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数学一轮复习阶段性测试题(9):立体几何


阶段性测试题九(立体几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.(2011· 北京朝阳区期末)关于直线 l,m 及平面 α,β,下列命题中正确的是( A.若 l∥α,α∩β=m,则 l∥m C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β [答案] C [解析] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若取平面 ABCD 为 β,平面 ADD1A1 为 α,则交 线 AD 为 m,取 BB1 为 l,由此可知 A 错;若取平面 ADD1A1 为 α,BB1、BC 分别为 l,m,可 知 B 与 D 都错误,故选 C. 2.(文)(2011· 宁波期末)设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是( A.x,y,z 为直线 C.x,y 为直线,z 为平面 [答案] C [解析] 由正方体交于同一顶点的三条直线(或三个平面)知,x、y、z 都是直线(或都是平 面)时,该命题都是假命题;当 x 为直线,y、z 为平面时,可能有 x 在平面 y 内,故 D 错,因 此选 C. (理)(2011· 山东淄博一中期末)已知三条直线 a, c 和平面 β, b, 则下列推理中正确的是( A.若 a∥b,b?β,则 a∥β B.若 a,b 与 β 所成角相等,则 a∥b C.若 a?β,b∥β,a,b 共面,则 a∥b D.若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b [答案] C [解析] A 中直线 a 可能在 β 内;如图可知 B 错误;由正方体中 交于同一顶点的三条棱所在直线知 D 错误;C 中,∵b∥β,∴b 与 β 无公共点,∵a?β,∴b 与 a 无公共点,∵a,b 共面,∴a∥b,故选 C. 3.(文)(2011· 日照调研)已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α∥β; ) ) B.x,y,z 为平面 D.x 为直线,y,z 为平面 B.若 l∥α,m∥α,则 l∥m D.若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α. )

③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α⊥β. 其中真命题的个数是( )

A.4 C.2 [答案] C [解析] l⊥α ? ? ??l⊥β ? α∥β? ?l⊥m,故①真; m?β

B.3 D.1

? ? ?

l⊥α ? ? ??m⊥α ? l∥m? ?β⊥α,故④真;如图 α∩β=a, m?β

? ? ?

m?β,m∥a,l⊥α 可知 l⊥m,因此②假;上图中当 α⊥β 时,可知③假.

(理)(2011· 合肥质检)设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题错 . 误的是( . )

A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b B.若 a⊥α,b∥a,b?β,则 α⊥β C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b D.若 a∥α,a∥β,则 α∥β [答案] D [解析] 由线面平行的性质和线面垂直的性质知 A 正确;∵a⊥α,b∥a,∴b⊥α,又 b? β,∴α⊥β,故 B 正确;∵a⊥α,α∥β,∴a⊥β,又 b⊥β,∴a∥b,故 C 正确,故选 D. 4.(文)(2011· 合肥市质检)下图是一个几何体的三视图,其中正(主)视图和侧(左)视图都是 一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )

A.6π C.18π [答案] B

B.12π D.24π

[解析] 由三视图知,该几何体是两底半径分别为 1 和 2,母线长为 4 的圆台,故其侧面

积 S=π(1+2)×4=12π. (理)(2011· 北京西城区期末)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥ CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD, 则下列 结论正确的是( )

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为 3 [答案] B [解析] ∵AB=AD=1,BD= 2,∴AB⊥AD, ∴A′B⊥A′D,∵平面 A′BD⊥平面 BCD,CD⊥BD, ∴CD⊥平面 A′BD,∴CD⊥A′B,∴A′B⊥平面 A′CD, ∴A′B⊥A′C,即∠BA′C=90° ,∴选 B. 5.(2011· 北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视图如图 所示,则它的体积是( )

3 3 32 A. + π 2 25 32 C.9 3+ π 25 [答案] C

32 B.3 3+ π 25 D.9 3+ 128 π 25

[解析] 由三视图知,该螺栓的上部是一个底半径为 0.8,高为 2 的圆柱,下部是底面为 边长为 2,高为 1.5 的正六棱柱,故体积 V=π×0.82×2+6× C. 6.(2011· 北京朝阳区期末)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( ) 3 32π ×22×1.5=9 3+ ,故选 4 25

