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二面角学案


二面角
一、基本观点 (一).求二面角的主要方法: (1) 定义法:①找(作)二面角的平面角; 【先证】 ②解三角形求出角。 【后算】 (2) 公式法:设二面角的度数为θ ,则 cos? ?

∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5

5 .(如图 9—21)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面

SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小;

S 射影三角形 S 侧面三角形

多用于求无棱二面角。 (二) 求作二面角的平面角 求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的作 法有下面三种: 1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直 于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角. 2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键在找 面的垂线. 3.垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角 为二面角的平面角. 二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多 数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角. 例题解析 题 1: 设 P 是二面角 α-l-β 内一点,P 到面 α、β 的距离 PA、PB 分别为 8 和 5,且 AB=7, 求这个二面角的大小。

题 3.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点。 (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60?。
E M F C

互 相 垂 直 ,

B

D

A

题 2. 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=

题 4.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=2,AA1= 2 2 ,M 为棱 A1A 上的点,若

1

A1C⊥平面 MB1D1。 (Ⅰ)确定点 M 的位置; (Ⅱ)求二面角 D1-MB1-B 的大小。

题 6.四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 ,
CD ? 2 , AB ? AC .

(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45? ,求二面角 C ? AD ? E 的大 小的余弦值.
, C

A

B D

E

题 5. 如图所示, ?ADB 和 ?CBD 都是等腰直角三角形,且它们所在的平面互相垂直,

?ADB ? ?CBD ? 90? , AD ? a
(I)求异面直线 AD、BC 所成的角。 (II)设 P 是线段 AB 上的动点,问 P、B 两点间的距离多少时, ?PCD 与 ?BCD 所在平面 成 45? 的二面角?;

题 7: 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° ,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M.

A

(Ⅰ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 ADMN;
P

(Ⅲ)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大 小.
B

D

C

2


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