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高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体

一、学习任务 1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,能运用这些结构特征描述现实生活中 简单物体的结构. 2. 能画出简单空间图形(例如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模
型,会用

斜二测法画出它们的直观图.

3. 会画某些简单实物的直观图(在不影响图形特征的基础上,直观图的尺寸、线条等不作严格 要求). 4. 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的 不同表示形式. 5. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆 柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.

二、知识清单
典型空间几何体 展开图 三视图 表面积与体积 空间几何体的结构特征 截面分析 表面距离 组合体 直观图 球面距离

三、知识讲解
1.典型空间几何体 描述: 空间几何体的概念 只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体. 例题: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是______,另一个是______. 解:棱锥;棱台.

2.空间几何体的结构特征

描述: 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线. 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体? ?.其中,四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体. 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直 线叫做旋转体的轴. 棱柱的结构特征 一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).棱柱中,两个互相平行的面叫做底面,简称底;其 余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点. 底面是三角形、四边形、五边形? ?的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱? ?,可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱,如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF ? A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D .

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直 棱柱叫做正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫 做直平行六面体.

棱锥的结构特征 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体 叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥

的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 底面是三角形、四边形、五边形? ?的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥? ?其中三棱锥 又叫四面体.棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字 母来表示,如下图的四棱锥表示为棱锥 S ? ABCD 或者棱锥 S ? AC .

棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,这个棱锥叫做正棱 锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜 高.

棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱 台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其他各面 叫做棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;两底面的距离叫做棱台的高.

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台,正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫 做棱台的斜高. 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(circular cylinder).旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母 线.

圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆 锥(circular cone).

圆台的结构特征 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(frustum of a cone).棱 台与圆台统称为台体.

球的结构特征 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球(solid sphere).半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.球 常用表示球心的字母 O 表示.

例题: 下列命题中,正确的是( ) A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形

解:D 如图(1),满足 A 选项条件,但不是棱柱;对于 B 选项,如图(2),构造四棱柱 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 ,令四边形 ABCD 是梯形,可知 面 ABB 1 A 1 ∥ 面 DC C1 D 1 ,但这两 个面不能作为棱柱的底面;C选项中,若棱柱是平行六面体,则它的底面是平行四边形.

若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 解:D 如下图,正六边形 ABCDEF 中,OA = OB = ? = AB,那么正六棱锥 S ? ABCDEF 中,SA > OA = AB,即侧棱长大于底面边长.

如图所示的几何体中,是台体的是(



A.①② B.①③ C.③ D.②③ 解:C 利用棱台的定义求解.①中各侧棱的延长线不能交于一点;②中的截面不平行于底面;③中各侧 棱的延长线能交于一点且截面与底面平行. 有下列四种说法: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②以直角三角形的一直角边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥; ③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 其中错误的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解:D

圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体,故①错;以直角三角形的一条直角边所在直 线为轴,旋转一周,才能构成圆锥,②错;圆台是由圆锥截得,故其任意两条母线延长后一定交 于一点,③错;半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面,故④错误.

3.组合体 描述: 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或 挖去一部分而成.

例题: 描述图中几何体的结构特征.

解:图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图(2)所示的几何体是由一个圆台 挖去一个圆锥得到的组合体;图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组 合体. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的( )

解:D

4.展开图 描述: 空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形,是画法几何研究的一项内容. 例题: 如图所示,是一个正方体的展开图,每一个面内都标注了字母,则展开前与字母 B 相对的是( )

A.字母 E 解:B

B.字母 C

C.字母 A

D.字母 D

下图是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB 、CD 、EF 和 GH 在原正方体中 不在同一平面内的有______对.

解:3 将展开图恢复为正方体,如图,可见 AB 与 CD ,AB 与 GH ,EF 与 GH 不在同一平面 内.

如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是(

) A.30? 解:C

B.45?

C.60?

D.90?