A.有无数条 C.有 1 条 [答案] A

B.有 2 条 D.不存在

[解析] ∵平面 D1EF 与平面 ADD1A1 有公共点 D1 且不重合, ∴两平面有条过 D1 的交线 l, 在平面 ADD1A1 内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行,这样的直线有无数条. 7. (文)(2011· 山西太原调研)已知平面 α 和不重合的两条直线 m、 下列选项正确的是( n, A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊥α,n⊥m,那么 n∥α [答案] C [解析] 如图(1)可知 A 错;如图(2)可知 B 错;如图(3),m⊥α,n 是 α 内的任意直线,都 有 n⊥m,故 D 错. ∵n∥α,∴n 与 α 无公共点, ∵m?α,∴n 与 m 无公共点, 又 m、n 共面,∴m∥n,故选 C. (理)(2011· 辽宁丹东四校联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3,D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为( ) )

π A. 6 π C. 3 [答案] A [解析] ∵AB=1,AC=2,BC= 3,

π B. 4 π D. 2

∴AC2=BC2+AB2,∴AB⊥BC, 又三棱柱为直三棱柱,∴BB1⊥平面 ABC, 以 B 为原点,BC、BA、BB1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,1,0),C( 3, 0,0),设 B1(0,0,a),则 C1( 3,0,a),∴D? a 3 1 a? ,E?0,0,2?, ? ? 2 ,2,2? ?

3 1 → → ∴DE=?- ,- ,0?,平面 BB1C1C 的法向量BA=(0,1,0), 2 ? ? 2

设直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 α,则

?-1? → → |DE· | ? 2? 1 BA π sinα= = = ,∴α= . 6 → → 1×1 2 |DE|· | |BA
8.(2011· 沈阳二中阶段检测)已知长方体 ABCD-A′B′C′D′,对角线 AC′与平面 A′BD 相交于点 G,则 G 是△A′BD 的( A.垂心 C.内心 [答案] D [解析] 设 AB′与 A′B 相交于点 E, 则在平面 AB′C′D DE 与 AC′必相交,则交点为 G,∴G 点在△A′BD 的中线 上,同理可知 G 点在 BD 边的中线上,∴G 为△A′BD 的重 中, DE 心. ) B.外心 D.重心

9.(2011· 宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视 现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

图,

[答案] B [分析] 可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断. [解析] 容器是一个倒置的圆锥,由于水是均匀注入的,故水面高度随时间变化的变化率 逐渐减少,表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小,故选 B. [点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制,重点是对函数变化率的考 查,这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视. 10.(2011· 宁夏银川一中检测)设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,下列命题中 正确的个数是( )

①若 l⊥α,则 l 与 α 相交 ②若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α ③若 l∥m,m∥n,l⊥α,则 n⊥α ④若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n A.1 C.3 [答案] C [分析] 根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断. [解析] 由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故命题①正确;由于②中不能确定直线 m,n 是否相交,不符合线面垂直的判定定理,命题②不正确;根据平行线的传递性.∵l∥m, m∥n,∴l∥n,故 l⊥α 时,一定有 n⊥α,故③正确;又∵l∥m,m⊥α,∴l⊥α,又 n⊥α,∴ l∥n,∴④正确,故选 C. [点评] 把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件或添加限制条件来考查 B.2 D.4

考生对空间点线面位置关系概念、定理掌握的熟练程度是常见命题方式.解答这类题的关键 是对比定理逐个条件进行检查.解答方法常常是直接推证或特例反驳.

11.(2011· 江西南昌调研)如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器内灌进一 些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说 法:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E∈AA1 时,AE+BF 是定值. 其中正确说法是( A.①②③ C.②③④ [答案] D [解析] 由于容器一边 BC 固定于水平地面上,所以随着容器倾斜度的变化,水面四边形 EFGH 的一组对边 EH 和 FG 始终与 BC 平行且相等,而另一对边 EF 与 GH 是变化的,因此 A1D1 与水面平行,且水的部分是一个棱柱(BC 为垂直于两底的侧棱),由于水的体积不变,故 棱柱的底面面积不变,因此 AE+BF 为定值. 12.(文)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为 12 3的正三 棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为( ) ) B.①②④ D.①③④

