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黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高一上学期期末数学试题 扫描版Word版答案


2013-2014 学年度高一上学期期末考试 数 学 答 案
一、选择题 1. C 2. B 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. C 9. C 10. B 11. D 12. B 二、填空题 13. 3 14.

3? 4

15. 4 或

1 4

16. 4

/>
三、解答题 17.解: (

1



4 ?1 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 3 4 … 4?

2 2

?

tan ? ? tan

?

2



sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
… 8?

?

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? tan 2 ? ? 1 5
… 10?

18.解: (

1



? .

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 … 4? 2? T? ?? ? 函 数 2 ? x ? [0, ] 2

?

f ( x)















… 6? ,

?

? 2x ?

?

? 2sin(2 x ? ) ? [?1, 2] . 6
? f ( x)
ks5u (2)方法一: 在

?

? 7? ?[ , ] 6 6 6

? 1 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 2



[0, ] 2

?







为 … 8?

[?1, 2]

.

? ? 1 ? 2sin(2 x0 ? ) ? 1 ,? sin(2 x0 ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? 2? 7? ? 5? ? ,? x0 ? . ? x0 ? ( , ) ,? 2 x0 ? ? ( , ) ,? 2 x0 ? ? 4 2 6 3 6 6 6 3 1 ? cos 2 x0 ? ? 2 … 12?
方法二:

? ? 1 ? 2sin(2 x0 ? ) ? 1 ,? sin(2 x0 ? ) ? . 6 6 2

? cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ? ) ? ] ? cos(2 x0 ? ) cos ? sin(2 x0 ? )sin 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

?

? 3 ? ? ? 2? 7? . ? x0 ? ( , ) ,? 2 x0 ? ? ( , ) ,? sin(2 x0 ? ) ? ? 6 2 4 2 6 3 6
? cos 2 x0 ? ?
19.解: 设这种商品的日销售额为 y 元? y ? P(t )Q(t ) 当 ks5u

1 2 … 12?

0 ? t ? 25, t ? N
… 3? 此
x





y?(

2t ?


2

? 0t

? ? ( ) ? 2( t


2

? 1 0 5 )?) 4


1

2

?
ym ? 1250a






t ? 15

… 5?

25 ? t ? 30, t ? N





y?(

?
ym ?


1 2


1 ? ? t(t 6 2

x

2

?? 8 0
, 当

t

0 )… ?? 8?

( ) ?


t ? 25

时 …10?

1425 a 2
上 ,



0 ? t ? 30, t ? N



, … 12?



t ? 15





ym ? a 1250 x
答:这种商品的日销售额的最大值为 1250 元. 20.解: ( 1 ) 若

a ?1



f ( x) ? 4 x ? 2 x ? 2 ? 4
… 2?

? 4x ? 4 ? 2x ? 4

? (2 x )2 ? 4 ? 2 x ? 4

设 t ? 2 ,? x ?[0, 2]?t ?[1, 4]
x



f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 4t ? 4 ? (t ? 2) 2
… 4?

? g (t ) 在 [1, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递增,

?当 t ? 2 时, g (t ) min ? 0 ,当 t ? 4 时, g (t ) max ? 4 ? g (t ) ?[0, 4] . ?
[0, 4]
(2)设 t ? 2 ? x ? (??,1] ? 0 ? t ? 2 ,
x



x ?[0, 2]





f ( x)





数 … 6?













若方程 f ( x) ? 0 在 (??,1] 有实根即可转化为 at ? 4t ? 4 ? 0 在 (0, 2] 有实根.
2

?a ?

?
(??,1]

4t ? 4 4 4 2 2 4t ? 4 ? ? 2 ? ? ?( ? 1) 2 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 2 t t t t t t 实 数 的 取 值 a



围 … 12?



21.解: ( 1 )

?

g ( x)











? g(
0

? x)

? g(

, x )? 即 0

l

nx 2 ? (

a2 ?

x ?)

2 2 l x n? ( a ?

x ?

