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16 三角函数的图象与性质(十六)暑期补课教案(共30课时) 原稿


三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)
基础梳理导学 夯实基础 稳固根基 1.有向线段:一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向,若线段的方向与坐标轴的 _____一致,就规定这条线段是正的,否则,就规定它是负的. 2.三角函数线 设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 点作 PM⊥x 轴于 M,过点 A(1,0)作单位

圆的切线, 与角 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T,则有向线段____、____、___分别叫做 角 α 的正弦线、余弦线、正切线. 3.“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 五点的取法是:设 X=ωx+φ,由 X 取_______________来求相应的 x 值及对应的 y 值,再 描点作图. 4.图象变换:函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可由函数 y=sinx 的图象作如下变换 得到:(1)相位变换; (2)周期变换;(3)振幅变换. 5.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(-∞, +∞))表示一个振动量时, A 叫做振幅, 则 2π 1 T= 叫做周期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ω T 函数 y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期为___.函数 y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期为___. 6.正弦曲线 y=sinx 的对称轴为_______________.对称中心为______________; 余弦曲线 y=cosx 的对称轴为___________,对称中心为_____________________; kπ 函数 y=tanx 图象的对称中心为( ,0)(k∈Z). 2 7.三角函数的图象与性质
三角 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图 象 π {x|x∈R,且 x≠kπ+ , 2 k∈Z}

定义 域 [-1,1], 值域 和 最值

R

R

[-1,1], π 值域 R, 当 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=-1, 2 当 x=2kπ 时(k∈Z),ymax=1, 无最大值和最小值 π 当 x=2kπ+π 时(k∈Z),ymin=-1 当 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=1 2

----------------------------------------------------------------------------------------------思想方法技巧 一、“数形结合”方法 在三角函数的图象和性质中,数形结合思想的运用主要体现在用三角函数的图象和单位圆 中的三角函数线解相关问题,如求函数的定义域、解三角不等式等. [例 1] 函数 y= tanx+lg cosx 的定义域是________________. 二、解题技巧 五点法求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例 2] 若函数 f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则 ω 和 φ 的取值是( ) π π A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- 3 3
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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

1 π C.ω= ,φ= 2 6

1 π D.ω= ,φ=- 2 6

考点典例讲练 ★三角函数图象的变换
π 5π [例 1] 下图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间?-6, 6 ?上的图象, 为了得到这个函数的图 ? ? 象,只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( ) π A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 3 1 缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 3 伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 π C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 6 1 缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 (文)(2012· 安徽文,7)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位 1 1 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 2 2 (理)要得到函数 y= 2cosx 的图象,只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象上所有点的( 1 π A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 8 1 π B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 4 π C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4 π D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8 )

)

★已知三角函数的图象求解析式
[例 2] (2011· 湖南长沙一中月考)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( π π A.y=sin(2x+ ) B.y=sin(2x- ) 6 6 π π C.y=cos(2x+ ) D.y=cos(2x- ) 3 6 )

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则 f(1)+f(2)+? +f(2013)的值为( ) 4027 4029 A.2012 B. C.2013 D. 2 2

★五点法作图

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

π π 3 [例 3] f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,- <φ<0)的最小正周期为 π,且 f?4?= . ? ? 2 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象; 2 (3)若 f(x)> ,求 x 的取值范围. 2 π π (2011· 福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,0<ω<2,- <φ< ) 2 2 的图象,列出的部分数据如下表: x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 -1 -2 经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数 y=Asin(ωx+φ)的 解析式应是________.

★三角函数的定义域
[例 4] (2011· 湛江调研)函数 y=lg(sinx)+ 函数 y=tanx+ cosx的定义域为________. 1 cosx- 的定义域为________. 2

★三角函数的值域
[例 5] 求下列函数的值域: π ,(|x|≤ ); 2 2 2 (3)y=sin x+2sinxcosx+3cos x. (1)y= 3sinx-cosx (2)y=cos2x+2sinx,(0≤x≤π);

π π (文)(2011· 重庆一中月考)函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[ , ]上的最大值是( 4 2 1+ 3 3 A.1 B. C.1+ 3 D. 2 2

)

(理)(2011· 安徽“江南十校”联考)已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是 x= 则函数 g(x)=asinx+cosx 的最大值是( )

