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直线 与圆的方程复习教案 老师版


2016 届文科人教版数学 必修二(直线与圆的方程)教学



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2016 年 1 月 2 日

一、 知识回顾
在平面直角坐标系中,过定点 P(2,2)的

四条直线如图所示,每条直线与 x 轴的相对倾 斜程度是否相同?

1.

倾斜角的定义

(1)当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的 角 α 叫做直线 l 的倾斜角. (2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . 倾斜角的范围 直线的倾斜角 α 的取值范围为 0° ≤α<180° . 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是: 直线上的一个定点及它的倾斜 角. 2. 直线的斜率

把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示,即 k =tan_α. y2-y1 直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率 k= (x ≠x ). x2-x1 1 2 3. 斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角 (范围) 斜率 (范围)

α=0°

0° <α<90°

α=90°

90° <α<180°

0

k>0

不存在

k<0

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4. 两条直线平行与斜率之间的关系 1) 设两条不重合的直线 l1, l2, 倾斜角分别为 α1, α2, 斜率存在时斜率分别为 k1, k2.则对应关系如下: 前提条件 对应关系 α1=α2≠90° l1∥l2?k1=k2 α1=α2=90° l1∥l2?两直线斜率都不存在

图示

2)

如图,直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1 与 α2,若 l1⊥l2,则 α1 与 α2 之间存在什 么关系?

【提示】 α2=α1+90° . 两条直线垂直与斜率的关系 对应关系 l1 与 l2 的斜率都存在,分别为 k1,k2, l1 与 l2 中的一条斜率不存在, 另一条斜 则 l1⊥l2?k1· k2=-1 率为零,则 l1 与 l2 的位置关系是 l1⊥l2

图示

5.

直线方程的五种形式的比较:
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形式 斜式 一般情况 斜截式

条件 过点(x0,y0),斜率为 k 在 y 轴上的截距为 b, 斜率为 k 过两点(x1,y1)和(x2, y2)

方程 y-y0=k(x-x0)

应用范围 不含与 x 轴垂直的直 线 不含与 x 轴垂直的直 线 x1≠x2,y1≠y2,即不

y=kx+b

两点式 一般情况

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

含与 x 轴或 y 轴垂直 的直线 不含与 x 轴或 y 轴垂

截距式

在 x 轴、 y 轴上的截距 分别为 a 与 b(a, b≠0)

x y + =1 a b

直的直线,不含过原 点的直线

一般式 (A,B 不同时为 0) 特殊的直线 垂直于 x 轴且过点 (a,0)

任何情况

Ax+By+C=0

x=a,y 轴的方程 x= 0

k 不存在

垂直于 y 轴且过点(0, y=b,x 轴的方程 y= b) 0

k=0

6.

两条直线的交点

已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.若两直线方程组成的方程组
? ? ?A1x+B1y+C1=0 ?x=x0, ? 有惟一解? 则两直线相交,交点坐标为(x0,y0). ?A2x+B2y+C2=0 ? ? ?y=y0,

7.

两点间的距离

平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 8. 如图, 点 P(x0, y0)到直线 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0)的距离 d 同线段 PS, PR, RS 间存在什么关系?

|PR||PS| d= . |RS| 点到直线的距离 (1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
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|Ax0+By0+C| (2)公式:点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 9. 如图 l1∥l2,两平行线间的距离等于其中任意一条直线上的任意点到另一条直线的 距离吗?

两条平行直线间的距离 (1)概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. (2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离. (3)公式:两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d= |C1-C2| A2+B2

二、 精讲细练
1. 若图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则有( )

A.k1<k2<k3 B.k2<k3<k1 C.k1<k3<k2 D.k2<k1<k3 2. 在下列叙述中:

①若一条直线的倾斜角为 α,则它的斜率 k=tan α; ②若直线斜率 k=-1,则它的倾斜角为 135° ; ③若 A(1,-3)、B(1,3),则直线 AB 的倾斜角为 90° ; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为 45° ,则这条直线必过(3,4)点; 3 ⑤若直线的斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点. 4 所有正确命题的序号是________. 【解析】 ①当 α=90° 时,斜率 k 不存在,故错误; ②当倾斜角的正切值为-1 时,倾斜角为 135° ,故正确;
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③直线 AB 与 x 轴垂直,斜率不存在,倾斜角为 90° ,故正确; 4-2 ④直线过定点(1,2),斜率为 1,又 =1, 3-1 所以直线必过(3,4),故④正确; 3 ⑤斜率为 的直线有无数条,所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点,故错误. 4 【答案】 ②③④ 3. 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积.