A.12 C.8 3 [答案] D

B.8 D.6 3

[解析] 设此三棱柱底面边长为 a,高为 h,则由图示知 ×42×h,∴h=3,

3 3 a=2 3,∴a=4,∴12 3= 2 4

∴侧(左)视图面积为 2 3×3=6 3. (理)(2011· 黑龙江哈六中期末)棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的 表面上, F 分别是棱 AA1, 1 的中点, E, DD 则过 E, 两点的直线被球 O 截得的线段长为( F A. 3a C. 2a [答案] C [解析] 过直线 EF 与球心作截面, 则截面圆半径 r= F 两点的直线被球 O 截得的线段长为 2 3 a a, 球心到 EF 的距离为 , ∴过 E、 2 2 B.2a D. 2 a 2 )

? 3a?2-?a?2= 2a. ? 2 ? ?2?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2011· 黑龙江哈六中期末)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β 且 α⊥γ?β⊥ γ”是真命题,如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命 题中,真命题有________个. [答案] 2 [解析] ①将 α,β 换作直线 a,b,命题为“a∥b 且 a⊥γ?b⊥γ”,显然这是一个真命题; ②将 α,γ 换作直线 a,c,命题为“a∥β,且 a⊥c?c⊥β”,这是一个假命题;③将 β,γ 换 成直线 b,c,命题为“b∥α,且 c⊥α?b⊥c”,这是一个真命题,故填 2. 14. (2011· 黑龙江哈六中期末)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动, 则 下列四个命题:

①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确命题的序号是________.

[答案] ①②④ [解析] ①∵BC1∥AD1,∴BC1∥平面 AD1C,∴直线 BC1 上任一点到平面 AD1C 的距离 都相等,∴VA-D1PC=VP-AD1C=VB-AD1C 为定值; ②∵AC∥A1C1,AD1∥BC1,AC∩AD1=A,A1C1∩BC1=C1,∴平面 ACD1∥平面 A1BC1, ∵A1P?平面 A1BC1,∴A1P∥平面 ACD1; ③假设 DP⊥BC1,∵DC⊥BC1,DC∩DP=D,∴BC1⊥平面 DPC,∴BC1⊥CP,∵P 是 BC1 上任一点,∴BC1⊥CP 不成立; ④∵B1B⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴B1B⊥AC,又 AC⊥BD,BD∩B1B=B,∴AC ⊥平面 BB1D,∴AC⊥DB1,同理可知 AD1⊥DB1,∵AC∩AD1=A,∴DB1⊥平面 ACD1,∵ DB1?平面 PDB1,∴平面 PDB1⊥平面 ACD1. 15. (文)(2011· 北京东城区示范校联考)如图, 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E、F、G、H、M 分别是棱 AD、DD1、D1A1、 A1A、AB 的中点,点 N 在四边形 EFGH 的四边及其内部运动, 则当 N 只需满足条件________时,就有 MN⊥A1C1;当 N 只需 满足条件________时,就有 MN∥平面 B1D1C. [答案] 点 N 在 EG 上 点 N 在 EH 上 [解析] (1)当点 N 在 EG 上时,∵AC⊥EM,AC⊥EG,EG∩EM=E,∴AC⊥平面 GEM, 又 MN?平面 GEM,∴AC⊥MN,∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥MN. (2)EM∥BD∥B1D1,HE∥A1D∥B1C,EM∩HE=E,B1D1∩B1C=B1,∴平面 EMH∥平面 B1D1C,过点 M 与平面 B1D1C 平行的直线必在平面 EMH 内,故点 N 在平面 EMH 内,又点 N 在平面 EFGH 内,∴N 在两平面的交线 EH 上. (理)(2011· 甘肃天水一中期末)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 M 是棱 BC 的中 点,则 D1B 与 AM 所成角的余弦值是________.

[答案]

15 15

[解析] 以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 1 设正方体棱长为 1,则 A(1,0,0),M?2,1,0?,B(1,1,0),D1(0,0,1), ? ? 1 → → ∴AM=?-2,1,0?,BD1=(-1,-1,1), ? ?

