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安徽省阜阳市阜阳一中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学 Word版含答案


安徽省阜阳市阜阳一中 2013-2014 学年第二学期高一期中考试 试题数学

本试卷共 21 道试题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟,请把答案写在答题卷的相应位置. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {

x | x2 ? 4} ,则 M ? N 为 A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2]
a

( D. [1, 2] ( D. b ? c ? a (

).

1) a ? log 2 x,b ? 2a,c ? 2 ,则 2.已知 x ? ( ,,
B. c ? a ? b C. b ? a ? c

1 2 A. a ? b ? c

).

3.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像

).

? 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 3

? 个长度单位 6 ? D.向左平移 个长度单位 6
B.向右平移 ( ).

4.若 f ( x) 是偶函数,且当 x ? [0,??)时, f ( x) ? x ? 1, 则f ( x ? 1) ? 0 的解集是 A. (0, 2) B. (??,0) ? (1, 2) C. (1, 2) D. (?1, 0)

5.已知在 ?ABC 中,?C ? 90o , BC ? 2 ,则 AB ? BC= A. 2 6.设首项为 1 ,公比为 A. Sn ? 2an ? 1 B. -4 C. -2 D. 4

uu u r uuu r



).

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 3
B. Sn ? 3an ? 2 C. Sn ? 4 ? 3an D. Sn ? 3 ? 2an



) .

7.首项为 ?10 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是



).

uuu r uuu r 8.在四边形 ABCD 中, AC ? (2,4) , BD ? (?6,3) ,则该四边形的面积为
A. 3 5 9.函数 f ( x) ? A. 2 B. 2 5 C.5 D.15

20 A. d ? 9

10 B. d ? 9

C.

20 5 ?d ? 9 2

D. 10 ? d ? 5
9

4



).

1 ? 2sin ? x ? ?2 ? x ? 4 ? 所有零点之和等于 x ?1
B. 4 C. 6 D. 8



).

2 10.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ,若对任意的 x ?[t , t ? 1] ,

-1-

不等式 f ( x) ? 9 f ( x ? t ) 恒成立,则实数 t 的最大值为 A. ? 1

( D. 2 7 8 9 10

).

2 5
2 3

B. ?

3 2
4 5

C. ? 6

2 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ___ ___. 2 5

12.已知函数 f ( x) ? ax ? loga ( x ? 1)(a ? 0,且a ? 1)在区间 [0,1] 上的最大值与最小值的和为

a ,则实数 a ? ___

___.

13.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 3a ? 5b ,且 sin A 是 sin B 与 sin C 的 等差中项,则角 C ? _________. 14.已知数列 ?an ? 通项为 an ? n cos(

n? )(n ? N *) ,则 a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2014 ? 2

.

15.如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,E 在 CD 延长线上, 且 DE ? CD .动点 P 从点 A 出 发,沿正方形 ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,则下 列命题正确 的是 .. ① ? ? 0, ? ? 0 ; ②当点 P 为 AD 中点时, ? ? ? ? 1 ; ③若 ? ? ? ? 2 ,则点 P 有且只有一个; ④ ? ? ? 的最大值为 3 ; ⑤ AP ? AE 的最大值为 1 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,面积 S ? 3 ,且 .(填上所有正确命题的序号)

uu u r

uu u r

uu u r

uu u r uuu r

uu u r uuu r AB ? AC ? 2 .
(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 c ? 1 ? b ,求 a 的值.

-2-

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 的 x 的取值集合.

?
2

)( x ? R) 的部分图象如图所示.

?
4

) ,求函数 g ( x) 的最小值及相应

18.(本小题满分 12 分) 设函数 fn ( x) ? x ? (n2 ? 2n) x2 (其中 n ? N * ) ,区间 I n ? {x | f n ( x) ? 0} . (Ⅰ)求区间 I n 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)把区间 I n 的长度记作数列 {an } ,令 Sn ? a1 ? a2 ? L ? an ,证明:

1 3 ? Sn ? . 3 4

-3-

19.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,且有 a ? b ? c ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 0 . (Ⅰ)求证: a ? 0 ,且 ?2 ?

b ? ?1 ; a

(Ⅱ)求证:函数 y ? f ( x) 在区间 (0,1) 内有两个不同的零点.

