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高斯


节水灌溉? 2004 年第 1 期
文章编号 :10072 4929 (2004) 012 00012 02

1

试验研究

高斯2牛顿法及其在作物水分生产 函数模型参数求解中的应用
罗玉峰 ,崔远来 ,朱秀珍
( 武汉大学水利水电学院 ,湖北 武汉 430072)

>     :对于作物水分生产函数的非线性模型 ,现有参数求解方法是先采用变量代换使模型线性化后再用最小二乘 摘 要

法求解 。用这种方法得到的参数估计值并不是无偏估计 ,因而回归方程也不是最优的 ,相应相关系数也不能很好地反映 拟合的显著性水平 。介绍了高斯2牛顿法 ,并把它用于作物水分生产函数 Jensen 模型参数求解 ,该方法可使拟合结果逼 近无偏估计 ,从而提高拟合的精度 。同时 ,给出的未经线性化模型的相关系数更能反映拟合的显著性水平 。    关键词 : 作物水分生产函数 ; 模型参数 ; 非线性回归 ; 高斯2牛顿法 ; 相关系数    中图分类号 :S274. 1    文献标识码 : A

tution to convert it into linear model , and t hen using least square met hod to calculate it . However , t he estimation value of parameter

achieved by using t his met hod is not unbiased ,so t he regressive function is not optimal and t he correlative coefficient can not measure t he

performance of fitting efficiently. This paper introduces Gauss - Newton met hod and uses it to calculate t he parameters of Jensen model of efficient of original model presented can measure t he performance of fitting more efficiently.

crop water production function. The result by using t his met hod is nearly unbiased , t he fitting precision is enhanced and t he correlative co2

relative coefficient

0    引 言

物水分生产函数模型很多 , 其中 Jensen 模型是应用较广的一 种 ,其表达式为 :
n Ya E Ta = Π Ym i =1 ETm

式中 : Y a 为各处理条件下的实际产量 , kg/ hm2 ; Y m 为正常灌
2

溉下的产量 ,kg/ hm ; E T a 为各处理条件下的实际蒸发蒸腾量 ,
mm ; E T m 为正常灌溉下的蒸发蒸腾量 , mm ; i 为阶段编号 ; n

为模型的阶段总数 。

Abstract : The present calculation met hod for parameters of nonlinear model of crop water production function is firstly using variable substi2

Key words : crop water production f unction/ parameters of model/ nonlinear regression/ Gauss2Newton met hod/ cor2

作物产量与水分的数学关系称为作物水分生产函数 。作

收稿日期 :2003209215

基金项目 :863 计划项目 “现代灌溉条件下水肥耦合与高效利用技术 (2001AA242032 - 4) ” “南方季节性缺水灌区 ( 江西省鹰潭) 节水农业综合 及 技术体系集成与示范 (2002AA2Z4331) ” 部分研究内容 。 作者简介 : 罗玉峰 (19772) ,男 ,博士研究生 。

Application of G auss2 Ne wton Method in Calculation of Parameters of Crop Water Production Function
( College of Water Resources and Hydropower , Wuhan University , Wuhan City , 430072)
λ
i

L UO Yu2feng , CUI Yuan2la i , ZHU Xiu2zhen
两边取对数 :
ln
i

对于 Jensen 模型 ,常用的模型参数求解方法 [ 1 ,2 ] 是先采用

变量代换使模型线性化 ,然后再用最小二乘法求解 ,即对式 ( 1 )
Ya = Ym
n

i =1

λ ∑ ln
i

E Ta ETm

( 2)

( 1)

得到线性模型 ,再用最小二乘法求解得到模型参数的估计值 。 相应的相关系数的计算公式可写成 :
l

R =

j =1 l

∑ ∑

ln

^a Y

Ym

- ln - ln

j

Ya Ym Ya Ym

2

1 2

j =1

Ya ln Ym

2

( 3)

j

2

高斯2牛顿法及其在作物水分生产函数模型参数求解中的应用    罗玉峰   崔远来   朱秀珍
l l

式中 : j 为实验处理的编号 , l 为处理的个数 。 这种方法所求出的回归模型参数尽管符合最小二乘原理 , 但它们仅对置换变量是无偏的 ,而对于原变量则不是无偏估计 量 。因为不是直接观测值 ,它们只是观测值的非线性函数 。这 种方法只能使 :
l

