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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 两条直线的交点坐标、两点间的距离


3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离

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【课标要求】 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间距离公式并会应用. 【核心扫描】

1.求两条直线的交点坐标和两点间的距离.(重点) 2.准确把握对称问题与直线过定点问题的实质.(难点)

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自学导引 1.两条直线的交点 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将
?A x+B y+C =0, ? 1 1 1 ? 两条直线的方程联立,得方程组 ?A2x+B2y+C2=0. ?

若方程组有唯一解, 则两条直线 相交, 此解就是 交点的坐标 ; 若方程组无解,则两条直线无公共点 ,此时两条直线平行 .

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想一想: 若两直线的方程组成的方程组有解, 两直线是否相交 ? 提示 不一定,两条直线是否交于一点,取决于联立两条直线 方程所得的方程组是否有唯一解.若方程组有无穷多个解,则 两条直线重合.

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2.两个间的距离公式

两点坐标 距离 公式 |P1P2|=

P1(x1,y1),P2(x2,y2) ?x2-x1?2+?y2-y1?2

特例

若 O(0,0),P(x,y),则|OP|=

x2+y2

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试一试:两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式是否可以写成 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2的形式? 提 示 可 以 , 原 因 是 ?x2-x1?2+?y2-y1?2 =

?x1-x2?2+?y1-y2?2,也就是说公式中 P1,P2 两点的位置没有 先后之分.

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名师点睛 1.两直线相交的判定方法 (1)两直线方程组成的方程组只有一组解,则两直线相交; (2)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两直线相 交.

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2.直线系方程 (1)平行于直线 Ax+By+C=0 的直线:Ax+By+m=0(m 为参 数且 m≠C). (2)垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线:Bx-Ay+m=0(m 为参 数). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点 的直线:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数且这些 直线中不包含 l2).

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3.两点间的距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)两点间距离公式的特殊情况 ①原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2. ②当 P1P2 与 x 轴平行时,y1=y2, 从而|P1P2|=|x2-x1|;当 P1P2 与 y 轴平行时,x1=x2, 从而|P1P2|=|y2-y1|. ③P1,P2 在直线 y=kx+b 上时, |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?x2-x1?2+?kx2+b-kx1-b?2= 1+k2|x2-x1|.
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题型一

直线的交点问题

【例 1】 求经过原点,且经过直线 2x+3y+8=0 和 x-y-1= 0 的交点的直线 l 的方程. [思路探索] 法一 法二 解交点,求斜率,写方程.

设直线系方程,代点求解.

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解 法一

?2x+3y+8=0, ? 解方程组? ?x-y-1=0, ?

?x=-1, ? 得? ?y=-2, ?

所以直线 2x+3y+8=0 和 x-y-1=0 的交点坐标为(-1,- 2). 又直线 l 经过原点,所以直线 l 的方程为 y-0 x-0 = ,即 2x-y=0. -2-0 -1-0

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法二 设所求直线方程为 2x+3y+8+λ(x-y-1)=0, ∵直线过原点(0,0),∴8-λ=0,λ=8, ∴直线方程为 2x+3y+8+8x-8y-8=0,10x-5y=0, 即 2x-y=0.

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规律方法

本题中的法一是通法通解.法二利用过交点的直线

系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须 熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直 线方程的问题.

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【变式 1】 求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程. 解 法一
?x-2y+4=0 ? 解方程组? ?x+y-2=0 ?

得 P(0,2).

3 4 因为 l3 的斜率为4,且 l⊥l3,所以直线 l 的斜率为-3,由斜截 4 式可知 l 的方程为 y=-3x+2, 即 4x+3y-6=0.

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法二 设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 又∵l⊥l3,∴3×(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得 λ=11,∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.

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题型二

两点间距离公式的应用

【例 2】 已知△ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建 1 立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=2|BC|. [思路探索] 把△ABC 放在坐标系中,设出相关点的坐标,应用 两点间的距离公式求出|AM|与|BC|,进而证明等式.

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解 以 Rt△ABC 的直角边 AB,AC 所在直线为坐标轴,建立如 图所示的平面直角坐标系. 设 B,C 两点的坐标分别为(b,0),(0,c). 因为斜边 BC 的中点为 M, 所以点 M
?0+b 0+c? ?b c ? ? ? 的坐标为? , 2 ?,即?2,2?. ? ? ? 2 ?

