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广东省佛山市顺德一中等六校联考2016届高三上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年广东省佛山市顺德一中等六校联考高三(上)期 中数学试卷(文科)
一、单项选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是( ) A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 2.若复数(x

﹣i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=( A.﹣2+i B.2+i C.1﹣2i D.1+2i )

3.如图,在△ ABC 中,已知

,则

=(

)

A.

B.

C.

D.

4.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 A.
2

,则 tanα=(

)

B.
2

C.

D.
2 2

5.圆 x +y ﹣2x﹣5=0 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线 的方程是( ) A.x+y﹣1=0 B.2x﹣y+1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x﹣y+1=0 6.函数 y=x ﹣x+2 在[a,+∞)上单调递增是函数 y=a 为单调递增函数的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2 x

)

7.已知向量 =(2,1) , A. B. C.5
2

=10,| + |= D.25

,则| |=(

)

8.设函数 f(x)=x +x+a(a>0)满足 f(m)<0,则 f(m+1)的符号是( A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0

)

9. 设 A、 B 是 x 轴上的两点, 点 P 的横坐标为 2, 且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0, 则直线 PB 的方程是( ) A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣7=0 10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数, 对 x∈R 都有 f (2+x) =﹣f (2﹣x) , 则 f=( A.2 B.﹣2 C.4 D.0
2 2 2

)

11.已知点 P(a,b) (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线, 2 直线 l 的方程为 ax+by=r ,那么( ) A.m∥l,且 l 与圆相交 B.m⊥l,且 l 与圆相切 C.m∥l,且 l 与圆相离 D.m⊥l,且 l 与圆相离 12.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点,则 下列图象不可能为 y=f(x)的图象是( )
2 x

A.

B.

C.

D.

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.请把正确答案填在答题卡中的横线上.)

13.设函数
2 2

,若 f(a)=2,则实数 a=__________.

14.圆 C:x +y +2x﹣2y﹣2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是__________.

15. 已知 A (3, 2) 、 B (1, 0) , P (x, y) 满足 则 P 点坐标满足的方程是__________.

=x1

+x2

(O 是坐标原点) , 若 x1+x2=1,

16.已知点 P 在曲线 y= __________.

上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17.在△ ABC 中,a,b,c,分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= =0,求边 BC 上的高. ,b= ,1+2cos(B+C)

18.圆 C 通过不同的三点 P(k,0) 、Q(2,0) 、R(0,1) ,已知圆 C 在点 P 处的切线斜 率为 1,试求圆 C 的方程.

19.在直角坐标系中,已知 A(cosx,sinx) ,B=(1,1) ,O 为坐标原点, (x)= .

,f

(Ⅰ)求 f(x)的对称中心的坐标及其在区间[﹣π,0]上的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x0)=3+ ,x0 ,求 tanx0 的值.

20.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数的 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 21.点 A,B 分别在射线 l1:y=2x(x≥0) ,l2:y=﹣2x(x≥0)上运动,且 S△ AOB=4. (1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)求证:中点 M 到两射线的距离积为定值.

22.已知函数 (1)求实数 a 的取值范围;

在(1,+∞)上是增函数.

(2)在(1)的结论下,设 小值.

,求函数 g(x)的最

2015-2016 学年广东省佛山市顺德一中等六校联考高三 (上)期中数学试卷(文科)
一、单项选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是( ) A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】由集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,得 B?A,由此能求出结果. 【解答】解:∵集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B?A, 观察备选答案中的 4 个选项, 只有{1,2}?A. 故选:A. 【点评】本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题. 2.若复数(x﹣i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=( ) A.﹣2+i B.2+i C.1﹣2i D.1+2i 【考点】复数相等的充要条件. 【专题】计算题. 【分析】首先整理等式的左边,进行复数的乘法运算,再根据复数相等的条件写出实部与虚 部分别相等的等式,得到 x,y 的值,写出要求的复数. 【解答】解:∵复数(x﹣i)i=y+2i, ∴xi+1=y+2i, ∴x=2,y=1, ∴复数 x+yi=2+i 故选 B. 【点评】本题考查复数的乘法运算,考查复数相等的充要条件,是一个概念问题,这种题目 若出现一定是一个必得分题目.

3.如图,在△ ABC 中,已知

,则

=(

)

A. B. C. 【考点】向量加减混合运算及其几何意义.

D.

