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安徽省黄山市2013届高三(屯溪一中等)三校联考数学(文)试题2013.2


安徽高中数学

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安徽省黄山市 2013 届三校联考试题
数学(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 1.设 i 是虚数单位,则复数 A. 第一象限

2i 在

复平面上对应的点位于( 1? i
C. 第三象限



B. 第二象限

D. 第四象限

2.设 U ? R , M ? { x | x2 ? x ? 0} ,函数 f ( x) ?

1 的定义域为 N ,则 M I N ? 1? x
D. ?1?

A. [0,1)

B. (0,1)

C. [0,1]

3. “m=2”是“直线 2 x ? m y ? 0 与直线 x ? y ? 1 平行”的 A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数 f ( x) ? sin x ? (cos x ? sin x) 的最小正周期是( A.



? 4

B.

? 2

C.

?

D. 2?

5.设实数 a, b 是方程 lg x ? c 的两个不同的实根,若 a ? b ? 10 ,则 abc 的取值范围是
(0,1)

B. (1,10)

C.

( 1 0 , 1 0 0 )D. (1,100)

6.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的 表面积和体积分别为 ( )

4 2 2? ? 2? ? 4和 ? 3 4 C. 2 2? 和 ? 3

B. 2 2? ? 2? 和 ?
8 D. 2 2? 和 ? 3

4 3

7.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x 2 ? 的离心率为 A.

y2 ?1 m

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

D.

3 或 5 2

8.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 4, ?ABC ? 300 ,AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的值等于 A.0 B.4 C.8 D.-4

???? ????

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?x ? y ? 1 3 4 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7 ,则 ? 的最小 a b ?2 x ? y ? 2 ?
值为 A. 4 B.

7?4 3 7

C.

24 7

D. 7

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.已知函数 f ?x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ?x? ? 3x 2 ? 2 xf ' ?2? ,则 f ' ?5? ? 12.若 ΔABC 的面积为 3 , BC ? 2 , C ? 60? ,则边 AB 的长度等于___________. 13.阅读右边的流程图,若输入 a ? 6, b ? 1,则输出的结果是
1 2





2 14. (已知 M 是曲线 y ? ln x ? x ? (1 ? a) x 上的任一点,若曲线在 M 点处的切

线的倾斜角均不小于

? 的锐角,则实数 a 的取值范围是 4



15.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方 形,在该几何体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个 顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号) . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面 b b a 为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; a a a ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 俯视图
正视图 侧视图

三:解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ?1,cos ? x ? , n ? sin ? x, 3

??

?

?

? ?? ? 0? ,函数 f ? x ? ? m ? n ,且 f ? x ? 图
?? ?

?? ? ? 7? ? 象上一个最高点的坐标为 ? , 2 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 12 ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)在△ABC 中, a , b, c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,求角 B 的大小以及 f ? A? 的取 值范围.
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17. (本小题满分 13 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均 为整数)分成六段 ?40,50? ,?50,60? ? ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下 列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全 这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为

?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,
将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至多有 1人在分数段 ?70,80? 的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图(1) ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点,将 ?AEF 沿 EF , 折起, 使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2) . (1)求证: EF ? A?C ; (2)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

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19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 5 ,且 A(0,1)是椭圆 C 的顶点。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 5 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l ,设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,若点 M 为抛物线 E 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 ? n, Sn ? ( n ? N * )均在函数 y ? f ( x) 的图象上。 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ? (3)令 cn ?

an , 求数列 {bn }的前n项和Tn; 2n ?1

an an ?1 1 ? , 证明: 2n ? c1 ? c2 ? …+cn ? 2n ? . an ?1 an 2

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 . (1)如果函数 g ?x ? 的单调递减区间为 ( ? ,1) ,求函数 g ?x ? 的解析式;

1 3

)的条件下,求函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程; (2)在(Ⅰ (3)若不等式 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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黄山市 2013 届三校联考数学(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B 9 D 10 D

二、填空题 11.6 12. 2 三、解答题

13.2

14. ( ??, 2]

15.①③④⑤

16.解: (1) f ( x) ? m ? n ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2( sin ? x ?

?? ?

1 2

3 cos ? x) 2

? 2sin(? x ?

?
3

).

--------------------------------------2 分
? ? 7? ? , 2 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 12 ?

? ? f ? x ? 图象上一个最高点的坐标为 ?

?

?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,?T ? ? ,于是 ? ? ?2. 2 12 12 2 T

---------------5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

3

).

---------------------------------6 分

(2)? a 2 ? c 2 ? b2 ? ac ,? cos B ? 又 0 ? B ? ? ,? B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ----------------------------------7-分 2ac 2

?
3

.? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
3

) -----------------------------------------8 分

?B ?

?
3

?0 ? A ?

? sin(2 A ? ) ? ? ?1,1? . 3

?

