上,两小球用插销分别锁定在圆筒表 面上的 P0、P0'处,与卫星形成一体,绕卫星的对称轴旋转。卫星自转的角速度为 ω 0.若要使卫星减慢或停 止旋转(消旋) ,可瞬间撤去插销释放小球,让小球从圆筒表面甩开,在甩开的整个过程中,从绳与圆筒 表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时,立即使绳与卫星脱离,接触小球与 卫星的联系,于是卫星停止转动。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在 Q、Q'处。试求: (1)当卫星角速度减至 ω 时绳拉直部分的长度 l; (2)绳的总长度 L; (3)卫星从 ω 0 到停转所经历的时间 t.
Q m/2 P0' O P0 m/2 ω0 Q'

第 15 页

四、 (20 分)空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系 O-xyz,如图所示。匀强电 场沿 x 方向,电场强度 E1 ? E0i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应强度 B ? B0k ,E0、B0 为已知常量, i 、 k 分别 为 x 方向和 z 方向的单位矢量。 (1)有一束带电量都为正 q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面内的某点射出,它们的初速度均在 Oyz 平面内,速度的大小和方向各不相同。问经过多少时间这些粒子又能同时回到 Oyz 平面内。 (2)现在该区域内再增加一个沿 z 方向随时间变化的匀强电场,电场强度 E2 ? ( E0 cos ?t )k ,式中 ω =
?

?

?

?

?

?

?

?

?

qB0 . m

若有一电荷量为正 q、质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从坐标原点 O 射出,初速度 v 0 在 Oyz 平面内,试求以 后此粒子的坐标随时间变化的规律。 (不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考虑变化的电场产生的磁场)
y

O

z

x

五、 (15 分)半导体 PN 结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射 PN 结时,PN 结两端会产生 电势差,这就是光生伏打效应。当 PN 结两端接有负载时,光照使 PN 结内部产生由负极指向正极的电流即 光电流,照射光的强度恒定时,光电流也是恒定的,已知该光电流为 IL;同时,PN 结又是一个二极管,当 有电流通过负载时,负载两端的电压 V 使二极管正向导通, 其电流为 I D ? I 0 (eV V ? 1) 式中 VT 和 I0 在一定条件
T

下均为已知常数。 (1)在照射光的强度不变时,通过负载的电流 I 与负载两端的电压 V 的关系式 I= 太 阳 能 电 池 的 短 路 电 流 IS= , 开 路 电 压 VOC= . .负载功率

P=

.
-9

(2)已知一硅 PN 结太阳能电池的 IL=95mA,I0=4.1×10 mA,VT=0.026V.则此太阳能电池的开路电压 VOC= V.若太阳能电池输出功率最大时, 伏在两端的电压可近似表示为 VmP ? VT ln 则 VmP= V.太阳能电池输出的最大功率 Pmax= Ω.
1 ? I L I0 , 1 ? VOC VT

mW.若负载为欧姆电

阻,则输出最大功率时,负载电阻 R=

第 16 页

+ 光 -

负 载

六、 (20 分)如图所示为圆柱形气缸,气缸壁绝热,气缸的右端有一小孔与大气相通,大气的压强为 P0. 用一热容量可忽略的导热隔板 N 和一绝热活塞 M 将气缸分为 A、B、C 三室,隔板与气缸固连,活塞相对气 缸可以无摩擦地移动但不漏气。气缸的左端 A 室中有一电加热器 Ω .已知在 A、B 室中均盛有 1 摩尔同种理 想气体,电加热器加热前,系统处于平衡状态,A、B 两室中气体的温度均为 T0,A、B、C 三室的体积均为

V0.现通过电加热器对 A 室中气体缓慢加热,若提供的总热量为 Q0,试求 B 室中气体的末态体积和 A 室中气
5 体的末态温度。 (设 A、B 两室中气体 1 摩尔的内能为 U= RT,式中 R 为普适气体常量,T 为绝对温度) 2
N M

Ω A B C

第 17 页

七、 (20 分)如图所示,L 是一焦距为 2R 的薄凸透镜,MN 为其主光轴。在 L 的右侧与它共轴地放置两个半 径皆为 R 的很薄的球面镜 A 和 B.每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A、B 顶点间的距离 3R/2. 在 B 的顶点 C 处开一个透光的小圆孔(圆心为 C) ,圆孔的直径为 h.现于凸透镜 L 左方距 L 为 6R 处放一与 主轴垂直的高度也为 h(h<<R)的细短杆 PQ(P 点在主轴上).PQ 发出的光经 L 后,其中一部分穿过 B 上 的小圆孔正好成像在球面镜 A 的顶点 D 处,形成物 PQ 的像 I.则: (1)像 I 与透镜 L 的距离等于 ;

