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高考中的立体几何(解答题型)


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[做考题 体验高考]
1.(2012· 安徽高考)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一点. (1)证明:BD⊥EC1; (2)如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长.

解:(1)证明:连接 AC,A1C1. 由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,所以 AA1⊥BD.

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又由 AA1∩AC=A,所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1?平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1. (2)法一:设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2, 故 OE2=( 2)2+( 2)2=4. 故 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2, A1C1=2 2,故 EC2=(h- 2)2+(2 2)2. 1 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,OC2=h2+( 2)2. 1

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因为 OE⊥EC1,所以 OE2+EC2=OC2, 1 1 即 4+(h- 2)2+(2 2)2=h2+( 2)2, 解得 h=3 2, 所以 AA1 的长为 3 2. 法二:∵OE⊥EC1,∴∠AEO+∠A1EC1=90° . 又∵∠A1C1E+∠A1EC1=90° ,∴∠AEO=∠A1C1E. 又∵∠OAE=∠C1A1E=90° ,∴△OAE∽△EA1C1, AE AO 2 2 ∴A C =A E,即 =A E,∴A1E=2 2, 2 2 1 1 1 1 ∴AA1=AE+A1E=3 2.

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2.(2012· 广东高考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 1 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=2AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

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解: (1)证明: 因为 AB⊥平面 PAD, 所以平面 PAD⊥平面 ABCD; 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH⊥AD, 又平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,PH?平面 PAD,所以 PH⊥平面 ABCD. (2)因为 E 为 PB 的中点,所以 E 点到平面 ABCD 的距离为 1 1 1 1 2 2PH=2,S△BCF=2×CF×AD=2×1× 2= 2 . 1 1 2 2 所以三棱锥 E-BCF 的体积 V=3×2× 2 = 12 .

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(3)证明:如右图,取 AB 的中点 M,连接 MF、 EM,取 PA 的中点 N,连接 NE、DN. 1 因为 AB∥CD,DF=2AB,所以 NE 綊 AM 綊 DF,所以四边形 DNEF 为平行四边形,所以 EF 綊 DN. 因为 PD=AD,所以 DN⊥PA,又因为 AB⊥平面 PAD,所以 DN⊥ AB,PA∩AB=A,所以 DN⊥平面 PAB,所以 EF⊥平面 PAB.

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3.(2012· 江西高考)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是 线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5, BC=4 2, DE=4.现将△ADE, △CFB 分别沿 DE, 折起, CF 使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

(1)求证:平面DEG⊥平面CFG; (2)求多面体CDEFG的体积.

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解:(1)证明:因为 DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形 CDEF 为矩形, 由 GD=5,DE=4, 得 GE= GD2-DE2=3, 由 GC=BC=4 2,CF=DE=4, 得 FG= GC2-CF2=4, 所以 EF=5, 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2,所以 EG⊥GF. 因为 CF⊥EF,CF⊥FG,得 CF⊥平面 EFG, 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG, 即平面 DEG⊥平面 CFG.

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(2)在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于点 H, EG· GF 12 则 GH= EF = 5 . 因为平面 CDEF⊥平面 EFG,所以 GH⊥平面 CDEF, 1 所以 VCDEFG=3SCDEF· GH=16.

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4.(2012· 山东高考)如图,几何体 E-ABCD 是四棱 锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.
证明:(1)如图(1),取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD, 又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC,

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因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点, 所以 BE=DE. (2)法一:如图(2),取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN. 因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC, 所以 MN∥平面 BEC. 因为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30° .

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又 CB=CD,∠BCD=120° ,因此∠CBD=30° , 所以∠BDN=∠CBD 所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.

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法二:如图(3),延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120° , 所以∠CBD=30° . 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° , 1 因此∠AFB=30° ,所以 AB=2AF. 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的中点,因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC,所以 DM∥平面 BEC.

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[析考情 把脉高考] 考点统计 线线位置关系 3年13考

线面位置关系
面面位置关系

3年20考
3年9考

体积的计算
折叠问题

3年13考
3年4考

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考 情 分 析 (1)空间位置关系的证明为每年的必考内容且以线面位 置关系的证明为主. (2)空间线面位置关系常与体积的计算问题相结合命题, 且体积计算常出现在问题的最后一问. (3)多以柱体、锥体为载体考查,难度中等.

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线线、线面位置关系的证明
[例 1] (2012· 朝阳模拟)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,平面 SAD⊥平面 ABCD.四边 形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点, Q 为 SB 的中点. (1)求证:CD⊥平面 SAD; (2)求证:PQ∥平面 SCD; (3)若 SA=SD,M 为 BC 的中点,在棱 SC 上是否存在点 N, 使得平面 DMN⊥平面 ABCD,并证明你的结论.

