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山西省太原市外国语学校2014-2015学年高二上学期半月考数学试卷


山西省太原市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期半月考数学 试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (4 分)直线 l1 的倾斜角为 30°,斜率为 k1,直线 l2 过点(1,2) , (5,2+ ) ,斜率为 k2, 则() A.k1>k2 B.k1<k2 C.k

1=k2 D.不能确定 2. (4 分)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足() A.a+b=1 B.a﹣b=1 C.a+b=0 D.a﹣b=0 3. (4 分)已知三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线,则 k 的取值是() A.﹣6 B . ﹣7 C . ﹣8 D.﹣9 4. (4 分)下列命题中正确的是() A.经过点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示 B. 经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 C. 经过任意两个不同点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2﹣x1) (y﹣y1)= (y2﹣y1) (x﹣x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程
2 2

表示

5. (4 分)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0 6. (4 分)已知点(a,2) (a>0)到直线 l:x﹣y+3=0 的距离为 1,则 a=() A. B. C. D.

7. (4 分)直线过点 (﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为() A.2x﹣3y=0 B. x+y+5=0 C. 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0 D.x+y+5 或 x﹣y+5=0 8. (4 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 9. (4 分)过三点 O(0,0) ,A(1,1) ,B(4,2)的圆的方程为() 2 2 2 2 A.x +y =10 B. x +y +8x﹣6y=0 2 2 2 2 C. x +y ﹣8x+6y=0 D.x +y ﹣9x+7y=0 10. (4 分)若直线(a +4a+3)x+(a +a﹣6)y﹣6=0 与 x﹣2y﹣1=0 垂直,则 a 等于()
2 2

A..5

B..5 或﹣3

C . .﹣ 3

D.不存在

11. (4 分)已知 α 是第二象限角,直线 sinαx+tanαy+cosα=0 不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12. (4 分)直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范 围是() A.[0,π) B. C. D.
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. (4 分)已知 A(7,﹣4)关于直线 l 的对称点为 B(﹣5,6) ,则直线 l 的方程是. 14. (4 分)与直线 2x+3y+5=0 平行,且距离等于 的直线方程是.

15. (4 分)若直线 l 经过点 P(2,3)且与两坐标轴围城一个等腰直角三角形,则直线 l 的方 程为或. 16. (4 分)已知点 A(﹣3,5) ,B(2,15) ,P 是直线 x﹣y+5=0 上的动点,则|PA|+|PB|的最 小值为.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (1)已知点 A(a,6)到直线 3x﹣4y=2 的距离 d=4,求 a 的值. (2)在直线 x+3y=0 求一点 P,使它到原点的距离与到直线 x+3y﹣2=0 的距离相等. 18. (10 分)已知直线方程为(2+λ)x+(1﹣2λ)y+4﹣3λ=0. (1)求证不论 λ 取何实数值,此直线必过定点; (2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程. 19. (12 分)已知两条直线 l1:x+my+6=0,l2: (m﹣2)x+3y+2m=0m 为何值时,l1 与 l2 ①相交; ②平行; ③垂直. 20. (12 分)直线 l 过点 P(2,1) ,且分别与 x,y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为原点. (1)求△ AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程. 21. (12 分)已知:以点 轴交于点 O、B,其中 O 为原点, (1)求证:△ OAB 的面积为定值; 为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y

(2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.

山西省太原市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期半月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (4 分)直线 l1 的倾斜角为 30°,斜率为 k1,直线 l2 过点(1,2) , (5,2+ ) ,斜率为 k2, 则() A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不能确定 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率,判断选项即可. 解答: 解:直线 l1 的倾斜角为 30°,斜率为 k1=tan30°= 直线 l2 过点(1,2) , (5,2+ ) ,斜率为 k2= = ; .

∴k1>k2. 故选:A. 点评: 本题考查直线的斜率的求法,基本知识的考查. 2. (4 分)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足() A.a+b=1 B.a﹣b=1 C.a+b=0 D.a﹣b=0 考点: 专题: 分析: 系. 解答: 直线的倾斜角. 计算题. 由 sinα+cosα=0,我们易得 tanα=﹣1,即函数的斜率为﹣1,进而可以得到 a,b 的关 解:∵sinα+cosα=0

∴tanα=﹣1,k=﹣1,﹣ =﹣1,a=b,a﹣b=0 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角,根据已知求出直线的斜率, 再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键. 3. (4 分)已知三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线,则 k 的取值是() A.﹣6 B . ﹣7 C . ﹣8 D.﹣9

考点: 直线的斜率. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解: =(﹣5,k﹣1) , =(5,10) .