5π , 3

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

2 2 A. 3

2 3 B. 3

4 C. 3

2 6 D. 3

★三角函数的周期性
[例 6] (文)(2011· 武汉调研)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是( ) π 5π 5π 11π A.?kπ-12,kπ+12?,k∈Z B.?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z ? ? ? ? π π? π 2π? C.?kπ-3,kπ+6 ?,k∈Z D.?kπ-6 ,kπ+ 3 ?,k∈Z ? ? π π (理)设函数 f(x)=2sin( x+ ).若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小 2 5 值为( ) 1 A.4 B.2 C.1 D. 2 (2011· 课标全国理)函数 y= 之和等于( A.2 ) B.4 C.6 D.8 1 的图象与函数 y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标 1-x

★三角函数的奇偶性、单调性
[例 7] (文)(2011· 北京东城质检)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, f(x)的最 若 π 5π 小正周期是 π,且当 x∈[0, ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为( ) 2 3 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 (理)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. π π π 若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则 ω=( 3 3 2 2 3 A. B. C.2 D.3 3 2

)

课堂巩固训练
一、选择题 2.(2012· 湖南衡阳联考二)已知函数 y=f(x)sinx 的一部分图象如 图所示,则函数 f(x)的表达式可以是( ) A.2sinx B.2cosx C.-2sinx D.-2cosx 3.(文)(2011· 山东烟台模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, π |φ|< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别为( ) 2 π π π A.2,0 B.2, C.2,- D.2, 4 3 6 ? a1 a2 ? = a a - a a . 将 函 数 f(x) = 1.定义行列式运算? ? 1 4 2 3 ? a3 a4 ?

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

? sin2x ? ? cos2x

3 ? π 以下是所得函数图象的一个对称中心的是( ?的图象向左平移6个单位, 1 ? π π π π A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( ,0) 4 2 3 12 ?-2≤x<0?, ?kx+1, ? (理)(2011· 东北师大附中)函数 y=? 8π ?2sin?ωx+φ?, ?0≤x≤ 3 ?. ? 1 1 π 1 1 π A.k= ,ω= ,φ= B.k= ,ω= ,φ= 2 2 6 2 2 3 1 π π C.k=- ,ω=2,φ= D.k=-2,ω=2,φ= 2 6 3 二、解答题 cos2x-sin2x 1 1 ,g(x)= sin2x- . 2 2 4 (1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样的变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合. ?sinx-cosx?sin2x (理)(2012· 北京文)已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 4.(文)已知函数 f(x)= 的图象如下图,则( )

)

三角函数的图象与性质
基础巩固强化 π 1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单 3 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 (理)函数 f(x)=sin2x+ 3cos2x 的图象可以由函数 y=2sin2x 的图象经哪种平移得到( π π A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 12 6 π π C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 6 π 2.(文)(2012·福建文,8)函数 f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴是( ) 4 π π π π A.x= B.x= C.x=- D.x=- 4 2 4 2 π (理)(2011·海淀模拟)函数 f(x)=sin(2x+ )图象的对称轴方程可以为( ) 3 π 5π π π A.x= B.x= C.x= D.x= 12 12 3 6 π 3.(文)(2011·唐山模拟)函数 y=sin(2x+ )的一个递减区间为( ) 6 π 2π π π π π π 3π A.( , ) B.(- , ) C.(- , ) D.( , ) 6 3 3 6 2 2 2 2 )

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

π π )在( ,π )上单调递减,则 ω 的取值范围是( ) 4 2 1 5 1 3 1 A.[ , ] B.[ , ] C.(0, ] D.(0,2] 2 4 2 4 2 π π 4. (2011·大连模拟)已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值是-2, ω 则 3 4 的最小值为( ) 2 3 A. B. C.2 D.3 3 2 5.(文)(2011·吉林一中月考)函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分图象如图, 则( ) π π π π A.ω = ,φ = B.ω = ,φ = 2 4 3 6 π π π 5π C.ω = ,φ = D.ω = ,φ = 4 4 4 4 (理)已知 ω >0,函数 f(x)=sin(ω x+ (理)函数 y= ,x∈(-π ,0)∪(0,π )的图象可能是下 sinx 列图象中的( )

x

π π )+cos(2x+ ),则( ) 4 4 π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 1 7.(文)函数 y=cosx 的定义域为[a,b],值域为[- ,1],则 b-a 的最小值为________. 2 π 2 8.已知关于 x 的方程 2sin x- 3sin2x+m-1=0 在 x∈( ,π )上有两个不同的实数根,则 m 2 的取值范围是________. π π 9. 设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称, x0∈[- , 则 x0=________. 若 0], 3 2 π 10.(文)(2011·北京文)已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 π π (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4 6.(文)(2011·课标全国文)设函数 f(x)=sin(2x+