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[思路点拨]

(1)利用面面垂直的性质定理证明;

(2)转化为证明线线平行; (3)转化为证明平面 DMN 内的某一条直线与平面 ABCD 垂直.
[规范解答] CD⊥AD. 又平面 SAD⊥平面 ABCD,且平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 所以 CD⊥平面 SAD. (1)证明:因为四边形 ABCD 为正方形,所以

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(2)证明:取 SC 的中点 R,连接 QR,DR.由题意知 PD∥BC 且 1 PD=2BC. 在△SBC 中,Q 为 SB 的中点,R 为 SC 的中点, 1 所以 QR∥BC 且 QR=2BC, 所以 QR∥PD 且 QR=PD, 则四边形 PDRQ 为平行四边形,所以 PQ∥DR. 又 PQ?平面 SCD,DR?平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD.

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(3)存在点 N 为 SC 的中点,使得平面 DMN⊥平面 ABCD. 连接 PC、DM 交于点 O,连接 PM、SP、NM、ND、NO, 因为 PD∥CM,且 PD=CM, 所以四边形 PMCD 为平行四边形,所以 PO=CO. 又因为 N 为 SC 的中点, 所以 NO∥SP.易知 SP⊥AD, 因为平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 并且 SP⊥AD,所以 SP⊥平面 ABCD, 所以 NO⊥平面 ABCD. 又因为 NO?平面 DMN,所以平面 DMN⊥平面 ABCD.

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1.证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

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2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证 线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证 面面平行.

3.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理,把证明线面垂直转化为证 明线线垂直;

(2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证
面面垂直; (3)利用教材中常见结论,如:两条平行线中的一条垂直

于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. 返回

4.面面位置关系的常用证明方法

(1)证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两
条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证面面平行转化为 证线面平行,再转化为证线线平行. (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个 面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂

直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则
借助中点、高线或添加辅助线解决.

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1.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,棱 AA1 与底面 ABC 垂直,△ABC 为等腰直角三 角形,AB=AC=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:平面 AB1F⊥平面 AEF.

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证明:(1)如图,取 AB 的中点为 G,连接 DG,GC. ∵D 是 AB1 的中点, 1 ∴DG∥BB1,且 DG=2BB1, 1 又∵BB1 綊 CC1,CE=2CC1, ∴DG∥CE 且 DG=CE, ∴四边形 DECG 是平行四边形,∴DE∥GC. 又∵DE?平面 ABC,GC?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC.

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(2)∵△ABC 为等腰直角三角形,F 为 BC 的中点, ∴BC⊥AF, 由题意知 B1B⊥平面 ABC,∴B1B⊥AF. 又∵B1B∩BC=B, ∴AF⊥平面 B1BF,∴AF⊥B1F, 设 AB=AA1=2,则 B1F= 6,EF= 3,B1E=3, 故 B1E2=B1F2+EF2,∴B1F⊥EF. 又∵AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF. 又∵B1F?平面 AB1F,∴平面 AB1F⊥平面 AEF.

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2.如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB, π ∠OAB=∠OAC=6,AB=AC=2,BC= 2, D、E 分别为 AB、OB 的中点. (1)求证:CO⊥平面 AOB; (2)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC, 若存在,试确定 F 的位置;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:因为 AO⊥平面 COB,所以 AO⊥CO,AO⊥BO, 即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC=6,AB=AC=2,所以 OB=OC=1.

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由 OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知△BOC 为直角三角形,所 以 CO⊥BO.又因为 AO∩BO=O,所以 CO⊥平面 AOB. (2)在线段 CB 上存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,此 时 F 为线段 CB 的中点.

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如图,连接 DF,EF.因为 D、E 分别为 AB、 OB 的中点,所以 DE∥OA. 又 DE?平面 AOC,所以 DE∥平面 AOC. 因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点,所以 EF∥OC. 又 EF?平面 AOC,所以 EF∥平面 AOC, 又 EF∩DE=E,EF?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以平面 DEF∥平面 AOC.

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空间位置关系与体积的综合问题
[例 2] (2012· 福建高考)如图,在长方体

ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2, M 为棱 DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC. [思路点拨] (1)可证明 AD⊥平面 CDD1C1,故可求点 A 到底面

MCC1 的高,然后利用体积公式求解; (2)可将侧面展开,判定 M 点的位置.

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[规范解答]

(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,

AD⊥平面 CDD1C1, 所以点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1. 1 1 又 S△MCC1=2CC1×CD=2×2×1=1, 1 1 所以 VA-MCC1=3AD· S△MCC1=3.

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(2)证明:将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时 针转 90° 展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图), 当 A1,M,C′共线时,A1M+MC 取得最 小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2,
2 ∴CC1=MC2+MC2,得∠CMC1=90° ,即 CM⊥MC1. 1

又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1⊥CM.