∵三点 A(3,1) 、B(﹣2,k) 、C(8,11)共线, ∴存在实数 λ,使得 ∴ =λ ,

,解得 k=﹣9.

故选 D. 点评: 熟练掌握向量共线定理是解题的关键.属于基本知识的考查. 4. (4 分)下列命题中正确的是() A.经过点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y﹣y0=k(x﹣x0)表示 B. 经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 C. 经过任意两个不同点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2﹣x1) (y﹣y1)= (y2﹣y1) (x﹣x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程 表示

考点: 直线的点斜式方程;直线的斜截式方程;直线的两点式方程;直线的截距式方程. 专题: 综合题. 分析: A、B、D 选项中都是有条件限制才能写出直线方程的,条件是斜率存在或与坐标轴 的截距存在,C 选项中的方程不受限制只需两点坐标即可,得到正确答案. 解答: 解:A 选项中过 P0 的方程为直线的点斜式方程,当直线与 y 轴平行即斜率不存在时 例如 x=5,就不能写成此形式,此选项错; B 选项中过 A 点的直线方程为直线的斜截式方程,当直线与 y 轴平行时即斜率不存在时例如 x=8,就不能写成此形式,此选项错; C 选项中过两点的方程为直线的两点式方程,不存在条件的限制,所以此选项正确; D 选项中当直线与坐标轴平行时例如 y=2,与 x 轴没有交点且不过原点,但是不能直线的截距 式,此选项错. 故选 C 点评: 此题考查学生掌握直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件,会利用两点 坐标过两点直线的两点式方程,是一道中档题. 5. (4 分)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0 考点: 两条直线垂直的判定. 分析: 先求 C 点坐标和与直线 x+y=0 垂直直线的斜率,再由点斜式写出直线方程. 解答: 解:易知点 C 为(﹣1,0) , 因为直线 x+y=0 的斜率是﹣1,
2 2

所以与直线 x+y=0 垂直直线的斜率为 1, 所以要求直线方程是 y=x+1 即 x﹣y+1=0. 故选 C. 点评: 本题主要考查两直线垂直的条件和直线方程的点斜式,同时考查圆一般方程的圆心 坐标. 6. (4 分)已知点(a,2) (a>0)到直线 l:x﹣y+3=0 的距离为 1,则 a=() A. B. C. D.

考点: 点到直线的距离公式. 分析: 利用点到直线距离公式,可以直接求解. 解答: 解:由点到直线的距离公式得: ∵a>0, ∴a= . 故选 C. 点评: 点到直线的距离公式,是高中数学的重要知识,是 2015 届高考常考点. 7. (4 分)直线过点 (﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为() A.2x﹣3y=0 B. x+y+5=0 C. 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0 D.x+y+5 或 x﹣y+5=0 考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 由直线与坐标轴的截距相等,可分两种情况考虑:当所求直线过原点时,满足题意, 设直线方程为 y=kx,将已知点坐标代入求出 k 的值,确定出此时直线方程;当直线不过原点 时,设出所求方程为 x+y=a,将已知点坐标代入求出 a 的值,确定出直线解析式. 解答: 解:若直线过原点满足题意,设 y=kx,将 x=﹣3,y=﹣2 代入得:k= ,此时直线方 程为 y= x,即 2x﹣3y=0; 若直线不过原点,设所求方程为 x+y=a,将 x=﹣3,y=﹣2 代入得:﹣3﹣2=a,解得:a=﹣5, 此时直线方程为 x+y+5=0, 综上,所求直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 故选 C 点评: 此题考查了直线的一般式方程,以及直线的截距式方程,理解题意是解本题的关键. 8. (4 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 根据两直线平行,且直线 l2 的斜率存在,故它们的斜率相等,解方程求得 m 的值. = ,

