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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:线性递归数列


【基础知识】 1、概念:①、递归式:一个数列中的第项与它前面若干项, ,?, ()的关系式称为递归式。 ②、递归数 列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等。 3、思想策略:构造新数列的思想。 4、常见类型: 类型Ⅰ: (一阶递归) 其特例为: (1) (3) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ:

(二阶递归) 解题方法:利用特征方程,求其根、 ,构造,代入初始值求得。 类型Ⅲ:其中函数为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。 【例题】 例 1、已知数列满足以下递归关系,求通项。 (2)

例 2、已知数列满足,求通项。

例 3、已知数列满足,求通项。

例 4、已知数列满足,求通项。

例 5、由自然数组成的数列,满足, ,求。

例 6、已知数列满足, ,求。 ()

例 7、已知,且,方程有唯一解,设() ,求。

例 8、已知数列中,,求。 ,

例 9、设正数列满足,证明(,,?) ,

【练习】 1、已知数列满足以下递归关系,求。 (1)() , (2)() (3)() , , (4)() (5)(为前项和) , , (6)() (7) , 2、已知数列和中,,且, , ,求和。 3、已知, (,1,2,3,4,?) ,证明() 。 4、已知数列满足: ,证明是不能被 3 整除的整数。


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