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物理自主招生-3


质点动量定律
一、动量: 为何要定义动量? 单位:kg· s-1 m·

动量是物体作机械运动量的量度
二、冲量:作用力与作用时间的乘积。 恒力的冲量: 单位:N· s 变力的冲量: ? 冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。

三、质点动量定理
动量定理:

? ? ? ? ? F ?

?t ? ma ? ?t ? m?vt ? v0 ? ? ?p
如果力的作用时间从 则: ,质点动量从

质点动量定理: 质点在运动过程中,所受合外力的冲 量等于质点动量的增量。

说明

(1) 反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。 (2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量,符合矢量叠加 原理。或以分量形式进行计算。

(3) 冲击、 碰撞问题中估算平均冲力 F F(t)

t (4) 适用于惯性系,在非惯性系中,只有添加惯性力的冲 量后才成立

[例] m=10 千克木箱,在水平拉力作用下由静止开始运动, 拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为? =0.2, 求: (1) t=4 秒时刻木箱速度; (2) t=7 秒时刻木箱速度; (3) t=6 秒时刻木箱速度。 解:(1) 根据动量定理: 30 0 4 7 t(s) m F(N)

F(N) 30

0

4

7

t(s)

将一小球从某点以初速度v0竖直向上抛出,当小球落回该抛出点 时速率为vt,已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球 的速度大小成正比,求小球从抛出到落回原处所用的时间。 空气阻力正比于运动速度,物体上升与下落整个过程的速度时间 曲线一定是分布于时间轴的上下两面,且由于上升与下落过程经 过的距离相等,即时间轴上下两侧曲线所围的面积相等,而速度 时间曲线等价于阻力时间曲线,所以在整个运动过程中空气阻力 的冲量等于零。由动量定理

mgt ? mvt ? ?? mv0 ?

v0 ? vt ?t ? g

k ?v k ?x 上升阶段:? mg ? kv ? ma ? ? ?g ? ? ?v0 ? ? gt1 ? h ?t m ?t m k ?v? k ?x ? vt ? gt2 ? h ?g? 下降阶段: mg ? kv ? ma? m ?t m ?t

vt ? v0 ? g ?t1 ? t 2 ? ? gt

v0 ? vt ?t ? g

光滑管R=15cm,流量Q=0.57m3/s, 求水对弯头冲力。

? v2

? ? ? F?t ? ?m?v2 ? v1 ? ? ? ? ? F ? ? Q ? v2 ? v1 ?

? ? ? 冲力 F ? ? ? Q ? v1 ? v2 ?
不可压缩流体 v1 ? v2

?m ? ?Q ?t ? v1

45?

Fx? ? ? Q ? v1 ? v2 cos 45? ?

Fy? ? ? Q ? 0 ? v2 sin 45? ?

?m ?Q ? ? ? ? ? R 2v ? v ? 8.07m/s ?t Fx? ? 7852N Fy? ? 3253N F ? ? 8499N

[例] 如题图所示,斜面长5米,高3米,斜面的下端与一水平 面相接,一物块从斜面上端由静止开始下滑,物块与斜面及 平面的摩擦系数均为?( ? =0.3)。求物块从斜面顶端由静 止开始下滑,滑到平面上后还能在平面上滑行多长距离? 解:设物块滑到斜面下端的 速度大小为v1

1 2 ? ?mgl cos? ? mv1 ? mgh 2 拐角处 ? N?t ? mv1 sin? ? ? ?N?t ? mv2 ? mv1 cos?
v2 ? v1 ?cos? ? ? sin? ? 1 2 ? ?mgs ? 0 ? mv2 2

s

质点系的动量定理 动量守恒定律
设 有N个质点构成一个系统, 第 i 个质点: 质量 内力 , 外力 , 初速度 ,末速度 。 i

由质点动量定理:

其中: m1

m2

质点系的动量定理:

质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 系统内质点所受外力冲量的矢量和等于系统总动量的 增量。 内力对系统总动量无影响,但对每个质点的动量仍有影响
质点间通过内力的作用交换动量