解答: 解:∵直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,∴

=



解得 m=2 或﹣3, 故选 C. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,它们的斜率相等或者都不存在. 9. (4 分)过三点 O(0,0) ,A(1,1) ,B(4,2)的圆的方程为() A.x +y =10 2 2 C. x +y ﹣8x+6y=0 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设圆的方程是:x +y +Dx+Ey+F=0,将三点 O(0,0) ,M1(1,1) ,M2(4,2)代 入方程,求出 D,E,F,即可求出圆的方程. 2 2 解答: 解:设圆的方程是:x +y +Dx+Ey+F=0 将三点 O(0,0) ,M1(1,1) ,M2(4,2)代入方程有: F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0 ∴D=﹣8,E=6,F=0 2 2 所以,圆的方程为:x +y ﹣8x+6y=0, 故选:C. 点评: 本题考查圆的方程,考查待定系数法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 10. (4 分)若直线(a +4a+3)x+(a +a﹣6)y﹣6=0 与 x﹣2y﹣1=0 垂直,则 a 等于() A..5 B..5 或﹣3 C . .﹣ 3 D.不存在 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 利用直线垂直与斜率的关系即可得出. 2 2 解:∵直线(a +4a+3)x+(a +a﹣6)y﹣6=0 与 x﹣2y﹣1=0 垂直,
2 2 2 2 2 2 2 2

B. x +y +8x﹣6y=0 2 2 D.x +y ﹣9x+7y=0

2

2

∴直线(a +4a+3)x+(a +a﹣6)y﹣6=0 的斜率存在,∴k1=﹣



x﹣2y﹣1=0 的斜率 k2= .

∴k1k2=﹣
2

× =﹣1.

化为 a ﹣2a﹣15=0, 解得 a=5 或﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查了直线垂直与斜率的关系,属于基础题. 11. (4 分)已知 α 是第二象限角,直线 sinαx+tanαy+cosα=0 不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: α 是第二象限角,可得 cosα<0,sinα>0.直线 sinαx+tanαy+cosα=0 化为 ,即 y=﹣xcosα﹣ 距 <0,即可得出. ,可知:斜率 k=﹣cosα>0,在 y 轴上的截

解答: 解:∵α 是第二象限角,∴cosα<0,sinα>0. 直线 sinαx+tanαy+cosα=0 化为 ∴斜率 k=﹣cosα>0,在 y 轴上的截距 ,即 y=﹣xcosα﹣ <0, ,

∴直线经过第一、三、四象限,而不经过第二象限. 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的符号、直线的斜率与截距的意义,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题. 12. (4 分)直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范 围是() A.[0,π) B. C. D.
2

考点: 直线的倾斜角. 专题: 常规题型. 分析: 设直线 AB 的倾斜角为 θ,0≤θ<π,根据斜率的计算公式,可得 AB 的斜率为 K= =1﹣m ,进而可得 K 的范围,由倾斜角与斜率的关系,可得 tanθ≤1,进而由正切函
2

数的图象分析可得答案. 解答: 解:设直线 AB 的倾斜角为 θ,0≤θ<π, 根据斜率的计算公式,可得 AB 的斜率为 K= 易得 k≤1, 由倾斜角与斜率的关系,可得 tanθ≤1, 由正切函数的图象,可得 θ 的范围是 , =1﹣m ,
2

故选 D. 点评: 本题考查直线的倾斜角,要求学生结合斜率的计算公式,结合斜率与倾斜角的关系, 进行分析求解. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分

13. (4 分)已知 A(7,﹣4)关于直线 l 的对称点为 B(﹣5,6) ,则直线 l 的方程是 6x﹣5y ﹣1=0. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得直线 l 为线段 AB 的中垂线,求得 AB 的中点为(1,1) ,求出 AB 的斜率 可得直线 l 的斜率,由点斜式求得直线 l 的方程,化简可得结果. 解答: 解:∵已知点 A(7,﹣4)关于直线 l 的对称点为 B(﹣5,6) ,故直线 l 为线段 AB 的中垂线. 求得 AB 的中点为(1,1) ,AB 的斜率为 =﹣ ,故直线 l 的斜率为 ,

故直线 l 的方程为 y﹣1= (x﹣1 ) ,化简可得 6x﹣5y﹣1=0. 故答案为:6x﹣5y﹣1=0 点评: 本题主要考查两条直线垂直的性质,斜率公式的应用,用点斜式求直线的方程,属 于中档题. 14. (4 分) 与直线 2x+3y+5=0 平行, 且距离等于 的直线方程是 2x+3y+18=0 或 2x+3y﹣8=0.

