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三角恒等变换课时训练(有答案)


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三角恒等变换 课时训练(一)
2 π 1 π 1.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=________. 5 4 4 4 π π 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )] 4 4

2 1 π tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 3 答案: 22 1 的值为________. 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 2 cos α+sin2α 2 2 1 sin α+cos α 解析: 由 3sinα +cosα = 0 得 cosα =- 3sinα ,则 = = 2 2 cos α+sin2α cos α+2sinαcosα 2 2 9sin α+sin α 10 = . 2 2 9sin α-6sin α 3 10 答案: 3

3.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=

6 ,则 a、b、c 的大小关系是________. 2

解析:a= 2sin59°,c= 2sin60°,b= 2sin61°,∴a<c<b. 1 3 1 3 2 2 或 a =1+sin28°<1+ = ,b =1+sin32°>1+ = , 2 2 2 2 3 c2= ,∴a<c<b. 2 答案:a<c<b

4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 2 2 解析:原式= 4cos 4+2 (sin4-cos4) =|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 答案:-2sin4 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 π 2 解析:由题意知,tanα=3,sin(2α+ )= (sin2α+cos2α), 4 2 2 2tanα 3 1-tan α 4 而 sin2α= = ,cos2α= =- . 2 2 1+tan α 5 1+tan α 5 π 2 3 4 2 ∴sin(2α+ )= ( - )=- . 4 2 5 5 10 答案:- 2 10

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2

6.若函数 f(x)=sin2x-2sin x·sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. R 1 2 解析:f(x)=sin2x(1-2sin x)=sin2xcos2x= sin4x, 2 2π π 所以 T= = . 4 2 π 答案: 2 2cos5°-sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30°-25°)-sin25° 解析:由已知得:原式= cos25° = 3cos25° = 3. cos25°

答案: 3 8.向量 a=(cos10°,sin10°),b=(cos70°,sin70°),|a-2b|=______________________. 2 2 2 解析:|a-2b| =(cos10°-2cos70°) +(sin10°-2sin70°) =5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3, ∴|a-2b|= 3. 答案: 3 1 1-cos2α =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知 sinαcosα 3 2 1-cos2α 1-tan α 1 2tanα 解析:因为 =1,即 1- = × , 2 2 sinαcosα 1+tan α 2 1+tan α 1 所以 2tanα=1,即 tanα= ,所以 tan(β-2α) 2 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα = =-1. 答案:-1 =tan(β-α-α)= 1+tan(β-α)tanα 1 1- 6 10.已知 tanα=2.求 π (1)tan(α+ )的值; 4 2 sin2α+cos (π-α) (2) 的值. 1+cos2α π 1+tanα 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2, 4 1-tanα π 1+2 ∴tan(α+ )= =-3. 4 1-2 2 sin2α+cos (π-α) (2) 1+cos2α 2 2sinαcosα+cos α = 2 2cos α 2sinα+cosα = 2cosα 1 5 =tanα+ = . 2 2
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11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点, 3 4 △AOB 是正三角形,若点 A 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5 1+sin2α 的值; (1)求 1+cos2α 2 (2)求|BC| 的值. 3 4 4 3 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= ,cosα= , 5 5 5 5 1+sin2α 1+2sinαcosα 49 ∴ = = . 2 1+cos2α 2cos α 18 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°. ∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°. 3 1 4 3 3-4 3 = × - × = , 5 2 5 2 10 2 2 2 ∴|BC| =|OC| +|OB| -2|OC|·|OB|cos∠COB 3-4 3 7+4 3 =1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB ,sin(B-A)= cosA+cosB

12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= cosC. (1)求角 A,C. (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= , cosA+cosB sinC sinA+sinB 即 = , cosC cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 又因为 sin(B-A)=cosC= , 2 π 5π 则 B-A= 或 B-A= (舍去), 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 1 6+ 2 (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3, 2 8

a


c

a
= 2 2

c
, 3 2

= ,即 sinA sinC

得 a=2 2,c=2 3.