设圆的底面半径为 r ,母线长为 l ,因为侧面展开图的半圆周长应等于圆锥底面圆的周长,所以

2πr = πl ,即 l = 2r .设圆锥的轴截面顶角为 2θ ,则 sin θ = 2θ = 60? .

r 1 = ,所以 θ = 30? ,从而 l 2

5.截面分析 描述: 截面 用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面. 平行截面、中截面 与立体图形底面平行的截面称为平行截面,等分立体图形的高的平行截面称为中截面. 轴截面 包含立体图形的轴线的截面称为轴截面. 球截面 球的截面称为球截面.球的任意截面都是圆,其中通过球心的截面称为球的大圆,不过球心的截 面称为球的小圆. 球心与球的截面的圆心连线垂直于截面,并且有 r2 + d 2 = R 2 ,其中 R 为球的半径, r 为 截面圆的半径, d 为球心到截面的距离. 例题: 下面几何体的截面一定是圆面的是( ) A.圆台 B.球 C.圆柱 解:B

D.棱柱

如图所示,是一个三棱台 ABC ? A ′ B ′ C ′ ,试用两个平面把这个三棱台分成三部分,使每一部 分都是一个三棱锥.

解:如图,过 A ′ ,B ,C 三点作一个平面,再过 A ′ ,B ,C ′ 作一个平面,就把三棱台 ABC ? A ′ B ′ C ′ 分成三部分,形成的三个三棱锥分别是 A ′ ? ABC,B ′ ? A ′ BC ′ , A ′ ? BC C ′ .

如图,正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1D 1 中,P ,Q ,R 分别是 AB,AD ,B 1 C1 的中点,那么正方体中过点 P ,
Q ,R 的截面形状是(

) C.五边形 D.六边形

A.三角形

B.四边形

解:D 作截面图如图所示,可知是六边形.

两平行平面截半径为 5 的球,若截面面积分别为 9π 和 16π ,则这两个平面间的距离是( ) A.1 B.7 C.3 或 4 D.1 或 7 解:D 两平行截面可在球心的同一侧,也可在球心的两侧. i)若两个平行截面在球心的同侧,如图(1)所示,则 CD = √5 2 ? 3 2 ? √5 2 ? 4 2 = 1 ;  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ii)若两平行截面在球心的两侧,如图(2)所示,则 CD = √5 2 ? 3 2 + √5 2 ? 4 2 = 7 .

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ,求该圆锥的底面 半径、高和母线长. 解:

如图所示,作出等边圆锥的轴截面 P AB,设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,母线长为 l ,则 在轴截面 P AB 中,有 OB = r,P O = h,P B = l,且∠P BO = 60? .在 Rt△POB 中, h = √3 r ,l = 2r ,所以

S △PAB =

1 AB × P O = rh = √3 r2 = √3 . 2

解得 r = 1,所以 l = 2r = 2 ,h = √3 r = √3 .即该圆锥的底面半径为 1 ,高为 √3 ,母线长 为 2.

6.直观图 描述: 空间图形的直观图 用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图.空间几何体的直观图通常是在平行投影下 画出的空间图形.对于平面多边形,我们通常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种 特殊的平行投影画法. 斜二测画法的步骤 ① 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O .画直观图时,把它们画成对

应的 x ′ 轴和 y ′ 轴,两轴交于点 O ′ ,且使 ∠x′ O ′ y ′ = 45? 或 135 ? ,它们确定的平面表示 水平面. ② 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y ′ 轴的线 段. ③ 已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为 原来的一半. 对斜二测画法的补充 ① 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 z 轴, z 轴是与空间几何体的高平行 的. ② 采用斜二测画法画出的平面图形的直观图面积是原平面图形面积的

③ 在立体几何中,通常用正等测画法画圆的直观图.正等测画法的依据仍是平行投影的性质.此 时所画的圆的直观图是椭圆. 例题: 用斜二测画法作 △ABC 水平放置的直观图形得 △A 1 B 1 C1 ,如下图所示,其中 A 1 B 1 = B 1 C1 ,A 1 D 1 是 B 1 C1 边上的中线,由图形可知在 △ABC 中,下列结论正确的是 ( )

√2 倍. 4

A.AB = BC = AC B.AD ⊥ BC C.AC > AD > AB > BC D.AC > AD > AB = BC 解:C 还原成原图形如下图,可知 △ABC 为直角三角形,其中 ∠ABC 为直角,AB = 2BC ,所以 AC > AD > AB > BC.

