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梅涅劳斯定理与塞瓦定理


塞瓦定理 设 O 是△ABC 内任意一点, AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 (Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明: ∵△ADC 被直线 BOE 所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD 被直线 COF 所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1② ①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB

=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵ BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S △ COD)=S △ AOB/S △ AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ③×④×⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

塞瓦定理:
设P、Q、R分别是?ABC的BC、CA、AB边上的点,则 AP、BQ、CR三线共点 BP CQ AR 的充要条件是: ? ? ?1 PC QA RB
A

R M

Q A

B

PC

C

1

B1
C

B

A1

证:先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点M ,则: BP S?ABP S?BMP S?ABM CQ S?BCM AR S?ACM ? ? ? 同理: ? , ? PC S ?ACP S ?CMP S ?ACM QA S ?ABM RB S ?BCM BP CQ AR 以上三式相乘,得: ? ? =1 PC QA RB BP CQ AR ‘ 再证充分性:若 ? ? ? 1,设AP与BQ相交于M ,且直线CM 交AB于R , PC QA RB BP CQ AR拻 AR AR 由塞瓦定理有: ? ? ‘ ? 1,于是:‘ = 因为R和R’ 都在线 PC QA R B R B RB 段AB上,所以R’ 必与R重合,故AP、BQ、CR相交于一点点M ; 例1:证明:三角形的中线 交于一点; AC BA CB 证明:记?ABC的中线AA1,BB1,CC1,我们只须证明 1 ? 1 ? 1 ? 1 C1B A1C B1 A

而显然有:AC1 ? C1B, BA1 ? A1C , CB1 ? B1 A 即

AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1成立, ??ABC交于一点; C1B A1C B1 A
A A

【练习 1 】证明:三角形的角平 分线交于一点; 【练习 2】证明:锐角三角形的 高交于一点; C1 例2:在锐角?ABC中,角?C的平分线交

B1
C

C1

B1
C

于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂 足分别是M 和N,设AN 和BM的交点是

A1 B B A1 P,证明:CP ? AB 证:作CK ? AB 下证CK、BM 、AN 三线共点,且为P点,要证CK、BM 、AN 三线共点, AM CN BK 依塞瓦定理 即要证: ? ? ? 1 又? MC ? CN C MC NB AK AM BK AM AL 即要证明: ? ? 1 ? ?AML ? ?AKC ? ? N AK NB AK AC BK BC AL BC ? ?BNL ? ?BKC ? ? 即要证 ? ?1 M NB BL AC BL AL BC B 依三角形的角平分线定理可知: ? ?1 A K L AC BL ? CK、BM 、AN 三线共点,且为P点 ? CP ? AB 例3.设AD是?ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC、
AB交于E和F,则?EDA=?FDA 证:过A作AD的垂线,与DE、DF的延长线分别 交于M、N。欲证?EDA ? ?FDA, 可以转化为证明AM ? AN ? AD ? BC 故MN // BC,可得?AME ? ?CDE,?ANF ? ?BDF AM AE AN AF AE ? CD AF ? BD ? ? , ? , 于是AM ? , AN ? CD CE BD BF CE BF BD CE AF ? AD、BE、CF 共点于P,根据塞瓦定理可得: ? ? ?1 DC EA FB AE ? CD AF ? BD ? ? ? AM ? AN ??EDA ? ?FDA CE BF

【练习3】已知?ABC外有三点M、N、R,且?BAR ? ?CAN ? ? , ?CBM ? ?ABR ? ? , ?ACN ? ?BCM ? ? ,证明:AM、BN、CR三线共点;

例4.在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1, AC BA CB sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 证明: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? C1B AC B1 A sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1BA 1 证:如图对?ACC1和?BCC1应用正弦定理,可得: AC1 sin ?ACC1 CC1 AC sin ?ACC1 sin ?B sin ?B ? ? 即: 1 ? ? C1C sin ?A C1 B sin ?C1CB C1B sin ?C1CB sin ?A BA sin ?BAA1 sin ?C CB1 sin ?CBB1 sin ?A 同理: 1 ? ? , ? ? A1C sin ?A1 AC sin ?B B1 A sin ?B1 BA sin ?C AC1 BA1 CB1 sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 从而 ? ? ? ? ? C1 B A1C B1 A sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1 BA
【练习4】在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,使AA1、BB1、CC1相交于一点, 证明,关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交于一点;
课外作业:

1.设A1、B1、C1是?ABC的内切圆与边 BC、CA、AB的切点,证明: 直线AA1、BB1、 CC1三线共点; 2.从圆上的点A、D引切线,相交于点 S。在AD弧上取点B和C,直线AC和BD相交于 P,AB和CD相交于点Q,证明,直线 PQ过点S; 3.在?ABC的边上向外作正方形, A1、B1、C1是正方形的边 BC、CA、AB的对边的中点, 证明,直线 AA1、BB1、CC1相交于一点;

练习 1答案:证:记?ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 , ? ?