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

(理)已知 a=(sinx,-cosx),b=(cosx, 3cosx),函数 f(x)=a·b+ (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2

3 . 2

能力拓展提升
11.(文)(2011·苏州模拟)函数 y=sinx·| cosx |(0<x<π )的图象大致是( sinx )

( 理 )(2011· 辽 宁 文 ) 已 知 函 数 f(x) = Atan(ω x + φ )(ω >0 , π π |φ |< ),y=f(x)的部分图象如图,则 f( )=( ) 2 24 3 D.2- 3 3 12.(文)为了使函数 y=cosω x(ω >0)在区间[0,1]上至多出现 50 次 最小值,则 ω 的最大值是( ) 197 A.98π B. π C.99π D.100π 2 ?π ? (理)有一种波, 其波形为函数 y=sin? x?的图象, 若在区间[0, ](t>0)上至少有 2 个波谷(图 t ?2 ? 象的最低点),则正整数 t 的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 π π 13. (文)(2011·南昌调研)设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0, ∈(- , ))的最小正周期为 π , φ 2 2 π 且其图象关于直线 x= 对称,则在下面四个结论中: 12 π π ①图象关于点( ,0)对称; ②图象关于点( ,0)对称; 4 3 π π ③在[0, ]上是增函数; ④在[- ,0]上是增函数中, 6 6 所有正确结论的编号为________. (理)(2011·南京模拟)已知函数 f(x)=xsinx,现有下列命题: ①函数 f(x)是偶函数;②函数 f(x)的最小正周期是 2π ;③点(π ,0)是函数 f(x)的图象 π π 的一个对称中心;④函数 f(x)在区间[0, ]上递增,在区间[- ,0]上单调递减. 2 2 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). π 1 3 2 14.函数 f(x)=2acos x+bsinxcosx 满足:f(0)=2,f( )= + . 3 2 2 (1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若 α 、β ∈(0,π ),f(α )=f(β ),且 α ≠β ,求 tan(α +β )的值. A.2+ 3 B. 3 C.

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三角函数的图象与性质(十六)

三角函数的图象与性质(十六)

15.(文)(2011·长沙一中月考)已知 f(x)=sinx+sin(

π -x). 2

1 (1)若 α ∈[0,π ],且 sin2α = ,求 f(α )的值; 3 (2)若 x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. 2 16. (2011·福建四地六校联考)已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标.

π 5π 1.(2012·河北郑口中学模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+φ )(A>0,- <φ <0)在 x= 处取得 2 6 最大值,则 f(x)在[-π ,0]上的单调增区间是( ) 5π 5π π π π A.[-π ,- ] B.[- ,- ] C.[- ,0] D.[- ,0] 6 6 6 3 6 π? π ? 2.(2011·长沙二模)若将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函 4? 4 ? π? ? 数 y=sin?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为( ) 3? ? 1 23 A.1 B.2 C. D. 12 3 πx 3.(2011·北京大兴区模拟)已知函数 f(x)= 3sin 图象上相邻的一个最大值点与一个最小

R

值点恰好都在圆 x +y =R 上,则 f(x)的最小正周期为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2012·河北保定模拟)已知向量 a=(cosθ ,sinθ )与 b=(cosθ ,-sinθ )互相垂直,且 θ 为锐角,则函数 f(x)=sin(2x-θ )的图象的一条对称轴是直线( ) 7π π π A.x=π B.x= C.x= D.x= 8 4 2 5.(2011·北京西城模拟)函数 y=sin(π x+φ )(φ >0)的部分图象如图所示, P 是图象的最高 设 点,A,B 是图象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( ) 8 4 A.10 B.8 C. D. 7 7
?sinx,sinx≤cosx ? 7.对于函数 f(x)=? ,给出下列四个命题: ? ?cosx,sinx>cosx ①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π +kπ (k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图象关于直线 x= +2kπ (k∈Z)对称; 4

2

2

2

π 2 +2kπ (k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) π π 2 8.已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin (x- )(x∈R). 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. ④当且仅当 2kπ <x<
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