20.(本小题满分 13 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an 5 ,a 14 ?1 ? 4n ?1, n ? N ,且 a2 , a

恰为等比数列 {bn } 的前三项. (Ⅰ)证明:数列 ?an ? 为等差数列; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上,对任意的 x,y ? R , f ( x) ? 0 ,且 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) . (Ⅰ)求 f (0) ,并证明: f ( x ? y ) ?

r r ? ? (Ⅱ)若 f ( x ) 单调,且 f (1) ? 2 .设向量 a ? ( 2 cos , 1), b ? ( 2? sin ,cos 2 ? ) ,对任意 2 2

f ( x) ; f ( y)

r r ? ?[0, 2? ) , f (a ? b) ? f (3) ? 0 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

-4-

数学参考答案及评分标准
1—5 CCBAB 6—10 DDDBA 11.

1 5

12.

1 2

13. 120?

14. -1008

15. ①②④⑤

?1 uu u r uuu r ? bc sin A ? 3 16.解: (Ⅰ)由 S ? 3 且 AB ? AC ? 2 ,得 ? 2 , ? ?bc cos A ? 2
则 tan A ? 3 ,所以 A ? 60? ; (Ⅱ)由 bc cos 60? ? 2 ,可得 bc ? 4 ,由 c ? 1 ? b ,可得 c ? b ? 1 , 由余弦定理可知,

…………2 分 …………6 分 …………8 分

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? (c ? b)2 ? bc ? 1 ? 4 ? 5 ,
所以 a ? 5 17. (Ⅰ)可求 A ? 1, ? ? 2, ? ? 所以 f ( x) ? sin(2 x ?

…………11 分 …………12 分

?
3



…………5 分 …………6 分

?
3

)

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

? 5? ) ? sin(2 x ? ) ? 3 sin(2 x ? ) 4 3 6 1 3 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin 2 x , 2 2 2 2

?

…………10 分

则 2 x ? 2k? ?

?

2

(k ? Z ) ,即 x ? k? ?

?

4

(k ? Z ) 时, g ( x) 的最小值为 ?2 ,

所以 g ( x) 取最小值 ?2 时,相应的 x 的取值集合为 {x | x ? k? ?
2 2 18. (Ⅰ)由 f n ( x) ? 0 ,得 x ? (n ? 2n) x ? 0 ,解得 0 ? x ?

?
4

, k ? Z } . …………12 分

1 , …………3 分 n ? 2n
2

即 I n ? (0,

1 1 1 ) ,所以区间 I n 的长度为 2 ?0 ? 2 ; n ? 2n n ? 2n n ? 2n
2

…………6 分 …………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 则 Sn ?

1 1 1 1 , ? ( ? ) n 2 ? 2n 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )] 2 1 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 3 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ) …………10 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2 3 因为 n ? N * ,故 S n ? , …………11 分 4 3 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ) 单增,故 Sn ? S1 ? ? ( ? )? , 又易知 S n ? ? ( 4 2 n ?1 n ? 2 4 2 1?1 1? 2 3 1 3 综上 ? S n ? . …………12 分 3 4

-5-

19.证明: (Ⅰ)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 , 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ;

…………2 分

由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0, 2a ? b ? 0 ,即 ?2a ? b ? ?a , …………5 分 所以 ?2 ?

b ? ?1 ; a

…………6 分

2 (Ⅱ)抛物线 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的顶点为 (? b , 3ac ? b ) , 3a 3a

由 ?2 ?

b 1 b 2 b ? ?1 ,得 ? ? ? ,即有 ? ? (0,1) , a 3 3a 3 3a

…………8 分

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 , f (? 所以函数 y ? f ( x) 在区间 (0, ?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0 ,且图象连续不断, 3a 3a

b b ) 与 ( ? ,1) 内分别有一个零点, 3a 3a
…………12 分

故函数 y ? f ( x) 在 (0,1) 内有两个不同的零点.