1 - → → 2 AM· 1 BD 15 → → ∴cos〈AM,BD1〉= = =- , 15 → → 5 |AM|· 1| |BD × 3 2 ∴异面直线 D1B 与 AM 所成角的余弦值为 15 . 15

16.(文)(2011· 洪泽中学月考)有以下四个条件:①平面 γ 与平面 α,β 所成的锐角二面角相 等;②直线 a∥b,a⊥平面 α,b⊥平面 β;③a,b 是异面直线,a?α,b?β,且 a∥β,b∥α; ④平面 α 内距离为 d 的两条平行直线在平面 β 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线.其中能 推出 α∥β 的条件有________(填写所有正确条件的代号). [答案] ②③ [解析] 正三棱锥的底面与侧面所成的锐二面角都相等,但侧面不平行,故①错;
? ? ??b⊥平面α ? a⊥平面α? ?α∥β,∴②对;在直线 a 上任取一点 P,点 P 与直线 b 确

a∥b

b⊥平面β

? ? ?

定一个平面 γ,则 γ 与 α 有一条过 P 的交线 b′,∵b∥α,∴b∥b′,b′?β,∴b′∥β,又 a ∥β,a∩b′=P,∴α∥β,故③对;如图可知,④错.

故能推出 α∥β 的条件只有②和③. (理)

(2011· 津 河 东 区 模 拟 ) 如 图 , ABCD - A1B1C1D1 为 正 方 体 , 下 面 结 论 中 正 确 的 是 天 ________.(把你认为正确的结论都填上) ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2; ④二面角 C—B1D1-C1 的正切值是 2,

⑤过点 A1 与异面直线 AD 与 CB1 成 70° 角的直线有 2 条. [答案] ①②④ [解析] ①∵BD∥B1D1,B1D1?平面 CB1D1, ∴BD∥平面 CB1D1. ②连结 A1C1 交 B1D1 于 O, ∵AA1⊥平面 A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1. 又∵A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥平面 AA1C1.∴B1D1⊥AC1. 同理 B1C⊥AC1.∴AC1⊥平面 CB1D1. ③∠C1AC 为 AC1 与平面 ABCD 所成的角, CC1 CC1 2 tan∠C1AC= = = . AC 2 2CC1 ④∠C1OC 为二面角 C—B1D1—C1 的平面角, CC1 CC1 tan∠C1OC= = = 2. C1O 2 CC1 2 ⑤异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45° ,则满足题意的直线有 4 条. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 烟台调研)如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE= EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE.

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD. [解析] (1)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC, 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, ∵BC?平面 BCE,BF?平面 BCE,BC∩BF=B, ∴∴AE⊥平面 BCE. (2)证明:连结 AC、BD,设 AC 与 BD 交于 G 点,依题意可知:G 是 AC 中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 CE⊥BF, 而 BC=BE,∴F 是 EC 中点, 在△AEC 中,FG∥AE,

又 AE?平面 BFD,FG?平面 BFD,∴AE∥平面 BFD. (理)(2011· 辽宁大连期末联考)已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 是直角三角形,∠C=90° ,点 B1 在底面上射影 D 落在 BC 上. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)若 AB1⊥BC1,且∠B1BC=60° ,求证:A1C∥平面 AB1D. [解析] (1)∵B1D⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴B1D⊥AC, 又∵BC⊥AC,B1D∩BC=D,∴AC⊥平面 BB1C1C. ?2?AB1⊥BC1

? ? AC⊥BC1 ??BC1⊥平面AB1C ?BC1⊥B1C, AB1与AC相交? ?

B1C?平面AB1C ∴四边形 BB1C1C 为菱形,

? ? ? ? ?

∵∠B1BC=60° 1D⊥BG 于 D,∴D 为 BC 的中点, ,B 连结 A1B 和 AB1 交于点 E,在三角形 A1BC 中,DE∥A1C, ∴A1C∥平面 AB1D. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 山西太原调研)已知四棱锥 P-ABCD 及其三视图如下图 所示,E 是侧棱 PC 上的动点.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)不论点 E 在何位置,是否都有 BD⊥AE?试证明你的结论. [解析] (1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC⊥底 面 ABCD,且 PC=2, 1 1 2 ∴VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PC= ×12×2= , 3 3 3 2 即四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3

(2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE, 证明:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC, ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 PAC,∴BD⊥PC, 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC, ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. (理)(2011· 山东淄博一中期末)四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,又 PA=PD,∠APD=60° ,E、G 分别是 BC、PE 的中点.