( 2 ) 形 成 像 I 的 光 线 经 A 反 射 , 直 接 通 过 小 孔 后 经 L 所 成 的 像 I1 与 透 镜 L 的 距 离 等 于 ;

(3)形成像 I 的光线经 A 反射,再经 B 反射,再经 A 反射,最后通过 L 成像为 I2,将 I2 的有关信息填在下 表中:

I2 在 L 左方还是右 I2 与 L 的距离


I2 是正立还是倒 I2 的大小


I2 是实像还是虚


(4) 物 PQ 发出的光经 L 后未进入 B 上小圆孔 C 的那部分光最后通过 L 成像为 I3, 将 I3 的有关信息填在下表 中:

I3 在 L 左方还是右 I3 与 L 的距离


I3 是正立还是倒 I3 的大小


I3 是实像还是虚


L Q M h P O C

B

A

D

N

6R

3R/2

第 18 页

1 3 p?1 H ? 23 He ? 01n ,反应中所有粒子的速度均远小于光速。试问: 八、 (20 分)有一核反应其反应式为 1

(1)它是吸能反应还是放能反应,反应能 Q 为多少? (2)在该核反应中,若 13 H 静止,入射质子的阈能 Tth 为多少?阈能是使该反应能够发生的入射粒子的最小 动能(相对实验室参考系) 。 (3)已知在该反应中入射质子的动能为 1.21MeV,若所产生中子的出射方向与质子的入射方向成 60.0° 角,则该中子的动能 Tn 为多少? (已知 11 p 、 01 n 、 13 H 核、 23 He 核的静止质量分别为: mp=1.007276u , mn=1.008665u , m H =3.015501u ,
3 1

m 3 He =3.014932u.u 是原子质量单位,1u 对应的能量为 931.5MeV.结果取三位有效数字)
2

第 19 页

参考解答: 解法一 取直角坐标系 Oxy,原点 O 位于椭圆的中心,则哈雷彗星的椭圆轨道方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
a、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴,太阳 S 位于椭圆的一个焦点处,如图 1 所示.
以 Te 表示地球绕太阳运动的周期,则 Te 则 ae

(1)

, ? 1.00年 ;以 ae 表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动)

? 1.00AU ,根据开普勒第三定律,有

a3 T 2 ? 2 3 ae Te
c ? a ? r0

(2)

y
P

设 c 为椭圆中心到焦点的距离,由几何关系得 (3)

b

rP
S

?P
x P 0

a

O

b ? a ?c
2

2

(4)

由图 1 可知,P 点的坐标

x ? c ? rP cos?P y ? rP sin ? P
把(5) 、 (6)式代入(1)式化简得

(5) (6)

图1

?a
根据求根公式可得

2

sin 2 ? P ? b 2 cos 2 ? P ? rP2 ? 2b 2 crP cos ? P ? b 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0

(7)

b2 ? a ? c cos ? P ? rP ? 2 2 a sin ? P ? b2 cos2 ? P
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得

(8)

rP ? 0.896AU
可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为

(9)

E=?

Gmms 2a

(10)

式中 m 为彗星的质量.以 vP 表示彗星在 P 点时速度的大小,根据机械能守恒定律有

Gmms 1 2 ? Gmm s ? mvP ? ? ? ??? 2 rP ? 2a ?


(11)

第 20 页

vP ? Gms ?
代入有关数据得

2 1 ? rP a

(12)

vP = 4.39 ?104 m ? s?1
设 P 点速度方向与 SP 0 的夹角为 ? (见图 2),根据开普勒第二定律

(13)

rP vP sin ?? ??P ? ? 2?
其中 ? 为面积速度,并有

(14)

y
(15)

??

πab T

P

b

rP
S

由(9) 、 (13) 、 (14) 、 (15)式并代入有关数据可得

?P
P 0

?

? ? 127?

(16)

a

O

x

图2
解法二 取极坐标,极点位于太阳 S 所在的焦点处,由 S 引向近日点的射线为极轴,极角为 ? ,取逆时针为正向,用 r、? 表示 彗星的椭圆轨道方程为

r?

p 1 ? e cos ?

(1)

其中,e 为椭圆偏心率,p 是过焦点的半正焦弦,若椭圆的半长轴为 a,根据解析几何可知

p ? a ?1 ? e 2 ?
将(2)式代入(1)式可得

(2)

r?

a 1 ? e2 1 ? e cos?

?

?

(3)

以 Te 表示地球绕太阳运动的周期,则 Te 则 ae

, ? 1.00年 ;以 ae 表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动)

? 1.00AU ,根据开普勒第三定律,有

a3 T 2 ? 2 3 ae Te
在近日点 ?

(4)

? 0 ,由(3)式可得
e ? 1?

r0 a

(5)

将 ? P 、 a 、 e 的数据代入(3)式即得

rP ? 0.895AU
可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能

(6)

第 21 页

E=?