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又 B1C1∩C1M=C1, ∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证,B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC.

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计算体积要注意几何体的割补,棱锥的性质以及选择 适当的底面求出对应的高.

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3.如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′, ∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA′=1, 点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; 1 (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积.(锥体体积公式 V=3Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

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解:(1)法一:连接 AB′,AC′.因为点 M、 N 分别是 A′B 和 B′C′的中点,所以点 M 为 AB′的中点. 又因为点 N 为 B′C′的中点, 所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′, AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′.

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法二:取 A′B′的中点 P.连接 MP,NP,AB′. 因为点 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点, 所以 MP∥AA′, PN∥A′C′, 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′. 又 MP∩PN=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ACC′.

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(2)法一: 连接 BN, 由题意得 A′N⊥B′C′, 平面 A′B′C′∩ 平面 B′BCC′=B′C′,所以 A′N⊥平面 NBC. 1 又 A′N=2B′C′=1, 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC=2VN-A′BC=2VA′-NBC=6. 1 1 法二:VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBC=2VA′-NBC=6.

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折 叠 问 题
[例 3] 如图,在△CEF 中,tan E=2,CD⊥EF,且 DE=1, DF=2,A、B 分别是 DF、CF 的中点.现将△ABF、△DEC 分 别沿 AB、 折起, CD 使得平面 ABF、 平面 DEC 都与四边形 ABCD 所在的平面垂直.

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(1)求证:BC⊥BE; (2)在 EC 上找一点 M,使得 BM∥平面 ADEF,请确定 M 点 的位置,并给出证明. [思路点拨] 由题意可知 FA=AD=DE,AB⊥AD,CD⊥AD,

故四边形 ABCD 为直角梯形且面 ADEF⊥面 ABCD.

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[规范解答]

(1)证明:在原三角形 CEF 中,因为 A、B 分别是

1 DF、CF 的中点,所以 AB∥CD,且 AB=2CD. 因为 CD⊥EF,所以 AB⊥EF. 在 Rt△DEC 中,DE=1,tan E=2,故 CD=2. 1 1 在 Rt△DCF 中,AB=2CD=1,AF=AD=2DF=1. 又因为 DF=CD=2,B 为 CF 的中点,所以 DB⊥CF.则有 DB⊥BC. 因为平面 DEC 与四边形 ABCD 所在的平面垂直,且平面 DEC∩平面 ABCD=CD,DE⊥CD,

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所以 DE⊥平面 ABCD, 故 DE⊥BC,所以 BC⊥平面 BDE,故 BC⊥BE. (2)由(1)可知四边形 ADEF 为正方形,且其所在平面与平面 ABCD 垂直. 取 EC 的中点 M,则有 BM∥平面 ADEF. 证明如下:如图,取 CD 的中点 N,连接 MN、BN, 由(1)知 BN∥AD,所以 BN∥平面 ADEF. 因为 M、N 分别为 CE、CD 的中点,所以 MN∥DE, 则 MN∥平面 ADEF, 则平面 BMN∥平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF.

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(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化

量和不变量,一般情况下,折线同一侧的,线段的长度是不
变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题 的突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分 析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形

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4.如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,且 1 AB=AD=2CD=1.现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF, 然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如图(2).

图(1)

图(2)

(1)求证:AM∥平面 BEC; (2)求证:BC⊥平面 BDE.
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证明:(1)如图取 EC 的中点 N,连接 MN,BN. 在△EDC 中,M,N 分别为 ED,EC 的中点, 1 所以 MN∥CD,且 MN=2CD. 1 由已知 AB∥CD,AB=2CD, 所以 MN∥AB,且 MN=AB. 所以四边形 ABNM 为平行四边形,所以 BN∥AM. 又因为 BN?平面 BEC,且 AM?平面 BEC, 所以 AM∥平面 BEC.

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(2)在正方形 ADEF 中,ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 ED⊥平面 ABCD,所以 ED⊥BC. 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=1,CD=2, 可得 BC= 2. 在△BCD 中,BD=BC= 2,CD=2, 所以 BD2+BC2=CD2,所以 BC⊥BD. 又因为 BD∩ED=D,所以 BC⊥平面 BDE.

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(1)在证明空间线面关系时,应该注意几何体的结构特征

的应用,尤其是一些线面平行与垂直关系,这些都可以作为条
件直接应用. (2)弄清各类问题的关键点,把握问题的层次,重视容易

忽视的问题,如证平行时,由于过分强调线线、线面、面面平
行的转化,而忽视由垂直关系证平行关系;证垂直时,同样忽 视由平行关系来证明或利用勾股定理计算证明.

(3)图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有
着不可比拟的优势,解决此类问题的关键是弄清图形变化前后 的点、线、面的对应关系,并分析清楚变化前后点、线、面的 位置变化.

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