如下图,矩形 O ′ A ′ B ′ C ′ 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O ′ A ′ = 6 ,O ′ C ′ = 2 , 则原图形 OABC 的面积为______.

解:24√2 由题意可画出原图形 OABC 是平行四边形,且 OA = BC = 6,设平行四边形 OABC 的高 为 OE ,则 OE ×

S OABC

1 √2 × = O ′ C ′ ,因为 O ′ C ′ = 2 ,OE = 4√2 ,所以 2 2 = 6 × 4√2 = 24√2 .

7.三视图 描述: 投影 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中 我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面.

平行投影 投影线平行的投影称为平行投影.其中投影线与投影面垂直的平行投影叫做正投影,投影线与投 影面不垂直的平行投影称为斜投影. 平行投影的性质 线段的平行投影是线段或点; 平行直线的平行投影是平行或重合的直线; 平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; 与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; 在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影长的比等于这两条线段长的比. 中心投影 投影线交于一点的投影称为中心投影. 空间几何体的三视图 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形.通常,总是选择三种正投 影: 投影线从几何体的前面向后面正投影得到投影图,这种投影称为几何体的正视图,也叫主视图; 投影线从几何体的左面向右面正投影得到投影图,这种投影称为几何体的侧视图,也叫左视图; 投影线从几何体的上面向下面正投影得到投影图,这种投影称为几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

三视图的画法 一个几何体的俯视图和正视图长度一样,侧视图和主视图高度一样,侧视图和俯视图宽度一样, 简称为:“长对正,高平齐,宽相等”.侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.能看 见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 例题: 给出以下四个命题: ①正方形的平行投影一定是菱形; ②三角形的平行投影一定是三角形; ③平行直线的平行投影仍是平行的直线; ④当直线或线段不平行于投影线时,它的平行投影仍是直线或线段. 其中真命题的个数是( A.0  B.1 ) C.2 D.3

解:B ①正方形的平行投影有三种情况:a.当正方形所在平面与投影面平行时,它的投影是正方形; b.当正方形所在平面与投射面垂直时,它的投影是一条线段;c.当正方形所在平面与投射面斜 交时,它的投影是平行四边形. ②三角形的平行投影可能是一条线段或三角形. ③两条平行直线的平行投影为两个点或重合为一条直线或仍为两条平行直线. ④由平行投影的性质知④是真命题.

AD

如图(1),E、F 分别是正方体的面 ADD 1 A 1 ,面 BCC1 B 1 的中心,则四边形 BF D 1 E 在 该正方体的面上的正投影可能是图(2)中的______.(要求把可能序号都填上)

解:②③ 四边形 BF D 1 E 在正方体的面 ABCD 、面 A 1 B 1 C1 D 1 、面 CDD 1 C1 、面 ABB 1 A 1 上 的投影是②. 四边形 BF D 1 E 在正方体的面 BCC1 B 1 、面 ADD 1 A 1 上的投影是③. 下列四个几何体中,只有主视图和左视图相同的是( )

A.①② 解:D

B.①③

C.①④

D.②④

如图(1)(2)所示的是两个相同的正方体,阴影面选为正面,正方体的棱长均为 1 ,分别画出它们 的三视图.

解:三视图分别如下图中的(1)(2).

一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则 该几何体的俯视图为( )

解:C 由正(主)视图可知去掉的长方体在正对视线的方向,从侧(左)视图可以看出去掉的长方体在 原长方体的左侧.

