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2013年春季高一数学期末试题参考答案


DBFQ SYY DYPT DFDF

2013 年春季高一数学期末试题参考答案
一、 二、11. CDCCD BCAAA 5 12。12 13. 3 14. 14 7π 14 3 15.62

三、16.解:由点 A、B 的坐标并利用斜率公式得 k AB ? 1 ,于是 k1 ? 1 ,从而 l 的方程 为 y=x,………………

……………………………3 分 AB 中点 P(0,3) ,A、M 在第一象限,B 在第二象限,C 在 y 轴上,则 N 在第四象限, MN 中点为原点 O,由 | MN |? 2 2 ,得 OM= 2 ,AP=2 2 ,………………6 分 3+b AP 则可设 C(0,-b) >0,由相似三角形性质知,, ,b = =2,b=3.则得 b OM C 的坐标为(0,-3). ……………12 分 17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ?1 .……………………………………………3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 (n ? N ) .…………………………………6 分
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 2n ?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 . ①

2Tn ?

1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n . ②

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 1? 2 ? 1? 22 ? ? ? 1? 2n ?1 ? n ? 2n

? 1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ) ? n ? 2n ? 1 ? 2(1 ? 2n?1 ) ? n ? 2n ? ?(n ? 1) ? 2n ? 1 .
所以 Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 .………………………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)因为 cos B ?

4 3 ,所以 sin B ? . 5 5 5 a b 1 因为 a ? ,b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . …………………4 分 ? 3 sin A sin B 2
因为 a ? b ,所以 A 是锐角, 所以 A ? 30 o . ……………………6 分

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(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ?

所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大.

1 3 ac sin B ? ac , 2 10 8 ac . 5

……………………7 分

因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a 2 ? c 2 ? 因为 a 2 ? c2 ? 2ac ,所以 2ac ?

……………………9 分

8 ac ? 4 , 5

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . ……………………12 分 19.[解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD 因为 PD= 2 ? ( 2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角 形 PCD 的面积为 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 2 (2) 取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 (3)由(1)知 AD⊥平面 PAB,EF⊥平面 PAB, EF= 2 1 VP-ABE= VE-PAB= 3 1 2 2 2
2 =3

P F A B C E D

2

2

20.解 (1)设矩形的另一边长为 a m,则 y ? 45x ? 180(x ? 2) ? 180? 2 ? 225 ? 360 ? 360 ,由已 a x a 知得 xa ? 360 ,得 a ? (2) ? x ? 0,?225 x ?
225x ?

360 3602 .所以 y ? 225 x ? ? 360( x ? 2) .……………6 分 x x

3602 3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800.? y ? 225 x ? ? 360 ? 10440 .当且仅当 x x

3602 时, 等号成立.即当 x ? 24m , 修建围墙的总费用最小, 最小总费用是 10440 x

元. ……………13 分
21. (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意得 令n 令n

f (1) ? n 2 ,即a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 2 ……………………1 分

? 1, 则a0 ? a1 ? 1; 令n ? 2, 则a0 ? a1 ? a 2 ? 2 2 , a 2 ? 4 ? (a0 ? a1 ) ? 3; ? 3, 则a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 33 ; a3 ? 9 ? (a0 ? a1 ? a 2 ) ? 5.

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设等差数列{an}的公差为 d,则 d

? a3 ? a 2 ? 2, a1 ? a 2 ? d ? 1, a0 ? 0, ……3 分
……………………4 分

? a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1.
(II)由(I)知: n 为奇数时,

f ( x) ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a n x n .
…………5 分

f (? x) ? ?a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a n?1 x n?1 ? a n x n .

1 ? g ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? a1 x ? a3 x 3 ? a5 x 5 ? ? ? a n ?2 x n ? 2 ? a n x n ? ? 6分 ? 2 1 1 1 1 1 1 g ( ) ? 1 ? ? 5 ? ( ) 3 ? 9( ) 5 ? ? ? (2n ? 5) ? ( ) n ? 2 ? (2n ? 1) ? ( ) n ① 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 ? g ( ) ? 1 ? ( ) 3 ? 5 ? ( ) 5 ? ? ? (2n ? 5) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n? 2 , ② 4 2 2 2 2 2
由①—②得:

3 1 1 1 1 1 1 1 ? g ( ) ? 1 ? ? 4[( ) 3 ? ( ) 5 ? ( ) 7 ? ? ? ( ) n ] ? (2n ? 1) ? ( ) n?2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 3 2 ………………………………9 分 ?42 ? (2n ? 1) ? ( ) n ? 2 ? 1 2 2 1? 4 1 14 13 1 n 2n 1 n. …………………………10 分 ? g( ) ? ? ?( ) ? ?( ) 2 9 9 2 3 2

1 1 ? C n ?1 ? C n ? (1 ? n) ? ( ) n ? 0, (n ? N ? ), 3 2 13 1 2n 1 n 设 Cn ? ? ( ) , ? C n随n的增加而减小, 又 ? ( ) n 随n的增大而减小, 3 2 9 2 1 ? g ( )为n的增函数. ?? ?11分 2
1 1 1 14 13 1 n 3n 1 n 14 ) ? , 而 g( ) ? ? ? ( ) ? ( )( ) ? , 2 2 2 9 9 2 2 2 9 1 1 14 ? ? g( ) ? . 2 2 9 1 易知:使 m ? g ( ) ? M 恒成立的 m 的最大值为 0,M 的最小值为 2, 2
当 n=1 时, g (

?M-m 的最小值为 2。

……………14 分

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