【解】 如图,设 AB 边上的高为 h,

1 则 S△ABC= |AB|· h. 2 |AB|= ?3-1?2+?1-3?2 =2 2, AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. y-3 x-1 AB 边所在直线的方程为 = , 1-3 3-1 即 x+y-4=0. |-1+0-4| 5 5 2 点 C(-1,0)到 x+y-4=0 的距离 h= = = . 2 2 12+12 1 5 2 因此,S△ABC= ×2 2× =5. 2 2 4. 已知点 M(a,b)在直线 3x+4y=15 上,则 a2+b2的最小值为________. |0+0-15| a2+b2的最小值为原点到直线 3x+4y=15 的距离:d= =3. 32+42

【解析】 【答案】 3 5.

直线 l 经过两直线 l1:2x-y+4=0 与 l2:x-y+5=0 的交点,且与直线 x-2y-6 =0 垂直.

(1)求直线 l 的方程; (2)若点 P(a,1)到直线 l 的距离为 5,求实数 a 的值.

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? ?2x-y+4=0, 【解】 (1)由? 得交点为(1,6), ?x-y+5=0 ?

又直线 l 垂直于直线 x-2y-6=0, 所以直线 l 的斜率为 k=-2. 故直线 l 的方程为 y-6=-2(x-1),即 2x+y-8=0. (2)由于 P(a,1)到直线 l 的距离等于 5, 则 6. |2a+1-8| = 5,解得 a=1 或 a=6. 5 求与直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程.

(2)求与直线 l1:x-y+3=0 关于直线 l:x-y-1=0 对称的直线 l2 的方程. 【解】 (1)设所求直线方程为 2x+11y+C=0. 由点到直线的距离公式可得 =-38. 故所求直线方程为 2x+11y-38=0. (2)法一 因为 l1∥l,所以 l2∥l,设 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). |3-?-1?| 直线 l1,l2 关于直线 l 对称,所以 l1 与 l,l2 与 l 间的距离相等.由距离公式得 2 |m-?-1?| = ,解得 m=-5 或 m=3(舍去). 2 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 法二 由题意知 l1∥l2,设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). 在直 线 l1 上取 点 M(0,3) ,设 点 M 关于 直线 l 的对称点 为 M′(a , b) ,于是 有 3 ×1=-1, ?b- a ?a+0 b+3 ? 2 - 2 -1=0, |0+11+16| |0+11+C| = ,即|C+11|=27,解得 C=16 或 C 22+112 22+112

解得 a=4,b=-1,即 M′(4,-1).

把点 M′(4,-1)代入 l2 的方程,得 m=-5,所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 7. 直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2,求直线 l 的方 程. 【解】 若 l 在两坐标轴上截距为 0, 设 l:y=kx,则 |4k-3| =3 2. 1+k2

3 解得 k=-6± 14. 2

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3 此时 l 的方程为 y=(-6± 14)x; 2 若 l 在两坐标轴上截距不为 0, x y 设 l: + =1, a a |4+3-a| 即 x+y-a=0,则 =3 2. 12+12 解得 a=1 或 13. 此时 l 的方程为 x+y-1=0 或 x+y-13=0. 3 综上,直线 l 的方程为 y=(-6± 14)x 或 x+y-1=0 或 x+y-13=0. 2

三、 知识回顾
1. 在平面内,圆是如何定义的? 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合. 圆的标准方程 (1)以 C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 2. 点与圆的位置关系

设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置关系对应如下: 位置关系 d 与 r 的大小关系 点在圆外 d>r 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r

判断点 P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有几何法和代数法两种: (1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系作出判断: ①d>r,点在圆外;②d=r,点在圆上;③d<r,点在圆内. (2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,具体判断如下: ①当(x0-a)2+(y0-b)2<r2 时,点在圆内; ②当(x0-a)2+(y0-b)2=r2 时,点在圆上; ③当(x0-a)2+(y0-b)2>r2 时,点在圆外. 3. 圆的一般方程