动量守恒定律
系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变。

? ? ? 当 ? Fi ? 0 时, P ? ? mi vi ?常矢量。
说明
(1)动量守恒是指系统动量总和不变,但系统内各 个质点的动量可以变化, 通过内力进行传递和交换。 (2)当外力作用远小于内力作用时,可近似认为系统的总 动量守恒。(如:碰撞、打击等)

(3) 分量式

(4) 定律不仅适合宏观物体,同样也适合微观领域。

长为l 的木板A的质量为M,板上右端有质量为m的物块B(不计 大小),物块与木板间的滑动摩擦因数为?,它们一起静止在光 滑的水平面上。 则质量为m的物块C至少以 的速率与木 板左端发生完全非弹性碰撞时,方可使B脱离A板。

mVC ? (m ? M )VA?C ? (2m ? M )VA? B ?C

1 1 2 2 ?mg ?l ? (2m ? M )VA? B ?C ? (m ? M )VA?C 2 2
2 g ?l (m ? M )(2m ? M ) VC ? m

§4 质心 质心运动定理
一、质心

c

c c
质心是与质量分布有关的一个代表点,它的位置在 平均意义上代表着质量分布的中心。

z 质心的位矢: c O y

分量式:

x

质量均匀分布的几何体的质心位于其几何中心 根据:

质心组合律

质心组合律
将质点组分为若干质点小组,各小组质心构成的新质点 组质心即为原质点组质心 思考:

如何应用质心组合律于
匀质杆 匀质圆盘

匀质球

[例] 无穷多个 匀质圆环半径依次为R、R/2、R/22、……, 相切于一公共点。求系统质心距半径为R的最大圆的圆心的 距离。

解:设圆心分别为O1、O2、……
系统一:原系统 系统二:去除最大一个圆后余下的部分 二者关系:2:1 设二系统质量分别为2m、m

O1 O2

若系统一质心到O1距离为r,则系统二质心到O2距离必为r/2
原系统可看作半径为R的圆与系统二的组合

原系统可看作半径为R的圆与系统二的组合 由质心组合律,C1C = CC2 = r 且C2O2 = r/2,O1O2 = R/2

O1 O2

由图可知
R/2 = C1C + CC2 – C2O2 = 2r – r/2 解得:r = R/3 C1 C C2

二、质心运动定理
由质心位矢公式:

为质点系的动量
质心坐标系: 零动量系

由质点系动量定理:

在?t内:

质心运动定理: 质心的运动等同于一个质点的运动,这 个质点具有质点系的总质量,它受到的外力为质点系所 受的所有外力的矢量和。

说明

1. 适用于惯性系。
质心系是惯性系, 质心系是非惯性系。

2.

3. 动量守恒、功能原理在质心系中成立。
4. 质点系相对惯性系的运动可分解成: 随质心的运动+相对质心的运动。 质点系在实验室系的总动能: 资用能 ?

[例] 三棱体 C、滑块 A、B,各面 均光滑。已知mC=4mA=16mB , ?=300,?=600。求A下降 h=10cm 时三棱体 C 在水平方向的位移。

h α

C β

解: 水平方向无外力, 质心水平位置不变。 设三棱体 位移为 :

[例]质量为M的静止粒子A与质量为m,具有速度的粒子B碰 撞,实验发现,当B的动能小于某个数值时,A、B为弹性碰 撞,只有当B的动能大于此值时,A、B发生非弹性碰撞,此 时B将吸收数值为?E的固定能量。计算B所应具有的这一动 能值。

m v0 解:系统合外力为零,∴质心速度不变 vc ? m?M 系统能量守恒 1 2 1 1 2 1 2 mv0 ? ?m ? M ?vc ? mv ? MV 2 ? ?E 2 2 2 2
2? m 1 2 1 2 v0 ? ? mv ? MV ? 0 ?1 ? m? M 2 2 m? ? ? Ek ? ?1 ? ??E 两体吸能反应的阈能 ? M? ? ? ?E ?

v、V为相对质心的速度,为使v0最小,要求碰撞后相对 质心速度为零,即完全非弹性碰撞

[例] 炮车的质量为M,炮弹的质量为m。若炮车与 地面有摩擦,摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度 为u, 求炮身相对地面的反冲速度 v 。 ?