 Q = 则有 :

j =1

∑V 2
j

=

j =1

∑( A 1

j

Δ Δ ? b1 + … + A lj ? bn - L j ) 2 ( 11)

j =1



Ya ln Ym

j

ln

^a Y
Ym
j

2

l

最小 ,但

j =1



Ya Ym

j

^a Y
Ym
j

2

不一定最小 ,因此 ,得到的回归方程不是最优的 。式 ( 3 ) 计算的 只是线性化后参数的相关系数 , 不能反映观测值的相关系数 。 实际上 ,用未经线性化的原始模型的相关系数 R′ 更能反映拟合 的显著性水平 。

R′=

1 -

j =1


m j =1

m

Ya Ym

j

^a Y
Ym Ya Ym
j

2

1 2

( 12) 将式 ( 12) 展开除以 2 ,并按未知数 Δ bi 合并同类项 ,得到一 个方程组 ,写成矩阵形式为 :



Ya Ym

2

( 4)

j

1  高斯2牛顿法原理
在线性回归情况下 ,可以根据最小二乘估计的定义直接求 出参数的表达式 。但是对于非线性情况 ,要想求出参数的解析 解几乎是不可能的 。实际上参数求解问题是一个优化问题 ,求 解优化问题的算法有直接搜索法 、 Hooke2Jeevese 法 、 梯度法 、 截 归因子和 n 个待定参数 B 的非线性模型为 :
y = f ( x 1 , x 2 , …, x t ; b1 , b2 , …, bn ) = f ( X ; B )

尾牛顿法 、 变尺度法等 。统计学中常用的是高斯2牛顿法 。高斯 2牛顿法的基本出发点就是先对模型进行线性近似 ,求出近似模
( 5)

型的最小二乘估计 , 然后再施以迭代程序 [ 3 ,4 ] 。记含有 t 个回

解此方程组即可求得参数的修正值 Δbi ,再由式 ( 6 ) 得到修 正后的参数估计值 。这时用新的拟合值计算的剩余标准差和 残差平方和减小 ,相关系数增大 。 上述过程使改正数 V j 的平方和最小 , 但在使用泰勒级数 展开时舍去了二次以上的高次项 ,是用线性模型逼近非线性模 型 ,因此需要用以上步骤经过多次迭代计算 , 最终使 Δ bi 趋近 于 0 ,参数值逼近无偏估计值 。实际应用中各参数在计算拟合 值时的权重不同 ,不一定要求 Δ bi 都趋近于 0 , 只需迭代 1 ~ 3 次使 bi 的估计值达到不影响拟合值计算的给定精度即可 [ 5 ] 。

2   ensen 模型参数求解的实例 J

在曲线拟合的回归计算中 ,是通过 l 组观测样本值 ( X j , y j )

来估计待定参数 bi ( i = 1 , 2 , …, n ) 。这里把现有方法计算的回 归模型参数 b0i 作为近似值 , 并将最优 bi 与 b0 的差记为 Δbi , i 即:
bi = b0 +Δbi i

( 6)

取文献 [ 6 ] 中 1992 年河北唐海县中稻田间试验资料为例 , 用高斯2牛顿法求解 Jensen 模型的参数 。 0 文献 [ 6 ] 中已用传统方法求出了模型参数的估计值 λi 和 相关系数 R 。如前所述 , 其结果不是最优的 。为了优化 λ , 把 i 0 0 λi 作为初始值 ,将式 ( 1 ) 在 λi 按泰勒级数展开并取其一次项 , 得: Δ
Ya = Ym Ya

这样 ,参数 bi 的优化问题就转化为确定修正值 Δbi 。因此
0

将式 ( 5) 在 B 按泰勒级数展开并取其一次项 ,得 :
0 y = f ( X , B) ≈ f ( X , B ) +

Δ ? bn

式中 f ( X , B 0 ) 为函数的近似值 。当 B 0 给定时 ,式中各偏导数 均为观测值的函数 ,可以直接计算出来 。并令 : 9 f ( X , B) 9 f ( X , B) = A 1 , …, = An 9 b1 9 bn
V = Δy - L

则有 :

