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新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结


《推理与证明》知识归纳总结
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 演绎推理 综合法 直接证明 分析法 数学归纳 法 间接证明 反证法 归纳推理 类比推理

第一部分

合情推理

学习目标: 了解合情推理的含义(易混点) 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点) 了解合情推理在数

学发展中的作用(难点) 一、知识归纳: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: 归纳推理: 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部 分到整体、由个别到一般的推理. 2.归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想). 思考探究: 1.归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型 1 用归纳推理发现规律

1、观察: 7 ? 15 ? 2 11 ; 5.5 ? 16.5 ? 2 11 ;

3 ? 3 ? 19 ? 3 ? 2 11 ;?.对于
____.

任意正实数 a , b ,试写出使 a ? b ? 2 11 成立的一个条件可以是 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故 a ? b ? 22 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以

f ( n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数.则 f (4) =_____; f ( n) =___________.

【解题思路】找出 f (n) ? f (n ? 1) 的关系式 [解析] f (1) ? 1, f (2) ? 1 ? 6, f (3) ? 1 ? 6 ? 12, ? f (4) ? 1 ? 6 ? 12 ? 18 ? 37

? f (n) ? 1 ? 6 ? 12 ? 18 ? ? ? 6(n ? 1) ? 3n2 ? 3n ? 1
总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比推理的一般步骤: 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想. 思考探究: 1.类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径 .由此结论如何类比到球 体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型 2 用类比推理猜想新的命题

[例]已知正三角形内切圆的半径是高的 ______. 【解题思路】从方法的类比入手

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是 3

[解析]原问题的解法为等面积法,即 S ? 等体积法, V ?

1 1 1 ah ? 3 ? ar ? r ? h ,类比问题的解法应为 2 2 3

1 1 1 1 Sh ? 4 ? Sr ? r ? h 即正四面体的内切球的半径是高 3 3 4 4

总结: (1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类 比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

合情推理 1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行 归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合 乎情理的推理. 2.推理的过程: 从具体问题出 发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、 类比 →提出猜想

思考探究: 1.归纳推理与类比推理有何区别与联系? 1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代 表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 2)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似 性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

第二部分

演绎推理

学习目标: 理解演绎推理的含义(重点) 掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单推理(重点、难点) 合情推理与演绎推理之间的区别与联系 一、知识归纳: 演绎推理的含义: 1.演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理又叫逻辑推理. 2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理. 思考探究: 演绎推理的结论一定正确吗? 演绎推理的模式 1.演绎推理的模式采用“三段论”: (1)大前提——已知的一般原理(M 是 P); (2)小前提——所研究的特殊情况(S 是 M); (3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S 是 P). 2.从集合的角度看演绎推理: (1)大前提:x∈M 且 x 具有性质 P; (2)小前提:y∈S 且 S ? M (3)结论:y 具有性质 P. 演绎推理与合情推理 合情推理与演绎推理的关系: (1)从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特说的推 理;演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大 前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.

第三部分

直接证明与间接证明

学习目标: 1、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、 特点。 2、了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 知识归纳: 三种证明方法: 综合法、分析法、反证法 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中, 分析法是从数学题的待证

结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法,应用十分广泛。 反证法:它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立 用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点 1 综合法 在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C [解析]? ?ABC 为锐角三角形,? A ? B ?

?
2

?A?

?
2

?B,

? y ? sin x 在 (0, ) 上是增函数,? sin A ? sin( ? B ) ? cos B 2 2
同理可得 sin B ? cos C , sin C ? cos A

?

?

? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C
考点 2 分析法 已知 a ? b ? 0 ,求证 a ? b ? a ? b [解析]要证 a ? b ? a ? b ,只需证 ( a ? b )2 ? ( a ? b )2 即 a ? b ? 2 ab ? a ? b ,只需证 b ? ab ,即证 b ? a 显然 b ? a 成立,因此 a ? b ? a ? b 成立 总结:注意分析法的“格式”是“要证---只需证---” ,而不是“因为---所以---” 考点 3 反证法 已知 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) ,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根 x ?1
x0 ? 2 x0 ? 1

【解题思路】 “正难则反” ,选择反证法,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设 x0 是 f ( x) ? 0 的负数根,则 x0 ? 0 且 x0 ? ?1且 a
x0

??

? 0 ? a x0 ? 1 ? 0 ? ?

1 x0 ? 2 ? 1 ,解得 ? x0 ? 2 ,这与 x0 ? 0 矛盾, 2 x0 ? 1

故方程 f ( x) ? 0 没有负数根 总结:否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多

第四部分
学习目标:

数学归纳法

1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。 2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题 3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。 知识归纳: 数学归纳法的定义: 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数 n 都成立时,可以用以下 两个步骤: (1)证明当 n=n0 时命题成立; (2)假设当 n=k( ∈ + ,且 ≥ 0 )时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立.这种证明方法 称为数学归纳法.

1.数学归纳法的本质:
无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)

2.数学归纳法步骤:
(1) (递推奠基) :当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2) (递推归纳) : 假设当 n=k(k∈N*, 且 k≥n0)时结论正确; (归纳假设) 证明当 n=k+1 时结论也正确。 (归纳证明) 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 [例 1 ] 已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设 n=k( k ? 2 且为偶数)时命题为 真, ,则还需证明( A.n=k+1 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立 ) B. n=k+2 时命题成立 D. n=2(k+2)时命题成立

[解析] 因 n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因 k 的下一个偶数是 k+2,故选 B 总结:用数学归纳法证明时,要注意观察几个方面: (1)n 的范围以及递推的起点(2)观 察首末两项的次数(或其它) ,确定 n=k 时命题的形式 f (k ) (3)从 f (k ? 1) 和 f (k ) 的差 异,寻找由 k 到 k+1 递推中,左边要加(乘)上的式子 例 2、用数学归纳法证明不等式 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? 1 (n ? 1) 2 2 [解析](1)当 n=1 时,左= 2,右=2,不等式成立

1 2 ? 3 ? ? ? k (k ? 1) ? (k ? 1) 2 2 1 2 则 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k (k ? 1) ? (k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1) ? (k ? 1)( k ? 2) 2
(2)假设当 n=k 时等式成立,即 1 ? 2 ?

1 (k ? 2)2 (k ? 1) ? (k ? 2) 2 ? (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ? ? (k ? 1)(k ? 2) ? ?0 2 2 2

1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k (k ? 1) ? (k ? 1)( k ? 2) ? [( k ? 1) ? 1]2 2 ? 当 n=k+1 时, 不等式也成立
综合(1) (2) ,等式对所有正整数都成立 总结: (1)数学归纳法证明命题,格式严谨,必须严格按步骤进行; (2)归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形; (3)由 k 推导到 k+1 时,有时可以“套”用其它证明方法,如:比较法、分析法等,表现 出数学归纳法“灵活”的一面


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