Gmms 2a

(7)

式中 m 为彗星的质量.以 vP 表示彗星在 P 点时速度的大小,根据机械能守恒定律有

Gmms 1 2 ? Gmms ? mvP ? ? ? ??? 2 rP ? 2a ?
可得

(8)

vP ? Gms ?
代入有关数据得

2 1 ? rP a

(9)

vP = 4.39 ?104 m ? s?1

(10)

设 P 点速度方向与极轴的夹角为 ? ,彗星在近日点的速度为 v0 ,再根据角动量守恒定律,有

rP vP sin ?? ??P ? ? r0 v0
根据(8)式,同理可得

(11)

v0 ? Gms ?
由(6) 、 (10) 、(11)、(12)式并代入其它有关数据

2 1 ? r0 a

(12)

? ? 127?
评分标准: 本题 20 分 解法一

(13)

(2)式 3 分, (8)式 4 分, (9)式 2 分, (11)式 3 分,(13) 式 2 分,(14)式 3 分,(15)式 1 分, (16)式 2 分. 解法二 (3)式 2 分, (4)式 3 分, (5)式 2 分, (6)式 2 分, (8)式 3 分,(10) 式 2 分,(11)式 3 分,(12)式 1 分, (13) 式 2 分.

二、参考解答: 1.建立如图所示坐标系 Oxy.两杆的受力情况如图:

y

D

N4

f1 为地面作用于杆 AB 的摩擦力, N1 为地面对杆 AB 的支持
力, f 2 、 N 2 为杆

??
E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x

AB 作用于杆 CD 的摩擦力和支持力, N3 、 N 4
B N3
第 22 页

??
O

分别为墙对杆 AB 和 CD 的作用力, mg 为重力.取杆 AB 和 CD 构成的系统为研究对象,系统平衡时, 由平衡条件有

N4 ? N3 ? f1 ? 0 N1 ? 2mg ? 0
以及对 A 点的力矩

(1) (2)

1 1 ? ? mgl sin ? ? mg ? l sin ? ? l sin ? ? ? N3l cos ? ? N 4 ? l cos ? ? l cos ? ? CF ? ? 0 2 2 ? ?


3 1 mgl sin ? ? mgl sin ? ? N 3l cos ? ? N 4 ? l cos ? ? l cos ? ? CF ? ? 0 (3) 2 2 式中 CF 待求. F 是过 C 的竖直线与过 B 的水平线的交点, E 为 BF 与 CD 的交点.由几何关系有

CF ? l sin ? cot ?
取杆 CD 为研究对象,由平衡条件有

(4)

N4 ? N2 cos? ? f2 sin ? ? 0 N2 sin? ? f2 cos? ? mg ? 0
以及对 C 点的力矩

(5 ) (6 )

1 N 4l cos ? ? mgl sin ? ? 0 2
解以上各式可得

(7 )

N4 ?

1 mg tan ? 2

(8)

1 sin ? 1 tan ? sin ? ? ?3 N3 ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? mg 2 cos ? 2 sin ? ? ?2 ? 3tan ? sin ? 1 tan ? sin ? ? f1 ? ? ? ? ? mg cos ? 2 sin ? ? ? 2

(9)

(10)

N1 ? 2mg
1 ? ? N 2 ? ? sin ? ? tan ? cos ? ? mg 2 ? ? 1 ? ? f 2 ? ? cos ? ? tan ? sin ? ? mg 2 ? ?
CD 杆平衡的必要条件为

(11)

(12)

(13)

f 2 ? ?c N2
由(12) 、 (13) 、 (14)式得

(14)

第 23 页

tan ? ?
AB 杆平衡的必要条件为

2 ? ?C sin ? ? cos ? ? ?C cos ? ? sin ?

(15)

f1 ? ? A N1
由(10) 、 (11) 、 (16)式得

(16)

因此,使系统平衡, ? 应满足的条件为(15)式和(17)式. 2.将题给的数据代入(15)式可得

tan ? sin ? 2 sin ? ? ? 4 ? A ? 3 tan ? sin ? cos ?

(17)

? ? arctan 0.385 ? 21.1?
将题给的数据代入(17)式,经数值计算可得 因此, ? 的取值范围为

(18)

? ? 19.5?

(19)

19.5? ? ? ? 21.1?
评分标准: 本题 20 分 第 1 问 15 分

(20)

(1) 、 (2) 、 (3)式共 3 分, (4)式 1 分, (5 ) 、 (6) 、 (7)式共 3 分,(9) 、(10) 式各 1 分,(12)到(17)式各 1 分. 第2问5分 (18)式 1 分, (19)式 3 分, (20)式 1 分.