【专题】计算题. 【分析】 = ,又 ,结合平面向量的运算法则,通过一步一步代换即可求出

答案. 【解答】解:根据平面向量的运算法则及题给图形可知: = = = + ? = . 故选 C. 【点评】本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义,难度适中,解题关键是利用 ,得出 = = .

4.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且

,则 tanα=(

)

A. B. C. D. 【考点】同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值. 【分析】根据任意角 α 的余弦的定义和已知条件可得 x 的值,再由 tanα 的定义求得结果.

【解答】解:由题意可得 x<0,r=|OP|=

,故 cosα= =



再由 可得 x=﹣3,∴tanα= =﹣ , 故选 D. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 5.圆 x +y ﹣2x﹣5=0 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线 的方程是( ) A.x+y﹣1=0 B.2x﹣y+1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x﹣y+1=0 【考点】圆与圆的位置关系及其判定;两圆的公切线条数及方程的确定. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;直线与圆. 【分析】求出圆的圆心坐标,利用两个圆的方程公共弦的性质,求出满足题意的直线方程即 可. 【解答】解:因为两圆的圆心坐标分别为(1,0) , (﹣1,2) ,那么过两圆圆心的直线为:
2 2 2 2

, 即:x+y﹣1=0,与公共弦垂直且平分. 故选:A. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,两个圆的位置关系的应用,考查计算能力. 6.函数 y=x ﹣x+2 在[a,+∞)上单调递增是函数 y=a 为单调递增函数的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2 x

)

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】求出二次函数的单调增区间,指数函数的单调区间,通过充分必要条件判断即可. 【解答】解:由已知 y=x ﹣x+2 的对称轴为 x= ,开口向上,故在[ ,+∞)上单调递增, 故 a≥ ,推不出 y=a 是递增函数.反之 y=a 单调递增,则 a>1,显然 y=x ﹣x+2 在[a,+∞) 上单调递增, 故选:B. 【点评】本题考查二次函数以及指数函数的单调性,充要条件的判断,考查计算能力.
x x 2 2

7.已知向量 =(2,1) , A. B. C.5

=10,| + |= D.25

,则| |=(

)

【考点】平面向量数量积的运算;向量的模. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|= 两边平方,变化为有模长和数量积

的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可. 【解答】解:∵| + |= ∴( + ) = 得| |=5 故选 C. 【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求 模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用. 8.设函数 f(x)=x +x+a(a>0)满足 f(m)<0,则 f(m+1)的符号是( ) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由于 f(0)=f(﹣1)=a>0,f(m)<0,可得﹣1<m<0,于是 0<m+1<1.因 为 ,所以当 x 时,函数 f(x)单调递增,利用二次函数 的图象与性质可得 f(m+1)>f(0)>0>f(m) . 【解答】解:∵f(0)=f(﹣1)=a>0,f(m)<0, ∴﹣1<m<0, ∴0<m+1<1, ∵ ,
2 2 2

,| |= =50,

+

2

+2

∴当 x 时,函数 f(x)单调递增, ∴可得 f(m+1)>f(0)>0>f(m) . 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质,属于中档题. 9. 设 A、 B 是 x 轴上的两点, 点 P 的横坐标为 2, 且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0, 则直线 PB 的方程是( ) A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣7=0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】求出 PA 的斜率,PB 的倾斜角,求出 P 的坐标,然后求出直线 PB 的方程. 【解答】解:由于直线 PA 的倾斜角为 45°,且|PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135°, 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3) , ∴直线 PB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣5=0. 故选 A 【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查逻辑推理能力,计算能力,转 化思想的应用,是基础题. 10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数, 对 x∈R 都有 f (2+x) =﹣f (2﹣x) , 则 f=( ) A.2 B.﹣2 C.4 D.0 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性以及抽象函数求出函数的周期,然后求解函数值即可. 【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数且 f(2+x)=﹣f(2﹣x) ,可得 f(0)=0. ∴f(2+x)=﹣f(2﹣x)=f(x﹣2) ,∴f(x)=f(x+4) ,故函数 f(x)是以 4 为周期的周 期函数, ∴f=f(0)=0. 故选:D. 【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的正确以及函数的奇偶性的应用,考查计算能力. 11.已知点 P(a,b) (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线, 2 直线 l 的方程为 ax+by=r ,那么( ) A.m∥l,且 l 与圆相交 B.m⊥l,且 l 与圆相切 C.m∥l,且 l 与圆相离 D.m⊥l,且 l 与圆相离 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 2 2 【分析】 由 P 在圆内, 得到 P 到圆心距离小于半径, 利用两点间的距离公式列出不等式 a +b 2 <r ,由直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,利用垂径定理得到直线 OP 与直线 m 垂直, 根据直线 OP 的斜率求出直线 m 的斜率, 再表示出直线 l 的斜率, 发现直线 m 与 l 斜率相同, 可得出两直线平行,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离,利用得出的不等 式变形判断出 d 大于 r,即可确定出直线 l 与圆相离. 【解答】解:∵点 P(a,b) (ab≠0)在圆内,
2 2 2