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由两点间距离公式得, |BC|= ?0-b?2+?c-0?2= b2+c2, |AM|=
? b?2 ? c ?2 1 ?0- ? +?0- ? = 2? ? 2? 2 ?

b2+c2,

1 所以 |AM|= |BC|. 2

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规律方法 应用解析法解决平面几何问题的一般步骤是: 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.

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【变式 2】 已知△ABC 的三个顶点是 A(-1,0),B(1,0),
?1 C? , ?2 ?

3? ? , 试判断△ABC 的形状. 2? ?
? 1? 2 ? ?1- ? +? 2? ? ? ? ? ?3? 2 ? ? +? ? ?2? ?

解 因为|BC|= |AB|=2,|AC|=

3?2 ? ? = 2?

1+3 =1, 4

3?2 ? ? = 3, 2?

所以有|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以△ABC 是直角三角形.

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题型三 对称问题 【例 3】 求点 P(-4,2)关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点 P′ 的坐标. 审题指导

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[规范解答] 法一 设点 P′(x,y),由 PP′⊥l 及 PP′的中点 ?y-2 ? · 2=-1 ?x+4 在 l 上得方程组? ? x-4 y+2 ?2· 2 - 2 +1=0 ? ? 16 ?x+2y=0, ?x= 5 , ? 即? 解得? ?2x-y-8=0, ? ?y=-8. 5 ?
?16 8? ∴P′? 5 ,-5?.(12 ? ?

(6 分)

(8 分)

分)

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法二

设点 P′(x,y),PP′⊥l 于 M,

∵PP′的方程为(x+4)+2(y-2)=0,即 x+2y=0,(3 分)
?x+2y=0, ? ∴解方程组? ?2x-y+1=0, ?

(6 分)

得 PP′与 l 的交点 由中点坐标公式得 ?-4+x 2 ? =-5, ? 2 ? ?2+y 1 ? 2 =5, ? 故

? 2 1? M?-5,5?, ? ?

? 16 ?x= 5 , 得? ?y=-8. 5 ? 分)

(9 分)

?16 8? P′? 5 ,-5?.(12 ? ?

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【题后反思】 (1)上述两种方法的基本思想一样,都是用直线 l 是线段 PP′的垂直平分线这一思想, 但具体用的视角不同, 因 而具体解法不同,比较两种解法,第一种较简便. (2)点关于点的对称问题是最基本的对称问题,用中点坐标公式 求解,它是解答其他对称问题的基础.点 M(a,b)关于点(x0, y0)的对称点为 M′(2x0-a,2y0-b);点 M(a,b)关于原点 O 的 对称点是 M′(-a,-b).

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【变式 3】 一束平行光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x +6y=25 反射后通过点 P(-4,3), 求反射光线所在直线的方程.

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解 如图所示,设原点关于直线 l 的对称点 A 的坐标为(a,b), 由直线 AO 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 ?b ? 4? ?- ?a· 3?=-1, ? ? ? ?8×a+6×b=25, 2 ? 2 ∴A 的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3), 又由反射光线过 P(-4,3), ∴两点纵坐标相等,故反射光线所在直线的方程为 y=3.
?a=4, ? 解得? ?b=3, ?

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误区警示

因分类讨论不全致误

【示例】 是否存在实数 a,使三条直线 l1:ax+y+1=0,l2: x+ay+1=0,3: l x+y+a=0 能围成一个三角形?请说明理由. 1 [错解] (1)当 l1∥l2 时,-a=-a,即 a=± 1; (2)当 l1∥l3 时,-a=-1,即 a=1; 1 (3)当 l2∥l3 时,-a=-1,a=1. ∴当 a≠1 且 a≠-1 时,这三条直线能围成一个三角形.

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要使三条直线围成一个三角形, 除这三条直线中任两条 不能平行外,还要满足三条直线不能交于一点,错解中漏掉了 这种情况.

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[正解] (接错解)(4)当 l1 与 l2,l3 相交于同一点时,
?x+ay+1=0, ? 由? ?x+y+a=0 ?

得交点(-1-a,1),

将其代入 ax+y+1=0 中, 得 a=-2 或 a=1. 故当 a≠1 且 a≠-1 且 a≠-2 时, 这三条直线能围成一个三角形.

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三条直线构成三角形, 则任何两条直线都相交, 且不能 相交于一点,这是解本题的依据,同时,在解决本题类似的题 目时,直接求解有困难,可考虑用间接法.

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