三、 参考解答: 解法一 1. 设在时刻 t ,小球和圆筒的运动状态如图 1 所示,小球 点,绳与圆筒的切点为 T , P 到 T 的距离即绳的拉直部分的长 圆筒的角速度为 ? ,小球的速度为 v .小球的速度可以分解成沿 方向的速度 v1 和垂直于绳子方向的速度 v 2 两个分量.根据机械 定律和角动量守恒定律有

T

v
v1
P

v2

位于 P 度为 l , 着绳子 能守恒

O

图1

1 1 1 1 2 2 2 2 M ? R?0 ? ? m ? R?0 ? ? M ? R? ? ? m ? v12 ? v2 ? 2 2 2 2

(1) (2)

MR2?0 ? mR2?0 ? MR2? ? mRv1 ? ml v2
因为绳子不可伸长, v1 与切点 T 的速度相等,即

第 24 页

v1 ? R?
解(1)、(2)、(3)式得

(3)

??

?M ? m?R 2 ? ml2 ? ?M ? m?R 2 ? ml2 0

(4)

2?M ? m?R 2 l v2 ? ? ?M ? m?R 2 ? m l2 0
由(4)式可得

(5)

l?R

M ? m ?0 ? ? m ?0 ? ?

(6)

这便是在卫星角速度减至 ? 时绳的拉直部分的长度 l . 2.由(6)式,当 ?

?0得

L?R
这便是绳的总长度 L.

M ?m m

(7)

T?

??2 ??1 T
O

l ? ?l

3.如图 2 所示,从时刻 t 到 t ? ?t ,切点 T 跟随圆筒转过一角 度 ??1

l

v2 ? t ?

? ??t ,由于绳子的拉直部分的长度增加了 ?l ,切点相对
? ?l R
,到达 T ? 处,所以在 ?t 时间内,切

圆筒又转过一角度 ?? 2 点转过的角度

图2

?? ? ??1 ? ?? 2 ? ??t ?

?l R

(8)

切点从 T 变到 T ? 也使切线方向改变了一个同样的角度 ? ? ,而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度 v2 引起 的,故有

?? ?
由(1)、(2)、(3)式可得

v 2 ?t l

(9)

v2 ? l ??0 ? ? ?
由(8)、 (9) 、 (10)三式得

(10)

?l ? R?0?t
(11)式表示 l 随 t 均匀增加,故 l 由 0 增加到 L 所需的时间为

(11)

ts ?

L 1 ? ?0 R ?0

M ?m m

(12)

第 25 页

解法二 1.撤去插销后两个小球的运动情况相同,故可取一个小球作为对象进行研究,先研究任何时刻小球的速度. 在 t 时刻, 相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图 的拉直部分与圆筒面的切点为 T ,小球到切点 T 的距离即 分的长度为 l ,小球到转轴 O 的距离为 r ,圆筒的角速度 1 所示,绳子

Q
R
m

T l r
绳的拉直部

m 2

P0?



?

.由于

圆筒的转动和小球相对圆筒的运动,绳将展开,切点位置 部分的长度都要改变. 首先考察小球相对于圆筒的运动.在 t 时刻,OT 与固 圆筒上的半径 OP 0 的夹角为 ? ,如图 2 所示.由于小球相

2

O

P0
Q?

和绳的拉直

?

图1

T?

定 在 对 圆 与 球 由

l? l

筒的运动, 经过时间 ?t , 切点从圆筒上的 T 点移到 T ? 点,OT ?

?? T

P?

OP0 的夹角变为 ? ? ?? ,绳的拉直部分的长度由 l 变为 l ? ,小
???? P 运动到 P? , PP? 便是小球相对圆筒的位移 . 当 ?t 很小时

?
O

P P0

l ? l ? ,故

???? PP? ? l ??? ? l ??
?? ? l?? ?t

图2

于是小球相对圆筒的速度大小为

v? ? l

(1)

方向垂直于 TP . ?? 是切点相对圆筒转动的角 速度. 再考察圆筒相对质心参考系的转动,即与 圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系 的运动.当圆筒的角速度为 ? 时,位于转动参考 系中的 P 点(小球所在处)相对质心系的速度

? v?
T

? v

? v?1
l P r

? v?

? v? 2

? ? v? ? v? 2

R O

?

v? ? r?

(2)

P0

方向垂直于 OP .可以把 v? 分解成沿着 TP 方 向的分量 v?1 和垂直 TP 方向的分量 v? 2 ,如图 3 所示,即

图3

v?1 ? R? v? 2 ? l?
?
2 v ? v? 1 ? ? v? 2 ? v? ? 2

(3) (4)

小球相对质心系的速度 v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的 P 点相对质心系速度的合成,由图 3 可得 v 的大小 (5)

?



