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二项式定理(1)


高三数学一轮复习 二项式定理
一.二项式定理
0 n 1 n r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

2014。7

⑴ (a ? b)n 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n b ,?, a n?r br ,?, bn ,
⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,??, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n n?r n n

r br 的系数是 Cn ,??,

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,
r ⑶它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数, r n ?r r r n?r r ⑷ Cn a b . a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn 1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

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二.杨辉三角 1 二项式系数表
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项式系数表,表中每行两端都是1 ,除1 以外的每
一个数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质:
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0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

以 r 为自变

量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵
m n?m ) . Cn ? Cn

直线 r ?

n 是图象的对称轴. 2
k

(2)增减性与最大值.∵ Cn ?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k
1

k k ?1 ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由

n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 ?1? k ? 决定, , k k 2

当k ?

n ?1 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值; 2
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大值. (3)各二项式系数和:
1 r r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn

在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 2 1 3 即 Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 .

例 1.展开 (2 x ?

1 6 ) . x 1 2 x
4

例 2.(通项意识)已知 ( x ?

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
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(1) 证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项

例 3. (赋值意识)求(2x-1)5 的展开式中(1)各项系数之和; (2)各项的二项式系数之和; (3)偶数项的 二项式系数之和; (4)各项系数的绝对值之和; (5)奇次项系数之和

例 4.求 ( x ? 3x ? 4) 的展开式中 x 的系数
2 4

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2

1 ?n 例 5.已知? ?2+2x? ,(1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

1 2 3 k n 例 6. 求 Cn 的值。 ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? kCn ? ? ? nCn

例 7.证明下列不等式:

a?b n an ? bn ≥( ) ,(a、b∈{x|x 是正实数},n∈N); 2 2

点评:利用二项式定理的展开式,可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题(1)中的换元法称之为 均值换元(对称换元) 。这样消去δ 奇数次项,从而使每一项均大于或等于零。

例 8. 求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 .

6

一般地当 a 较小时 (1 ? a) ? 1 ? na
n

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近似计算。当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值: ①(1+x)n≈1+nx;②(1+x)n≈1+nx+

n( n ? 1) 2 x ;可用于放缩法证明不等式。 2
3

二项式定理训练 1.(2x-1)6 的展开式中 x2 的系数为( A.15 B.60 2.(2x3- A.14
1 x

) C.120 D.240

)7 的展开式中常数项是 B.-14 C.42 D.-42

3. 设二项式 ( x ? 3

1 5 ) 的展开式中常数项为 A ,则 A ? ________. x

1 4 . 若 (x2 + x3 )n 展开式的各项系数之和为 32 ,则 n = ________ ,其展开式中的常数项为 ________(用数字作答). 5. (x-y)10 的展开式中,x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于________. 6.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5 ,则 a ? A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1 ( )

7. 设 m 为正整数, ( x ? y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y ) 2 m ?1 展开式的二项式系数 的最大值为 b ,若 13a ? 7b ,则 m ? A.5 B.6 ( C.7 D.8 )

1? ? 8.设?5x- ?n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开 x? ? 式中 x 的系数为( A.-150 9.求 ( x ? ). B.150 C.300 D.-300

1 ? 2) 3 展开式中的常数项。 x

10.设 f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则 f(x)=( A.(2x+2)5 B.2x5 C.(2x-1)5 D.(2x)5 11.若( 3x- A.3 1 3 2x B.4
4

)

)n 的展开式中含有非零常数项,则这样的正整数 n 的最小值是( C.10 D.12

)

12.若对于任意的实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为( A.3 B.6 C.9 D.12 13.若 Cn1x+Cn2x2+?+?+Cnnxn 能被 7 整除,则 x,n 的值可能为( A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 )

)

a1 a2 a2009 14.若(1-2x)2009=a0+a1x+?+a2009x2009(x∈R),则 2 +22+?+22009的值为( A.2 C.-1 B.0 D.-2 ).

)

15.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 B.1 C.11 D.12

16.已知 0<a<1,方程 a|x|=|logax|的实根个数为 n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x +2)2+?+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则 a1= A.-10 B.9 C.11 ( D.-12 ).

16 1 17.已知(a2+1)n 展开式中各项系数之和等于( 5 x2+ )5 的展开式的常数项,而(a2+1)n 的展 x 开式的二项式系数最大的项的系数等于 54,求 a 的值.

18.求 ? 2 ? x ? 的展开式中系数最大的项
10

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