某四面体的三视图如图,则该四面体四个面的面积中最大的是( A.8 B.6√2 C.10 D.8√2



解:C 由三视图可知该四面体形状如图所示,可知,四面体的四个面均为直角三角形,可算得面积最大 值为

1 ? ? ? ? ? ? × 4 × √4 2 + 3 2 = 10 . 2

8.表面距离 描述: 连接空间形体的表面上两点,且包含于空间形体的表面的曲线段的最小长度称为这两点在该空间 形体上的表面距离. 例题: 如下图,在所有棱长均为 1 的直三棱柱上,有一只蚂蚁从点 A 出发,围着三棱柱的侧面爬行一 周到达点 A 1 ,则爬行的最短路程为______.

? 解:√? 10 将三棱柱沿着 AA 1 展开如图所示,则线段 AD 1 即为最短路线,即 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. AD 1 = √AD 2 + DD 2 1 = √10



如图,在圆锥中,其母线长为 2 ,底面半径为

面爬行一周后又回到 A 点,则这只虫子爬行的最短路程是多少?

1 ,一只虫子从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥表 2

解:将圆锥侧面沿母线 SA 展开得到扇形 A ′ SA,连接 AA ′ ,则线段 AA ′ 即为虫子所爬最短 路径.设 ∠A ′ SA = θ ,由 θ × 2 = 2π ×

1 π ,所以 θ = .所以 △A ′ SA 为等腰直角三角形, 2 2 ? ? ? ? ? ? 所以 AA ′ = √2 2 + 2 2 = 2√2 .从而虫子爬行的最短路程为 2√2 .

9.球面距离 描述: 球面距离指在球面上两点之间的最短距离,也即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度. 例题: 如图,在半径为 3 的球面上有 A 、B 、C 三点,∠ABC = 90? ,BA = BC,球心 O 到平面

ABC 的距离是

3√2 ,则 B ,C 两点的球面距离是( 2



A.

解:B

π 3

B.π

C.

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?

4 π 3

D.2π

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? 3√2 3 √ 2 2 ? 所在的小圆的半径为 , △ABC r = 3 ?( ) = ? 2 2 BC = AC × sin 45? = 3√2 ×

√2 = 3. 2 π 在 △OBC 中,OB = OC = BC = 3,所以 ∠BOC = ,所以 B 、C 两点的球面距离是 3 π 3 × = π. 3
如图,球 O 的半径为 2 ,圆 O 1 是一个小圆,OO 1 = √2,A 、B 是圆 O 上两点,若 A 、

B 两点间的球面距离为

2π ,则 ∠AO 1 B =______. 3

解:

π l π = 3 = ,则 AB = r = 2. r 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 O 1 A = √OA ? O 1 O 2 = √2 2 ? (√2 )2 = √2 ,O 1 B = O 1 A = √2,故有 π O 1 B 2 + O 1 A 2 = AB 2 ,所以 ∠AO 1 B = . 2 π 地球上 A 、B 两点都在北纬 45? 圈上,A 、B 的球面距离为 R ,A 在东经 30? 线上,求 3 点 B 位置及 A 、B 两点间的纬度圈上的圆弧的长度. 解:如图,设北纬 45? 圈的中心为 O ′ ,球心为 O ,地轴为 EF .过 A 、B 作与轴 EF 垂直 ???? π π 的圆,则由已知,得 AB = R ,故 ∠AOB = ,AB = R . 3 3 因为 A 、B 在北纬 45? 线上,所以 ∠OBO ′ = 45? ,则 △OBO ′ 为等腰直角三角形,不难求 √2 得 O′ B = R.所以 ∠AO ′ B = 90? . 2 所以点 B 的位置是东经 120 ? 北纬 45? 或西经 60? 北纬 45? . π √2 √2 所以 A 、B 间的纬度线长为 l = O ′ B × ∠AO ′ B = R× = πR. 2 2 4 ∠AOB =

π 2

2

10.表面积与体积 描述: 多面体的表面积 多面体的表面积等于各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 表面积公式 直棱柱 正棱锥 圆柱 母线长). 圆锥 长). 圆台