第 26 页

l ? R?
故有

(6)

v ? R ? 2 ? ?? ? ?? ? ? 2
2

(7 )

因为系统不受外力作用,故系统的动能和角动量守恒,故有

1 1 1 1 2 2 2 M ? R?0 ? ? mR 2?0 ? M ? R? ? ? mv 2 2 2 2 2
MR 2?0 ? mR 2?0 ? MR 2? ? mRv?1 ? ml ? v? 2 ? v? ?
由(7)、(8)两式有
2 m ? ? ?? ? ? 2 ? M ?m

(8) (9)

?02 ? ? 2 ?
由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得

(10)

?0 ? ? ?
由(10)、(11)两式得

m ? 2 ?? ? ?? ? M ?m

(11)

?0 ? ? ? ? ? ??
故有

?? ? ?0
M ? m ? ?0 ? ? ? ? ? m ? ?0 ? ? ? M ? m ? ?0 ? ? ? ? ? m ? ?0 ? ? ?


(12)

上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度,是一个恒量,将(12)式代入(11)式得

??
由(6)、(13)两式得

(13)

l?R

(14)

这便是在卫星角速度减至 ? 时绳的拉直部分的长度 l . 2.由(14)式,当 ?

? 0 得绳总长度,

L?R

M ?m m

(15)

3.因 ?? 是一个恒量, ? 随时间的 t 的变化规律为

? ? ?0t
当?

(16)

? 0 时,由(13)式可得卫星停旋时的 ?

?s ?
设卫星停转所用的时间为 t s ,由(16) 、 (17)式得

M ?m m

(17)

第 27 页

ts ?

?s 1 ? ?0 ?0

M ?m m

(18)

四、 参考解答: 1.根据题意,粒子的初速度只有 y 方向和 z 方向的分量,设它们为 v0 y 和 v0 z .因为粒子在 z 方向不受电场力和磁场力 作用,故粒子在 z 方向以初速度 v0 z 作匀速运动. 粒子在 Oxy 面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成:可把粒子在 y 方向的初速度表示为

v0y ? ?v0y1 ? v0y ? v0y1
其中

(1)

v0y1 ? ?
沿 y 负方向.与 v0y1 相关的磁场力

E0 B0

(2)

f Bx ? ?qv0 y1B0
沿 x 负方向.粒子受到的电场力

(3)

f E ? f Ex ? qE0

(4)

沿 x 正方向.由(2)、(3)、(4)式可知,粒子在 x 方向受到的电场力和磁场力正好抵消,故粒子以大小为

E0 B0

的速度沿 y 负

方向运动.除此之外,由(1)式可知,粒子还具有初速度

v0y 2 ? v0y ?

E0 B0

(5)

沿 y 正方向,与 v0y 2 相关的磁场力使粒子以速率 v0y 2 在 Oxy 面内作匀速圆周运动,以 r 表示圆周运动的半径,有
2 v0 y2

qv0y 2 B0 ? m
可得

r

(6)

r?

mv0y 2 qB0
2?m qB0

(7)

由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期

T=

(8)

(8)式表明, 粒子运动的周期与粒子在 y 方向的初速度无关. 经过时间 T 或 T 的整数倍所考察的粒子就能同时回到 Oyz 平面. 2.增加的电场 E2 对粒子在 Oxy 平面内的运动无影响,但粒子在 z 方向要受到此电场力作用.以 az 表示在此电场力作 第 28 页

?

用下的加速度,有

maz ? qE0 cos ?t


(9)

az =
这是简谐运动的加速度,因而有

qE0 cos ?t m

(10)

az = ?? 2 z
由(10)、 (11)可得

(11)

z??

1 qE0 cos ?t ?2 m

(12)

因未增加电场时,粒子在 z 方向作初速度为 v0z 的匀速运动,增加电场后,粒子在 z 方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠 加,即有

z ? v0z t ?

1 qE0 cos ?t ?2 m
O

(13) 作圆周

粒子在 Oxy 平面内的运动不受电场 E2 的影响.设 ? 0 为粒子在 Oxy 平面内 运动的角速度,则有

?

y

?0 ?

2 π qB0 ? T m

(14)

?0 t
r r

? v0 y 2

由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间 t 的变化关系

x? ? r ?1 ? cos ?0t ?
y? ? rsin?0t

(15) (16)

x

考虑到粒子在 y 方向还具有速度为 v0y1 的匀速运动,并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件,可得带电粒子的运动规律:

x?

E0 ? ? qB0 ? m ? t? ? v0y ? ? ?1 ? cos qB0 ? B0 ? ? m ? E0 E0 ? qB0 m ? t? t ? v0y ? ? sin B0 qB0 ? B0 ? m
mE0 qB cos 0 t 2 qB0 m

(17)

y??

(18)

z ? v0z t ?

(19)

五、 答案
V ? V ? 1. I L ? I 0 ? e T ? 1 ? ? ? ? ?