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开可得到一个什么式子?
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【提示】 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)表示的图形 D2+E2-4F D E (1)变形:(x+ )2+(y+ )2= . 2 2 4 D E (2)图形:①当 D2+E2-4F>0 时,方程表示的曲线为圆,且圆心为(- ,- ),半径为 2 2 1 D2+E2-4F,方程(*)称为圆的一般方程; 2 D E ②当 D2+E2-4F=0 时,方程(*)表示一个点(- ,- ); 2 2 ③当 D2+E2-4F<0 时,方程(*)不表示任何图形. 4. 直线与圆的位置关系及判断 直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程 的判别式为 Δ,则 直线与圆相交?Δ>0; 直线与圆相切?Δ=0; 直线与圆相离?Δ<0. (2)几何法:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则 直线与圆相交?d<r; 直线与圆相切?d=r; 直线与圆相离?d>r. 5. 圆与圆位置关系的判定

(1)几何法:若两圆的半径分别为 r1、r2,两圆的圆心距为 d,则两圆的位置关系的判断 方法如下: 位置 关系 图示 d与 r1、r2 的 关系 <r1+r2 d>r1+r2 d=|r1-r2| d=r1+r2 d<|r1-r2| |r1-r2|<d 外离 外切 相交 内切 内含

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(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. Δ>0?相交 ? ? 圆C1方程? ? 消元 ?― ― →一元二次方程?Δ=0?内切或外切 ? 圆C2方程? ? ?Δ<0?外离或内含

四、 精讲细练
1. 已知某圆圆心在 x 轴上, 半径为 5, 且截 y 轴所得线段长为 8, 求该圆的标准方程. 【错解】 如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5.

在 Rt△AOC 中, |OC|= |AC|2-|OA|2 = 52-42=3. ∴C 点坐标(3,0), ∴所求圆的方程为(x-3)2+y2=25. 【错因分析】 上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在 x 轴正半轴的情 况,没有画出圆心在 x 轴负半轴的情况而产生漏解. 【防范措施】 借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量 研究问题,就应考虑到几何图形的各种情况,本题出错就是由于考虑问题不全面所致. 【正解】 由题意设 |AC| = r = 5 , |AB| = 8 ,所以 |AO| = 4. 在 Rt △ AOC 中, |OC| =

|AC|2-|AO|2= 52-42=3,如图所示.

∴圆心坐标为(3,0)或(-3,0). ∴所求圆的方程为(x± 3)2+y2=25. 2. 已知点 A(3,-2),B(-5,4),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )

A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100
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1 1 【解析】 圆心为 AB 的中点(-1,1),半径为 |AB|= ?3+5?2+?-2-4?2=5,∴圆的 2 2 方程为(x+1)2+(y-1)2=25. 【答案】 B 3. 点 P(1,-1)在圆 x2+y2=r 的外部,则实数 r 的取值范围是________.

【解析】 由题意得 12+(-1)2>r,即 r<2,又 r>0,故 r 的取值范围是(0,2). 【答案】 (0,2) 4. 已知点 A(1,2)和圆 C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数 a 的取 值范围: (1)点 A 在圆的内部; (2)点 A 在圆上; (3)点 A 在圆的外部. 【解】 (1)∵点 A 在圆内部, ∴(1-a)2+(2+a)2<2a2, 5 5 即 2a+5<0,解得 a<- .故 a 的取值范围是{a|a<- }. 2 2 5 (2)将点 A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得 a=- ,故 a 的值为 2 5 - . 2 (3)∵点 A 在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2, 5 5 即 2a+5>0,解得 a>- .故 a 的取值范围是{a|a>- }. 2 2 5. 已知圆过两点 A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上,求此圆的方 程. 【思路探究】 由已知条件可设出圆的标准方程, 利用待定系数法或几何性质确定圆心 坐标和半径. 【自主解答】 法一 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ?3-a? +?1-b? =r , ? ? 2 2 2 依题意??-1-a? +?3-b? =r , ? ?3a-b-2=0, a +b -6a-2b=r -10, ? ? 2 2 2 即?a +b +2a-6b=r -10, ? ?3a-b-2=0,
2 2 2 2 2 2

?a=2, ? 解得?b=4, ? ?r= 10.