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三角恒等变换 课时训练(二)
1. cos2α 1+tanα · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα 2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα 解析: · = 2· 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα) 1-tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα · = · =1. = sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα 答案:1
2

π 3 sin2x-2sin x 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π 3 解析:∵cos( +x)= , 4 5 3 ∴cosx-sinx= 2, 5 18 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= , 25 25 2 sin2x-2sin x 2sinx(cosx-sinx) = ∴ 1-tanx cosx-sinx cosx 7 =sin2x= . 25 7 答案: 25 π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 解析:cos(α+ )=cosαcos -sinαsin 3 3 3 1 3 π = cosα- sinα,sin(α- ) 2 2 3 π π 1 3 =sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 答案:1 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ), 4 4 4 2 π 3 又 cos(α- )= , 4 5 π 4 ∴sin(α- )= . 4 5 π ∵β∈(0, ), 4 3π 3π ∴ +β∈( ,π). 4 4
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3π 5 ∵sin( +β)= , 4 13 3π 12 ∴cos( +β)=- , 4 13 π 3π ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)] 4 4 π 3π π 3π =-cos(α- )·cos( +β)+sin(α- )·sin( +β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 =- ×(- )+ × = , 5 13 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 56 答案: 65 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cosα= , 2 3 7 4 2 2 2 , ∴cos2α=2cos α-1=- ,∴sin2α= 1-cos 2α= 9 9 π 而 α,β∈(0, ), 2
2

∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 1-cos (α+β)= ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) 7 1 4 2 2 2 23 =(- )×(- )+ × = . 9 3 9 3 27 23 答案: 27

2 2 , 3

π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. π 5 sin(α+ ) 2 3 4 解析:∵α 在第一象限,且 cosα= ,∴sinα= , 5 5 π 2 2 1+ 2cos(2α- ) 1+ 2( cos2α+ sin2α) 4 2 2 则 = π cosα sin(α+ ) 2 2 2cos α+2sinαcosα 4 3 14 = =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα 5 5 5 14 答案: 5

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π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, α),=(1,2sinα-1), ∈( , 若 a·b= , tan(α+ )的值为________. sin α π), 则 b 2 5 4 2 2 2 解析:a·b=cos2α+2sin α-sinα=1-2sin α+2sin α-sinα 2 3 π =1-sinα= ,∴sinα= ,又 α∈( ,π), 5 5 2 4 3 ∴cosα=- ,tanα=- , 5 4 π tanα+1 1 = . ∴tan(α+ )= 4 1-tanα 7 1 答案: 7 tan10°tan70° 的值为______. tan70°-tan10°+tan120° tan70°-tan10° = 3, 解析:由 tan(70°-10°)= 1+tan70°·tan10° 故 tan70°-tan10°= 3(1+tan70°tan10°), 代入所求代数式得: tan70°tan10° tan70°tan10° = 3(1+tan70°tan10°)+tan120° 3(1+tan70°tan10°)- 3 tan70°tan10° = 3 = . 3 3tan70°tan10° 3 3

8.

答案:

π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 1 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=- , 4 π sin(α+ ) 4 2 ∴ = =- 2. sin2α+cos2α+1 4cosα 答案:- 2 cos20° 10.求值: ·cos10°+ 3sin10°tan70°-2cos40°. sin20° cos20°cos10° 3sin10°sin70° 解:原式= + -2cos40° sin20° cos70° = cos20°cos10°+ 3sin10°cos20° -2cos40° sin20°

cos20°(cos10°+ 3sin10°) -2cos40° sin20° 2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°) = -2cos40° sin20° 2cos20°sin40°-2sin20°cos40° = sin20° =2. =
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x

x

11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m·n-1. R 2 2 (1)求函数 f(x)的值域; 5 3 (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C)的值. 13 5

x x x

x

解:(1)f(x)=m·n-1=(2cos ,1)·(sin ,1)-1 2 2 =2cos sin +1-1=sinx. 2 2 ∵x∈R, R ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 ∵A,B 都为锐角, 12 4 2 2 ∴cosA= 1-sin A= ,cosB= 1-sin B= . 13 5 ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB 5 4 12 3 56 = × + × = . 13 5 13 5 65 56 ∴f(C)的值为 . 65 π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 (1)求 sin2β 的值; π (2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 4 2 2 3 ∴cosβ+sinβ= 2 , 3

2 7 ∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 9 9 π π 7 2 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos (β- )-1=- . 2 4 9 π (2)∵0<α< <β<π, 2 π π 3π π 3π ∴ <β- < , <α+β< , 4 4 4 2 2 π ∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 4 π 1 4 ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= , 4 3 5 π 2 2 3 ∴sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 π π ∴cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 π π = . =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )=- × + × 4 5 3 5 3 15 4
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