∴a +b <r , ∵kOP= ,直线 OP⊥直线 m, ∴km=﹣ , ∵直线 l 的斜率 kl=﹣ =km, ∴m∥l,

2

2

2

∵圆心 O 到直线 l 的距离 d=



=r,

∴l 与圆相离. 故选 C. 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的 距离公式,两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小 来判断,当 d>r 时,直线与圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切 (其中 d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) . 12.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点,则 下列图象不可能为 y=f(x)的图象是( )
2 x

A.

B.

C.

D.

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象与图象变化. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】先求出函数 f(x)e 的导函数,利用 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得 a, 2 b,c 之间的关系,再代入函数 f(x)=ax +bx+c,对答案分别代入验证,看哪个答案不成立 即可. 【解答】解:由 y=f(x)e =e (ax +bx+c)?y′=f′(x)e +e f(x)=e [ax +(b+2a)x+b+c], x 2 由 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得,﹣1 是方程 ax +(b+2a)x+b+c=0 的一个根, 所以有 a﹣(b+2a)+b+c=0?c=a. 法一:所以函数 f(x)=ax +bx+a,对称轴为 x=﹣ ,且 f(﹣1)=2a﹣b,f(0)=a. 对于 A,由图得 a>0,f(0)>0,f(﹣1)=0,不矛盾, 对于 B,由图得 a<0,f(0)<0,f(﹣1)=0,不矛盾, 对于 C,由图得 a<0,f(0)<0,x=﹣ >0?b>0?f(﹣1)<0,不矛盾,
2 x x 2 x x x 2 x x

对于 D,由图得 a>0,f(0)>0,x=﹣ <﹣1?b>2a?f(﹣1)<0 与原图中 f(﹣1) >0 矛盾,D 不对. 2 法二:所以函数 f(x)=ax +bx+a,由此得函数相应方程的两根之积为 1,对照四个选项发 现,D 不成立.

故选:D. 【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系.一般在知道一个函数的极值点时,直接把极 值点代入导数令其等 0 即可. 可导函数的极值点一定是导数为 0 的点, 但导数为 0 的点不一 定是极值点. 二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.请把正确答案填在答题卡中的横线上.)

13.设函数

,若 f(a)=2,则实数 a=﹣1.

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】将 x=a 代入到 f(x) ,得到

=2.再解方程即可得.

【解答】解:由题意,f(a)=

=2,

解得,a=﹣1. 故 a=﹣1. 【点评】本题是对函数值的考查,属于简单题.对这样问题的解答,旨在让学生体会函数, 函数值的意义,从而更好的把握函数概念,进一步研究函数的其他性质. 14.圆 C:x +y +2x﹣2y﹣2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 3. 【考点】圆的一般方程;点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心的坐标,利用点到直线的距离公式即可求出圆 心到已知直线的距离. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x+1) +(y﹣1) =4, 可得圆心坐标为(﹣1,1) ,
2 2 2 2

则圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离 d=

=3.

故答案为:3 【点评】此题考查了圆的一般方程与标准方程的互化,以及点到直线的距离公式,解题思路 为:根据题意找出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式来解决问题.

15. 已知 A (3, 2) 、 B (1, 0) , P (x, y) 满足

=x1

+x2

(O 是坐标原点) , 若 x1+x2=1,

则 P 点坐标满足的方程是 x﹣y﹣1=0. 【考点】直线的两点式方程;向量在几何中的应用. 【专题】计算题. 【分析】根据 【解答】解:∵ =x1 =x1 +x2 +x2 得出 (x,y)=(3x1+x2,2x1 ) ,得到 x﹣y=x1+x2=1. ∴(x,y)=(3x1,2x1)+(x2,0)=(3x1+x2,2x1 ) ,

∴x=3x1+x2,y=2x1,∴x﹣y=x1+x2=1,故 P 点坐标满足的方程是 x﹣y﹣1=0, 故答案为:x﹣y﹣1=0. 【点评】本题考查两个向量数量积公式的应用,两个向量坐标形式的运算.