∴所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.

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3-1 1 法二 直线 AB 的斜率 k= =- ,可知 AB 垂直平分线 m 的斜率为 2. 2 -1-3 3-1 1+3 AB 中点的横坐标和纵坐标分别为 x= =1,y= =2. 2 2 因此 m 的方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. 又圆心在直线 3x-y-2=0 上,∴圆心在这两条直线的交点上.
?2x-y=0, ?x=2, ? ? 联立方程组? 得? ?3x-y-2=0, ?y=4. ? ?

设圆心为 C,∴圆心坐标为(2,4). 又半径 r=|CA|= 10, 则所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10. 法三 设圆心为 C,∵圆心在直线 3x-y-2=0 上, 故可设圆心 C 的坐标为(a,3a-2). 又∵|CA|=|CB|,故 ?a-3?2+?3a-2-1?2= ?a+1?2+?3a-2-3?2. 解得 a=2,∴圆心为(2,4),半径 r=|CA|= 10. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.

1.由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 中含有三个参数 a,b,r,因此需要三个独立 的条件才能确定一个圆的标准方程. 2.求圆的标准方程常有以上三种方法,其中方法三最为简捷,方法二是几何法,巧用 了圆的几何性质,方法一是通法,用方程的观点确定 a,b,r 的值. 6. 已知直线 l:y=kx+5 与圆 C:(x-1)2+y2=1.

(1)当 k 为何值时,直线 l 与圆 C 相交? (2)当 k 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (3)当 k 为何值时,直线 l 与圆 C 相离? 【思路探究】 直线与圆的位置关系 思路二: 求圆心C到直线l的距离d ― → 比较d与l的大小关系 ― → 下结论
?y=kx+5, ? 【自主解答】 法一 由? 消去 y,得(x-1)2+(kx+5)2=1, 2 2 ? ? x - 1 ? + y = 1 ?

消元 判断Δ的符号 思 路 一 : 联立l和C的方程 ― ― → 一元二次方程 ― ― →

即(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0, 则 Δ=(10k-2)2-4×25(k2+1)=-96-40k.
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12 (1)当 Δ>0,即 k<- 时,直线 l 与圆 C 相交. 5 12 (2)当 Δ=0,即 k=- 时,直线 l 与圆 C 相切. 5 12 (3)当 Δ<0,即 k>- 时,直线 l 与圆 C 相离. 5 法二 圆 C 的圆心 C(1,0),半径 r=1,由点到直线的距离公式得圆心 C 到直线 l 的距 离 d= |k+5| . 1+k2 |k+5| |k+5| |k+5| 1+k 1+k 1+k
2<1,即

(1)当 (2)当 (3)当 7.

12 k<- 时,直线 l 与圆 C 相交. 5 12 k=- 时,直线 l 与圆 C 相切. 5

2=1,即

2>1,即

12 k>- 时,直线 l 与圆 C 相离. 5

求直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的弦长. 方程组 → 解出交点坐标 → 或 方程组 → 得x1+x2与x1· x2 → 弦长公式求弦长 或

【思路探究】

两点间距离即弦长

圆心到直线的距离 → 构造直角三角形求弦长
?3x+y-6=0, ? 【自主解答】 法一 由? 2 2 ? ?x +y -2y-4=0,

得交点 A(1,3),B(2,0), ∴弦 AB 的长为|AB|= ?2-1?2+?0-3?2= 10.
?3x+y-6=0, ? 法二 由? 2 2 ? ?x +y -2y-4=0,

消去 y 得 x2-3x+2=0. 设两交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则由根与系数的关系得 x1+x2=3,x1· x2=2. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?x2-x1?2+[-3x2+6-?-3x1+6?]2 = ?1+32??x2-x1?2 = 10[?x1+x2?2-4x1x2] = 10×?32-4×2?= 10, 即弦 AB 的长为 10.
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法三 圆 C:x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2=5,其圆心坐标(0,1),半径 r= 5, 点 (0,1) 到 直 线 l 的 距 离 为 d = ? 5?2-? 10 2 10 ?= , 2 2 |3×0+1-6| 3 +1
2 2



10 |AB| ,所以半弦长为 = r2-d2 = 2 2

所以弦长|AB|= 10.