(2 分) , IL

(2 分) , VT

? I ? ln ?1 ? L ? ? I0 ?

(2 分) ,

第 29 页

V ? V ? VI L ? VI 0 ? e T ? 1? ? ? ? ?

(1 分) . (2 分) ;6.0 ?

2.0.62V 六、

(2 分) ;0.54V

(2 分) ;49mW

(2 分) .

参考解答: 在电加热器对 A 室中气体加热的过程中,由于隔板 N 是导热的,B 室中气体的温度要升高,活塞 M 将向右移动.当加热 停止时, 活塞 M 有可能刚移到气缸最右端, 亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未 停止. 1. 设加热恰好能使活塞 M 移到气缸的最右端,则 B 室气体末态的体积

VB ? 2V0

(1)

根据题意,活塞 M 向右移动过程中,B 中气体压强不变,用 TB 表示 B 室中气体末态的温度,有

V0 VB ? T0 TB
由(1)、(2)式得

(2)

TB ? 2T0
由于隔板 N 是导热的,故 A 室中气体末态的温度

(3)

TA ? 2T0
下面计算此过程中的热量 Qm .

(4)

在加热过程中,A 室中气体经历的是等容过程,根据热力学第一定律,气体吸收的热量等于其内能的增加量,即

QA ?
由(4)、(5)两式得

5 R (TA ? T0 ) 2

(5)

QA ?

5 RT0 2

(6)

B 室中气体经历的是等压过程,在过程中 B 室气体对外做功为

WB ? p0 (VB ? V0 )
由(1)、(7)式及理想气体状态方程得

(7)

WB ? RT0
内能改变为

(8)

?U B ?
由(4)、(9)两式得

5 R (TB ? T0 ) 2
5 RT0 2

(9)

?U B ?

(10)

根据热力学第一定律和(8)、(10)两式, B 室气体吸收的热量为

第 30 页

QB ? ?U B ? WB ?
由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为

7 RT0 2

(11)

Qm ? QA ? QB ? 6RT0
若 Q0

(12)

? Qm , B 室中气体末态体积为 2V0 , A 室中气体的末态温度 2T0 . ? Qm ,则当加热器供应的热量达到 Qm 时,活塞刚好到达气缸最右端,但这时加热尚未停止,只是在以后 ? Qm 是 A 、 B 中气体在等容升温过程中吸收的热量.由于等容过程中气体

2.若 Q0

的加热过程中气体的体积保持不变,故热量 Q0

? ,有 不做功,根据热力学第一定律,若 A 室中气体末态的温度为 TA
Q0 ? Qm ?
由(12)、(13)两式可求得

5 5 ? ? 2T0 ) ? R (TA ? ? 2T0 ) R (TA 2 2

(13)

?? TA
B 中气体的末态的体积

Q0 4 ? T0 5R 5

(14)

? = 2V0 VB
3. 若 Q0

(15)

?? ? 2V0 .设 ? Qm ,则隔板尚未移到气缸最右端,加热停止,故 B 室中气体末态的体积 VB?? 小于 2V0 ,即 VB

?? ,根据热力学第一定律,注意到 A 室中气体经历的是等容过程,其吸收的热量 A、B 两室中气体末态的温度为 TA
QA ?
B 室中气体经历的是等压过程,吸收热量

5 ?? ? T0 ) R (TA 2

(16)

QB ?
利用理想气体状态方程,上式变为

5 ?? ? T0 ) ? p0 (VB ?? ? V0 ) R(TA 2

(17)

QB ?
由上可知

7 ?? ? T0 ? R ?TA 2

(18)

?? ? T0 ) Q0 ? QA ? QB ? 6R(TA
所以 A 室中气体的末态温度

(19)

?? ? TA
B 室中气体的末态体积

Q0 ? T0 6R

(20)

第 31 页

?? ? VB

V0 Q ?? ? ( 0 ? 1)V0 TA T0 6 RT0

(21)

七、 答案 1. 3R 2. 6R 3.

I 2 与 L 的距离
6R

I 2 在 L 左方还是右方
右方

I 2 的大小
2h

I 2 是正立还是倒立
倒立

I 2 是实像还是虚像
虚像

4.

I 3 与 L 的距离
18R

I 3 在 L 左方还是右方
左方

I 3 的大小
2h

I 3 是正立还是倒立
倒立

I 3 是实像还是虚像
实像

八、 参考解答: 1. 反应能

? 2 Q?? ?? mp ? m3 H ? ? m3 He ? mn ? c
式中 c 为光速.代入数据得

?

?

(1)

Q ? ?0.764MeV
上式表明这是一吸能核反应.