AC1 b BA1 c CB1 a ? , ? , ? C1B a A1C b B1 A c

AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1 ? 三角形的角平分线交于一点; C1B A1C B1 A 练习2答案:证:记锐角?ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 ,
设CB1=x,那么AB1=b ? x, 则:c 2 ? (b ? x ) 2 ? BB1 ? a 2 ? x 2 ? CB1 ? x ? a 2 ? b2 ? c2 2b

c2 ? b2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 则:B1 A ? 同理可得:AC1 ? , C1 B ? 2b 2c 2c 2 2 2 2 2 2 AC1 BA1 CB1 c ? a ?b b ?a ?c BA1 ? , A1C ? ? ? ? ?1 2a 2a C1 B A1C B1 A ? 锐角三角形的三条高交于一点;

练习3的答案:证:设AM 与BC交于M ', BN 与AC交于N ',CR与AB 交于R ', ?ABC的三个内角分别 记为?A、?B、?C 1 AB ? BM ? sin(?A ? ? ) ? BM‘ S ?ABM‘ AB sin ?BAM AM ? AB sin ? ? sin(?B ? ? ) ? ? ? ‘ CM S ?ACM‘ AC sin ?CAM AC ? CM ? sin(?C ? ? ) ? 1 AC sin ? ? sin(?C ? ? ) AM ‘ BM‘ AB sin ? ? sin(?B ? ? ) CN ' BC sin ? ? sin(?C ? ? ) AR CA sin ? ? sin(?A ? ? ) 即: ‘ = 同理: = , = ‘ CM AC sin ? ? sin(?C ? ? ) AN ' BA sin ? ? sin(?A ? ? ) BR CB sin ? ? sin(?B ? ? )
BM ' CN ' AR ' 将以上三式子相乘可得: ? ? = 1, 根据塞瓦定理可知:AM '、BN '、CR ' 三点共线。 CM ' AN ' BR '

练习4的答案: 证: ? A2、B2、C2 位于?ABC的边上,根据例4的结论有: AC2 BA2 CB2 sin ?ACC2 sin ?BAA2 sin ?CBB2 ? ? ? ? ? C2 B A2C B2 A sin ?C2CB sin ?A2 AC sin ?B2 BA 又 ? AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA1、BB1、CC1,则 ?ACC2 ? ?C1CB , ?ACC1 ? ?C2CB , ? sin ?ACC2 sin ?BAA2 sin ?CBB2 sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1 BA ? ? ? ? ? sin ?C2CB sin ?A2 AC sin ?B2 BA sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 ? 从而 C1 B A1C B1 A ? ? ?1 AC1 BA1 CB1 AC2 BA2 CB2 ? ? ? 1 ? AA2、BB2、CC2三线共点 C2 B A2C B2 A

课后练习答案:

1.证:显然AC1 ? B1 A, ?

BA1 ? C1 B,

CB1 ? A1C

AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1 即:AA1、BB1、CC1三线共点 C1 B A1C B1 A sin ?ASP sin ?DAP sin ?SPP sin ?ASQ sin ?CAQ sin ?SDQ 2.证: ? ?1? ? ? sin ?PSC sin ?PAS sin ?PPA sin ?QSC sin ?QAS sin ?QDA 又 ? ?DAP ? ?SDQ , ?SDP ? ?DAQ , ?PAS ? ?QDA , ?PDA ? ?QAS , sin ?ASP sin ?ASQ ? ? ? S、P、Q位于一条直线上 sin ?PSD sin ?QSD

3.证:记直线AA1、BB1、CC1与边BC、CA、AB的交点分别为A2、B2、C 2 ? BA2 S ?ABA1 AB BA1 sin ?ABA AB sin(?B ? ? ) 1 = ? ? ? ? ? A2 C S ?ACA1 AC CA1 sin ?ACA1 AC sin(?C ? ? ) AC2 AC sin(?A ? ? ) ? ? C 2 B BC sin(?B ? ? )

其中?=?CBA1 ? ?BCA1 ? arct an2 CB BC sin(?C ? ? ) 同理: 2 ? ? B2 A AB sin(?A ? ? ) 将上面三条等式相乘可 得: BA2 CB2 AC2 ? ? =1 A2 C B2 A C 2 B ? AA1、BB1、CC1共点

说明:赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器! 如三角形中三条高、三条角平分线、三条中线共点都 可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。

说明:恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键, 其逆定理常用于证明点共线,应用很广泛。 解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理与梅涅 劳斯定理联用。

个一、 一、选择题 1、如图:设一直线与△ABC 的边 AB、AC 及 BC 延长线分别交于 X、Y、Z,则

A X Y Z

AX BZ AY ? 与 的关系为 ( ) XB ZC CY AX BZ AY AX BZ AY ? ? ? ? A、 B 、 XB ZC CY XB ZC CY

C、

AX BZ AY ? ? XB ZC CY

D、

B

不能确定 2、如图:设 X、Y、Z 分别是△ABC 的边 BC、AC、AB 上的点,AX、BY、CZ 相

C 第1题 A Z O Y

AZ BX AY ? 与 的关系为 ( ) ZB XC YC AZ BX AY AZ BX AY AZ BX AY ? ? ? ? ? ? A、 ; B 、 ;C 、 ;D 、 ZB XC YC ZB XC YC ZB XC YC
交于点 O,则

B

X

C 第2题

不能确定 A 3、如图,在△ABC 中,F 点分 AC 成 1:2,G 是 BF 的中点,AG 的延长线交 BC 于 E,那么 E 分 BC 边 F 所成的比为 ( ) A、

1 4

B、

1 2

C、

2 5

D、

1 3

G B E 第3题 C

4、如图,F、D、E 分等边△ABC 的三边 AB、BC、CA 均为 1:2 两部分,AD、BE、CF 相交成△PQR A 的面积是△ABC 面积的 ( ) A、

1 10

B、

1 9

C、

1 8

D、

1 7
B

F

R E Q 第4题 C

P D


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