S 侧 = ch ,S 全 = ch + 2S 底 (其中 c 为底面周长, h 为棱柱的高). 1 1 S 侧 = ch′ ,S 全 = ch′ + S 底 (其中 c 为底面周长, h′ 为棱锥的斜高). 2 2 S 侧 = 2πrl,S 全 = 2πrl + 2πr2 = 2πr(r + l) (其中 r 为底面半径, l 为圆柱的 S 侧 = πrl ,S 全 = πrl + πr2 = πr(r + l) (其中 r 为底面半径, l 为圆锥的母线

S 侧 = π(r + r′ )l,S 全 = π(r + r′ )l + πr2 + πr′2 (其中 r 为下底面半径, r′ 为 上底面半径, l 为圆台的母线长). 球 S = 4πR 2 (其中 R 为球的半径).
体积公式 柱体 V = Sh (其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高). 锥体 台体 的高). 球体

1 Sh (其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高). 3 ? ? ? 1 V = (S + S ′ + √SS ′ )h (其中 S 、 S ′ 分别为台体的上、下底面积, h 为台体 3 V = V = 4 πR 3 (其中 R 为球的半径). 3

例题: 已知某矩形的长为 12cm ,宽为 8 cm,若以其一边所在直线为旋转轴将矩形旋转一周,求形成 的几何体的表面积. 解:若以其中一条 8 cm 长的边所在直线为旋转轴,则形成的圆柱的母线长 l 、高 h 都是 8 cm,底面半径 r 为 12 cm,则表面积

S = 2πr2 + 2πrl = 480π cm2 ;
若以其中一条 12 cm 长的边所在直线为旋转轴,则形成的圆柱的母线长 l 、高 h 都是 12 cm,底面半径 r 为 8 cm,则表面积

S = 2πr2 + 2πrl = 320π cm2 .

如图所示,三棱锥的顶点为 P ,PA 、PB 、PC 为三条侧棱,且 PA 、PB 、PC 两两互相垂直,又
PA = PB = PC = 2 ,求三棱锥 P ? ABC 的表面积 S 与体积 V .

P A 、P B 、P C 两两互相垂直,且 P A = P B = P C = 2,所以 AB = AC = BC = 2√2 ,可得 △ABC 的高为 √6 .所以
解:因为

S = S △PAC + S △PAB + S △PBC + S △ABC 1 1 = 3 × × 2 × 2 + × 2√2 × √6 2 2 = 6 + 2√3 ;
V = 1 1 1 4 S△PAC × PB = × × 2 × 2 × 2 = . 3 3 2 3

? 长方体共顶点的三个侧面的面积分别为 √3 ,√5 ,√? 15 ,则它的外接球的表面积为多少? 解:如图所示为过长方体的一条体对角线的截面,设长方体有公共顶点三条侧棱的长度分别为 x、y 、z ,则由已知有: ? xy = √3 , ? x = √3 , ? yz = √5 , 解得 ? y = 1, ? ? ? zx = √? z = √5 . 15 ,

所以球的半径 R =

1 1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? 3 AB = √x2 + y 2 + z 2 = .因此,S 球 = 4πR 2 = 9π. 2 2 2

四、课后作业

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1. 若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 ( A.正方体
答案: D

)
D.直平行六面体

B.正四棱锥

C.长方体

2. 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的图形不可能是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: D

3. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶 的形状是 (

).

A.

B.

C.

D.
答案: B

A , B, C

∠ABC =

?

, BA = BC

ABC

4. 如图,在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点,∠ABC = 90? , BA = BC ,球心 O 到平面 ABC 的距 离是

3√2 ,则 B, C 两点的球面距离是 ( 2

)

A.

π 3

B.π

C.

4 π 3

D.2π

答案: B

解析: 因为

AC 是小圆的直径.所以过球心 O 作小圆的垂线,垂足 O ′ 是 AC 的中点. ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? 3√2 3√2 ′ 2 ? ,AC = 3√2,所以 BC = 3,即 BC = OB = OC ,所以 C = O 3 ?( ) = ? 2 2 π π ∠BOC = ,B 、 C 两点的球面距离是 × 3 = π. 3 3

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