解: 选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
水平的动量守恒吗 ? 运用质点系的动量定理:

N

? f
? Mg

θ? mg
y

? u

??

? ? ? ? ? ? ? Mg ? mg ? N ? f ? ?t ? Mv ? m(v ? u ) ? 0

?

x

? f ? ?t ? ?Mv ? m(?v ? u cos? ) — (1) y方向: ? ?N ? Mg ? mg ?? ?t ? mu sin ? — (2)
x方向:

θ

? f ? ?t ? ?Mv ? m(?v ? u cos? ) — (1) ? ?N ? Mg ? mg ?? ?t ? mu sin ? — (2)

讨论: 1. 若炮车与地面没有摩擦

2. 若炮车与地面有摩擦,但水平发射炮弹

3. 自锁现象,即 v=0 时

匀速提绳上升,绳(m、l)均匀,求提起x时手对绳端的力。 F v 解:动量定理 对象:整根绳

? F ? N ? mg ? ?t ? p ? t ? ?t ? ? p ? t ? m m p?t ? ? x ? v p?t ? ?t ? ? ?x ? ?x ? ? v

x

l l m mg N ? ?F ? N ? mg ??t ? v ? ?x l ?x m ? ? v N ? ?l ? x ?g ?t l m m 2 m m 2 ? F ? mg ? ?l ? x ?g ? v ? x ? g ? v l l l l
已提起部分的重量 提起一小段?x所需的附加力

解二:质心运动定理

当提起x时,系统质心位置为

m m x ?l ? x ? ? 0 ? x ? x2 l 2 ? xC ? l m 2l 2 ?xC 1 ? x ? ?x ? ? x 2 1 2 x?x ? ?x 2 ? vC ? ? ? ? ? ?t 2l ?t 2l ?t ?vC v ?x v 2 x ?x x aC ? ? ? ? ? ? ? v ?t l ?t l l ?t l m m 2 ? F ? ?l ? x ?g ? mg ? maC ? v l l m m 2 m m 2 ? F ? mg ? ?l ? x ?g ? v ? x ? g ? v l l l l

在水平面上有两个质量均为m的小球用长为2l 的细线连接,初始 时细线刚好绷直。现用沿垂直于两球连线、大小为F的恒力作用 在连线中点,求碰撞前瞬间两球的接近速度。 按照对称性,在两球相碰瞬间的速度大小相同 质心运动定理

F ? 2maCy

y方向动量定理

F ?t ? 2mv y

1 2 2 动能定理 F (l ? ?yC ) ? 2 ? m(vx ? v y ) 2 1 F 2 ?yC ? aCy (?t ) ? (?t )2 2 4m
vx ? Fl m
Fl 接近速度 u ? 2vx ? 2 m

[例] 已知高H,傾角为? 的斜面光滑。小车质量 M,从 顶端滑至中点时刚好有一钢球 m 从 h 高度掉入。求小车 到达底部时的速度V ? m 解: m、M 系统,冲击过程 M h

H
对m、M 系统,N 为外力, 但斜面方向动量守恒!

?
N

(M+m)g

m、M、地球系统,机械能守恒:

解得:

[例]半径为R,质量为M,表面光滑的 半球放在光滑水平面上,在其正上方置 一质量为m的小滑块。当小滑块从顶端 无初速地下滑后,在图示?角位置处开 始脱离半球。已知cos? = 0.7,求M /m。 解: MV ? m?v? cos? ? V ?

? R

1 1 2 2 mgR?1 ? cos? ? ? ?v? cos? ? V ? ? ?v? sin ? ? ? MV 2 2 2 1 ? 2 gR?1 ? cos? ??m ? M ? ? 2 脱离瞬间N = 0 v? ? ? 2 ? M ? m sin ? ? ? v? 2 ? g cos? ? ? 以 v?代入后解得 R M 2?1 ? cos? ? ? ?1 ? cos2 ? ?cos? ? ? 2.43 m cos? ? 2?1 ? cos? ?