16.已知点 P 在曲线 y=

上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是

. 【考点】导数的几何意义. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值, 结合函数的值域的求法利用基本不等式求出 k 的范围,再根据 k=tanα,结合正切函数的图 象求出角 α 的范围.

【解答】解:根据题意得 f′(x)=﹣







且 k<0 则曲线 y=f(x)上切点处的切线的斜率 k≥﹣1, 又∵k=tanα,结合正切函数的图象 由图可得 α∈ 故答案为: , .

【点评】本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.)

17.在△ ABC 中,a,b,c,分别为内角 A,B,C 所对的边长,a=

,b=

,1+2cos(B+C)

=0,求边 BC 上的高. 【考点】正弦定理的应用;正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】利用三角形的内角和 180°,1+2cos(B+C)=0,求出 A 的正弦值,利用正弦定理, 求出 B 的正弦值,然后求出 C 的正弦值,即可求出边 BC 上的高. 【解答】解:由 1+2cos(B+C)=0,和 A+B+C=180° 所以 cosA= ,sinA= 由正弦定理得: sinB= = = ,

由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B<90°.从而 cosB= 由上述结果知 sinC=sin(A+B)= 设边 BC 上的高为 h 则有 ,

h=bsinC= 【点评】本题是基础题,考查三角形的内角和,正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系 式的应用,考查计算能力,常考题型. 18.圆 C 通过不同的三点 P(k,0) 、Q(2,0) 、R(0,1) ,已知圆 C 在点 P 处的切线斜 率为 1,试求圆 C 的方程. 【考点】圆的一般方程. 【专题】计算题. 【分析】利用待定系数法,我们先设出圆 C 的一般方程,结合圆 C 通过不同的三点 P(k, 0) 、Q(2,0) 、R(0,1) ,我们易求出圆的方程(含参数 k) ,又由圆 C 在点 P 处的切线斜 率为 1,结合切线与过切点的半径垂直,我们易构造关于 k 的方程,解方程即可求出 k 值, 进而得到圆 C 的方程. 2 2 【解答】解:设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 2 则 k、2 为 x +Dx+F=0 的两根, ∴k+2=﹣D,2k=F, 即 D=﹣(k+2) ,F=2k, 又圆过 R(0,1) ,故 1+E+F=0. ∴E=﹣2k﹣1. 故所求圆的方程为 2 2 x +y ﹣(k+2)x﹣(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为( , ) . ∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,

∴kCP=﹣1=

,∴k=﹣3.∴D=1,E=5,F=﹣6.
2 2

∴所求圆 C 的方程为 x +y +x+5y﹣6=0. 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程,求圆的方程最常用的办法是待定系数法,即先 设出方程,再利用其它已知条件,构造方程组,解方程组求出各参数,即可得到圆 的一般 方程.

19.在直角坐标系中,已知 A(cosx,sinx) ,B=(1,1) ,O 为坐标原点, (x)= .

,f

(Ⅰ)求 f(x)的对称中心的坐标及其在区间[﹣π,0]上的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x0)=3+ ,x0 ,求 tanx0 的值. 【考点】平面向量的综合题. 【专题】综合题;三角函数的求值;平面向量及应用. 【分析】 (Ⅰ)先利用向量知识,求得 f(x)的解析式,再求 f(x)的对称中心的坐标及其 在区间[﹣π,0]上的单调递减区间; (Ⅱ)利用 f(x0)=3+ ,x0 ,求得 x0 的值,再求 tanx0 的值. 【解答】解: (Ⅰ)∵A(cosx,sinx) ,B=(1,1) , ∴ ∴ ∴f(x)= 由 x+ 当 2kπ+ =(cosx,sinx) , =(1,1) ,