(2)

2.为了求入射质子阈能,反应前后各粒子都应沿同一直线运动.设质子的入射速度大小为 vp ,反应后 2 He 的速度大 小为 v3 ,中子的速度大小为 vn ,根据动量守恒和能量守恒有

3

He

mp vp ? m3 He v3 He ? mn vn
1 1 1 2 2 mp vp ? m3 He v 2 ? mn vn ?Q 3 He 2 2 2
由(3) 、 (4)式可得
2 2 ? mn ? mp ? mn m3 He ? 2 ? mp m3 He ? 2 mp mn vn ? 2 vp vn ? ? v ?2 Q ?0 ? ? ? ? ? ? ? p m3 He m3 He m3 He ? ? ? ?

(3)

(4 )

(5)



第 32 页

a?

2 mn ? m3 He mn

m3 He mp mn m3 He m3 He vp
2 vp ?2 Q

b ? ?2 c?
把(6)式代入(5)式得

2 mp ? mp m3 He

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(6)

2 avn ? bvn ? c ? 0

(7)

(7)式有解的条件是

b2 ? 4ac ? 0
由(6)式可知, c 可能大于零,亦可能小于零.若 c 则由 (6)、(8)两式得

(8)

? 0 ,则(8)总成立,中子速度一定有解,反应一定能发生;若 c ? 0 ,

mn ? m3 He 1 2 mp vp ? Q 2 mn ? m3 He ? mp
即只有当入射质子的动能满足(9)式时,中子速度才有解,反应才能发生,所以入射质子的阈能为

(9)

? ? mp Tth ? ?1 ? Q ? mn ? m3 ? mp ? ? He ? ?
利用(1)式,在忽略

(10)

Q

2

项的情况下,(10)式可简化为

? m ? Tth ? ?1 ? p ? Q ? m3 ? ? H ?
代入有关数据得

(11)

Tth ? 1.02MeV
3.由动量守恒和能量守恒有

(12)

? ? ? mp vp ? m3 He v3 He ? mn vn
1 1 1 2 2 mp vp ? m3 He v 2 ? mn vn ?Q 3 He 2 2 2

(12)

? mn vn

? m3 He v 3 He

(13)

?
? mp vp
(14) 示, 根

以 ? 表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角,如图所 据余弦定律有

?m


3

He

v 3 He

? ? ?m v ? ? ?m v ?
2 2 n n p p

2

? 2mn mp vn vp cos ?

1 2 mp vp 2 1 2 Tn ? mn vn 2 Tp ?
第 33 页

(15) (16)

T3 He ?

1 m3 He v 2 3 He 2

(17)

把(15)、(16)、(17)式代入(13)、(14)两式得

Q ? Tp ? T3 He ? Tn
2m3 HeT3 He ? 2mnTn ? 2mpTp ? 2 2mnTn ? 2mpTp cos ?
由(18) 、 (19)式,消去 T3
He

(18) (19)

后,得

Tn ? 2

mn mpTp m3 He ? mn

cos ? ? Tn ?

?m

3

He

? mp Tp ? Q m3 He m3 He ? mn ? mp Tp ? Q m3 He m3 He ? mn

?

?0

(20)

令 得

S?

mn mpTp m 3 He ? mn

cos ? , R ?

?m

3

He

?

(21)

Tn ? 2S Tn ? R ? 0
根据题给的入射质子的动能和第 1 问求得的反应能

(22)

Q 的值,由(21)式可知 R ? 0 ,故(22)式的符合物理意义的解为
(23)

Tn ? S ? S 2 ? R
将具体数据代入(21) 、 (23)式中,有

Tn ? 0.132MeV
(如果得到

(24)

Tn ? 0.131MeV,也是对的.)

第 2 问的其他解法 解法一 为了研究阈能,只考虑碰撞前后各粒子都沿同一直线运动的情况.若碰撞后 2 He 和中子的速度相同,即粘在一起运动 (完全非弹性碰撞),则在碰撞过程中损失的机械能最多,若所损失的机械能正好等于反应能,则入射质子的动能最小,这最 小动能便是阈能. 设质子的入射速度大小为 vp ,反应后 2 He 和中子的速度大小为 v ,根据动量守恒和能量守恒有
3 3

mp vp ? (m3 He ? mn )v
1 1 2 mp vp ? (m 3 He ? mn )v 2 ? Q 2 2
由(1) 、 (2)式可得

(1)

(2)

mn ? m3 He 1 2 mp vp ? Q 2 mn ? m3 He ? mp
所以阈能为

(3)

? ? mp Tth ? ?1 ? Q ? mn ? m3 ? mp ? ? He ? ?

(4)

第 34 页

利用第 1 问中的(1)式,并注意到

Q m3 H c 2


?? 1

1 ? mn ? m3 He ? mp
2

1 ? Q ? m3 H ?1 ? ? m3 c 2 ? ? ? H ?

?