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 设出平行线方程,利用平行线之间的距离公式求解即可. 解答: 解:与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程设为:2x+3y+b=0, 因为与直线 2x+3y+5=0 平行,且距离等于 , 所以 ,解得 b=18 或﹣8,

所求直线方程为:2x+3y+18=0 或 2x+3y﹣8=0. 故答案为:2x+3y+18=0 或 2x+3y﹣8=0. 点评: 本题考查平行线之间的距离的应用,直线方程的求法,基本知识的考查. 15. (4 分)若直线 l 经过点 P(2,3)且与两坐标轴围城一个等腰直角三角形,则直线 l 的方 程为 x+y﹣5=0 或 x﹣y+1=0. 考点: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 专题: 分类讨论;待定系数法. 分析: 设直线方程为 求的直线方程. 解答: 解:由题意知,设直线方程为 程得 ,或 ,∴a=5,或 a=﹣1, ,或 ,把点 P(2,3)代入直线方 ,或 ,把点 P(2,3)代入直线方程求出 a 即得所

则直线 l 的方程为

,或﹣x+y=1.

即 x+y﹣5=0,或 x﹣y+1=0,

故答案为:x+y﹣5=0;x﹣y+1=0. 点评: 本题考查用截距式求直线的方程,体现了分类讨论的数学思想,设直线方程为 ,或 是解题的突破口.

16. (4 分)已知点 A(﹣3,5) ,B(2,15) ,P 是直线 x﹣y+5=0 上的动点,则|PA|+|PB|的最 小值为 . 考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可得 A、B 两点在直线 x﹣y+5=O 上的同侧,求得 A 关于直线的对称点 C 的 坐标,故当点 P 为直线 BC 和直线 x﹣y+5=O 的交点时,|PA|+|PB|的最小值为|BC|. 解答: 解:由题意 A、B 两点在直线 x﹣y+5=O 的同侧.

设 A 关于直线的对称点 C 的坐标为(a,b) ,则

,∴a=10,b=﹣8

∴A 关于直线的对称点 C 的坐标为(10,﹣8) , 故当点 P 为直线 BC 和直线 x﹣y+5=O 的交点时,|PA|+|PB|的最小值为 |BC|= = .

故答案为: . 点评: 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (1)已知点 A(a,6)到直线 3x﹣4y=2 的距离 d=4,求 a 的值. (2)在直线 x+3y=0 求一点 P,使它到原点的距离与到直线 x+3y﹣2=0 的距离相等. 考点: 点到直线的距离公式;两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: (1)把点 A(a,6)直接代入点到直线的距离公式得到一个方程,解方程求得 a 的 值. (2)设点 P 的坐标为(﹣3t,t) ,则由题意得 得 t 值. 解答: 解: (1)由点到直线的距离公式得 =4,解得 a=2,或 a= . ,解之可

(2)设点 P 的坐标为(﹣3t,t) ,则

,解之得



∴点 P 的坐标为



点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,以及两点间的距离公式的应用. 18. (10 分)已知直线方程为(2+λ)x+(1﹣2λ)y+4﹣3λ=0. (1)求证不论 λ 取何实数值,此直线必过定点; (2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)将直线的方程: (2+λ)x+(1﹣2λ)y+4﹣3λ=0 是过某两直线交点的直线系,故 其一定通过某个定点,将其整理成直线系的标准形式,求两定直线的交点此点即为直线恒过 的定点. (2)当斜率不存在时,不合题意;当斜率存在时,设所求的直线方程为 y+2=k(x+1) ,列出 方程,进而得出交点. 解答: 证明: (1)直线方程为(2+λ)x+(1﹣2λ)y+4﹣3λ=0 可化为: ∵λ(x﹣2y﹣3)+2x+y+4=0, ∴由 得: ,