Δ Δ y - f ( X , B 0 ) = Δy ≈ A ? b1 + … + A n ? bn

设改正数为 V = ( ^ + Δy ) - y , 且令 ^ - y = - L ,则 : y y

当观测值 ( 样本) 组数为 l 时 ,就有 l 个这样的改正数方程 Δ Δ Δ V j = A 1 j ? b1 + A 2 j ? b2 + … + A lj ? bn - L j
( 10)

式 。将式 ( 8) 代入式 ( 9) 得 :

这里 ,Δb1 ,Δb2 , …,Δbn 为未知数 , 按照最小二乘原理 , 所求各 参数的修正值Δbi 应使改正数 V j 的平方和最小 。为此令 :

9 f ( X , B) Δ 9 f ( X , B) ? b1 + … + 9 b1 9 bn ( 7)
( 8) ( 9)

式中 : A i =

。 = ? ln 9λ Ym ETm i 计算出 A i 和 L 后 ,即可得到形式如式 ( 13 ) 的线性方程组 。 1 0 λ 求此方程组可得到 Δ i ,由 λi = λi +λi 即可得到第一次迭代优 1 0 λ λ 化的结果 。用 Δ i 代替 Δ i , 重复以上步骤进行第二次迭代 。 本文的实例在第三次迭代时已趋收敛 。迭代结果见表 1 。 从表 1 可以看出 ,Jensen 模型的参数经过 3 次迭代后 ,残差 平方和由 0. 0624 降低到 0. 0590 , 与它相应的剩余标准差随之 减小 ,相关系数 R′ 增大 ,曲线拟合精度提高 。这说明用高斯2牛 顿法来进一步优化线性化后的 Jensen 模型的参数是可行的 。

3    结 论

① 现有的模型参数求解方法得到的 Jensen 模型的参数估 计值并不是无偏估计 ,因而回归方程也不是最优的 ; 用高斯2牛 顿法来优化线性化后的 Jensen 模型的参数能提高拟合的精度 。 ( 下转第 8 页)

9Q ( Δ Δ ) Δ = 2 j∑ A 1 j ? b1 + … + A lj ? bn - L j A 1 j 9 b1 =1 9Q ( Δ Δ ) Δ = 2 j∑ A 1 j ? b1 + … + A lj ? bn - L j A 2 j 9 b2 =1           …
l l

l

9Q ( Δ Δ ) Δ = 2 j∑ A 1 j ? b1 + … + A lj ? bn - L j A nj 9 bn =1

∑A 1 A 1 ∑A 2 A 1


… … … …

∑A 1 A ∑A 2 A ∑A A
n

n n

Δb1 Δb2

?

∑A A 1
n

n

… Δbn

=

∑A 1 L ∑A 2 L


(13)

∑A L
n

i =1

∑A
E Ta

4

i

Δ i ?λ

( 14)

9(

Ya ) Ym

8

不同灌溉方式对覆盖辣椒的效应研究    吴士章
表1  各时期各处理区不同灌水量及灌水方式与辣椒发育对比 时期 降雨/
mm A 0 0 0 0 0

平均灌溉水量/ mm
B 0. 5 0. 6 0. 7 0 1. 9 C 0. 5 0. 6 0. 7 0 1. 9 D 0. 6 0. 7 0. 9 0 2. 3 E 0. 6 0. 7 0. 9 0 2. 3 A 18. 0 28. 0 40. 0 45. 0 B

平均株高/ cm
C 18. 0 51. 4 54. 2 54. 0 D 18. 0 49. 0 55. 0 55. 0 E 18. 0 18. 0 52. 0 53. 0 A 3. 8 5. 6 5. 6 5. 7

平均叶面积指数 L A I
B 3. 8 6. 7 7. 0 7. 1 C 3. 8 6. 8 7. 1 7. 2 D 3. 8 6. 5 7. 1 7. 2 E 3. 8 6. 7 7. 0 7. 0

长叶期 叶茂~长枝

219. 4 66. 5

18. 0 50. 5 52. 1 52. 0

开花~挂果 396. 2 成熟期 合  计
128. 1 707. 0

   在辣椒生育各个时期 , 不同的灌水方式产生的效果有异 , 见表 1 。在叶茂到长枝丫期间 ,处理 B 区平均株高 50. 5 cm ,叶 面积指数 6. 7 ,处理 C 区为 51. 4 cm 和 6. 8 。在开花~挂果期处 理 B 区株高 52. 1 cm ,叶面积指数为 7. 0 ,处理 C 区为 54. 2 cm 和 7. 1 。处理 C 区略高于处理 B 区 。在成熟的后期不灌水 , 各 小区辣椒生育发展基本一致 。