(1)求证:AD⊥PE; (2)求二面角 E-AD-G 的正切值. [解析] 解法一:(1)如图,取 AD 的中点 O,连结 OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,

又 E 是 BC 的中点,∴OE∥AB,∴OE⊥AD. 又 OP∩OE=0,∴AD⊥平面 OPE. ∵PE?平面 OPE,∴AD⊥PE. (2)取 OE 的中点 F,连结 FG,OG,则由(1)易知 AD⊥OG, 又 OE⊥AD,∴∠GOE 就是二面角 E-AD-G 的平面角, ∵PA=PD,∠APD=60° ,

∴△APD 为等边三角形,且边长为 2, ∴OP= ∴OG= 3 1 3 1 ×2= 3,FG= OP= ,OF= CD=1, 2 2 2 2 7 2 7 ,∴cos∠GOE= . 2 7

解法二:(1)同解法一. (2)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3),E(0,2,0),

∴E?0,1,

?

3? → 3 → ,DA=(2,0,0),DG=?1,1, ?. 2? 2? ?

设平面 ADG 的法向量为 n=(x,y,z), → ?2x=0 ?n· =0 ? ? DA 由? 得,? , 3 → ? DG ?x+y+ 2 z=0 ?n· =0 ? ∴n=?0,-

?

3 ? ,1 , 2 ?

→ 又平面 EAD 的一个法向量为OP=(0,0, 3), → n· OP 3 2 7 → 又因为 cos〈n,OP〉= = = , 7 → 7 |n|· | |OP ·3 2 2 7 ∴二面角 E-AD-G 的余弦值为 . 7 19.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 北京学普教育中心)如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2.

(1)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (2)求证:BE∥平面 PDA.

[解析] (1)∵PD⊥平面 ABCD,PD?平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD, ∵BC⊥CD,∴BC⊥平面 PDCE. 1 1 ∵S 梯形 PDCE= (PD+EC)×DC= ×3×2=3, 2 2 ∴四棱锥 B-CEPD 的体积 1 1 VB-CEPD= S 梯形 PDCE×BC= ×3×2=2. 3 3 (2)证明:∵EC∥PD,PD?平面 PDA, EC?平面 PDA,∴EC∥平面 PDA, 同理可得 BC∥平面 PDA, ∵EC?平面 EBC,BC?平面 EBC 且 EC∩BC=C, ∴平面 BEC∥平面 PDA, 又∵BE?平面 EBC,∴BE∥平面 PDA. (理)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE= 2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60° ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值. [解析] (1)由题意知,△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O,连接 BO,DO,则 BO⊥AC,DO⊥AC,

又∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC, 那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴∠EBF=60° ,易求得 EF=DO= 3, ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴DE∥OF,

∵DE?平面 ABC,OF?平面 ABC,∴DE∥平面 ABC. (2)解法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG, ∵EF⊥平面 ABC,∴EF⊥BC,EF∩FG=F,BC⊥平面 EFG,∴EG⊥BC, ∴∠EGF 就是二面角 E-BC-A 的平面角. 1 13 Rt△EFG 中,FG=FB×sin30° ,EF= 3,EG= = . 2 2 FG 13 ∴cos∠EGF= = . EG 13 即二面角 E-BC-A 的余弦值为 13 . 13

解法二: 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz, 可知平面 ABC 的一个法向量为 n1(0,0,1),

设平面 BCE 的一个法向量为 n2=(x,y,z), → ?n2· =0 ? BC 则? ,可求得 n2=(-3, 3,1). → ? BE ?n2· =0 n 1· 2 n 13 所以 cos〈n1,n2〉= = , |n1||n2| 13 又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 所以二面角 E-BC-A 的余弦值为 13 . 13

20.(本小题满分 12 分)(2011· 福建厦门期末质检)四棱锥 A-BCDE 的侧面 ABC 是等边三 角形,EB⊥平面 ABC,DC⊥平面 ABC,BE=1,BC=CD=2,F 是棱 AD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求四棱锥 A-BCDE 的体积. [解析] (1)取 AC 中点 M,连结 FM、BM, 1 ∵F 是 AD 中点,∴FM∥DC,且 FM= DC=1, 2

∵EB⊥平面 ABC,DC⊥平面 ABC,∴EB∥DC,∴FM∥EB. 又∵EB=1,∴FM=EB, ∴四边形 BEFM 是平行四边形,∴EF∥BM, ∵EF?平面 ABC,BM?平面 ABC,∴EF∥平面 ABC.