∴直线 l 恒过定点 M(﹣1,﹣2) . 解: (2)当斜率不存在时,不合题意; 当斜率存在时,设所求直线 l1 的方程为 y+2=k(x+1) , 直线 l1 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,则 A( ﹣1,0)B(0,k﹣2) . ∵AB 的中点为 M, ∴ 解得 k=﹣2. ∴所求直线 l1 的方程为 y+2=﹣2(x+1) , 即:2x+y+4=0. 所求直线 l1 的方程为 2x+y+4=0 点评: 本题给出动直线恒过定点,要我们求直线恒过的定点坐标,中点的坐标,着重考查 了直线的方程及点与直线位置关系等知识,属于中档题. 19. (12 分)已知两条直线 l1:x+my+6=0,l2: (m﹣2)x+3y+2m=0m 为何值时,l1 与 l2 ①相交; ②平行; ③垂直. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. ,

分析: ①利用两条直线相交时,由方程组得到的一次方程有唯一解,一次项的系数不等于 0. ②利用两直线平行时,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求出 m 的值. ③当两条直线垂直时,斜率之积等于﹣1,解方程求出 m 的值. 解答: 解:①当 l1 和 l2 相交时,1×3﹣(m﹣2)m≠0, 2 由 1×3﹣(m﹣2)m=0,m ﹣2m﹣3=0,∴m=﹣1,或 m=3,∴当 m≠﹣1 且 m≠3 时,l1 和 l2 相交. ②∵m=0 时,l1 不平行 l2,l1∥l2? ,解得 m=﹣1.

③l1⊥l2 时,1×(m﹣2)+m×3=0,m= ,∴当 m= 时,l1⊥l2. 点评: 本题考查两直线相交、垂直、平行的条件,体现了转化的数学思想. 20. (12 分)直线 l 过点 P(2,1) ,且分别与 x,y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为原点. (1)求△ AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)设 AB 方程为 ,点 P(2,1)代入后应用基本不等式求出 ab 的最小值,

即得三角形 OAB 面积面积的最小值. (2)设直线 l 的点斜式方程,求出 A,B 两点的坐标,代入|PA|?|PB|的解析式,使用基本不等 式,求出最小值,注意检验等号成立条件. 解答: 解: (1)设 A(a,0) 、B(0,b ) ,a>0,b>0, AB 方程为 ≥2 当且仅当 ,点 P(2,1)代入得 ,∴ab≥8 ,且 ,解得 a=4,b=2 时,等号成立,

故三角形 OAB 面积 S= ab≥4, 此时直线方程为: ,

即 x+2y﹣4=0. (2)设直线 l:y﹣1=k(x﹣2) ,分别令 y=0,x=0, 得 A(2﹣ ,0) ,B(0,1﹣2k) . 则|PA|?|PB|=
2

=

≥4,

当且仅当 k =1,即 k=±1 时,|PA|?|PB|取最小值, 又∵k<0,

∴k=﹣1, 这时 l 的方程为 x+y﹣3=0. 点评: 本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应 用.

21. (12 分)已知:以点

为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y

轴交于点 O、B,其中 O 为原点, (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;直线的截距式方程;圆的标准方程. 分析: (1)求出半径,写出圆的方程,再解出 A、B 的坐标,表示出面积即可. (2)通过题意解出 OC 的方程,解出 t 的值,直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,判断 t 是否符合要求,可得圆的方程. 解答: 解: (1)∵圆 C 过原点 O, ∴ , , ,

设圆 C 的方程是 令 x=0,得 令 y=0,得 x1=0,x2=2t ∴ 即:△ OAB 的面积为定值; (2)∵OM=ON,CM=CN, ∴OC 垂直平分线段 MN, ∵kMN=﹣2,∴ ∴直线 OC 的方程是 ∴ , , ,

,解得:t=2 或 t=﹣2, , ,

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) , 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离

圆 C 与直线 y=﹣2x+4 相交于两点, 当 t=﹣2 时,圆心 C 的坐标为(﹣2,﹣1) , 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离 圆 C 与直线 y=﹣2x+4 不相交, ∴t=﹣2 不符合题意舍去, 2 2 ∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5. ,



点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的标准方程等有关知识,是中档题.


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