图1 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图 1,直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心距为 d,圆的半径为 r,弦长 |AB| 2 为|AB|,则有( ) +d2=r2.即|AB|=2 r2-d2. 2

图2 (2)代数法: 如图 2 所示, 将直线方程与圆的方程联立, 设直线与圆的两交点分别是 A(x1, y1),B(x2,y2),则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 1+k2|x1-x2|= 8. 1 1+ 2· |y -y |,其中 k 为直线 l 的斜率. k 1 2

已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系.

【 思 路 探 究 】 确定圆心与半径 →

联立两圆方程 → 看方程组解的个数 → 两圆位置关系 或

比较圆心距与r1+r2,|r1-r2|的大小关系 → 两圆位置关系 【自主解答】 法一 将两圆的方程联立得
2 2 ? ?x +y +4x+4y-2=0, ? 2 2 ?x +y -2x-8y-8=0, ?

① ②

由①-②得 x+2y+1=0,③ 由③得 x=-2y-1,把此式代入①,
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并整理得 y2-1=0,④ 方程④的判别式 Δ=02-4×1×(-1)=4>0, 所以,圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆是相交的位置关系. 法二 把圆 C1 的方程化为标准方程,得 (x+2)2+(y+2)2=10. 圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2),半径长 r1= 10. 把圆 C2 的方程化为标准方程,得 (x-1)2+(y-4)2=25. 圆 C2 的圆心坐标为(1,4),半径长 r2=5. 圆 C1 和圆 C2 的连心线的长为 |C1C2|= ?-2-1?2+?-2-4?2=3 5, 圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1+r2=5+ 10, 两半径长之差 r2-r1=5- 10. 而 5- 10<3 5<5+ 10,即 r2-r1<|C1C2|<r1+r2. 所以,圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆是相交的位置关系. 9. 已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共 弦所在的直线方程及公共弦长. 【思路探究】 作差 联立圆C1、C2的方程 ― ― →

得公共弦所在的直线 ― → 圆心C1到公共弦的距离d ― → 圆的半径r ― → 弦长=2 r2-d2 【自主解答】 设两圆交点为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 A , B 两点坐标是方程组 ① ② 的解,

2 2 ? ?x +y +2x-6y+1=0 ? 2 2 ?x +y -4x+2y-11=0 ?

①-②得:3x-4y+6=0. ∵A,B 两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆 C1 的圆心(-1,3),半径 r1= 3. 又 C1 到直线 AB 的距离为 |-1×3-4×3+6| 9 d= = . 5 32+42
2 ∴|AB|=2 r2 1-d =2

9 24 32-? ?2= . 5 5

24 即两圆的公共弦长为 . 5

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1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程: 若圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,则两圆公 共弦所在直线的方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法: (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角 三角形,根据勾股定理求解. 10. 已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0(m∈R). (1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若直线 l 的倾斜角为 120° ,求弦 AB 的长. 【解】 (1)直线 l 可变形为 y-1=m(x-1),因此直线 l 过定点 D(1,1),又 12+?1-1?2 =1< 5,所以点 D 在圆 C 内,则直线 l 与圆 C 必相交. (2)由题意知 m≠0,所以直线 l 的斜率 k=m,且 k=tan 120° =- 3,即 m=- 3. 此时,圆心 C(0,1)到直线 l: 3x+y- 3-1=0 的距离 d= 又圆 C 的半径 r= 5, 所以|AB|=2 r2-d2=2 5-? 32 ? = 17 2 |- 3| ? 3? +1
2 2



3 , 2

五、 高考真题
1. 如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上 方) ,且 AB ? 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为_________; .. (Ⅱ)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_________.

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【答案】(Ⅰ) ( x ? 1) 【解析】

2

? ( y ? 2)2 ? 2 ;(Ⅱ) ?1 ?

2.