式计算 。
E Ta = P + I + S a - D

式中 : P 为降雨量 ,mm ; I 为灌水量 ,mm ; S a 为根层土体储水变 化值 ,mm ; D 为流出根层的渗漏量和流出试验地的径流量 ,mm
( 根系层 28 cm 以下 50 cm 的土体含水量 ,采用烘干实测) 。

在计算耗水量时 ,用 W 项代替 S a 项 。土壤含水量按以下 公式计算 。
W =γ v h

2. 2   不同处理区辣椒耗水量分析
实际耗水量是指辣椒在其生育期间所消耗的水量 。贵州 省岩溶山区地下水埋藏深 , 地面蓄水能力弱 , 降雨量在作物生 育的个别月份又低于潜在的蒸发量 。所以 ,耗水量按平衡方程

式中 :γ为土壤含水量 , % ( 分两层 ,耕作层 20 cm ,耕作以下 50
cm) ; v 为土壤容重 ; h 为土层厚度 ,mm 。计算结果见表 2 。

表2  不同处理小区辣椒水量的组成 处理 代号
A B C D E

总耗水量/ mm
424. 6 425. 5 426. 8 428. 9 430. 0

降雨量/ mm
707. 0 707. 0 707. 0 707. 0 707. 0

占耗水量/ %
149. 0 166. 2 165. 7 164. 8 164. 7

灌溉水量/ mm
0 1. 9 1. 9 2. 3 2. 3

占耗水量/ %

消耗土壤水/ mm
282. 4

占耗水量/ %
66. 5 66. 6 66. 1 65. 4 65. 2

0. 4 0. 4 0. 5 0. 5

283. 4 281. 1 280. 4 279. 3

   从表 2 看出 ,灌水越多 ,总耗水量就越大 ,其根源是每次灌 水或降雨后 ,土壤供水状况的好转导致了蒸发及蒸腾强度的迅
( 上接第 2 页)

速上升 ,使耗水增加 。



表1  计算结果和比较 λ 1 初始值 第 1 次迭代 第 2 次迭代 第 3 次迭代
0. 209 2 0. 204 7 0. 210 0 0. 210 1

λ 2
0. 553 8 0. 550 0 0. 553 7 0. 553 9

λ 3
0. 676 3 0. 750 7 0. 757 9 0. 757 9

λ 4
0. 177 8 0. 102 5 0. 101 8 0. 101 8

R′

∑( y - ^) 2 y
0. 062 4 0. 0591 0. 059 0 0. 059 0

剩余标准差 S
0. 069 3 0. 067 4 0. 067 4 0. 067 4

0. 891 1 0. 897 3 0. 897 4 0. 897 4

  ② 现有方法求出的相关系数反映的只是线性化后模型拟 合的显著性水平 ; 本文得到的相关系数虽比原有的小 , 但更能 反映原始模型拟合的显著性水平 。 参考文献
[1]   李远华 . 节水灌溉理论技术 [ M ] . 武汉 : 武汉水利电力大学出版

[3]   韦博成 . 近代非线性回归分析 [ M ] . 南京 : 东南大学出版社 ,1989. [4 ]   Bates , D. M. , Watts , D. G. Non2linear regressing analysis and its applications[ M ] . John Wiley and Sons , 1988. [5]   何薪基 ,李光辉 ,任德记 . 牛顿优化法在地下水位曲线拟合中的应

用 [J ] . 长江科学院院报 ,1997 , (2) .

[6 ]   崔远来 , 李远华 , 张明炷 , 等 . 中稻水分生产函数及应用研究 [J ] .

社 ,1999.
[2]   朱勇华 ,邰淑彩 ,孙韫玉 . 应用数理统计 [ M ] . 武汉 : 武汉水利电力

灌溉排水 ,1995 , (2) .

[ 7 ]     ,张金华 ,胡铁松 . 遗传算法在水分生产函数参数率定中的 杨 昆

大学出版社 ,2000.

应用 [J ] . 中国农村水利水电 ,2002 , (8) :10 - 12.


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