2 2 2 20.(Ⅰ)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4(n ?1) ?1,则 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4 , 2 2 于是 an ?1 ? (an ? 2) ,而, an ? 0 ,故 an ?1 ? an ? 2 ,

…………2 分

所以 n ? 2 时, ?an ? 为公差为 2 的等差数列, 即 (a2 ? 6)2 ? a2 (a2 ? 24) ,解得 a2 ? 3 , 由条件知 4a1 ? a22 ? 5 ,则 a1 ? 1 , 于是 a2 ? a1 ? 2 ? an?1 ? an , 所以 ?an ? 为首项是 1, 公差为 2 的等差数列;

因为 a2 , a5 , a14 恰为等比数列 {bn } 的前三项,所以 a52 ? a2 a14 …………3 分 …………4 分

…………6 分 (Ⅱ) …………8 分

由(Ⅰ)知 an ? 2n ?1, bn ? 3n ,

Tn ? 1? 3 ? 3? 32 ? 5 ? 33 ? L ? (2n ?1)3n ,
两边同乘以 3 得,

3Tn ? 1? 32 ? 3? 33 ? L ? (2n ? 3)3n ? (2n ?1)3n?1 ,
两式相减得

…………9 分

?2Tn ? 1? 3 ? 2(32 ? 33 ? L ? 3n ) ? (2n ?1)3n?1
32 (1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1)3n ?1 ? ?6 ? (2 ? 2n)3n ?1 , 1? 3 n?1 所以 Tn ? 3 ? (n ?1)3 . ? 3? 2
2 21.解: (Ⅰ)令 y ? x ? 0 得 f (0) ? f (0) ,又∵ f ( x) ? 0 , f (0) ? 1 ,

…………12 分 …………13 分 …………2 分

由 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 得 f ( x) ? f [( x ? y) ? y] = f ( x ? y) f ( y) ,

f ( x) . ……………5 分 f ( y) ,f (1) ? 2 ,且 f ( x) 是单调函数,∴ f ( x) 是增函数. (Ⅱ) ∵ f (0) ? 1 …………6 分 r r r r 2 2 而 a ? b ? ? sin ? ? cos ? ,∴由 f (a ? b) ? f (3) ? 0 ,得 f (? sin ? ? cos ? ) ? f (3) ,
∵ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ? y ) ?
-6-

又∵因为 f ( x ) 是增函数,∴ ? sin ? ? cos ? ? 3 恒成立, ? ? [0, 2? ) .
2

即 sin ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 .
2

……………8 分

令 t ? sin ? ,得 t ? ?t ? 2 ? 0 (﹡). ∵ ? ?[0, 2? ) ,∴ ?1 ? sin ? ? 1 ,即 ?1 ? t ? 1.
2

令 h(t ) ? t 2 ? ?t ? 2 ? (t ? ①当

?
2

)2 ? 2 ?

?2
4

? ?1 ? t ? 1? ,

……………10 分

? ? ?1 ,即 ? ? ?2 时,只需 h(?1) ? 0 ,(﹡)成立, 2 ∴ ? ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? ? ? ?2 ; ……………11 分 2 ? ? ? ? 0 ,(﹡)成立, ②当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? ? ? 2 时,只需 h(t ) min ? h( ) ? 2 ? 2 2 4 2 ∴ ? ? 8 ,解得 ? 2 2 ? ? ? 2 2 ,∴ ? 2 ? ? ? 2 . ……………12 分 ? ③当 ? 1 ,即 ? ? 2 时,只需 h(1) ? 0 ,(﹡)成立,
2 ? ? 3, ∴
∴ 2 ? ? ? 3, ……………13 分 ……………14 分 综上, ?3 ? ? ? 3 .

-7-


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