试题分析:设点 C 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则由圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) 知,点 C 的横坐标为

1 ,即 x0 ? 1 ,半
2 径 r ? y0 . 又 因 为 AB ? 2 , 所 以 12 ? 12 ? y0 ,即

y0 ? 2 ? r , 所 以 圆 C 的 标 准 方 程 为

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,
令 x ? 0 得: B(0,

2 ? 1) .设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? ( 2 ? 1) ? kx ,则圆心 C 到其距
离为:

d?

k ? 2 ? 2 ?1 k2 ?1

? 2 ,解之得 k ? 1 .即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? x ? (

2 ? 1) ,于

是令 y ? 0 可得
x ? ? 2 ?1 , 即 圆 C 在 点

B 处的切线在

x

轴 上 的 截 距 为 ?1 ? 2 , 故 应 填
2.

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 和 ?1 ?
考点:1、直线与圆的位置关系;2、直线的方程; 2.

圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 2 2 则圆 C 的标准方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =4 .



考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由圆心在直线 x﹣2y=0 上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到圆心到 y 轴的 距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,由弦长的一半,圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程,求出方程的解得到 t 的值,从而得到 圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 解答: 解:设圆心为(2t,t) ,半径为 r=|2t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , 2 2 ∴t +3=4t , ∴t=±1,其中 t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,2t=2, 2 2 ∴(x﹣2) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 点评: 此题综合考查了垂径定理, 勾股定理及点到直线的距离公式. 根据题意设出圆心坐标, 找出圆的半径是解本题的关键. 3. (2013 课标全国Ⅱ,文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P
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在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r . 2 2 从而 y +2=x +3. 2 2 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得
2 2

| x0 ? y0 | 2

?

2 . 2

又 P 点在双曲线 y -x =1 上, 从而得 ? 由?

?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由?

? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1.

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x?+y?=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 【答案】B 【解析】因为弦心距为 d ? 1 ,所以弦 AB 的长等于 2 4 ? 1 ? 2 3 ,故选 B. 5. 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N
2 2

B. 2 3

C. 3

D.1

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两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 【答案】 (I) 琪 【解析】 试题分析: (I)设出直线 l 的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式, 即可求出 k 的取值范围; (II)设 M( x1 ,y ),N( ,y x 1 2 )2
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???? ? ????

骣 4- 7 4+ 7 (II)2 琪 3 , 3 桫

,将直线 l 方程代入圆的方程化为关于

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x 的一元二次方程,利用韦达定理将 x1 x2 , y1 y2 用 k 表示出来,利用平面向量数量积的坐标 公式及 OM ? ON ? 12 列出关于 k 方程,解出 k,即可求出|MN|. 试题解析: (I)由题设,可知直线 l 的方程为 y = kx +1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以

???? ? ????

| 2k - 3 +1| 1+k 2

<1.

解得

43

7

<k <

4+ 7 . 3
骣 4- 7 4+ 7 . 琪 3 , 3 桫

所以 k 的取值范围是 琪

(II)设 M( x1 , y1 ), N( x2 , y2 ) . 将 y = kx +1 代入方程 x - 2 所以 x1 + x2 =

(

) +( y - 3)

2

2

= 1 ,整理得 (1 + k 2 ) x2 -4(k +1) x + 7 = 0 ,

4(k +1) 7 , x1 x2 = . 2 1+k 1+k 2 ???? ? ???? 4k (1 + k ) OM ?ON x1 x2 + y1 y 2 = 1 + k 2 x1 x2 + k ( x1 + x2 ) +1 = +8 , 1+k 2 4k (1 + k ) + 8=12 ,解得 k =1,所以 l 的方程为 y = x +1 . 由题设可得 1+k 2

(

)

故圆心在直线 l 上,所以 | MN |= 2 . 考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力

6.

过直线 x+y=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角 是 60°,则点 P 的坐标是__________。

【答案】 ( 2, 2 ) 【解析】本题主要考查数形结合的思想,设 p(x,y) ,则由已知可得 po(0 为
2 2 ? ? ?x ? 2 ?x ? y ? 4 原点)与切线的夹角为 30 ,则|po|=2,由 ? 可得 ? . ? ? ?x ? y ? 2 2 ?y ? 2
0

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