?

?

[例]两个质量分别为m1和m2的木块A、B,用一劲度系数为k
的轻弹簧连接,放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B 块,使弹簧压缩x0然后释放。(已知m1=m,m2=3m) (2)弹簧的最大伸长量。

求:(1)释放后A,B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。 k
A B

解: 设:弹簧恢复到原长
时滑块B的速度为VB0

1 2 3mVB20 机械能守恒: kx0 ? VB 0 ? x0 k 3m 2 2 m1v1 ? m2v2 ? m2VB 0 A块离墙后:
v1=v2=v时: mv ? 3mv ? 3mVB 0 v ? 3 V ? 3 x B0 0

4

4

k 3m

机械能守恒:

1 2 1 1 1 2 2 kx ? m1v1 ? m2 v2 ? m2VB20 2 2 2 2

当弹簧处于最大伸长量时,必有v1=v2=v=3VB0 ? 4

1 2 1 9 2 1 9 2 1 2 kx ? m VB 0 ? 3m VB 0 ? 3mVB 0 2 2 16 2 16 2

1 2 3 3 k 2 1 2 2 化简: kx ? mVB 0 ? m( x0 ) ? kx0 2 8 8 3m 8

xmax

1 ? x0 2

碰撞问题
碰撞过程

1. 压缩阶段

2. 恢复阶段

? 弹性碰撞:碰撞后物体的形变可以完全恢复,且碰 撞前后系统的总机械能守恒。
? 非弹性碰撞:碰撞后物体的形变只有部分恢复,系 统有部分机械能损失。 ? 完全非弹性碰撞:碰撞后物体的形变完全不能恢复, 两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。 微观粒子:碰撞? 散射

(1) 弹性碰撞
动量守恒:

动能守恒:

v10

v20

v1

v2

讨论

1. 当m1=m2时, 则:

在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交 换彼此的速度。 2. 若v20=0,且 m2>>m1,则: 质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后,调转运 动方向,而质量很大的质点几乎保持不动。 3. 若v20=0, 且m2<<m1, 则: 质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几 乎不变,但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。

?

(2) 完全非弹性碰撞 动量守恒:

机械能损失:

v10

v20

v

(3) 非弹性碰撞: 动量守恒:

碰撞定律: 碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前 两球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两 球的质料决定。
——恢复系数

v10

v20

v1

v2

弹性碰撞: e =1

(v2-v1)= (v10-v20)

非弹性碰撞: 0 < e < 1 完全非弹性碰撞: e =0 碰后两球的速度: v2=v1

机械能损失:

[例]在平面两相同的球做完全弹性碰撞,其中一球开 ? 始时处于静止状态,另一球速度为 v 。 求证:碰撞后两球速度总互相垂直。 ? ? 解:设碰撞后两球速度v1 , v2 由动量守恒

? ? ? v ? v1 ? v2

碰撞前后三个矢量构成一封闭三角形

由机械能守恒(势能无变化)v

2

? v1 ? v2
2

2

此封闭三角形的三条边之间满足勾股定理

两球速度总互相垂直

[例] 已知板 M,l;小球 m, v0 , h。弹簧 k,桌面光滑, 掉下时与板为弹性碰撞。求(1) 弹簧最大压缩量, (2) 若 只发生一次碰撞,则v0 应满足什么条件? m v0 解: (1)碰撞时(y方向碰撞), 小球速度为: h l

弹性碰撞: y x k

解得: 碰后,板、弹簧、地球系统:

得:

(2)小球从桌面下落至板上经历的时间:

t1 ? 2h / g
球要与板发生碰撞, 首先须 满足条件 1:

m v0 h l

v0t1 ? l
一次碰撞后,小球弹起再落 回原碰撞处经历的时间: k

t2 ? 2 v ? / g y

设平板质量很大,碰后弹簧的压缩量<< h, 即假定 小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处,则小球 只与板发生一次碰撞须满足的条件2:

v0 (t1 ? t2 ) ? l
l l ? ? v0 ? t1 ? t2 t1
得:

m?M g g l ? v0 ? l 3?M ? m ? 2h 2h

[例] 光滑桌面上, 质量为m1的小球以速度u 碰在质量为 m2的静止小球上,u 与两球的连心线成θ 角(称为斜碰)。 设两球表面光滑, 它们相互撞击力的方向沿着两球的连 心线, 已知恢复系数为e ,求碰撞后两球的速度。 x 解: 设碰后两球速度分别为v 、v ,
方向如图。
1 2

y

x、y方向动量分别守恒:

o
x y 恢复系数:

o

联立三个方程后求解,得:

讨论: 两个质量相等的小球发生弹性斜碰: m1=m2 , e =1 时,

[例] 如图所示,一个质量为 m 的小球以入射角?与一粗糙 的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为? ,恢复 系数为 e,求碰撞后小球的速度大小与方向。 y 解: 考虑小球,碰撞过程,忽略重力
由动量定理: x: y:

?0 ?

x

? v0, θ
恢复系数:

质量分别为m1、m2、 m3的质点A、B、C位于光滑水平面上, 用已拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接,角ABC为???, ?为锐角(如图)。今有一冲量为I的冲力沿BC方向作用于质 v3 点C,求质点A开始运动时的速度。

I ? m1v1 cos? ? m2v2 cos? ? m3v3

v2

0 ? m2v2 sin? ? m1v1 sin?
约束关系:

v1
B

? ?

C

A

v2 cos? ? v3 v2 cos?? ? ? ? ? v1
I m1 cos? v1 ? 2 m2 ?m1 ? m2 ? m3 ? ? m1m3 sin ?

三块质量都是m的小滑块,放在光滑水平桌面上,沿一直线 排列。另一质量为M(M > m)的滑块以速度V沿小滑块排列 方向射向小滑块,并发生碰撞。设所有碰撞都是完全弹性的 正碰,求各滑块的最终速度。 V 3 2 1 解:M与3号碰 MV ? MV1 ? mv1
M mm m

1 1 1 2 2 2 MV ? MV1 ? mv1 2 2 2 M ?m 2M V1 ? V v1 ? V ?V1 ? v1 M ?m M ?m
3号与2号碰,速度交换,3号静止,2号以v1运动,并与1 号碰,结果2号静止,1号以v1运动。 3号静止后,又与M碰(第二次),结果

M ?m ? M ?m? V2 ? V1 ? ? ?V M ?m ?M ?m?

2

M ?m ? M ?m? 此时 V2 ? v2 V2 ? V1 ? ? ?V M ?m ?M ?m? 2M 2M M ? m 然后3号再次与2号碰,交 v2 ? V1 ? V 换速度。 M ?m M ?m M ?m ? 2号再次与1号碰吗? 否! v2 ? v1 2号以v2运动 M ?m ? M ?m? ? v3 ? v2 V3 ? v3 V3 ? V2 ? ? ?V M ?m ?M ?m? 2 各木块不再相碰,各 2M 2 M ? M ? m ? 自速度: v3 ? V2 ? ? ?V M ?m M ?m?M ?m? V3,v3, v2,v1
3号第三次与M碰
3

2

M ?m V1 ? V M ?m

2M v1 ? V M ?m

V 3 2 1
M mm m

结论: 若共有N个小滑块,则:

?M ?m? VN ? ? ? V ?M ?m?
考虑: 1、若M = m,情况如何?

N

2M ? M ? m ? vN ? ? ? M ?m?M ?m?

N ?1

V

2、若M = 2m,且切开分为二个紧挨着,质量均为m,均 以V运动的小滑块,情况又如何? 结论是:

VN ? vN ? vN ?1 ? ? ? v3 ? 0 v2 ? v1 ? V

M ?m V1 ? V M ?m

2M v1 ? V M ?m

V 3 2 1
M mm m


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