Q ? 1 ? 1? ? 2 ? ? m3 H ? ? m3 H c ?

在忽略

Q

项的情况下,(4)式可简化为

? m ? Tth ? ?1 ? p ? Q ? m3 ? ? H ?
代入有关数据得

(5)

Tth ? 1.02MeV

(6)

解法二 在牛顿力学中可以证明, 质点系的总动能可以表示为质点系的总质量以质心速度运动的动能即所谓质心动能与各质点相 对质心运动的动能之和.若质点系不受外力作用,则质点系的动量守恒,质心速度不变,故质心动能亦恒定不变;如果质点 系内部的相互作用导致质点系机械能的变化, 则可变化的机械能只能是各质点相对质心运动的动能. 在本题中, 如果质子 p 与氚 1 H 发生反应后,生成的中子 n 和氦 2 He 相对质心都静止,则质子 p 与氚 1 H 相对质心运动的动能之和全部转化成反 应能,反应后系统的动能只有质心的动能,在这请况下,转化成其他形式能量的机械能最多,入射质子的动能最小,这最小 动能便是阈能.所以入射质子的阈能等于系统质心的动能与反应能之和.
3 3 3

? p 以 v? p 和 v 3 分别表示质子 和氚 1 H 相对质心的速度,有
3

H

Q=
因系统质心的速度

1 1 2 mp v? m 3 H v?32 p ? H 2 2

(1)

vc ?


mp vp mp ? m3 H

(2)

v? p ? vp ? vc ?

m3 H vp mp ? m3 H mp vp mp ? m3 H

(3)

v?3 H ? 0 ? vc ? ?
由(1)、(3)、(4)式得

(4)

第 35 页

Q?

m3 H mp ? m3 H

1 2 mp vp 2

(5)

在牛顿力学中,系统的总质量是恒定不变的,这就导致系统质心的动能在反应前后恒定不变的结论,但在本题中,损失 掉的机械能导致系统总质量的变化, 使反应前系统的总质量与反应后系统的总质量不相等, 即 mp 如 ? m3 H ? mn ? m3 He .

果仍沿用牛顿力学的结论,对一个孤立系统,其质心速度是不会改变的,故反应后质心的动能应为

Ec ?


1 1 1 Q 2 2 2 mn ? m3 He vc ? ? mp ? m3 H ? vc ? vc 2 2 2 c2

?

?

2 2 mp vp mp Q Q 1 Q 2 1 Q v ? ? ? ? ? c 2 c2 2 c 2 ? m ? m3 ?2 c 2 mp ? m3 H m3 H p H

由此可见,在忽略

Q

2

的条件下

1 1 2 2 mn ? m3 He vc ? ? mp ? m3 H ? vc 2 2

?

?

而入射质子的阀能

Tth ?
由(2)、(5)、(6)式得

1 2 mp ? m3 H ? vc ?Q ? 2

(6)

? m ? Tth ? ?1 ? p ? Q ? m3 ? ? H ?
代入有关数据得

(7)

Tth ? 1.02MeV

(8)

解法三 考虑反应前后各粒子都沿同一直线运动的情况,若入射质子与与静止的 1 H 发生完全非弹性碰撞,即反应后产生的中子 和 2 He 以相同的速度运动,则入射质子的动能就是阈能.以 m10 表示质子的静止质量, m20 表示 1 H 的静止质量, m30 表 示中子的静止质量, m40 表示 1 He 的静止质量,设质子的入射速度大小为 vp ,反应后 2 He 和中子的速度大小都为 v ,根
3 3
3 3 3

据动量守恒和能量守恒有

m1vp ?

? m30 ? m40 ? v
v2 1? 2 c
2

(1)

m1c ? m20c
2

m30 ? m40 ? c 2 ? ? v2 1? 2 c

(2)

第 36 页

式中 m1 是质子的动质量.由(1)、(2)两式得

v=
把(3)式代入(1)式,经整理得

m1vp m1 ? m20
2 2 c 2 ? m12 vp ? ? m30 ? m40 ? c 2 2

(3)

? m1 ? m20 ?


(4)

m1 ?

m10 1?
2 vp

(5)

c2
2 m12 vp

可得
2 m12 ? m10 ?

c2

(6)

若入射质子的阈能为 Eth ,有

m1c2 ? m10c2 ? Eth
由(4)、(6)、(7)式可得

(7)

Eth
利用题给条件并引入反应能,得

? m ? m40 ? ? ? m10 ? m20 ? ? 30
2

2

2m20

(8)

Eth ?
或有

mp ? m3 H ? mn ? m3 He 2m3 H

Q

(9)

Q + 2 ? mp ? m3 H ? 2 mp ? m3 H c Eth ? Q? Q 2m 3 H m3 H
代入有关数据得

(10)

Tth ? 1.02MeV

(11)

第 37 页


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