2? ? ? 5? .于是 ? 2 A ? ? , 3 3 3 3
--------------------------------------------10 分

所以 f ( A) ?? ?2, 2? .------------------------------------------12 分 17. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)分数在 ?70,80? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10
? 1 ? 0.7 ? 0.3 ,故

0.3 ? 0.03 , 10

如图所示: -----------------------4 分 (求频率 2 分,作图 2 分) (1)平均分为: x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71 .---------7 分 (2)由题意, ?60,70? 分数段的人数为: 0.15 ? 60 ? 9 人;
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----------------8 分

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?70,80? 分数段的人数为: 0.3 ? 60 ? 18 人;
∵在 ?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,

----------------9 分

∴ ?60,70? 分数段抽取 2 人,分别记为 m, n ; ?70,80? 分数段抽取 4 人,分别记为 a, b, c, d ; 设从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 ?70,80? 为事件 A ,则基本事件空间包含的基本事件有:

(m, n) 、 (m, a) 、 (m, b) 、 (m, c) 、 (m, d ) 、……、 (c, d ) 共 15 种,
则事件 A 包含的基本事件有:

(m, n) 、 (m, a) 、 (m, b) 、 (m, c) 、 (m, d ) 、 ( n, a ) 、 (n, b) 、 (n, c) 、 ( n, d ) 共 9 种,----------------12 分
P ( A) ? 9 3 ? . ---------13 分 15 5

18. (1)证明:在 ?ABC 中, EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线,? EF ? AC 在四棱锥 A? ? BCEF 中, EF ? A?E , EF ? EC ,------4 分 又 EC ? A \ E ? E ? EF ? 平面 A?EC , 又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C ------6 分

(2)在直角梯形 EFBC 中, EC ? 2, BC ? 4 ,? S ?FBC ? 又? A?O 垂直平分 EC ,? A?O ? ∴ VF ? A?BC ? V A?? FBC ?

1 BC ? EC ? 4 2
-----10 分

----8 分

A?E 2 ? EO2 ? 3
-----12 分

1 1 4 3 S ?FBC ? A?O ? ? 4 ? 3 ? 3 3 3

19. (1,2)由(1)可求得椭圆 C 的右焦点坐标 F(2,0)

? 抛物线 E 的方程为: y 2 ? 8x ,…………7 分
而直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 可设与直线 l 平行且抛物线 E 相切的直线 l ? 方程为: x ? y ? c ? 0 …………8 分 由?

?x ? y ? c ? 0
2 ? y ? 8x

可得: x2 ? (2c ? 8) x ? c2 ? 0

?? ? (2c ? 8)2 ? 4c2 ? 0 ,
解得: c ? 2 ,

? 直线 l ? 方程为: x ? y ? 2 ? 0

…………10 分

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? 抛物线上的点到直线 的距离的最小值等于直线 l 与 l ? 的距离:

d?

1 2

?

2 . 2
2 . 2
…………12 分

即抛物线 E 上的点到直线 l 距离的最小值为

? 20.解: (1)?点(n, S n )在f ( x)的图象上, S n ?

1 2 3 n ? n 2 2

………1 分

时,a1 ? S1 ? 2 ,适合上式. 当 n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 ;当 n ? 1

? an ? n ? 1(n ? N ? )
(2) bn ?

…………4 分

an n ?1 ? n ?1 , n ?1 2 2 3 4 n ?1 Tn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 2 ? ? 2 ? … ? n ?1 ① 2 2 2 1 2 3 n n ?1 Tn ? ? 2 ? … ? n ?1 ? n , ② ……5 分 2 2 2 2 2 ? 得: 由① ② 1 1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? ? 2 ? … ? n ?1 ? n ? (1 ? ? 2 ? … ? n ?1 ) ? (1 ? n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1? n 2 ? 1 ? n ? 1 = 2(1 ? 1 ) ? 1 ? n ? 1 ,? T ? 6 ? n ? 3 ? ………………8 分 n 1 2n 2n 2n 2n ?1 1? 2
(3)证明:由 cn ?

an an?1 n ? 1 n ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2, an?1 an n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1
…………10 分

?c1 ? c2 ? cn ? ?? cn ? 2n,
又 cn ?

n ?1 n ? 2 1 1 ? ?2? ? n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2 1 ? 2n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 成立 ………………13 分 2
21.解:(1) g?( x) ? 3x2 ? 2ax ?1 由题意 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ? ?

? 1 ? ,1? ? 3 ?

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即 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 ? 将 x ? 1或 ?

1 ,1 . 3

1 代入方程 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 得 a ? ?1 . 3
????4 分

? g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 .
(2)由(Ⅰ)知: g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1 ,? g ?(?1) ? 4 ,

? 点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g ?(?1) ? 4 ,

? 函数 y= g ?x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程为:
y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 5 ? 0 .
????8 分

(3)由题意 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,??? 上恒成立

3 1 x? 对 x ? ?0,??? 上恒成立 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 3x 1 ' ?? ? , 设 h? x ? ? ln x ? 则 h ?x ? ? ? ? 2 x 2 2x 2 2x 2x 2 1 令 h ' ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2

? a ? ?2 .
????13 分

? a 的取值范围是 ?? 2,??? .

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