)

? a ? 0 ? ln a 2 ? 0 ,? a ? 0 ?a ? 1? g ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x) .
2 此时? x ? 1 ?

x 2 ? x ? ? x ? x 2 ? 1 ? x ? 0 对任意 x ? R 恒成立,?函数
义 域 为 . R, 关 于 原 点 对

g ( x)




?a ? 1

… 4? (2) f ( x) ?

x 2 ? 1 ? x ,任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,
x12 ? 1 ? x1 ? x2 2 ? 1 ? x2 = x12 ? 1 ? x2 2 ? 1 ? x1 ? x2 =

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =
x12 ? x2 2 x12 ? 1 ? x2 2 ? 1 ? x1 ? x2

= ( x1 ? x2 )(

x1 ? x2 x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

? 1) = ( x1 ? x2 )(

x1 ? x2 ? x12 ? 1 ? x2 2 ? 1 x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

)?0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

?
数 ( 3 )

f ( x)



R





增 … 8?



? x1 ? x2 ? 0



? x1 ? ? x2



? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? 0



? ln[ f ( x1 )] ? ln[ f (? x2 )] ? ? ln[ f ( x2 )]
即 正. 22.解: (1)由 f ( x) 的定义可知, f ( x) ? f1 ( x) 对任意实数 x 均成立等价于 f1 ( x) ? f 2 ( x) 对 任意实数 x 均成立, 即

g ( x1 ) ? ? g ( x2 )

?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0
… 12?









2

x ?a

? 3? 2

x ?2a











x

















2

x ?a ? x ?2 a

?3,

… 3?

即 x ? a ? x ? 2a ? log 2 3 对任意实数 x 均成立. ks5u

, x ? 2a, ? a ? 设 g ( x ) ? x ? a ? x ? 2a ? ? 2 x ? 3a , a ? x ? 2a , ? g ( x) max ? a ? ?a , x ? a. ?

? 0 ? a ? log 2 3
… 6? (2) (1)当 0 ? a ? log 2 3 时, f ( x) ? f1 ( x) ? 2
x?a

? 2 x ? a , x ? a, ? ? a?x ? 2 , x ? a.


? p ? a ? 2a ? q

? f ( p) ? 2a ? p

f (q) ? 2q ? a



? f ( p) ? f (q) ?a ? p ? q ? a ? 2a ? p ? q

? f ( x ) 在 [ p , a ] 单 调 递 减 , 在 [ a , q ] 单 调 递 增 , ? f ( x) 递 增 区 间 长 度 为
q?a ? q? p?q q? p . … 9? ? 2 2
(2)当 a ? log 2 3 时,

当 x ? a 时,2 从而 f ( x) ? f 2 ( x) ,

a?x

? 3 ? 2 2a ?x ,从而 f ( x) ? f1 ( x) ,当 x ? 2a 时,2 x ?a ? 3 ? 2 x ?2a ,

当 a ? x ? 2a 时,设 2

x0 ? a

? 3 ? 22a ? x0 即 22 x0 ?3a ? 3 ,解得: x0 ?
? f1 ( x), a ? x ? x0 ? f 2 ( x), x0 ? x ? 2a

3a ? log 2 3 2

易得: a ? x0 ? 2a ? f ( x ) ? ?

? 2 a ? x , p ? x ? a, ? x?a ? 2 , a ? x ? x0 , ? f1 ( x), p ? x ? x0 ? 2 a ? x 综上:在区间 [ p, q] 上? f ( x) ? ? ? ?3?2 , x0 ? x ? 2a, ? f 2 ( x), x0 ? x ? q ? x ? 2 a ?3?2 , 2a ? x ? q. ? ?
? f ( p) ? f (q) , ? 2a? p ? 3 ? 2q ?2a ? 3a ? p ? q ? log 2 3 ? f ( x) 在 [a, x0 ] , [2a, q] 递增, ? f ( x) 的单调递增区间长度之和为 x0 ? a ? q ? 2a ?

… 12? ks5u

3a ? log 2 3 ? 3a ? q 2 log 2 3 ? p ? q log 2 3 q? p ?? ? ?q ? 2 2 2


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