(2)取 BC 中点 N,连结 AN, ∵AB=AC,∴AN=BC, ∵EB⊥平面 ABC,∴AN⊥EB, ∵BC 与 EB 是底面 BCDE 内的相交直线, ∴AN⊥平面 BCDE, 由(1)得,底面 BCDE 为直角梯形, S 梯形 BCDE= ?EB+DC?· BC =3, 2

在等边△ABC 中,BC=2,∴AN= 3, 1 ∴V 棱锥 A-BCDE= S 梯形 BCDE· AN= 3. 3 21.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 黑龙江哈六中期末)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 中点.

(1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 F,使 BF⊥平面 AEP,若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说 明理由. [解析] (1)证明:连结 A1B,CD1, ∵AB1⊥A1B,AB1⊥BC,A1B∩BC=B, ∴AB1⊥平面 A1BCD1,

又 BF?平面 A1BCD1,所以 AB1⊥BF. (2)证明:取 AD 中点 M,连结 FM,BM,∴AE⊥BM, 又∵FM⊥AE,BM∩FM=M, ∴AE⊥平面 BFM,又 BF?平面 BFM,∴AE⊥BF. (3)存在,P 是 CC1 的中点.易证 PE∥AB1, 故 A,B1,E,P 四点共面. 由(1)(2)知 AB1⊥BF,AE⊥BF,AB1∩AE=A, ∴BF⊥平面 AEB1,即 BF⊥平面 AEP. (理)(2011· 浙江宁波八校联考)如图,四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2AB,∠ADC=60° , EC⊥平面 ABCD,EF∥AC,EF= 3 ,CE=1. 2

(1)求证:AF∥平面 BDE. (2)求 CF 与平面 DCE 所成角的正切值. [解析] (1)证明:四边形 ABCD 中, ∵AB=1,AD=2AB,∠ADC=60° , ∴AC= AD2+CD2-2AD· CDcos∠ADC= 3, O 为 AC 与 BD 交点,AO= 3 =EF, 2

又 AO∥EF,∴EOAF 为平行四边形,∴OE∥AF. 又 AF?平面 BDE,OE?平面 BDE,∴AF∥平面 BDE.

(2)△ACD 中,AD=2,AC= 3,∠ADC=60° , AC AD = ,∠ACD=90° , sin∠ADC sin∠ACD

? ? EC⊥平面ABCD ?EC⊥AC? ? AC?平面ABCD ??EF⊥EC ?EF⊥平面 DCE, ? ? AC∥EF ? CD?平面DCE EC?平面DCE ? ? CD∩EC=C
AC⊥CD? ? ??EF⊥CD ? AC∥EF ?
? ? ? ? ?

∴∠FCE 为 CF 与平面 DCE 所成的角. △FCE 中,EF⊥CE,EF= ∴tan∠FCE= 3 , 2 3 . 2 3 ,CE=1, 2

即 CF 与平面 DCE 所成角的正切值为

22.(本小题满分 12 分)(2011· 北京市朝阳区期末)如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 ⊥底面 ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2 2,M,N 分别是棱 CC1,AB 中点.

(1)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (2)求证:CN∥平面 AMB1; (3)求三棱锥 B1-AMN 的体积. [解析] (1)证明:因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC, 又因为 CN?平面 ABC,所以 AA1⊥CN. 因为 AC=BC=2,N 是 AB 中点, 所以 CN⊥AB. 因为 AA1∩AB=A,所以 CN⊥平面 ABB1A1.

(2)证明:取 AB1 的中点 G,连结 MG,NG, 因为 N,G 分别是棱 AB,AB1 中点, 1 所以 NG∥BB1,NG= BB1. 2 1 又因为 CM∥BB1,CM= BB1, 2 所以 CM∥NG,CM=NG. 所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN∥MG. 因为 CN?平面 AMB1,GM?平面 AMB1, 所以 CN∥平面 AMB1. (3)由(2)知 GM⊥平面 AB1N. 1 1 2 4 所以 VB1-AMN=VM-AB1N= × × ×4× 2= . 3 2 2 3



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