=(1+cosx,1+sinx)… =(1+cosx) +(1+sinx) =3+2(sinx+cosx)=3+2 ,∴对称中心是(kπ﹣ ,3) ,k∈Z ≤x≤2kπ+ ,k ∈ Z
2 2

sin(x+

)…

=kπ,k∈Z,即 x=kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+

时,f(x)单调递减,即 2kπ+ ,2kπ+ ],k∈Z…

∴f(x)的单调递减区间是[2kπ+

∴f(x)在区间[﹣π,0]上的单调递减区间为[﹣π,﹣ (Ⅱ)∵f(x0)=3+2 ∴sin(x0+ ∵x0 ∴tanx0=tan )= ,∴x0+ =tan( + = ,∴x0= .… sin(x0+ )=3+ ,

].…

)=﹣2﹣

【点评】 本题考查向量知识的运用, 考查三角函数的学生, 解题的关键是确定函数的解析式, 属于中档题. 20.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数的 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 【考点】三点共线;换底公式的应用;对数函数的图像与性质;两条直线平行的判定. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)设出 A、B 的坐标,解出 C、D 的坐标,求出 OC、OD 的斜率相等则三点共 线. (2)BC 平行 x 轴,B、C 纵坐标相等,推出横坐标的关系,结合(1)即可求出 A 的坐标. 【解答】解: (Ⅰ)设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2 由题设知,x1>1,x2>1.则点 A、B 纵坐标分别为 log8x1、log8x2.

因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以, 点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1) , (x2,log2x2) .

由于 log2x1=

=3log8x1,

log2x2=

=3log8x2

OC 的斜率



OD 的斜率 由此可知,k1=k2, 即 O、C、D 在同一条直线上. (Ⅱ)由于 BC 平行于 x 轴知 log2x1=log8x2,



即得 log2x1= log2x2, 3 ∴x2=x1 . 3 代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x1 log8x1=3x1log8x1. 由于 x1>1 知 log8x1≠0, 3 ∴x1 =3x1. 考虑 x1>1 解得 x1= 于是点 A 的坐标为( . ,log8 ) .

【点评】本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识, 考查运算能力和分析问题的能力. 21.点 A,B 分别在射线 l1:y=2x(x≥0) ,l2:y=﹣2x(x≥0)上运动,且 S△ AOB=4. (1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)求证:中点 M 到两射线的距离积为定值. 【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】综合题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设 M(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∠AOB=2θ,利用 S△ AOB=4,可得 x1?x2=2,结合中点坐标公式,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)利用点到直线的距离公式,结合(1)的结论,即可证明. 【解答】 (1)解:设 M(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∠AOB=2θ,…

由 y=2x 可得,tanθ=k=2,那么 又因为 ,

,…

所以 ,化简得 x1?x2=2,…①式… 因为 M(x,y)是 A(x1,y1)与 B(x2,y2)的中点, 所以 x1+x2=2x,y1+y2=2y,且 y1=2x1,y2=﹣2x2,联立可得 并代入①式,得 4x ﹣y =8,… 2 2 所以中点 M 的轨迹方程是 4x ﹣y =8,x>0… (2)证明:设中点 M 到射线 OA、OB 的距离分别为 d1、d2,
2 2





,…

那么 所以中点 M 到两射线的距离积为定值 … 【点评】本题考查轨迹方程,考查三角形面积的计算,考查韦达定理的运用,考查学生的计 算能力,属于中档题.

22.已知函数 (1)求实数 a 的取值范围;

在(1,+∞)上是增函数.

(2)在(1)的结论下,设 小值.

,求函数 g(x)的最

【考点】函数单调性的性质;函数最值的应用. 【专题】压轴题;分类讨论. 【分析】 (1)知道函数是增函数,求参数范围,转化为导函数大于等于 0 恒成立,用分离参 数求最值解决. x (2)为含有参数的绝对值函数的最值问题,关键是去绝对值,需考虑 e ﹣a 的正负问题, 进行讨论. 去绝对值后转化为关于 t 的一次函数,利用单调性求最值即可. 【解答】解: (1) ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立. ∴ ∵ ∴ 恒成立, ,当且仅当 x=1 时取等号, ,∴a≥2;
x



(2)设 t=e ,则 ∵0≤x≤ln3,∴1≤t≤3.



当 2≤a≤3 时,



∴h(t)的最小值为



当 a>3 时,



∴h(t)的最小值为



综上所述,当 2≤a≤3 时,g(x)的最小值为



当 a>3 时,g(x)的最小值为



【点评】本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等,综合性较 强.


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